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181022

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量子情報

Published in: Science
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181022

  1. 1. 電磁気と重力のとある関係 原 健太郎 東京理科大学 理学研究科 10/2018 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 1 / 21
  2. 2. 自己紹介 1 身分 :大学院生 、非常勤講師(高等学校) 2 専攻:物理学、数学 3 大学で非常勤講師(物理学、 数学)をやりたいのですが、 厳しいです。 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 2 / 21
  3. 3. Main result (https://arxiv.org/abs/1809.02328v1
  4. 4. Main result metric matrix made of gauge field matrix g := 2 ( E4 − ˆF−θ )−1 − E4 Theorem If the gauge field ˆF− is instanton, then g is the Einstein metric ˆF− = −ˆF− =⇒ R¯jk = 0 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 4 / 21
  5. 5. 一般相対性理論
  6. 6. 一般相対性理論 Definition (Einstein’s equations) Rjk − 1 2 Rgjk = Tjk Example (Einstein manifolds) Schwarzschild solution Kerr‐Newman metric Friedmann‐Lematre‐Robertson-Walker metric G¨odel solution · · · 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 6 / 21
  7. 7. マクスウェルの方程式(ゲージ 理論)
  8. 8. Electromagnetic field tensor Definition (Electromagnetic field tensor) Electromagnetic field tensor E ∈ C∞ (M, Alt4) is defined as E (p) =     0 E1 (p) E2 (p) E3 (p) −E1 (p) 0 −B3 (p) B2 (p) −E2 (p) B3 (p) 0 −B1 (p) −E3 (p) −B2 (p) B1 (p) 0     where p ∈ M 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 8 / 21
  9. 9. Electromagnetic field tensor Remark E =     0 E1 E2 E3 −E1 0 −B3 B2 −E2 B3 0 −B1 −E3 −B2 B1 0     =:     0 F− 12 F− 13 F− 14 −F− 12 0 F− 23 F− 24 −F− 13 −F− 23 0 F− 34 −F− 14 −F− 24 −F− 34 0     原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 9 / 21
  10. 10. Gauss’s law,Amp´ere’s circuital law Definition (Equations of motion) Electromagnetic tensor E is defined as ∂µF− µν := ˜gµα∂αF− µν = 0 where ˜g is a Minkowski metric. Remark (Gauss’s law,Amp´ere’s circuital law ) ∇ · E = 0, ∇ × B − ∂tE = 0 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 10 / 21
  11. 11. Gauss’s law for magnetism,Maxwell-Faraday equation Definition (Bianchi identity) Electromagnetic tensor E is defined as µνρσ∂ρF− µν = 0 Remark (Gauss’s law for magnetism,Maxwell-Faraday equation) ∇ · B = 0, ∇ × E + ∂tB = 0 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 11 / 21
  12. 12. インスタントン Remark E = ±E, dE = 0 =⇒ d E = 0 Theorem Assume g := 2 ( E4 − ˆF− θ )−1 − E4 then ( d ˆF− = 0 ⇐= ) ˆF− = −ˆF− =⇒ |g| = 1 (Ricci flatness) 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 12 / 21
  13. 13. おまけ
  14. 14. 古典力学、シンプレクティック幾何学 Definition (Hamiltonian vector field XH ∈ ΓTM) (M, ω):symplectic manifold dH = ω (XH, · ) Fact (Hamilton’s equations and Darboux coordinates) ∃ (q, p) : M −→ U ⊂ R2n s.t. dq dt = ∂H ∂p , dp dt = − ∂H ∂q 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 14 / 21
  15. 15. 量子化 Remark (quantization) canonical quantization: q −→ ˆq, p −→ ˆp, [ˆqi, ˆpj] = i δij Deformation quantization: (C∞ (M) , · ) −→ (C∞ (M) [[ ]] , ∗ ) 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 15 / 21
  16. 16. 量子力学:無限次元の線形代数 Definition (Schr¨odinger equation) ˆHψ = Eψ where ψ ∈ L2 ( C3 ) , ˆH = ˆp · ˆp 2m + V (ˆq) ∈ B ( L2 ( C3 )) 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 16 / 21
  17. 17. 無限次元⇒有限次元 Definition (vector space) C2 = {ae1 + be2|a, b ∈ C} CN = {a1e1 + a2e2 + · · · + aNeN|a1, · · · , aN ∈ C} L2 (C) = { ∞∑ n=−∞ cneinx cn ∈ C } Remark (2状態系) L2 ( C3 ) −→ C2 , B ( L2 ( C3 )) −→ B ( C2 ) ∼= M2C Two-dimensional linear algebra 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 17 / 21
  18. 18. 量子 n 体系 (2状態系) Remark (many-body system) C2 −→ ( C2 )⊗n ∼= C2n , B ( C2 ) −→ M2nC 2n-dimensional linear algebra Definition ˆHψ = Eψ where ψ ∈ ( C2 )⊗n , ˆH ∈ M2nC 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 18 / 21
  19. 19. k-ベクトル空間の圏 Definition (k-Vect as a category) X ∈ Ob (k-Vect) :⇔ X:vector space on k ˆH ∈ Hom ( X, ˜X ) :⇔ ˆH:linear mapping over k Definition (tensor product⊗) ⊗ : km × kn −→ km×n ⊗ (ea, fb) := ea ⊗ fb Remark k1 ⊗ X ∼= X 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 19 / 21
  20. 20. 強モノイド圏 Fact ((k-Vect, ⊗, k)) A, B, C ∈ Ob (k-Vect) =⇒ (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) A ⊗ k = k ⊗ A = A Definition ((C, ⊗, I):strict monoidal category) A, B, C ∈ Ob (C) =⇒ (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) A ⊗ I = I ⊗ A = A 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 20 / 21
  21. 21. 強モノイド圏の例 Example (Functor category) ( CC , ◦, id ) Ob ( CC ) : functor from C to C Ob ( CC ) id (identity functor) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) f ◦ id = id ◦ f = f 原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 21 / 21

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