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Castiglianoの定理を用いた
不静定問題の解法
1. はり の不静定問題が解ける
目標
1/14
2. トラス の不静定問題が解ける
Castiglianoの定理
∂
∂U
=
Pk
δk
で偏微分Pk荷重
荷重点の荷重方向変位 δk
P1
δ1
PN
δN
δk
Pk
N 個の荷重が作用する弾性体
弾性ひずみエネルギー
U
∂
∂U
=
Mk
θk
モーメント で偏微分Mk...
はり の不静定問題
w
x
ℓ
EI
Q. 左端に生じる反力は?
1. 反力・反モーメント図示
2. 力/モーメントの釣合い
RA RB
MB
RA RB wℓ+ − = 0
2
1
− wℓ2
+RBℓ +MB= 0
不静定問題
未知数:3 ...
3. 曲げモーメントの計算
y
xRA
V
M(x) = M’(x) + M’’(x)
4/14
曲げモーメントの計算は
重ね合わせの原理を使うと簡単!
M(x)
y
xRA
M’(x)
仮想荷重なし
V
x
M’’(x)
仮想荷重のみ
仮想荷...
3.1 断面に生じる曲げモーメント
y
xRA
力の釣合い モーメントの釣合い
w
RA = 0F’(x)− w x+
RA=F’(x)∴ w x−
M’(x) = 0− F’(x)x
2
1
− wx2
2
1
− wx2
M’(x)∴ =R...
3.2 仮想荷重による曲げモーメント
y
x
V
力の釣合い
= 0F’’(x)+V
−=F’’(x)∴ V
モーメントの釣合い
M’’(x) −F’’(x)x = 0
∴
F’’(x)
M’’(x)
F’’(x)x
6/14
仮想荷重のみ
R...
3.3 仮想荷重のモーメントと微分
∂
∂M
=
V ∂
∂M’
V ∂
∂M’’
V
+ =
∂
∂M’’
V
M’(x)=RA x
2
1
− wx2
x−=
0
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仮想荷重が作用しない場合のモーメント
=RA x
2
1
− wx...
4. Castiglianoの定理を適用
移動支持 δA = 0
3
RA 3
ℓ −
8
w 4
ℓ = 0 ∴ RA=
8
3
wℓ
8/14
∂
∂M
V
x−==
∂
∂M’’
V
=
ℓ
0 EI
M
∂
∂M dx
∂
∂U
δA=...
トラス
JAPAN PRESTRESSED
CONCRETE CONTRACTORS
ASSOCIATION
Wikipedia 9/14
ピン結合
回転できる
棒の組み合わせ構造
トラスの不静定問題
θ θ
P
a
b
c
d
Q. b点の鉛直方向変位は?
1. 軸力を図示
N1N1
N2
2. 力の釣合い
2N1 θcos +N2 P− = 0
不静定問題
未知数:2 方程式:1>
対称性より
ℓ ℓ
10/14
3. 弾性ひずみエネルギーの計算
θ θ
P1
a
b
c
d
N1N1
N2
P2
d
鉛直方向荷重
2N1 θcos =P1
N1=
2cosθ
P1
σ1 A= N1
U1=
2E
σ1
2
Aℓ ×2
2
=
4AEcos θ2
P1 ...
4. Castiglianoの定理を適用
∂
∂U1
P1
λ1 = =
2AEcos θ2
P1ℓ
∂
∂U2
P2
λ2 = =
AE
P2 ℓ cosθ
θ θ
P1
a
b
c
d
N1N1
N2
P2
d
λ1 鉛直方向変位 λ2
ℓ...
鉛直方向変位の決定
力の釣合い条件
P1 P2+P=
λ1= λ2
2AEcos θ2
P1ℓ
=
AE
P2 ℓ cosθ
λ2 =
2cos θ3
1+
cosθ P
AE
ℓ
=
2cos θ3
1+
cos θP
P1
2
3
=
2c...
まとめ
14/14
1. はり の不静定問題が解ける
2. トラス の不静定問題が解ける
1. 反力・反モーメント図示
2. 力/モーメントの釣合い
曲げモーメントの計算は
重ね合わせの原理を使うと簡単!
M(x) = M’(x) +M’’(x...
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Exercise in Applying Castigliano's Theorem to Statically Indeterminate Problems (in Japanese) Castiglianoの定理を用いた不静定問題の解法

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Exercise in Applying Castigliano's Theorem to Statically Indeterminate Problems (in Japanese)
・Solution of statically indeterminate beam
・Solution of statically indeterminate toruss
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Castiglianoの定理を用いた不静定問題の解法
・不静定はりの解法
・不静定トラスの解法

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Exercise in Applying Castigliano's Theorem to Statically Indeterminate Problems (in Japanese) Castiglianoの定理を用いた不静定問題の解法

  1. 1. Castiglianoの定理を用いた 不静定問題の解法 1. はり の不静定問題が解ける 目標 1/14 2. トラス の不静定問題が解ける
  2. 2. Castiglianoの定理 ∂ ∂U = Pk δk で偏微分Pk荷重 荷重点の荷重方向変位 δk P1 δ1 PN δN δk Pk N 個の荷重が作用する弾性体 弾性ひずみエネルギー U ∂ ∂U = Mk θk モーメント で偏微分Mk モーメント方向回転角θk 2/14
  3. 3. はり の不静定問題 w x ℓ EI Q. 左端に生じる反力は? 1. 反力・反モーメント図示 2. 力/モーメントの釣合い RA RB MB RA RB wℓ+ − = 0 2 1 − wℓ2 +RBℓ +MB= 0 不静定問題 未知数:3 方程式:2> 3/14 y 左端における変位の条件を考えて 方程式を増やす 方針
  4. 4. 3. 曲げモーメントの計算 y xRA V M(x) = M’(x) + M’’(x) 4/14 曲げモーメントの計算は 重ね合わせの原理を使うと簡単! M(x) y xRA M’(x) 仮想荷重なし V x M’’(x) 仮想荷重のみ 仮想荷重 RA
  5. 5. 3.1 断面に生じる曲げモーメント y xRA 力の釣合い モーメントの釣合い w RA = 0F’(x)− w x+ RA=F’(x)∴ w x− M’(x) = 0− F’(x)x 2 1 − wx2 2 1 − wx2 M’(x)∴ =RA x 2 1 − wx2 5/14 F’(x) M’(x) F’(x)x 仮想荷重なし
  6. 6. 3.2 仮想荷重による曲げモーメント y x V 力の釣合い = 0F’’(x)+V −=F’’(x)∴ V モーメントの釣合い M’’(x) −F’’(x)x = 0 ∴ F’’(x) M’’(x) F’’(x)x 6/14 仮想荷重のみ RA − RA +RA ( )M’’(x)= x− V+RA
  7. 7. 3.3 仮想荷重のモーメントと微分 ∂ ∂M = V ∂ ∂M’ V ∂ ∂M’’ V + = ∂ ∂M’’ V M’(x)=RA x 2 1 − wx2 x−= 0 7/14 仮想荷重が作用しない場合のモーメント =RA x 2 1 − wx2 仮想荷重で微分 M =M’(x) M’’(x)+ 0 =M’(x) ( )M’’(x)= x− V+RA
  8. 8. 4. Castiglianoの定理を適用 移動支持 δA = 0 3 RA 3 ℓ − 8 w 4 ℓ = 0 ∴ RA= 8 3 wℓ 8/14 ∂ ∂M V x−== ∂ ∂M’’ V = ℓ 0 EI M ∂ ∂M dx ∂ ∂U δA= V V M = M’(x)=RA x 2 1 − wx2 ℓ 0 ( )δA= EI 1 RA x 2 1 − wx2 x・ dx − EI = 3 RA x3 − 8 w x4 0 ℓ −1 EI = 3 RA 3 ℓ − 8 w 4 ℓ −1 左端変位
  9. 9. トラス JAPAN PRESTRESSED CONCRETE CONTRACTORS ASSOCIATION Wikipedia 9/14 ピン結合 回転できる 棒の組み合わせ構造
  10. 10. トラスの不静定問題 θ θ P a b c d Q. b点の鉛直方向変位は? 1. 軸力を図示 N1N1 N2 2. 力の釣合い 2N1 θcos +N2 P− = 0 不静定問題 未知数:2 方程式:1> 対称性より ℓ ℓ 10/14
  11. 11. 3. 弾性ひずみエネルギーの計算 θ θ P1 a b c d N1N1 N2 P2 d 鉛直方向荷重 2N1 θcos =P1 N1= 2cosθ P1 σ1 A= N1 U1= 2E σ1 2 Aℓ ×2 2 = 4AEcos θ2 P1 ℓ ℓ ℓ cosθ = 2AE N1 2 ℓ ×2 U2 = 2AE N2 2 ℓ cosθ = 2AE P2 2 ℓ cosθ 11/14 N2=P2
  12. 12. 4. Castiglianoの定理を適用 ∂ ∂U1 P1 λ1 = = 2AEcos θ2 P1ℓ ∂ ∂U2 P2 λ2 = = AE P2 ℓ cosθ θ θ P1 a b c d N1N1 N2 P2 d λ1 鉛直方向変位 λ2 ℓ ℓ cosθ 12/14
  13. 13. 鉛直方向変位の決定 力の釣合い条件 P1 P2+P= λ1= λ2 2AEcos θ2 P1ℓ = AE P2 ℓ cosθ λ2 = 2cos θ3 1+ cosθ P AE ℓ = 2cos θ3 1+ cos θP P1 2 3 = 2cos θ3 1+ P P2 13/14 未知数:2 方程式:2= P1 P2 幾何学的拘束条件
  14. 14. まとめ 14/14 1. はり の不静定問題が解ける 2. トラス の不静定問題が解ける 1. 反力・反モーメント図示 2. 力/モーメントの釣合い 曲げモーメントの計算は 重ね合わせの原理を使うと簡単! M(x) = M’(x) +M’’(x) 仮想荷重のみ 仮想荷重なし 4. Castiglianoの定理を適用 1. 軸力を図示 2. 力の釣合い 3. 弾性ひずみエネルギーの計算 4. Castiglianoの定理を適用 3. 曲げモーメントの計算

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