Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
4階と5階のあいだ
みうら
2017/4/1 ロマンティック数学ナイトボーイズ
~「有限」に思いを馳せて~
・大学院(修士)で代数学を勉強中
・素数大富豪世界1位(ってことになってる)
・最近の趣味は、パズルを作って
「みらいけん数学デー」に持っていくこと
自己紹介
楽しい
今日の日付は…
1/4
4/1 = 4
= 0.25
有限小数!
イギリス式英語での表記だと
2以上の整数の逆数を小数で表す
(1/1=1は小数とは言い難いので)
1/2=0.5
1/3=0.333333…
1/4=0.25
1/5=0.2
1/6=0.166666…
1/7=0.142857…
1/8=0.125
1/9=0.1111...
疑問
この先、このように有限小数が
連続することはあるのか?
有理数𝑟について、
𝑟を既約分数で表したとき
分母の素因数が2と5のみ
1/4=1/(2∙2)=0.25
1/5=1/5=0.2
1/6=1/(2∙3)=0.1666…
1/7=1/7=0.142857…
𝑟が(十進法で)
有限小数で書ける
前...
これより、
1
𝑛
と
1
𝑛+1
がともに有限小数で
表せるための必要十分条件は
𝑛 + 𝑛 = 2 𝑎 ∙ 5 𝑏
𝑛 + 1 = 2 𝑐
∙ 5 𝑑
なる非負整数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が存在すること
しかし、連続する二つの整数がともに偶数
だったり、ともに5の倍数ということはない
結局
𝑛, 𝑛 + 1 = {2 𝑒, 5 𝑓}
(𝑒, 𝑓は1以上の整数)
でなければならない
ここで大道具
カタラン予想
〈カタラン予想〉
連続する「べき乗数」は8と9のみ
べき乗数とは、 𝑢 𝑣(𝑢, 𝑣は2以上の整数)
と書ける数のこと
2002年、P.ミハイレスクにより肯定的に解決
(𝑛は2以上なので)カタラン予想より、
𝑛, 𝑛 + 1 = 2 𝑒
, 5 𝑓
⇒ 𝑒 = 1 または 𝑓 = 1
結局、 𝑛, 𝑛 + 1 = 22
, 5 = 𝟒 , 𝟓 しか
ありえない(証明完了!)
※カタラン予想を使わずに初等的に解...
系として、2以上の整数𝑛に対して
𝑛 + 1
𝑛
,
𝑛
𝑛 + 1
がともに有限小数となるのは 𝑛 = 4 のとき
のみであることがわかる
(
5
4
= 1.25 ,
4
5
= 0.8 )
踊り場の表記にはこういうのもある↓
5|4
この書き方は特に、階段を下るときは
4を5で割りたくなる
結論
「4階と5階のあいだ」は
上りも下りも有限小数となる
唯一の場所である
4階と5階を行き来するときは
ぜひとも階段で!
みなさん、
「有限」に思いを馳せてみませんか?
4階と5階のあいだ
4階と5階のあいだ
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

4階と5階のあいだ

3,072 views

Published on

ロマンティック数学ナイトボーイズでのスライドです。

Published in: Science
  • Be the first to comment

4階と5階のあいだ

  1. 1. 4階と5階のあいだ みうら 2017/4/1 ロマンティック数学ナイトボーイズ ~「有限」に思いを馳せて~
  2. 2. ・大学院(修士)で代数学を勉強中 ・素数大富豪世界1位(ってことになってる) ・最近の趣味は、パズルを作って 「みらいけん数学デー」に持っていくこと 自己紹介 楽しい
  3. 3. 今日の日付は… 1/4 4/1 = 4 = 0.25 有限小数! イギリス式英語での表記だと
  4. 4. 2以上の整数の逆数を小数で表す (1/1=1は小数とは言い難いので) 1/2=0.5 1/3=0.333333… 1/4=0.25 1/5=0.2 1/6=0.166666… 1/7=0.142857… 1/8=0.125 1/9=0.111111… 1/10=0.1 1/11=0.090909… 赤字:有限小数 隣接 している
  5. 5. 疑問 この先、このように有限小数が 連続することはあるのか?
  6. 6. 有理数𝑟について、 𝑟を既約分数で表したとき 分母の素因数が2と5のみ 1/4=1/(2∙2)=0.25 1/5=1/5=0.2 1/6=1/(2∙3)=0.1666… 1/7=1/7=0.142857… 𝑟が(十進法で) 有限小数で書ける 前提知識 ⇔ ↑有限小数 ↑無限小数
  7. 7. これより、 1 𝑛 と 1 𝑛+1 がともに有限小数で 表せるための必要十分条件は 𝑛 + 𝑛 = 2 𝑎 ∙ 5 𝑏 𝑛 + 1 = 2 𝑐 ∙ 5 𝑑 なる非負整数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が存在すること
  8. 8. しかし、連続する二つの整数がともに偶数 だったり、ともに5の倍数ということはない 結局 𝑛, 𝑛 + 1 = {2 𝑒, 5 𝑓} (𝑒, 𝑓は1以上の整数) でなければならない
  9. 9. ここで大道具
  10. 10. カタラン予想
  11. 11. 〈カタラン予想〉 連続する「べき乗数」は8と9のみ べき乗数とは、 𝑢 𝑣(𝑢, 𝑣は2以上の整数) と書ける数のこと 2002年、P.ミハイレスクにより肯定的に解決
  12. 12. (𝑛は2以上なので)カタラン予想より、 𝑛, 𝑛 + 1 = 2 𝑒 , 5 𝑓 ⇒ 𝑒 = 1 または 𝑓 = 1 結局、 𝑛, 𝑛 + 1 = 22 , 5 = 𝟒 , 𝟓 しか ありえない(証明完了!) ※カタラン予想を使わずに初等的に解く方法もあります
  13. 13. 系として、2以上の整数𝑛に対して 𝑛 + 1 𝑛 , 𝑛 𝑛 + 1 がともに有限小数となるのは 𝑛 = 4 のとき のみであることがわかる ( 5 4 = 1.25 , 4 5 = 0.8 )
  14. 14. 踊り場の表記にはこういうのもある↓ 5|4 この書き方は特に、階段を下るときは 4を5で割りたくなる
  15. 15. 結論 「4階と5階のあいだ」は 上りも下りも有限小数となる 唯一の場所である 4階と5階を行き来するときは ぜひとも階段で!
  16. 16. みなさん、 「有限」に思いを馳せてみませんか?

×