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181105 (1)

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181105 (1)

  1. 1. 量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 1 原 健太郎 1 東京理科大学 理学研究科 11/2018 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 1 / 20
  2. 2. 自己紹介 1 身分 :大学院生 、非常勤講師(高等学校) 2 専攻:物理学、数学 3 大学で非常勤講師(物理学、 数学)をやりたいのですが、 厳しいです。 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 2 / 20
  3. 3. Talk plan 1 古典力学、シンプレクティック幾何学 2 量子化 3 量子力学:無限次元の線形代数 4 無限次元⇒有限次元 5 量子n体系(2状態系) 6 k-ベクトル空間の圏 7 強モノイド圏 8 モノイド対象 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 3 / 20
  4. 4. 古典力学、シンプレクティック幾何学 Definition (Hamiltonian vector field XH ∈ ΓTM) (M, ω):symplectic manifold dH = ω (XH, · ) Fact (Hamilton’s equations and Darboux coordinates) ∃ (q, p) : M −→ U ⊂ R2n s.t. dq dt = ∂H ∂p , dp dt = − ∂H ∂q 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 4 / 20
  5. 5. 量子化 Remark (quantization) canonical quantization: q −→ ˆq, p −→ ˆp, [ˆqi, ˆpj] = i δij Deformation quantization: (C∞ (M) , · ) −→ (C∞ (M) [[ ]] , ∗ ) Path integral formulation: δS = 0 −→ ∫ [Dφ] eiS(φ) 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 5 / 20
  6. 6. 量子力学:無限次元の線形代数 Definition (Schr¨odinger equation) ˆHψ = Eψ where ψ ∈ L2 ( C3 ) , ˆH = ˆp · ˆp 2m + V (ˆq) ∈ B ( L2 ( C3 )) Remark ψ:vector,ˆH:matrix 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 6 / 20
  7. 7. 無限次元⇒有限次元 Definition (L2 norm space) L2 (C) = { f ∈ C∞ (C) ∫ C f (z) f ∗ (z) dz < ∞ } Remark (Fourier series) f (z) = ∞∑ n=−∞ cneinz 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 7 / 20
  8. 8. 無限次元⇒有限次元 Example (vector space) CN = {a1e1 + a2e2 + · · · + aNeN|a1, · · · , aN ∈ C} L2 (C) = { · · · + c−1e−iz + c0e0×iz + c1eiz + · · · } Remark (2状態系) L2 ( C3 ) −→ C2 , B ( L2 ( C3 )) −→ B ( C2 ) ∼= M2C Two-dimensional linear algebra 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 8 / 20
  9. 9. 量子 n 体系 (2状態系) Remark (many-body system) C2 −→ ( C2 )⊗n ∼= C2n , B ( C2 ) −→ M2nC 2n-dimensional linear algebra Definition ˆHψ = Eψ where ψ ∈ ( C2 )⊗n , ˆH ∈ M2nC 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 9 / 20
  10. 10. 圏 Example 1 Set 2 Grp 3 R-Mod 4 K-Vect 5 Top 6 Manp 7 TopMfd 8 Func(A, B)=BA 9 Coh(X) 10 Ord 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 10 / 20
  11. 11. k-ベクトル空間の圏 Definition (FdVect as a category) X ∈ Ob (FdVect) :⇔ X:vector space on k ˆH ∈ Hom ( X, ˜X ) :⇔ ˆH:linear operator over k Definition (tensor product⊗) ⊗ : km × kn −→ km×n ⊗ (ea, fb) := ea ⊗ fb Remark k1 ⊗ X ∼= X 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 11 / 20
  12. 12. 強モノイド圏としての k-ベクトル空間の圏 Fact ((FdVect, ⊗, k)) A, B, C ∈ Ob (FdVect) =⇒ (A ⊗k B) ⊗k C = A ⊗k (B ⊗k C) A ⊗k k = k ⊗k A = A 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 12 / 20
  13. 13. 強モノイド圏 Definition ((C, ⊗, I):strict monoidal category) A, B, C ∈ Ob (C) =⇒ (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) A ⊗ I = I ⊗ A = A 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 13 / 20
  14. 14. 強モノイド圏の例 (集合の圏) Example (Set) (Set, ×, {x}) , Ob (Set) {x} X, Y , Z ∈ Ob (Set) =⇒ (X × Y ) × Z = X × (Y × Z) X × {x} = {x} × X = X 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 14 / 20
  15. 15. 強モノイド圏の例 (アーベル群の圏) Example (Category of abelian groups) (Ab, ⊗Z, Z) , Ob (Ab) Z A, B, C ∈ Ob (Ab) =⇒ (A ⊗Z B) ⊗Z C = A ⊗Z (B ⊗Z C) A ⊗Z Z = Z ⊗Z A = A 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 15 / 20
  16. 16. 強モノイド圏の例 (自己関手の圏) Example (Endofunctor category) ( CC, ◦, id ) , Ob ( CC ) id f , g, h ∈ Ob ( CC ) =⇒ (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) f ◦ id = id ◦ f = f 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 16 / 20
  17. 17. モノイド対象 Definition (Monoid object) Monoid object : (M, µ, η) , M ∈ Ob (C) µ ∈ Mor (M ⊗ M, M) , η ∈ Mor (I, M) µ ◦ (id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ id) : M ⊗ M ⊗ M −→ M µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ M −→ M µ ◦ (id ⊗ η) = id : M ⊗ I −→ M 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 17 / 20
  18. 18. モノイド対象 (集合の圏):モノイド Example ((Set, ×, {x}):Monoid) Monoid : (M, ·, η) , M ∈ Ob (Set, ×, {x}) µ (m, ˜m) := m · ˜m, η ({x}) := e µ ◦ (id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ id) µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ M −→ M µ ◦ (id ⊗ η) = id : M ⊗ I −→ M 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 18 / 20
  19. 19. モノイド対象 (アーベル群の圏): Example ((Ab, ⊗Z, Z):Ring) Ring : (R, ·, η) , R ∈ Ob (Ab, ⊗Z, Z) µ (r,˜r) := r · ˜r, η (Z) := 1 µ ◦ (id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ id) µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ R −→ R µ ◦ (id ⊗ η) = id : R ⊗ I −→ R 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 19 / 20
  20. 20. モノイド対象 (FdVect): Example ((FdVect, ⊗k, k):Algebra) Algebra : (A, ·, η) , A ∈ Ob (FdVect, ⊗k, k) µ (a, ˜a) := a · ˜a, η (k) := 1 µ ◦ (id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ id) µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ A −→ A µ ◦ (id ⊗ η) = id : A ⊗ I −→ A 1 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ?∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 20 / 20

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