Distribución gamma

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Distribución gamma

  1. 1.  “Sirve de modelo para numerosos experimentos en donde interviene el tiempo como sucede en la llegadas de aviones a un aeropuerto y en general a los problemas de teoría de colas”1 Ejemplo: Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900.  Problemas de Teoría de la confiabilidad Ejemplo Tiempo de falla de un sistema de componentes, cada uno falla con frecuencia . 1.Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias
  2. 2.  “– El tiempo ( ó espacio) requerido para observar ? ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó región del espacio ), sucesos del tipo Poisson. – Flujos máximos, MARKOVIC, 1965. – Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965. – Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB, 1940. – Ingresos familiares. – Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez. – Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a cabo en subestaciones a una frecuencia”2.  2.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/ cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10)
  3. 3. 4.BLANCO CASTAÑEDA LILIANA, Probabilidad, ,Unibiblos,2004 Bogotá Colombia , pág. 144-145
  4. 4.  Una variable aleatoria x tiene una distribución Gamma si su densidad de probabilidad esta dada por: 0k0,,x0 )( )( 1         kx ex k xF
  5. 5.  Esta distribución continua depende de dos parámetros   parámetro que varia la forma de la distribución  k parámetro que varia la escala de la distribución  Parámetros en R  A continuación veremos una breve explicación de la función gamma que interviene en la definición de la distribución gamma
  6. 6. 3.HOFMAN JOSEPH EHRENFRIED, Historia de la Matematica,limusa,2002, México DF, pág. 280
  7. 7. Función Gamma o Función factorial o Integral Euleriana de Segunda especie Es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. Si k es un numero entero positivo entonces )!1()(       0 1 0x0)( kdxex xk 
  8. 8.  Demostración vamos a integrar por partes y sucesivamente () = ( -1)( -2)( -3)...(1), pero (1) = 1 por integración directa. ( +1) =  () (5)=4 (4) =4.3 (3)=4.3.2 (2)=4.3.2 (1)=4.3.2.1     0 2 )1()1()1()(   dxex x x-2 -x1 -ev)1( edv     dxxdu dxxu   
  9. 9. Distribución exponencial caso particular cuando =1 y sabiendo que (1)=1 kx kx kx kx keXF ex k XF ex k XF ex k XF           )( 1 )( )1( )( )( )( 0 11 1 1  
  10. 10. Distribución Erlang Fue desarrollada para examinar el número de las llamadas telefónicas que se pudieron hacer al mismo tiempo a los operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo sobre el teléfono (Ingeniería de trafico) se ha ampliado para considerar tiempos de espera dentro de sistemas que hacen cola en general. La distribución ahora se utiliza en el campo de procesos estocásticos. Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, Ejemplo: En situaciones donde el servicio tiene que realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio exponencial. http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm)
  11. 11.  MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA  = E[X] = , 2 = V[X] = 2
  12. 12. El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución Gamma con parámetros =3, =2 a)Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas
  13. 13. 22 213 3 1 16 1 )3(2 1 )( 1 )( x x x ex ex exXF              Solución Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria) Su densidad de probabilidad es:
  14. 14. Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas El área Resaltada corresponde a P(x>8) 2381.0 16 1 1)8(1 8 0 22    dxexxP x
  15. 15. Sintaxis DISTR.GAMMA( x, alfa,beta,acumulativo) X es el valor al que se desea evaluar la distribución. Alfa es un parámetro de forma la distribución. Beta es un parámetro de la escala distribución. Acumulado es un valor lógico que determina la forma de la función. Si acumulado es VERDADERO, DISTR.GAMMA devuelve la función de distribución acumulada, si es FALSE, devuelve la función de densidad de probabilidad.
  16. 16. 2.Si el costo de mantenimiento en dólares es Siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento Solución: Nos solicitan el costo promedio ósea la esperanza de la función de costo 2 230 xxC    623.][ ][2][30 ]230[][ 2 2    xE xExE xxECE
  17. 17. dolares276)48(2)6(30][ ) 2 (48 16 1 16 1 )(][ 0 24 0 222 0 22              cE x ydosustituyen dxex dxexx dxXFxxE x x
  18. 18.  Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias  http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/40 30011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10 17:56)  http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distributi on(19/11/10 20:34pm)  http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/gammadist- HP005209101.aspx?CTT=1(18/11/10 18:53)

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