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# Modèles numériques coûteux : de la quantification des incertitudes la planification séquentielle d'expériences

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Exposé donné le 3 mars 2014, séminaire LRC MANON

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### Modèles numériques coûteux : de la quantification des incertitudes la planification séquentielle d'expériences

1. 1. Modèles numériques coûteux : de la quantiﬁcation des incertitudes à la planiﬁcation séquentielle d’expériences (approche bayésienne) Julien Bect SUPELEC — IRT SystemX — GdR MASCOT-NUM Séminaire LRC MANON 3 mars 2014 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 1 / 38
2. 2. 1 Introduction : exploration de modèles numériques coûteux 2 Exemple : planiﬁcation séquentielle pour l’optimisation globale 3 Quantiﬁcation et réduction séquentielle de l’incertitude 4 Bayesian Subset Simulation : un autre exemple de planiﬁcation séquentielle 5 Conclusion Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 2 / 38
3. 3. « Expériences numériques » (computer experiments) 1/2 x ∈ X ⊂ Rd ξ(x) ∈ Rp Soit ξ : X → Rp un modèle numérique d’un système à concevoir ou à étudier (ﬁabilité), d’un phénomène physique ou biologique, . . . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 3 / 38
4. 4. « Expériences numériques » (computer experiments) 1/2 x ∈ X ⊂ Rd ξ(x) ∈ Rp Soit ξ : X → Rp un modèle numérique d’un système à concevoir ou à étudier (ﬁabilité), d’un phénomène physique ou biologique, . . . x : facteurs paramètres de conception (à choisir), paramètres physiques (éventuellement mal connus), . . . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 3 / 38
5. 5. « Expériences numériques » (computer experiments) 1/2 x ∈ X ⊂ Rd ξ(x) ∈ Rp Soit ξ : X → Rp un modèle numérique d’un système à concevoir ou à étudier (ﬁabilité), d’un phénomène physique ou biologique, . . . x : facteurs paramètres de conception (à choisir), paramètres physiques (éventuellement mal connus), . . . Qu’entendons-nous par « expérience numérique » ? une expérience ≡ évaluer une réponse ξ(x) du code chaque expérience coûte (souvent, du temps !) budget d’expériences limité Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 3 / 38
6. 6. « Expériences numériques » (computer experiments) 2/2 x ∈ X ⊂ Rd ξ(x) ∈ Rp Point de vue du statisticien le code est une « boîte noire » on veut obtenir des informations sur ξ à partir d’un échantillon : y1 = ξ(x1), y2 = ξ(x2), . . . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 4 / 38
7. 7. « Expériences numériques » (computer experiments) 2/2 x ∈ X ⊂ Rd ξ(x) ∈ Rp Point de vue du statisticien le code est une « boîte noire » on veut obtenir des informations sur ξ à partir d’un échantillon : y1 = ξ(x1), y2 = ξ(x2), . . . Deux aspects, comme en statistique « classique » planiﬁer les calculs (choisir x1, x2, . . . ) analyser les résultats et quantiﬁer les incertitudes Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 4 / 38
8. 8. « Expériences numériques » (computer experiments) 2/2 x ∈ X ⊂ Rd ξ(x) ∈ Rp Point de vue du statisticien le code est une « boîte noire » on veut obtenir des informations sur ξ à partir d’un échantillon : y1 = ξ(x1), y2 = ξ(x2), . . . Deux aspects, comme en statistique « classique » planiﬁer les calculs (choisir x1, x2, . . . ) analyser les résultats et quantiﬁer les incertitudes Planiﬁcation séquentielle planiﬁer chaque calcul en fonction des précédents couplage planiﬁcation / analyse Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 4 / 38
9. 9. Exemple 1 : optimisation de forme (Renault) Contexte : CAO calculs de CFD 3D thèse de J. Villemonteix (2008) encadrement : E. Vazquez, M. Sidorkiewicz et E. Walter Objectif(s) optimiser la forme du conduit d’admission maximiser les performances du moteur minimiser les émissions de polluant Caractéristiques ≈ 1 h / calcul 6 paramètres de forme à ajuster Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 5 / 38
10. 10. Exemple 2 : projet BEMUSE (CEA, IRSN, . . . ) Contexte : sûreté nucléaire calculs thermo-hydrauliques réalisés avec le logiciel CATHARE benchmark international (de Crécy et al., NED, 2008) Scenario perte de réfrigérant due à une brèche grandeur d’intérêt : température max. Caractéristiques ≈ 10 minutes / calcul 53 paramètres incertains Principaux objectifs estimation d’un quantile de Tmax analyse de sensibilité (B. Iooss, J. Nat. Fiabilité, 2010) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 6 / 38
11. 11. Exemple 3 : étude d’un risque de crue (EDF R&D) Contexte : sûreté des installations calculs d’hydraulique équ. de Saint Venant 1D ou 2D logiciels MASCARET (1D) OpenTELEMAC (2D) http://www.opentelemac.org projet ANR OPUS Scenario étude du risque de crue facteurs : débit, coeﬀ. de Strickler réponse : hauteur d’eau H Principaux objectifs propagation d’incertitudes estimation d’un quantile sur H analyse de sensibilité (M. Couplet et al, JdS 2010 ; Arnaud et al, JdS 2010) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 7 / 38
12. 12. Objectif(s) : ce que l’on veut savoir sur ξ Construire un « méta-modèle » : approximation peu coûteuse approximation globale, sur l’ensemble du domaine X, ou locale, par ex. précise au voisinage d’un seuil Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 8 / 38
13. 13. Objectif(s) : ce que l’on veut savoir sur ξ Construire un « méta-modèle » : approximation peu coûteuse approximation globale, sur l’ensemble du domaine X, ou locale, par ex. précise au voisinage d’un seuil Chercher un optimum de performance ou un pire cas chercher x∗ = argmax ξ et/ou ξ∗ = ξ(x∗ ) optimisation multi-objectif / sous contraintes / robuste / . . . estimer un ensemble admissible : {x ∈ X, ξ(x) > ξcrit} Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 8 / 38
14. 14. Objectif(s) : ce que l’on veut savoir sur ξ Construire un « méta-modèle » : approximation peu coûteuse approximation globale, sur l’ensemble du domaine X, ou locale, par ex. précise au voisinage d’un seuil Chercher un optimum de performance ou un pire cas chercher x∗ = argmax ξ et/ou ξ∗ = ξ(x∗ ) optimisation multi-objectif / sous contraintes / robuste / . . . estimer un ensemble admissible : {x ∈ X, ξ(x) > ξcrit} Propagation d’incertitude : X ∼ PX estimer une proba de défaillance : PX (ξ(X) > ξcrit) estimer un quantile caractériser la loi de Y = ξ(X) réaliser une analyse de sensibilité . . . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 8 / 38
15. 15. Objectif(s) : ce que l’on veut savoir sur ξ Construire un « méta-modèle » : approximation peu coûteuse approximation globale, sur l’ensemble du domaine X, ou locale, par ex. précise au voisinage d’un seuil Chercher un optimum de performance ou un pire cas chercher x∗ = argmax ξ et/ou ξ∗ = ξ(x∗ ) optimisation multi-objectif / sous contraintes / robuste / . . . estimer un ensemble admissible : {x ∈ X, ξ(x) > ξcrit} Propagation d’incertitude : X ∼ PX estimer une proba de défaillance : PX (ξ(X) > ξcrit) estimer un quantile caractériser la loi de Y = ξ(X) réaliser une analyse de sensibilité . . . En pratique : bien souvent, un mélange de tous ces objectifs ! Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 8 / 38
16. 16. Diversité des codes de calculs Cadre computer experiments traditionnel code de calcul déterministe, (plus ou moins) coûteux diﬀérence importante avec les expériences physique : faire des répétitions n’a pas de sens ! Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 9 / 38
17. 17. Diversité des codes de calculs Cadre computer experiments traditionnel code de calcul déterministe, (plus ou moins) coûteux diﬀérence importante avec les expériences physique : faire des répétitions n’a pas de sens ! Simulateurs stochastiques sortie aléatoire : x → ξ(x) + bruit Multi-ﬁdélité plusieurs simulateurs, plus ou moins précis exemple : 1D / 2D / 3D simulateur à précision « ajustable » exemple : pas de discrétisation, tolérance, . . . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 9 / 38
18. 18. Diversité des codes de calculs Cadre computer experiments traditionnel code de calcul déterministe, (plus ou moins) coûteux diﬀérence importante avec les expériences physique : faire des répétitions n’a pas de sens ! Simulateurs stochastiques sortie aléatoire : x → ξ(x) + bruit Multi-ﬁdélité plusieurs simulateurs, plus ou moins précis exemple : 1D / 2D / 3D simulateur à précision « ajustable » exemple : pas de discrétisation, tolérance, . . . Disponibilité du gradient ? souvent, pas de gradient disponible exception : code adjoint Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 9 / 38
19. 19. 1 Introduction : exploration de modèles numériques coûteux 2 Exemple : planiﬁcation séquentielle pour l’optimisation globale 3 Quantiﬁcation et réduction séquentielle de l’incertitude 4 Bayesian Subset Simulation : un autre exemple de planiﬁcation séquentielle 5 Conclusion Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 10 / 38
20. 20. Optimisation globale On considère un problème d’optimisation globale fonction ξ a priori multimodale évaluations coûteuses, gradient supposé non disponible 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 11 / 38
21. 21. Optimisation globale On considère un problème d’optimisation globale fonction ξ a priori multimodale évaluations coûteuses, gradient supposé non disponible 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) Problème Quelle planiﬁcation (séquentielle) d’expériences utiliser ? Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 11 / 38
22. 22. Utilisation d’un méta-modèle Méta-modèle ? modèle simpliﬁé de ξ, plus rapide à évaluer exemples : krigeage, RBF, réseau de neurones. . . cas d’observations sans bruit −→ interpolation en général Un algorithme simple utilisant un méta-modèle 1 init : remplir X avec n0 < N points 2 pour n = n0 + 1 : N, ajuster un méta-modèle aux données x1, ξ(x1), . . . , xn−1, ξ(xn−1) utiliser ce méta-modèle pour choisir xn 3 renvoyer ˆx∗ = argmax1≤i≤n ξ(xi) et ˆξ∗ = ξ (ˆx∗ ) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 12 / 38
23. 23. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = n0 = 4 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
24. 24. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = n0 = 4 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
25. 25. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 5 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
26. 26. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 6 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
27. 27. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 7 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
28. 28. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 8 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
29. 29. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 9 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
30. 30. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 10 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
31. 31. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 11 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
32. 32. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 12 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
33. 33. Illustration : usage optimiste du méta-modèle Exemple avec X = [0; 1], méta-modèle : krigeage (point de vue interpolation) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = 13 Convergence vers un maximum local ! Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 13 / 38
34. 34. Principes de l’optimisation bayésienne Constat essentiel Nécessité de réaliser un compromis entre exploitation des régions prometteuses, exploration des régions mal connues. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 14 / 38
35. 35. Principes de l’optimisation bayésienne Constat essentiel Nécessité de réaliser un compromis entre exploitation des régions prometteuses, exploration des régions mal connues. Solution bayésienne Nécessité de quantiﬁer l’incertitude pour faire des choix rationnels. La théorie bayésienne de la décision fournit un cadre cohérent → représentation probabiliste de l’incertitude. Repères biblio de base : H. Kushner (1964) : critère PI J. Mockus et A. Žilinskas (70’s) : critère EI D. Jones et al. (1998) : algorithme « EGO » Harold Kushner Antanas ˘Zilinskas Jonas Mockus Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 14 / 38
36. 36. Loi a priori / a posteriori Informations a priori sur ξ −→ processus aléatoire, i.e. P0 = P (ξ ∈ · | I0) régularité (dérivabilité, vitesse de variation, . . . ) « tendance » (linéaire, quadratique, . . . ) symétries, monotonie, . . . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 15 / 38
37. 37. Loi a priori / a posteriori Informations a priori sur ξ −→ processus aléatoire, i.e. P0 = P (ξ ∈ · | I0) régularité (dérivabilité, vitesse de variation, . . . ) « tendance » (linéaire, quadratique, . . . ) symétries, monotonie, . . . Mise à jour des connaissances après n évaluations, on a appris : ξn = (ξ(x1), . . . , ξ(xn)) loi a posteriori Pn = P0 (ξ ∈ · | ξn) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 15 / 38
38. 38. Loi a priori / a posteriori Informations a priori sur ξ −→ processus aléatoire, i.e. P0 = P (ξ ∈ · | I0) régularité (dérivabilité, vitesse de variation, . . . ) « tendance » (linéaire, quadratique, . . . ) symétries, monotonie, . . . Mise à jour des connaissances après n évaluations, on a appris : ξn = (ξ(x1), . . . , ξ(xn)) loi a posteriori Pn = P0 (ξ ∈ · | ξn) Remarque importante ˆξn(x) = E0 (ξ(x) | ξn) est un méta-modèle naturel dans ce cadre. . . . . . mais Pn contient beaucoup plus d’information ! Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 15 / 38
39. 39. Illustration Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 x ξ(x) Simulations sous la loi a priori P0 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 16 / 38
40. 40. Illustration Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) Moyenne a posteriori (i.e., moyenne sous Pn0 ) et intervalles ponctuels de crédibilité à 95% Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 16 / 38
41. 41. Illustration Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 x ξ(x) Simulations sous la loi a posteriori Pn0 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 16 / 38
42. 42. Comment choisir xn+1 connaissant I0, ξn ? 1 En utilisant la loi a posteriori, on construit un critère d’échantillonnage x ∈ X → Jn (x; I0, ξn) qui mesure l’intérêt d’une évaluation en x. 2 On choisit le prochain point à l’aide de ce critère xn+1 = argmax x∈X Jn (x; I0, ξn) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 17 / 38
43. 43. Comment choisir xn+1 connaissant I0, ξn ? 1 En utilisant la loi a posteriori, on construit un critère d’échantillonnage x ∈ X → Jn (x; I0, ξn) qui mesure l’intérêt d’une évaluation en x. 2 On choisit le prochain point à l’aide de ce critère xn+1 = argmax x∈X Jn (x; I0, ξn) Un critère très utilisé : expected improvement (EI) Jn (x; I0, ξn) = E ((ξ(x) − Mn)+ | I0, ξn) avec Mn = max (ξ(x1), . . . , ξ(xn)). Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 17 / 38
44. 44. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x ξ(x) n = n0 = 4 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
45. 45. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
46. 46. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
47. 47. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
48. 48. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
49. 49. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
50. 50. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
51. 51. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 x 10 −3 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
52. 52. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10 −3 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
53. 53. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 −3 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
54. 54. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
55. 55. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
56. 56. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
57. 57. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10 −3 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
58. 58. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 8 x 10 −8 EI x ξ(x) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
59. 59. Illustration du critère EI (algorithme EGO) Modèle : processus gaussien (covariance de Matérn, σ2 = 9, ν = 2, ρ = 0.5) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −2 −1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 x 10 −8 EI x ξ(x) On ﬁnit (presque) toujours par explorer les zones « vides » ! cf. théorème(s) de convergence, Vazquez et Bect, 2010 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 18 / 38
60. 60. 1 Introduction : exploration de modèles numériques coûteux 2 Exemple : planiﬁcation séquentielle pour l’optimisation globale 3 Quantiﬁcation et réduction séquentielle de l’incertitude 4 Bayesian Subset Simulation : un autre exemple de planiﬁcation séquentielle 5 Conclusion Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 19 / 38
61. 61. Planiﬁer pour estimer une quantité d’intérêt Soit une quantité d’intérêt θ = θ (ξ), par exemple M∗ = maxx∈X ξ(x) X∗ = argmaxx∈X ξ(x) Γ = {x ∈ X : ξ(x) > T} α = X 1Γ dµ Problème Comment planiﬁer (séquentiellement) les expériences numériques pour estimer au mieux la quantité d’intérêt θ ? Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 20 / 38
62. 62. Planiﬁer pour estimer une quantité d’intérêt Soit une quantité d’intérêt θ = θ (ξ), par exemple M∗ = maxx∈X ξ(x) X∗ = argmaxx∈X ξ(x) Γ = {x ∈ X : ξ(x) > T} α = X 1Γ dµ Problème Comment planiﬁer (séquentiellement) les expériences numériques pour estimer au mieux la quantité d’intérêt θ ? Un schéma de réponse générique 1 Quantiﬁcation de l’incertitude (approche bayésienne) 2 Réduction séquentielle de l’incertitude Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 20 / 38
63. 63. Quantiﬁcation de l’incertitude Approche bayésienne : notations P0 : loi a priori sur ξ (ex : loi d’un processus gaussien) X1, . . . , Xn : points d’évaluations ATTENTION : les points d’évaluations dépendent de ξ, en séquentiel In = (X1, ξ(X1), . . . , Xn, ξ(Xn)) : information acquise au temps n Pn = P0 (· | In) : loi a posteriori Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 21 / 38
64. 64. Quantiﬁcation de l’incertitude Approche bayésienne : notations P0 : loi a priori sur ξ (ex : loi d’un processus gaussien) X1, . . . , Xn : points d’évaluations ATTENTION : les points d’évaluations dépendent de ξ, en séquentiel In = (X1, ξ(X1), . . . , Xn, ξ(Xn)) : information acquise au temps n Pn = P0 (· | In) : loi a posteriori Choix d’une mesure d’incertitude On se donne une mesure d’incertitude Hn (risque) dépendant de In techniquement : Hn est une fonction mesurable de In Typiquement : Hn = En C θ(ξ), ˆθn , avec ˆθn un estimateur de θ C une fonction de coût (par ex : une distance) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 21 / 38
65. 65. Exemple : optimisation Quantité d’intérêt : M∗ = maxx∈X ξ(x) (et/ou X∗ = argmaxx∈X ξ(x)) Choix d’une mesure d’incertitude Mesure d’incertitude classique (cf. Mockus & Žilinskas ; années 70) : Hn = En (M∗ − Mn) , où Mn = max1≤i≤n ξ(Xi). Justiﬁcation : M∗ ≥ Mn ps, donc par l’inégalité de Markov : Pn (M∗ > Mn + c) ≤ En (M∗ − Mn) c Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 22 / 38
66. 66. Exemple : optimisation Quantité d’intérêt : M∗ = maxx∈X ξ(x) (et/ou X∗ = argmaxx∈X ξ(x)) Choix d’une mesure d’incertitude Mesure d’incertitude classique (cf. Mockus & Žilinskas ; années 70) : Hn = En (M∗ − Mn) , où Mn = max1≤i≤n ξ(Xi). Justiﬁcation : M∗ ≥ Mn ps, donc par l’inégalité de Markov : Pn (M∗ > Mn + c) ≤ En (M∗ − Mn) c Autre possibilité : Hn = H (X∗ | In) entropie conditionnelle du maximiseur cf. algorithm IAGO, Villemonteix et al (2009) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 22 / 38
67. 67. Exemple : ensemble d’excursion (1/2) Quantité d’intérêt : Γ = {x ∈ X : ξ(x) > T} ou α = X 1Γ dµ Choix d’une mesure d’incertitude Un choix possible (Bect et al. (2012) ; Chevalier (2013)) : Hn = En 1Γ − pn 2 L2(µ) = X varn (1Γ(x)) dµ(x), où pn(x) = Pn (ξ(x) > T) est la « fonction de classiﬁcation douce » induite par ξ | In au seuil T. Remarque : il s’agit d’un critère de type IMSE (MSE intégrée) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 23 / 38
68. 68. Exemple : ensemble d’excursion (1/2) Quantité d’intérêt : Γ = {x ∈ X : ξ(x) > T} ou α = X 1Γ dµ Choix d’une mesure d’incertitude Un choix possible (Bect et al. (2012) ; Chevalier (2013)) : Hn = En 1Γ − pn 2 L2(µ) = X varn (1Γ(x)) dµ(x), où pn(x) = Pn (ξ(x) > T) est la « fonction de classiﬁcation douce » induite par ξ | In au seuil T. Remarque : il s’agit d’un critère de type IMSE (MSE intégrée) Quelques autres critères dans la litérature : variance de α (Vazquez & Piera Martinez, 2007 ; Chevalier et al, 2014) tIMSE : IMSE « ciblée » (Picheny et al, 2010) déviation de Vorob’ev (Chevalier et al, 2013) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 23 / 38
69. 69. Exemple : ensemble d’excursion (2/2) Même modèle que précédemment ; seuil T = 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −4 −2 0 2 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x ξpnpn(1−pn) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 24 / 38
70. 70. Planiﬁcation : stratégie bayésienne optimale (1/3) Supposons que l’on dispose d’un budget de N évaluations. On veut choisir une stratégie de planiﬁcation séquentielle (non randomisée) : X1 = x1, X2 = ϕ1 (X1, ξ(X1)) , X3 = ϕ2 (X1, ξ(X1), X2, ξ(X2)) , . . . = . . . Xn = ϕn−1 (X1, ξ(X1), . . . , Xn−1, ξ(Xn−1)) Stratégie bayésienne optimale Ayant choisi un apriori P0 et une mesure d’incertitude HN , on voudrait minimiser E0 (HN ) par rapport à x1, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn−1. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 25 / 38
71. 71. Planiﬁcation : stratégie bayésienne optimale (2/3) Posons En,x = En (· | Xn+1 = x). Commençons petit : supposons N = 1. Alors X∗ 1 = argmin x1 E0,x1 (H1) Souvent, si ξ est un processus gaussien sous P0, on sait calculer (ou approcher) l’espérance pour l’argmin : optimisation numérique. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 26 / 38
72. 72. Planiﬁcation : stratégie bayésienne optimale (2/3) Posons En,x = En (· | Xn+1 = x). Commençons petit : supposons N = 1. Alors X∗ 1 = argmin x1 E0,x1 (H1) Souvent, si ξ est un processus gaussien sous P0, on sait calculer (ou approcher) l’espérance pour l’argmin : optimisation numérique. Un peu plus ambitieux : N = 2. Alors X∗ 1 = argmin x1 E0,x1 min x2 E1,x2 (H2) . Le calcul, même approché, de X∗ 1 devient très diﬃcile. . . (même si on prend ξ gaussien sous Po !) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 26 / 38
73. 73. Planiﬁcation : stratégie bayésienne optimale (3/3) Stratégie bayésienne optimale Pour un horizon N quelconque, la stratégie optimale s’exprime comme solution d’un problème de programmation dynamique. Dernier pas : X∗ N = argmin xN EN−1,xN (HN ) , R∗ N−1 = EN−1,X∗ N (HN ) . Puis, récursivement (n = N − 1, N − 2 . . .) : X∗ n = argmin xn En−1,xn (R∗ n) , R∗ n−1 = En−1,X∗ n (R∗ n) . R∗ n est le risque bayésien au temps n. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 27 / 38
74. 74. Planiﬁcation : stratégies bayésienne myopes Principe général pour la construction de stratégies approchées : Xn = argmin xn En−1,xn Rn , où Rn est un substitut au risque bayésien (ﬁdèle, si possible). Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 28 / 38
75. 75. Planiﬁcation : stratégies bayésienne myopes Principe général pour la construction de stratégies approchées : Xn = argmin xn En−1,xn Rn , où Rn est un substitut au risque bayésien (ﬁdèle, si possible). Dans la plupart des travaux en planif. séquentielle d’expériences numériques : Xn = argmin xn En−1,xn (Hn) . On parle de stratégie bayésienne myope à un pas (ou « gloutonne »). Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 28 / 38
76. 76. Exemple : optimisation (suite) Comme précédemment, on prend Quantité d’intérêt : M∗ = maxx∈X ξ(x), Mesure d’incertitude classique : Hn = En (M∗ − Mn). Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 29 / 38
77. 77. Exemple : optimisation (suite) Comme précédemment, on prend Quantité d’intérêt : M∗ = maxx∈X ξ(x), Mesure d’incertitude classique : Hn = En (M∗ − Mn). Calcul de la stratégie myope à un pas : Xn = argmin xn En−1,xn (Hn) = argmin xn En−1,xn (M∗ − Mn) = argmin xn [En−1,xn (M∗ − Mn−1) − En−1,xn (Mn − Mn−1)] Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 29 / 38
78. 78. Exemple : optimisation (suite) Comme précédemment, on prend Quantité d’intérêt : M∗ = maxx∈X ξ(x), Mesure d’incertitude classique : Hn = En (M∗ − Mn). Calcul de la stratégie myope à un pas : Xn = argmin xn En−1,xn (Hn) = argmin xn En−1,xn (M∗ − Mn) = argmin xn [En−1,xn (M∗ − Mn−1) − En−1,xn (Mn − Mn−1)] = argmax xn En−1,xn (Mn − Mn−1) = argmax xn En−1,xn (ξ(xn) − Mn−1)+ Expected Improvement (EI) Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 29 / 38
79. 79. Exemple : ensemble d’excursion (suite) Comme précédemment, on prend Quantité d’intérêt : Γ = {x ∈ X : ξ(x) > T}, Mesure d’incertitude classique : Hn = En 1Γ − pn 2 L2(µ) . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 30 / 38
80. 80. Exemple : ensemble d’excursion (suite) Comme précédemment, on prend Quantité d’intérêt : Γ = {x ∈ X : ξ(x) > T}, Mesure d’incertitude classique : Hn = En 1Γ − pn 2 L2(µ) . Calcul de la stratégie myope à un pas : Xn = argmin xn En−1,xn (Hn) = argmin xn En−1,xn X pn (1 − pn) dµ Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 30 / 38
81. 81. Exemple : ensemble d’excursion (suite) Comme précédemment, on prend Quantité d’intérêt : Γ = {x ∈ X : ξ(x) > T}, Mesure d’incertitude classique : Hn = En 1Γ − pn 2 L2(µ) . Calcul de la stratégie myope à un pas : Xn = argmin xn En−1,xn (Hn) = argmin xn En−1,xn X pn (1 − pn) dµ ≈ argmin xn 1 m m j=1 En−1,xn pn(Yj) (1 − pn(Yj)) avec Y1, . . . , Ym iid ∼ µ Remarque : voir Chevalier et al (in press) pour l’évaluation numérique rapide de l’expression En−1,xn pn(y) (1 − pn(y)) lorsque ξ ∼ GP. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 30 / 38
82. 82. 1 Introduction : exploration de modèles numériques coûteux 2 Exemple : planiﬁcation séquentielle pour l’optimisation globale 3 Quantiﬁcation et réduction séquentielle de l’incertitude 4 Bayesian Subset Simulation : un autre exemple de planiﬁcation séquentielle 5 Conclusion Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 31 / 38
83. 83. Bayesian Subset Simulation Voir présentation PSAM11-ESREL 2012 http://fr.slideshare.net/JulienBect/bect-bsspsamesrel2012 Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 32 / 38
84. 84. 1 Introduction : exploration de modèles numériques coûteux 2 Exemple : planiﬁcation séquentielle pour l’optimisation globale 3 Quantiﬁcation et réduction séquentielle de l’incertitude 4 Bayesian Subset Simulation : un autre exemple de planiﬁcation séquentielle 5 Conclusion Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 33 / 38
85. 85. Ce n’est que le début. . . Abondante littérature sur la planiﬁcation séquentielle bayésienne ! En particulier : travaux sur les critères d’échantillonnage critères adaptés à chaque objectif particulier approximation globale, optimisation, intégration, . . . en cours : étude de la monotonie d’un code (collab. EDF R&D, MRI) critères & modèles adaptés à diﬀérents contextes calcul parallèle (évaluation par batchs) simulateurs stochastiques, multi-ﬁdélité, . . . Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 34 / 38
86. 86. Ce n’est que le début. . . Abondante littérature sur la planiﬁcation séquentielle bayésienne ! En particulier : travaux sur les critères d’échantillonnage critères adaptés à chaque objectif particulier approximation globale, optimisation, intégration, . . . en cours : étude de la monotonie d’un code (collab. EDF R&D, MRI) critères & modèles adaptés à diﬀérents contextes calcul parallèle (évaluation par batchs) simulateurs stochastiques, multi-ﬁdélité, . . . Une communauté de recherche active en France : le GdR MASCOT-NUM Méthodes d’Analyse Stochastique pour les COdes et Traitements Numériques http://www.gdr-mascotnum.fr conférence annuelle : à Zurich en 2014 international : MUCM Managing Uncertainty in Computer Models http://www.mucm.ac.uk travaux connexes dans la communauté machine learning bandits, active learning, etc. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 34 / 38
87. 87. Références : optimisation bayésienne H. J. Kushner (1964). A new method of locating the maximum point of an arbitrary multipeak curve in the presence of noise, J. Basic Engineering, 86(1). J. Mockus, V. Tiesis et Antanas Žilinskas (1978), The application of Bayesian methods for seeking the extremum, in : Towards Global Optimization, volume 2. D. R. Jones, M. Schonlau et W. J. Welch (1998). Eﬃcient Global Optimization of Expensive Black-Box Functions, J. Global Optimization, 13(4). J. Villemonteix (2008). Optimisation de fonctions coûteuses. Thèse de l’Université Paris-Sud XI, Faculté des Sciences d’Orsay. J. Villemonteix, E. Vazquez et Éric Walter (2009). An informational approach to the global optimization of expensive-to-evaluate functions, J. Global Optimization, 44(4). D. Ginsbourger (2009). Métamodèles multiples pour l’approximation et l’optimisation de fonctions numériques multivariables. Thèse de l’École des Mines de Saint-Etienne. E. Vazquez et J. Bect (2010). Convergence properties of the expected improvement algorithm with ﬁxed mean and covariance functions, J. Statistical Planning and Inference, 140(11). A. D. Bull, (2011). Convergence rates of eﬃcient global optimization algorithms, J. Machine Learning Research, 12. R. Benassi (2013). Nouvel algorithme d’optimisation bayésien utilisant une approche Monte-Carlo séquentielle. Thèse de l’École Supérieure d’Électricité (Supélec). Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 35 / 38
88. 88. Références : ensembles d’excursion & proba. (1/2) E. Vazquez et M. Piera-Martinez (2007), Estimation du volume des ensembles d’excursion d’un processus Gaussien par krigeage intrinsèque. 39ème Journées de Statistiques (JdS 2007). V. Picheny, D. Ginsbourger, O. Roustant, R. Haftka et N. H. Kim (2010), Adaptive Designs of Experiments for Accurate Approximation of Target Regions, J. Mechanical Design, 132(7). V. Dubourg (2011), Méta-modèles adaptatifs pour l’analyse de ﬁabilité et l’optimisation sous contrainte ﬁabiliste. Thèse de l’Université Blaise Pascal – Clermont II. J. Bect, D. Ginsbourger, L. Li, V. Picheny, E. Vazquez (2012). Sequential design of computer experiments for the estimation of a probability of failure, Statistics and Computing, 22(3). L. Li (2012), Sequential Design of Experiments to Estimate a Probability of Failure. Thèse de l’École Supérieure d’Électricité (Supélec). Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 36 / 38
89. 89. Références : ensembles d’excursion & proba. (2/2) L. Li, J. Bect et E. Vazquez (2012). Bayesian Subset Simulation : a kriging-based subset simulation algorithm for the estimation of small probabilities of failure. Proc. conf. PSAM 11 & ESREL 2012, 25-29 juin, Helsinki. C. Chevalier (2013). Fast uncertainty reduction strategies relying on Gaussian process models. PhD thesis. University of Bern. C. Chevalier, D. Ginsbourger, J. Bect et I. Molchanov (2013). Estimating and Quantifying Uncertainties on Level Sets Using the Vorob’ev Expectation and Deviation with Gaussian Process Models, 10th International Workshop in Model-Oriented Design and Analysis (mODa 10). C. Chevalier, J. Bect, D. Ginsbourger, Y. Richet, V. Picheny et E. Vazquez (in press). Fast parallel kriging-based stepwise uncertainty reduction with application to the identiﬁcation of an excursion set, Technometrics. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 37 / 38
90. 90. Références pour les exemples de l’introduction Exemple 1 : optimisation de la forme d’un conduit d’admission J. Villemonteix (2008). Optimisation de fonctions coûteuses. Thèse de l’Université Paris-Sud XI, Faculté des Sciences d’Orsay. M. Xiao, R. Filomeno Coelho, P. Breitkopf, C. Knopf-Lenoir, P. Villon, M. Sidorkiewicz (2009). Réduction de modèles par CPOD et krigeage. 9ème Colloque National en Calcul des Structures, 25-29 mai, Giens, France. Exemple 2 : projet BEMUSE A. de Crécy et al (2008). Uncertainty and sensitivity analysis of the LOFT L2-5 test : Results of the BEMUSE programme, Nuclear Engineering and Design, 238(12). B. Iooss (2010). Exploration de modèles numériques à l’aide du krigeage. Journée Nationales de Fiabilité, 24–26 mars, Toulouse. Exemple 3 : étude d’un risque de crue M. Couplet, L. Lebrusquet, A. Pasanisi (2010). Caractérisation des coeﬃcients de Strickler d’un ﬂeuve par inversion probabiliste. 42èmes journées de Statistique (JdS 2010), 24–28 mai, Marseille. A. Arnaud, J. Bect, M. Couplet, A. Pasanisi et E. Vazquez (2010). Evaluation d’un risque d’inondation ﬂuviale par planiﬁcation séquentielle d’expériences. 42èmes journées de Statistique (JdS 2010), 24–28 mai, Marseille. Julien Bect (SUPELEC) Computer experiments 3/3/2014 38 / 38