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ICLR2020読み会 2020/05/17
1. Stable Rank Normalization for Improved Generalization in Neural
Networks and GANs
1
Stable Rank Normalization for Improved
Generalization in Neural Networks and GANs
Amartya Sanyal, Philip H.S. Torr, Puneet K. Dokania
Ratings : 6 8 8 (Spotlight)
汎化誤差上界に重みの(スペクトルノルム)×(安定ランク)がでてくる
安定ランクを⼀定に抑えるStable Rank Normalizationを提案
画像認識、GANで汎化性能向上を確認
2
⽬次
1. Lipschitz性(スペクトルノルム)の復習
2. margin-based な汎化誤差の上界
3. Stable Rank Normalizationの定義、アルゴリズム
4. 実験
3
事前準備 - Lipschitzness
のとき はLipschitz
関数の「複雑さ」を表している( が⼤きいほど摂動に敏感)
Neural Networkの場合
:ReLUなら なのでスペクトルノルムの積以下
f : R →n
Rm
∃L > 0, ∣∣f(x) − f(y)∣∣ ≤ L∣∣x − y∣∣ f
L
L(f ∘ g) ≤ L(f)λ(g)
f = σ (A σ (A ⋯ σ (A x) ⋯ ))L L L−1 L−1 1 1
L(f) ≤ L(σ )∣∣A ∣∣∏i=1
L
i i 2
σi L(σ) = 1
4
Lipschitznessと学習性能
(訓練誤差が低いまま)Lipschitz定数を下げると、
汎化誤差が下がる
正則化 (Yoshida,Miyato'17, Gouk+'18)
敵対例への頑健性が向上する
Parseval Networks (Cisse+'17, ICML)
(GANの識別機に適⽤すると)学習がうまくいく
SN-GAN(Miyato+'18, ICLR)
Remark : ReLU networkでパラメータの正の定数倍を考えると…
Lipschitz定数は⼤きくなるが、予測は不変
5
NNの汎化誤差
ニューラルネットの汎化誤差
直接求められないので上界を出したい
1990年代からずっと研究されている
margin-based approach
予測器のmarginが⼤きいほどtightな上界
(とはいえ実⽤的には全然緩い)
フレームワーク
PAC-Bayes [Neyshabur+'18]
Rademacher complexity, VC次元, covering number [Bartlett+'17]
6
Spectrally-normalized margin bounds for neural networks[Bartlett+'17]
Lipschitz性とexcess risk(= テスト誤差-訓練誤差)に相関関係
( -normとかだとそうはならない)
⼀⽅でriskが⽌まった後もLipschitzは上昇
marginを考慮すると説明できる(■線)
l2
7
margin分布
識別器
margin
spectral complexity( :活性化関数のLipschitz定数、
:スペクトルノルム、 :任意のfixed⾏列,0で考えてok)
normalized margin distribution ( )
(によるデータ分布の押し出し)
x ↦ arg max f(x)j j
f(x) −y max f(x)j=y j
ρ
∣∣ ⋅ ∣∣σ Mi
f = FA
8
Normalizationによってmarginはタスクの難しさを区別できる
9
Generalization Bound
は層ごとのユニット数の最⼤値
パラメータ数や層数に陽に依らないことがすごいらしい(理解不⾜)
=norm'd margin dist.の累積関数(グラフの⾯積)
定理の上界がどれだけ⼩さいかを表す...?
W
(f)/∣∣X∣∣ RR^γ 2 A
10
(Randamized) CIFAR10/100,MNISTの難しさを可視化
11
正則化は汎化に寄与しない(!)
上界には -ノルムが出てこない
Zhang+'17(ICLR)で実験的には知られていた
Q. marginを⼤きくするような正則化が作れるか︖ SRN
l2
l2
→
12
Stable Rank
Neyshabur+'18も近い汎化誤差上界を導出( )
(ほぼ)共通して現れる項
A =i Wi
スペクトルノルム
∣∣W ∣∣
i=1
∏
d
i 2
2
安定ランク
i=1
∑
d
∣∣W ∣∣i 2
2
∣∣W ∣∣i F
2
13
Stable Rank
は の特異値
安定ランクはNNのノイズへの感度を下げる (Sec.3)
srank(W ) := =∣∣W ∣∣2
2
∣∣W ∣∣F
2
σ (W )1
2
σ (W )∑i=1
k
i
2
k = rank(W )
σ ≥1 ⋯ ≥ σ >k 0 W
14
How to realize (define) stable rank "normalization"?
scaling invariantな量なので純粋な「正規化」では実現できない
cf. Spectral normal'n:
最適化問題の解として定義( :given)
は の特異値
W :sn
= Wσ1
1
k ≥ 0, 1 ≤ r ≤ srank(W )
λ , σi i , WW k
15
Example
e.g. , desired stable rank r = 2, then
正しくは
W = I ∈3 R3×3
, ,W 2 W 1 W 0
16
Unique optimal solution
17
Algorithm - ついでにスペクトル正規化も組み込める!
18
実験
分類
ResNet-110, WideResNet-28-10, DenseNet-100, VGG100,
AlexNet on CIFAR100
GAN
Compare with SN-GAN, WGAN-GP, Ortho-GAN on CIFAR100,
CIFAR10, CelebA
Inception Score, FID, Neural Divergence score
stable rank for with fixed
hyperparameter . ( SN)
r = c min(m, n) W ∈ Rm×n
0 < c ≤ 1 c = 1 ⇒
19
1. Result of classification task
分類
20
2. Shattering Experiments
ラベルをランダムにしたデータセット → "test accuracy" = 1%
学習できてしまう = 汎化能⼒がない(データを覚えているだけ)
21
2. Result of shattering experiments
22
3. Sample complexity
:margin
これの が汎化誤差の上界に出てくるので、サンプリングしてプ
ロットしてみる(⼩さい⽅に偏るほど良い)
特にJac-NormはEmpirical Lipschitzness(データ近傍での
Lipschitzness、より実効的な滑らかさ)に従う
γ = f(x) −y max f(x)j=y j
log
23
24
GAN実験の結果
GANの識別器 のEmpirical Lipschitz
( :実画像、 :⽣成画像)
f ∣∣f(x) − f(x )∣∣/∣∣x −′
x ∣∣′
x x′
25
では制約が強すぎて識別できなくなり、ISが落ちてる
ほどよい の選び⽅︖
"softer constraints on the Lipschitz constant than WGAN-GP"
よくわからん、なぜ︖
c = 0.1
c
26
SRN-GANの性能評価値
←CIFAR100, ↑CIFAR10 27
Neural Divergence score
robust to memorization な評価
GANでのEmpirical Lipschtzness(前述)を定量化したもの
28
まとめ
汎化誤差解析からの知⾒を実⽤に組み込む試み
Stable Rank Normalalizationを最適化問題の解として定式化
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29

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