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Resolução das atividades   propostas pelo grupo   ALEPH – extraídas dehttp://www.uff.br/cdme/ppr /ppr-html/ppr-pr-br.html ...
PARTE I – POLÍGONOS REGULARES1) Qual é o nome do polígono regular de 11 lados?                                            ...
E o de 27 lados?                   3
2) Um quiliógono é um polígono com 1000 lados. Calcule amedida dos ângulos internos e ângulos centrais de umquiliógono reg...
Ative as opções “Exibir ângulos internos” e “Exibir ânguloscentrais” do aplicativo. Por que cada ângulo central temmedida ...
Em um polígono regular de n lados temos n ânguloscentrais. A soma destes ângulos define uma volta completana circunferênci...
4) Se R é a medida do raio do círculo circunscrito ao polígonoregular, qual é a medida do raio r do círculo inscrito emfun...
Sendo:R = medida do raio do círculo circunscritor = medida do raio do círculo inscrito  = medida do ângulo interno  = medi...
PARTE II – PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM   POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO1) Usando o software, verifique que é possível con...
A soma dos ângulos dos triângulos eqüiláteros com vértice em umnó da pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do triânguloeq...
2) Usando o software, verifique que é possível construir umapavimentação lado-lado do plano usando quadrados. Qual é asoma...
A soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó dapavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do quadrado mede 90°,como t...
3) É possível construir uma pavimentação lado-lado do planousando pentágonos regulares? Justifique sua resposta!Não. Pois ...
4) Usando o software, verifique que é possível construir umapavimentação lado-lado do plano usando hexágonosregulares. Qua...
Sabemos que cada ângulo interno de um hexágono regular mede120°, como o nó da pavimentação é formada por 3ângulos, temos 3...
5) O objetivo deste exercício é provar que as únicaspavimentações lado-lado do plano com polígonos regularesde um só tipo ...
K tem que ser ≥ 3, pois:Se K=2, k = 2n/(n − 2)     .          , K dá valor negativo, o que descaracteriza aatividade, uma ...
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Atividades propostas

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Atividades propostas

  1. 1. Resolução das atividades propostas pelo grupo ALEPH – extraídas dehttp://www.uff.br/cdme/ppr /ppr-html/ppr-pr-br.html 1
  2. 2. PARTE I – POLÍGONOS REGULARES1) Qual é o nome do polígono regular de 11 lados? 2
  3. 3. E o de 27 lados? 3
  4. 4. 2) Um quiliógono é um polígono com 1000 lados. Calcule amedida dos ângulos internos e ângulos centrais de umquiliógono regular.n=1000A medida dos ângulos internos é dada por: ,logo:A medida dos ângulos centrais é dada por: , logo: 4
  5. 5. Ative as opções “Exibir ângulos internos” e “Exibir ânguloscentrais” do aplicativo. Por que cada ângulo central temmedida e cada ângulo interno tem medida 5
  6. 6. Em um polígono regular de n lados temos n ânguloscentrais. A soma destes ângulos define uma volta completana circunferência 360º. Logo, para definirmos a medida deum ângulo basta dividir 360° por n.A soma dos ângulos internos de um polígono regular podeser definida dividindo-se a figura com segmentos de retaque ligam cada vértice da figura a cada um dos outros.Desta forma, o polígono será dividido em n-2triângulos, cada um com os ângulos internos somando180°. Assim a somas dos ângulos internos do polígonoserá:Como sabemos que em um polígono regular todos osângulos são congruentes, para encontrarmos a medida decada ângulo interno basta dividirmos a soma dos ângulosinternos pelo número de lados, então: 6
  7. 7. 4) Se R é a medida do raio do círculo circunscrito ao polígonoregular, qual é a medida do raio r do círculo inscrito emfunção de R, θ e α? 7
  8. 8. Sendo:R = medida do raio do círculo circunscritor = medida do raio do círculo inscrito = medida do ângulo interno = medida do ângulo centralPodemos estabeler a relação, 8
  9. 9. PARTE II – PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO1) Usando o software, verifique que é possível construir umapavimentação lado-lado do plano usando triângulos equiláteros.Qual é a soma dos ângulos dos triângulos equiláteros comvértice em um nó da pavimentação? 9
  10. 10. A soma dos ângulos dos triângulos eqüiláteros com vértice em umnó da pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do triânguloeqüilátero mede 60°, como temos 6 ângulos num mesmo nó,temos 6 *60°=360°. 10
  11. 11. 2) Usando o software, verifique que é possível construir umapavimentação lado-lado do plano usando quadrados. Qual é asoma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó dapavimentação? 11
  12. 12. A soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó dapavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do quadrado mede 90°,como temos 4 ângulos num mesmo nó, temos: 4*90°=360°. 12
  13. 13. 3) É possível construir uma pavimentação lado-lado do planousando pentágonos regulares? Justifique sua resposta!Não. Pois como podemos ver na figura acima os lados dopentágono não se encaixam. 13
  14. 14. 4) Usando o software, verifique que é possível construir umapavimentação lado-lado do plano usando hexágonosregulares. Qual é a soma dos ângulos dos hexágonosregulares com vértice em um nó da pavimentação? 14
  15. 15. Sabemos que cada ângulo interno de um hexágono regular mede120°, como o nó da pavimentação é formada por 3ângulos, temos 3*120º = 360 °. 15
  16. 16. 5) O objetivo deste exercício é provar que as únicaspavimentações lado-lado do plano com polígonos regularesde um só tipo são aquelas obtidas com triângulos eqüiláteros,quadrados e hexágonos regulares. Para isto, sejaα = (n − 2) 180°/na medida dos ângulos internos de um polígono regular com nlados (veja o Exercício [03] da Parte 1) e seja k o número depolígonos da pavimentação com um vértice comum. Note quek α = 360°.Verifique que k = 2n/(n − 2). Por que k deve ser maior do queou igual a 3? Conclua que 2n/(n − 2) ≥ 3 e que, portanto, n ≤6. Assim, os únicos valores possíveis de n são 3, 4, 5 e 6.Mas pentágonos regulares não pavimentam o plano(Exercício [03]), portanto, as únicas pavimentações lado-ladodo plano com polígonos regulares se um só tipo são aquelascom n = 3, n = 4 e n = 6. 16
  17. 17. K tem que ser ≥ 3, pois:Se K=2, k = 2n/(n − 2) . , K dá valor negativo, o que descaracteriza aatividade, uma vez que K representa o número depolígonos da pavimentação com um vértice em comum.Nos casos onde , k não representa um númerointeiro. 17

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