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Juliorodriguez

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Trabajo sobre Transformada de Fourier

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Juliorodriguez

  1. 1. TRANSFORMADA DE FOURIER Integrantes: Br. Julio Rodríguez C.I. 24.106.879 Porlamar, enero de 2016
  2. 2. TRANSFORMADA DE FOURIER La transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce. En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio- tiempo original. La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función de valores complejos y definida en la recta, con otra función definida de la manera siguiente: Donde es , es decir, tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables y suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo — segundos— y frecuencia —herzios— respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa: La constante cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.
  3. 3. La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, corresponde al espectro de frecuencias de la señal . La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico. Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de . He aquí algunas de ellas: . La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función. Definición Sea una función Lebesgue integrable: La transformada de Fourier de es la función
  4. 4. Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que es continua. La transformada de Fourier inversa de una función integrable está definida por: Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función. Propiedades básicas La transformada de Fourier es una aplicación lineal: Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable :  Cambio de escala:  Traslación:  Traslación en la variable transformada:
  5. 5.  Transformada de la derivada: Si y su derivada son integrables,  Derivada de la transformada: Si y → son integrables, la transformada de Fourier es diferenciable Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes. En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones y en la recta de la manera siguiente: Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si y son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad: También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada, Pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier. Tabla de transformadas básicas En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de , siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.
  6. 6. Teorema de inversión La idea básica del teorema de inversión es que dada una función , la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de resulta en la misma función original, en símbolos: Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es siempre válido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable. Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado: Teorema. El espacio de funciones complejas definidas en la recta tales que y la transformada de Fourier de sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función en este espacio, vale el teorema de inversión. Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

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