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Fascículo 6. Ecuaciones.El mundo de la matemática Fundación Polar

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Fascículo 6 .Ecuaciones. El Mundo de la Matemática. Fundación Polar.

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Fascículo 6. Ecuaciones.El mundo de la matemática Fundación Polar

  1. 1. Puente autopista Caracas-La Guaira, En una competencia ciclística entre San Cristóbal yVenezuela. La estructura principal de La Fría existen diversos aspectos que van cambiandoeste viaducto está definida por parábolas, a medida que los participantes cubren dicho trayecto.gráfica de la función cuadrática. Es importante tomarlos en cuenta para llegar a ser el ganador de ella. Para poder predecir el desempeño de los ciclistas, existen datos que se toman durante los entrenamientos: la distancia recorrida, los tiempos para recorrerla, la energía que el cuerpo consume, entre otros. También hay aspectos constantes como la distancia a ser cubierta y la diferencia de altura que existe entre estas En el papiro Rhind, un antiguo dos ciudades. documento egipcio de 1650 a.C., Podemos representar se plantea un problema el cual como d la distancia dice: “un montón y un séptimo recorrida, t el tiempo, E la del mismo es igual a 19”. energía que consume; d, ¿Cómo es la expresión t y E son variables que matemática de esta igualdad? describen aspectos de la Esta ecuación se escribe así: situación planteada. x + x = 19 7
  2. 2. Acto I, II, III. (1989) Asdrúbal Colmenares (Trujillo 1936- ). El lenguaje de las matemáticasLas matemáticas, como muchas actividades humanas, requieren de unlenguaje para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguajeposee varios componentes. Símbolos o signos Vocabulario “ecuación” ÷ 9 + “variable” “incógnita” Componentes “despejar” > “elevar al cuadrado” GráficosLos diversos símbolos o signos presentes en este lenguaje tienen un significado preciso y cumplen diversasfunciones:Símbolos que representan Signos que indican Signos para las operaciones:números: relaciones: > “mayor que” + para la adición, - para la sustracción; 0, 1, 2, ..., 9 < “menor que” x o • para la multiplicación, / o ÷ para la = “igual a” división; para la radicación. = “diferente de”. Símbolos que aparecen en Para algunas constantes se Signos de agrupación: matemáticas superiores: usan letras específicas ( ) paréntesis como i , e y la letra griega [ ] corchetes para la derivada. π. { } llaves. Letras del alfabeto para simbolizar constantes y variables. Las primeras letras: a, b, c, d se suelen emplear para denotar constantes. Las últimas letras: x, y, z se utilizan generalmente para representar variables. También se utilizan con frecuencia las letras griegas . La historia del álgebra (Die Algebra der Griechen), según el alemán G.H. Nesselmann (Berlin 1811-1881), pasó por tres grandes fases. En la primera de ellas, llamadaEn el siglo IX Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los álgebra retórica, prácticamente no había simbologíanúmeros, de los métodos de cálculo y de los procedimientos y tanto el enunciado como la solución de un problemaalgebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. eran verbales; en la segunda, llamada álgebraSu nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo. La sincopada, se empleaban abreviaturas para designarpalabra álgebra deriva del título de su obra más importante, conceptos y representar operaciones; y por último, elque presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal álgebra simbólica, en la cual se usa una variedad demuqabala. símbolos para expresar las ideas matemáticas.42 Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6
  3. 3. Cruz de mayo. (1960) Régulo Pérez (estado Bolívar 1936- ). Los símbolos se pueden combinar de diversas maneras. Estas combinaciones dan lugar a expresiones y fórmulas matemáticas. Una expresión es una combinación de símbolos matemáticos. Una fórmula es una expresión en forma de igualdad o desigualdad que representa una ley, propiedad o condición. (a+b)2 C+V=A+2 ax + b = 0 A=πR2 3 bh x 3+ A= 2 2 4 an = 3 + nr Fórmulas V = 3 πR3 y bn = 5rn expresiones hπR2 sen (ß) c 2= a 2+ b 2 at2 + bt + c = 0 -b ± b2 - 4ac f(x) = ax + b 2a f(x)=ax2+bx+cNo todas las combinaciones de símbolos que se nos ocurran son válidas. Sucede algo similar con nuestroidioma: cualquier combinación de letras no es necesariamente una palabra; así, “casa” es una palabra bienconstruida, mientras que “wxathz”, no lo es. En matemáticas, por ejemplo, las expresiones “(x+y) 2” y “f(x)=3e x+1”están bien construídas. Sin embargo, “)3+x)”, “x+-3” y “3x-log” no lo están. ¡Para que obtengamos expresiones válidas tenemos que respetar ciertas reglas!Notemos que aunque la expresión sea válida, ésta puede no representar el resultado correcto de una situación:si queremos sumar 5 más 3 y multiplicar el resultado por 2, la expresión que representa correctamente lo planteadoes: (5+3)2. Si usáramos la expresión 5+3(2), ésta sería válida como expresión matemática pero no representaal enunciado dado.Una variable se representa mediante un símbolo, generalmente una letra. En una expresiónmatemática cada variable representa un elemento cualquiera de un conjunto de valoresposibles. Por ejemplo, en la expresión f(x)=2x+3, x es una variable que puede tomar valoresen un conjunto numérico ( , , , , ); por su parte, 2 y 3 en la expresión anterior representanconstantes. En la expresión A(r)= πr 2, r es una variable que toma valores positivos en elconjunto de los números reales; mientras que π es constante. También f(x) y A(r) son variables.La distancia cubierta d y el tiempo empleado t en un recorrido en bicicleta también sonvariables, las cuales sólo pueden tomar valores no negativos. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6 43
  4. 4. Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas El advenimiento y posterior evolución del simbolismo matemático fue un proceso lento. Veamos una breve reseña: Matemático Forma de escritura para la época Forma actual de escrituraSiglo II Diofanto x 3= 5 x 2+ 8 x - 11494 Luca Pacioli x + x 2= 1 21521 Ghaligai x2 + 32x = 3201577 Gosselin 12LM1QP48 aequalia 144M24LP2Q 1 2 x - x 2+ 4 8 = 1 4 4 - 2 4 x + 2 x 2s. XVI B 3 in A q + F 5 in A – AC aequatur Viète D sólido 3 a x 2+ 5 b x - x 3 = D1629 Girard 1 4 + 35 2 + 24 = 10 3 + 50 1 x 4+ 3 5 x 2 + 2 4 = 1 0 x 3 + 5 0 x1637 1 1 1 1 2 Descartes x a+ aa + bb x = a+ a + b2 2 4 2 41693 Wallis x4 + bx3 + cxx + dx + e =0 x 4+ b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 Notamos que en el período 1494-1693 (casi 200 años) se pasó de una escritura casi en lenguaje natural al simbolismo actual, sin embargo este proceso no se ha detenido. Por ejemplo, en el siglo XX, el conocido grupo Bourbaki introdujo diversas “El algebra se apropia de pleno derecho el notaciones y popularizó otras. Entre éstas utilizó el noble problema entre los problemas que símbolo ø para denotar al conjunto vacío. es: no dejar ningún problema sin solución.” F. Viète (s. XVI) André Weil En Inartem analytican isagoge (1591). Primer francés (1906-1998). Uno de los tratado moderno de álgebra que lo hizo famoso. principales matemáticos del siglo XX, miembro fundador del grupo Bourbaki. Dos matemáticos del siglo XX, el polaco Hugo Steinhaus y el canadiense Leo Moser, idearon una ingeniosa notación para escribir números muy grandes. La notación funciona así: a = aa a = a dentro de a triángulos y a = a dentro de a cuadrados 2 = 2 = 2 = 22 = 44 = 256 El último número representa 256 dentro de 256 triángulos y cada vez que quitamos un triángulo tenemos que tomar lo que está dentro de él como base y elevarlo a un exponente igual a la base. El resultado Hugo Steinhaus es un número gigantesco. matemático polaco (1887-1972). Reto: Trata de calcular el valor de 3 44 Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6
  5. 5. Ecuaciones linealesConsideremos la siguiente situación (con los números que utilizamospara contar): se trata del juego o acertijo “Piensa un número...” 1- Piensa un número 2- Multiplícalo por 2 3- Agrégale a lo obtenido 5 4- Multiplica el resultado anterior por 5 5- Súmale 10 a la cantidad obtenida 6- Multiplica el nuevo resultado por 10 7- Dime el resultado y te diré el número que pensaste ¿Cómo funciona el truco?Para ver que hay detrás de este acertijo, basta transformar las frasesanteriores en su equivalente simbólico: es decir, construir las expresionesmatemáticas que las representan.Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el quepiensa nuestro adversario) con una letra. Pongamos por caso n.A continuación traducimos todas las instrucciones a expresionesmatemáticas: 1- Piensa un número n 2- Multiplícalo por 2 2n 3- Agrégale a lo obtenido 5 2n+5 4- Multiplica el resultado anterior por 5 (2n+5)5 5- Súmale 10 a la cantidad obtenida (2n+5)5+10 6- Multiplica el nuevo resultado por 10 [(2n+5)5+10]10 7- Dime el resultado y te diré el número que pensaste R=[(2n+5)5+10]10 R R(n)=100n+350 es el resultado que nos dan. Una vez escogido Esta dependencia se indica por n el valor R queda determinado R(n) y es lo que en matemática por las operaciones especificadas se denomina una función. mediante la fórmula; R se denomina La variable dependiente en razón variable n es el número de que su valor depende del pensado. Como la variable valor n. n es de libre escogencia, ella se llama variable independiente.La incógnita ha recibido diversos nombres en la historia de la matemática. Ahmes (siglo XVII a.C.)usaba la palabra “aha”, que significa montón” o “cantidad”, para designarla. El hindú Aryabhatta(siglos V a VI d.C.) usó la abreviatura “ya” para representarla. En los siglos XV y XVI se emplearonlas palabras “res” (latín), “cosa” (italiano), “coss” (alemán) y “cossike” (inglés). En el siglo XV, elmatemático Nicolás Chuquet la denominó “premier”. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6 45
  6. 6. “El álgebra es generosa, frecuentemente da más de lo que pide”Ecuaciones lineales Jean D’Alembert matemático, físico y filósofo francés (1717-1783). ¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n? En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números naturales, denotado por IN. n N El jugador que pensó el número n calcula el número R(n) que produce la fórmula: es decir, está evaluando la función en n. Así, si n=3, entonces le corresponde R(3)=650; si n=11, entonces R(11)=1450, etc.Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n que produzca el R dado?Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestro oponente da el valor de R y queremos“adivinarle” el número que pensó. Esta nueva situación produce una ecuación y el valor desconocido npasa a llamarse incógnita. Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes y una o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x3 - 8 = 0 ... Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación.Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posible encontar una fórmula mediantela cual se establezca una relación entre el número de triángulos y el número de fósforos empleados?.¡Exploremos el asunto!Para el primer triángulorequerimos tres fósforos.Para poder anexar elsegundo se necesitaadicionar dosfósforos. Para elsiguiente colocamosdos más.Denotemos con la letra n el número de fósforos (variable independiente)y con T(n) el número de triángulos construídos con n fósforos (variable Nº Nºdependiente).Si observamos con un poco de cuidado podemos notar que los números 1 3de la segunda columna son los números impares ≥ 3 y en la primeraaparecen los números naturales. La pregunta original se transforma en 2 5¿cómo determinar un número de la primera columna conocido su 3 7correspondiente en la segunda? En otras palabras, ¿Cómo saber que al 4 97 le corresponde el 3, al 11 el 5...? La respuesta es que dado un número 5 11de la segunda columna, le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, lafórmula buscada es: ... ... n-1 n 1 T(n)= = 2 2 2En las dos situaciones que acabamos de presentar, la expresión del lado derecho de la igualdad resultóser de la forma an + b. En otras ocasiones, como el caso del problema propuesto en el Papiro Rhindcuando las cantidades que intervienen son números reales, se acostumbra emplear la letra x en lugarde n.46 Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6
  7. 7. Funciones afín y cuadrática Se dice que la expresión ax+b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de la variable y la función definida por f(x)=ax+b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la función afín es una línea recta no vertical. y Tn Si representamos la sucesión T(n), de los fósforos, se obtienen los puntos que marcamos en la gráfica y observamos que éstos están alineados. x 1 Si utilizamos en vez de n f(x)= 2 2 una variable real x, 1 la representación de 1 1 n esta función da una recta. 1 0 0 x El área del cuadrado de lado x es x2 y suVeamos otra situación: Al número que perímetro es 4x. corresponde al área de un cuadrado le resto cinco Por lo que la ecuación queda de la siguiente cuartos del número que forma: corresponde a su perimetro. 5 5 Si resulta -6, ¿podré x2 - (4x) = -6 => x2- (4x) = -6 4 4 determinar las dimensiones del x2 - 5x =-6 cuadrado? Ecuación de segundo grado o cuadrática 2 Si aplicamos la fórmula -b ± b - 4ac para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado (a= 1, 2a b=-5 y c=6), los valores resultantes, para nuestra ecuación x2 - 5x =-6, son x=2 y x=3. Hay dos cuadrados que cumplen con la premisa dada, los cuadrados de lado 2 y lado 3. y -5x+6 La expresión ax2 + bx + c= 0 se dice ) = x2 que es una ecuación de grado 2 (o de f(x cuadrática) y f(x)=ax2+bx+c se a denomina función cuadrática. La Gráfic gráfica de la función cuadrática es una parábola. Parábola Rock Armenia. En este caso ∆ = b2 - 4ac > 0 1 y a>0 x 0 1 Raíces de la ecuación x2-5x+6=0 Como podemos observar, la parábola corta al eje x en x=2 y en x=3. Estos valores son las raíces que ya habíamos obtenido por métodos algebraicos. Las raíces nos permiten localizar los puntos de corte de la parábola con el eje x. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6 47
  8. 8. Ecuaciones cuadráticas Grafiquemos algunas funciones de grado 2 a los fines de observar si las mismas cortan el eje x en uno o más puntos, o no lo cortan. Esto da una idea de cómo son las raíces correspondientes a la ecuación cuadrática. f(x)=-x2-5x-7 y f(x)=(x-1)2 y 0 1 x -1 1 1 0 x Raíz de la ecuación (x-1)2 = 0 2La ecuación -x -5x-7=0 no tiene raíces reales. ∆ = -3 < 0 La parábola toca un solo punto del eje x. ∆ = 0 y f(x)=x2-3x-4 f(x)= -(2x)2-2x y 1 x 0 Raíces de la ecuación -(2x)2-2x = 0 -1 1 0 x 1 Raíces de la ecuación x2-3x-4=0 ∆ = 25 > 0 ∆=4>0Las ecuaciones y los conjuntos numéricos.Inicialmente cuando sólo se conocían los números naturales N: 0, 1, 2, 3,... x+3=5 Solución x = 2y se planteaban ecuaciones del tipo x + a = b, algunas de éstas podían x+5=2 No tiene solución en INresolverse, es decir tenían solución en el conjunto N, mientras que otras no.De esta manera se crea el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2,-2, 0, 1, 2, 3,... donde tienen soluciones las ecuaciones del tipo x + a = b. 3x = 18 Solución x = 6Pero ahora se plantean ecuaciones de la forma ax = b. Como no todas tienen 2x = 1 No tiene solución ensolución en , se construye el conjunto Q de los números racionales o afracciones, b ,a b y b ≠ 0. Surgen ahora ecuaciones del tipo x2 - a = 0,a > 0 que no tienen solución. De esta manera se crea el conjunto de losnúmeros reales, donde están números como 2, π y e. Pero no todas las x2 - 2 = 0 Sin solución en Qecuaciones del tipo x2 + a = 0 tienen solución en . Finalmente se construye x2 + 1 = 0 Sin solución enel conjunto C de los números complejos, donde todas las ecuacionesalgebraicas anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 tienen solución.48 Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6

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