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NPC April Fool's Contest 2014 累乗数

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NPC April Fool's Contest 2014 累乗数 解説

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NPC April Fool's Contest 2014 累乗数

  1. 1. NPC April Fool's Contest 2014 累乗数 Kinokkory@shiatsumat
  2. 2. 問題文概要 https://judge.npca.jp/problems/view/181/ • NCK が累乗数となる K を列挙せよ • 1≦N≦1,000,000,000 • 「Perfect Power」って超カッコいい
  3. 3. 埋め込み • NO!
  4. 4. 正攻法 その1 • とりあえず NC1 だけチェックしてみる • N を素因数分解して各素因数の個数の 最大公約数を取って 2 以上だったら OK
  5. 5. 正攻法 その2 • そもそも NCK を計算するのがだるい • 真面目に掛け算するのは多倍長が必要だけど 素因数分解してから各素因数について個数を 足し合わせれば簡単
  6. 6. 正攻法 その3 • どれだけ累乗数判定を頑張っても 各 K についてきちんと判定していたら O(N) • どうしよう……もう無理……
  7. 7. 正攻法 その4 • これ Proofs from THE BOOK でやったやつだ! • 無料で読めます http://www.math.boun.edu.tr/instructors/o zturk/proofs.pdf
  8. 8. Binomial coefficients are (almost) never powers • Theorem. The equation 𝑛 𝑘 = 𝑚𝑙 has no integer solutions with 𝑙 ≥ 2 and 4 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 4.
  9. 9. 二項係数が累乗数になることは (ほとんど)ない • 定理. 方程式 𝑛 𝑘 = 𝑚𝑙 は 𝑙 ≥ 2 かつ 4 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 4 の範囲で整数解を持たない.
  10. 10. 証明 • 非常に面白いのですがかなり長いので ぜひ Proofs from THE BOOK を読んで下さい • マジで面白いです
  11. 11. Matt Schmidt • シュミッツマット君は 完全無欠たる力を手に入れるために 数学の修行を始めたのであった―――

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