Leonhard Euler - wikipedia

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Leonhard Euler - wikipedia

  1. 1. ContenidosArtículos Leonhard Euler 1El número e 13 Número e 13 Función exponencial 19 Fórmula de Euler 23 Identidad de Euler 26 Ecuaciones de Euler-Lagrange 28Teoría de números 32 Serie de los inversos de los números primos 32 Producto de Euler para la función zeta de Riemann 36 Teorema de Euler 38 Función φ de Euler 42Teoría de grafos y geometría 45 Problema de los puentes de Königsberg 45 Ciclo euleriano 48 Característica de Euler 51 Teorema de poliedros de Euler 54 Recta de Euler 55Matemática aplicada 57 Método de Euler 57 Fórmula de Euler-Maclaurin 60 Constante de Euler-Mascheroni 64Física y astronomía 71 Ecuaciones de Euler (fluidos) 71 Número de Euler 73 Rotación 74 Teorema de rotación de Euler 75Lógica 77 Diagrama de Euler 77
  2. 2. Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo 79 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 80Licencias de artículos Licencia 82
  3. 3. Leonhard Euler 1 Leonhard Euler Leonhard Euler Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Brucker Nacimiento 15 de abril de 1707 Basilea (Suiza) Fallecimiento 18 de septiembre de 1783 San Petersburgo (Rusia) Residencia Prusia, Rusia y Suiza Nacionalidad Suizo Campo matemáticas y física Instituciones Academia de las ciencias de Rusia Academia Prusiana de las Ciencias Alma máter Universidad de Basilea Supervisor doctoral Johann Bernoulli Estudiantes Johann Friedrich Hennert destacados Joseph-Louis de Lagrange Conocido por Número e Identidad de Euler Característica de Euler Firma Leonhard Paul Euler /oileh/ (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.[] Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía. Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.[] Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»[] En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
  4. 4. Leonhard Euler 2 Biografía Primeros años Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastor calvinista, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas Anna Maria y Maria Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó de Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticos entre los que Antiguo billete de 10 francos suizos con el retrato de Euler. destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard. La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 años se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde, quien descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.[] En aquella época Euler se dedicaba a estudiar teología, griego y hebreo siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una tesis sobre la propagación del sonido bajo el título De Sono[1] y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.[] San Petersburgo Por aquella época, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolás, se encontraban trabajando en la Academia de las ciencias de Rusia en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en el departamento de matemáticas y física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de física en la Universidad de Basilea.[]
  5. 5. Leonhard Euler 3 Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la Academia a un puesto en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió el ruso y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la Armada de Rusia.[] La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I de Rusia, tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250 aniversario reducir la diferencia científica existente del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler. entre ese país y la Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.[] Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que había continuado con las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser Pedro II de Rusia, por entonces un niño de tan sólo 12 años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas. Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.[] El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del río Neva y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.[]
  6. 6. Leonhard Euler 4 Berlín Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para aceptar un cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. También publicó aquí dos de sus principales obras: la Introductio in analysin infinitorum, un texto sobre las funciones matemáticas publicado en 1748, y la Institutiones calculi Sello de la antigua República Democrática Alemana en honor a Euler differentialis,[2] publicada en 1755 y que versaba sobre en el 200 aniversario de su muerte. En medio se muestra su fórmula el cálculo diferencial.[] poliédrica para el grafo planar. Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de físicas y matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más leído de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos. La popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.[] Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue obligado finalmente a dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio Federico, que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. Voltaire, en particular, era uno de esos filósofos, y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de retórica, y solía debatir cuestiones sobre las que tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo.[] Por ejemplo, Euler protagonizó varias discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la retórica y la metafísica. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler: Quería tener una bomba de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua a una reserva, desde la que caería después a través de canalizaciones para finalmente manar en el palacio de Sanssouci. Mi molino fue construido de forma geométrica y no podía elevar una bocanada de agua hasta más allá de cinco pasos hacia la reserva. ¡Vanidad de las vanidades! ¡Vanidad de la geometría! Federico II el Grande[3]
  7. 7. Leonhard Euler 5 Deterioro de la visión La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735 Euler sufrió una fiebre casi fatal, y tres años después de dicho acontecimiento quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo. La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como el Cíclope. Euler más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.[] También Retrato de Euler del año 1753 dibujado por se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 Emanuel Handmann. El retrato sugiere problemas potencias de los primeros 100 números primos.[4] en el ojo derecho, así como un posible estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien [] Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos más tarde Euler tuvo problemas de cataratas. trabajos se los dictó a su hijo mayor. Esto incrementó el respeto que la comunidad científica ya tenía por el. El matemático francés François Arago (1786 – 1853) se refirió en cierta ocasión a él diciendo: "Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como los hombres respiran, o como las águilas se sostienen en el aire". Retorno a Rusia La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida, y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40 años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde. El 18 de septiembre de 1783 Euler falleció en la ciudad de San Tumba de Euler, ubicada en Monasterio de Alejandro Nevski. Petersburgo tras sufrir un accidente cerebrovascular, y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Sus restos fueron trasladados por los soviéticos al Monasterio de Alejandro Nevski (también conocido como Leningradsky Nikropol). El matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet escribió su elogio funeral para la Academia francesa. …il cessa de calculer et de vivre — … dejó de calcular y de vivir.[] Por su parte, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida junto con un listado de sus obras.
  8. 8. Leonhard Euler 6 Contribución a las matemáticas y a otras áreas científicas Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevante a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia,[5] comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.[] Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10 % de sus escritos.[6] Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas. Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de probabilidades.[7] Notación matemática Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática,[] siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último. También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra para hacer referencia a la unidad imaginaria.[] El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.[] Análisis El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático,[] es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.
  9. 9. Leonhard Euler 7 El número e Euler definió la constante matemática conocida como número como aquel número real tal que el valor de la derivada (la x pendiente de la línea tangente) de la función en el punto es exactamente 1. Es más, es el número real tal que x la función se tiene como derivada a sí misma. La x función es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base . El número puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal es el único número real para el valor a para el cual de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de se cumple que el valor de derivada de la función f (x) = cálculo, es como el límite: ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación se muestran las funciones 2x (línea punteada) y 4x (línea discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (en rojo). y también como la serie: Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente: Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arcotangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735,[] por el cual quedaba demostrado que: Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos.[] También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula: Interpretación geométrica de la fórmula de Euler. Siendo un caso especial de la fórmula (cuando = ), lo que se conoce como la identidad de Euler:
  10. 10. Leonhard Euler 8 Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, , y π, mediante la relación binaria más importante.[8] En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia».[9] En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.[9] Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentes (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange. Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico. Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. Para ello, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales. El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos.[] Teoría de números El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas. Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann. Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler. Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich Gauss.[] En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2 147 483 647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el año 1867.[10]
  11. 11. Leonhard Euler 9 Teoría de grafos y geometría En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg.[] La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas por un puente, y con las dos riberas del río mediante seis puentes (siete puentes en total). El problema que se planteaban sus habitantes consistía en decidir si era posible seguir un camino, y cómo hacerlo, que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. Euler logró demostrar matemáticamente que no lo hay. No hay lo que se denomina hoy un ciclo euleriano en el grafo que Mapa de la ciudad de Königsberg, en tiempos de modela el terreno), debido a que el número de puentes es impar en más Euler, que muestra, resaltado en verde, el lugar en donde se encontraban ubicados los siete puentes. de dos de los bloques (representados por vértices en el grafo correspondiente). A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares.[] Euler también introdujo el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante. El teorema de poliedros de Euler, que básicamente consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos conocidos hasta entonces. El estudio y la generalización de esta fórmula, especialmente por Cauchy[] y LHuillier,[] supuso el origen de la topología.[11][12] Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo —baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor. Matemática aplicada Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange. Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni: Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.[]
  12. 12. Leonhard Euler 10 Física y astronomía Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la curva elástica, que se convirtió en el pilar de la ingeniería. Aparte de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de mecánica clásica, Euler también las aplicó sobre los problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido mediante varios premios de la Academia de Francia a lo largo de su carrera, y sus aportes en ese campo incluyen cuestiones como la determinación con gran exactitud de las órbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el cálculo del paralaje solar. Formula siete leyes o principios fundamentales sobre la estructura y dinámica del Sistema Solar y afirma que los distintos cuerpos celestes y planetarios rotan alrededor del Sol siguiendo una orbita de forma elíptica. Sus cálculos también contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud más exactas para la navegación.[13] También publicó trabajos sobre el movimiento de la Luna. Además, Euler llevó a cabo importantes contribuciones en el área de la óptica. No estaba de acuerdo con las teorías de Newton sobre la luz, desarrolladas en su obra Opticks, y que eran la teoría prevalente en aquel momento. Sus trabajos sobre óptica desarrollados en la década de 1740 ayudaron a que la nueva corriente que proponía una teoría de la luz en forma de onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teoría hegemónica. La nueva teoría mantendría ese estatus hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.[] En el campo de la mecánica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explícitamente los conceptos de partícula y de masa puntual y la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, lo que sentaría las bases de todo el estudio de la mecánica hasta Lagrange. En el campo de la mecánica del sólido rígido definió los llamados «tres ángulos de Euler para describir la posición» y publicó el teorema principal del movimiento, según el cual siempre existe un eje de rotación instantáneo, y la solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo). En hidrodinámica estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la hidrodinámica. Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la presión de radiación, fundamental en la teoría unificada del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época. Lógica En el campo de la lógica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Las representaciones de este tipo reciben el nombre de diagramas de Euler.[14] Arquitectura e ingeniería En este campo, Euler desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas. Creencias religiosas y filosóficas Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monismo de Leibniz y a la corriente filosófica representada por Christian Wolff. Euler insistía en que el conocimiento se basa en parte en la existencia de leyes cuantitativas precisas, algo que el monismo y las teorías filosóficas de Wolff no eran capaces de proveer. Sus inclinaciones religiosas también pueden haber contribuido a que le desagradase ese tipo de doctrinas, hasta el punto de que llegó a catalogar las ideas de Wolff como «paganas y ateas».[] Gran parte del conocimiento que tenemos de las creencias religiosas de Euler se deduce de su obra Cartas a una Princesa Alemana, así como de un trabajo anterior llamado Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (en español, Defensa de la revelación divina frente a las objeciones de los
  13. 13. Leonhard Euler 11 librepensadores). Estos trabajos muestran a Euler como un cristiano convencido que defendía la interpretación literal de la Biblia (por ejemplo, su obra Rettung era principalmente una discusión en defensa de la inspiración divina de las escrituras).[] Obra Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en esta sección se puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras más conocidas o importantes. • Mechanica, sive motus scientia analytica exposita[15] (1736) • Tentamen novae theoriae musicae (1739) • Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741) • Methodus inveniendi líneas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). • Introductio in Analysis Infinitorum (1748) • Institutiones Calculi Differentialis (1765) • Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) • Institutiones Calculi Integralis (1768-1770) • Vollständige Anleitung zur Algebra[16] (1770) • Lettres à une Princesse dAllemagne (Cartas a una Princesa Alemana)[17] (1768–1772). En 1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenzó la Portada de la obra de Euler titulada Methodus publicación de una colección definitiva de los trabajos de Euler inveniendi líneas curvas. titulada Opera Omnia.[5] Existe un plan para la ampliación de la obra a la publicación de la correspondencia (en el año 2008 se han publicado ya tres volúmenes de correspondencia) y los manuscritos de Euler, aunque no se ha especificado ninguna fecha para su edición.[18] Notas [5] Opera Omnia en (http:/ / www. eulerarchive. org) [6] Entrevista en el periódico El País a Hanspeter Kraft (http:/ / www. elpais. com/ articulo/ futuro/ Solo/ textos/ Euler/ ha/ estudiado/ elpepusocfut/ 20071226elpepifut_5/ Tes) [7] Historia del Sudoku (http:/ / www. publispain. com/ sudoku/ historia_de_sudoku. html) [9] Véase también * }} [13] Youschkevitch, A P; Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990). [14] Baron, M. E.; A Note on The Historical Development of Logic Diagrams. The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical Association. Vol LIII, no. 383 May 1969. Otras lecturas • Lexikon der Naturwissenschaftler, 2000. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. • Demidov, S.S., 2005, «Treatise on the differential calculus» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 191-98. • Dunham, William (1999) Euler: The Master of Us All, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0. • Fraser, Craig G., 2005, «Book on the calculus of variations» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 168-80.
  14. 14. Leonhard Euler 12 • Gladyshev, Georgi, P (2007) « Leonhard Euler’s methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolution (http://www.ceser.res.in/ijamas/cont/2007/ams-n07-cont.html)», International Journal of Applied Mathematics & Statistics (IJAMAS) 11 (N07), Special Issue on Leonhard Paul Euler’s: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.). • W. Gautschi (2008). «Leonhard Euler: his life, the man, and his works». SIAM Review 50 (1):  pp. 3–33. doi: 10.1137/070702710 (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1137/ 070702710). • Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. Die großen Deutschen, volume 2, Berlin: Ullstein Verlag. • Krus, D.J (2001) « Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place in the history of statistics (http://www.visualstatistics.net/Statistics/Euler/Euler.htm)», Quality and Quantity: International Journal of Methodology, 35: 445-46. • Nahin, Paul (2006) Dr. Eulers Fabulous Formula, New Jersey: Princeton, ISBN 978-0-691-11822-2 • Reich, Karin, 2005, «Introduction to analysis» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 181-90. • Sandifer, Edward C (2007), The Early Mathematics of Leonhard Euler, Washington: Mathematical Association of America. IBSN 10: 0-88385-559-3 • Simmons, J (1996) The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time, Sydney: The Book Company. • Singh, Simon (1997). Fermats last theorem, Fourth Estate: New York, ISBN 1-85702-669-1 • Thiele, Rüdiger (2005). «The mathematics and science of Leonhard Euler», in Mathematics and the Historians Craft: The Kenneth O. May Lectures, G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag. ISBN 0-387-25284-3. • «A Tribute to Leohnard Euler 1707-1783». Mathematics Magazine 56 (5). November 1983. Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Leonhard EulerCommons. • Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Leonhard Euler. Wikiquote • The Euler Archive (http://www.eulerarchive.org/) • Lettres à une Princesse dAllemagne (http://www.bookmine.org) • OConnor, John J.; Robertson, Edmund F., « Biografía de Leonhard Euler (http://www-history.mcs.st-andrews. ac.uk/Biographies/Euler.html)» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews. • Artículo en la Encyclopedia Britannica (http://www.britannica.com/eb/article-9033216/Leonhard-Euler) • How Euler did it (http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html) Página web que contiene explicaciones sobre cómo Euler resolvió diversos problemas. • Euler Archive (http://www.eulerarchive.org/) • Euler Committee of the Swiss Academy of Sciences (http://www.leonhard-euler.ch/) • Tricentenario de Euler (año 2007) (http://www.euler-2007.ch/en/index.htm) • The Euler Society (http://www.eulersociety.org/) • Leonhard Euler Congress 2007 (http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2007/AG/) — San Petersburgo, Rusia. • "Euler - 300th anniversary lecture" (http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=518), discurso pronunciado por Robin Wilson en Gresham College, el 9 de mayo de 2007. • Project Euler (http://www.projecteuler.net) • Árbol de familia de Euler (http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/family-tree.html)
  15. 15. 13 El número eNúmero eLa constante matemática es uno de los más importantes númerosreales.[1] Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo,la derivada de la función exponencial es esa mismafunción. El logaritmo en base se llama logaritmo natural oneperiano.El número , conocido a veces como número de Euler o constantede Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por elmatemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto delogaritmo en el cálculo matemático.Es considerado el número por excelencia del cálculo, así como lo esde la geometría y el número del análisis complejo. El simple hecho e} es el único número a, tal que la derivada de lade que la función coincida con su derivada hace que la función función exponencial f(x) = ax (curva azul) en elexponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones punto x = 0 es igual a 1. En comparación, lasdiferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos)comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, elgiro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento delsistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la mismamanera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos(descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento decélulas, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.El número , al igual que el número y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dosenteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.Además, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuaciónalgebraica con coeficientes racionales.Su valor aproximado (truncado) es: ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...
  16. 16. Número e 14 Historia Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred. El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciende a Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para 1 UM x = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se representar la constante; además fue el descubridor de aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que numerosas propiedades referentes a ella. tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación: Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará UM con interés compuesto. El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas ,anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.[2]
  17. 17. Número e 15 Definición La definición más común de e es como el valor límite de la serie que se expande como Otra definición habitual[3] dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación: que implica es decir que se define e como el número para el que o lo que es lo mismo, el número para el que Propiedades Cálculo La función exponencial f(x) = ex es su propia derivada y su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva también: y Además, e es el límite de la sucesión de término general: Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función: Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable : Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.
  18. 18. Número e 16 Desarrollo decimal El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada: Lo que se escribe e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada: En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas. Álgebra El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal. Números complejos El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos: El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler de lo que se deduce que: Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene: que es la fórmula de De Moivre.
  19. 19. Número e 17 Función exponencial Se llama exponencial la función definida sobre los números reales por • La función exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0. • La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: . Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler. En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula[4] que se aproxima a "e": Representaciones de e El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es el límite: Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton: Cuando tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a , como se quería demostrar. La serie infinita anterior no es única; e también puede ser representado como: Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simple continua infinita:
  20. 20. Número e 18 Dígitos conocidos El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[5][6] Número de dígitos conocidos de e Fecha Dígitos decimales Cálculo realizado por [7] 18 Leonhard Euler 1748 1853 137 William Shanks 1871 205 William Shanks 1884 346 J. M. Boorman 1946 808 ? 1949 2010 John von Neumann (en la ENIAC) 1961 100 265 Daniel Shanks y John W. Wrench 1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell Mayo de 1997 18 199 978 Patrick Demichel Agosto de 1997 20 000 000 Birger Seifert Septiembre de 1997 50 000 817 Patrick Demichel Febrero de 1999 200 000 579 Sebastian Wedeniwski Octubre de 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski 21 de noviembre de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon 10 de julio de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 16 de julio de 2000 3 221 225 472 Colin Martin y Xavier Gourdon 2 de agosto de 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 16 de agosto de 2000 12 884 901 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 21 de agosto de 2003 25 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 18 de septiembre de 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 27 de abril de 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo 6 de mayo de 2009 200 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo 21 de febrero de 2010 500 000 000 000 [8] Alexander J. Yee 5 de julio de 2010 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo y Alexander J. Yee[9]
  21. 21. Número e 19 Referencias • El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal [10], publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0 [11]. [2] Pro Mathematica , Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP, Lima.ISSN 1012-3938 [3] Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2da edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2da edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté. [4] Mathsoft (http:/ / www. mathsoft. com/ asolve/ constant/ e/ e. html) "Expresión de Keller", Steven Finch (1998) [5] Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ E/ e. html) [6] Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast (http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ PiProgram/ computations. html) [7] New Scientist 21 de julio de 2007 p.40 [8] Announcing 500 billion digits of e... (http:/ / www. numberworld. org/ misc_runs/ e-500b. html) [9] A list of notable large computations of e (http:/ / www. numberworld. org/ digits/ E/ ) [10] http:/ / enciclopedia. us. es/ index. php/ N%C3%BAmero_e [11] http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ deed. es Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número eCommons. • Un millón de cifras del número e. (http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil) • Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito (http://hk.youtube.com/ watch?v=Iys1eJgTtXU) Función exponencial Funciones exponenciales Gráfica de Funciones exponenciales Definición Tipo Función real Dominio Codominio Imagen Propiedades Biyectiva Convexa Estrictamente creciente Trascendente Cálculo infinitesimal Derivada Función primitiva
  22. 22. Función exponencial 20 Función inversa Límites Funciones relacionadas Logaritmo La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen. Definición formal La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias: o como el límite de la sucesión: Propiedades La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales. • Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e) • • • •
  23. 23. Función exponencial 21 Derivada La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular, Es decir, ex es su propia derivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior: • La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto. • La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x. • La función es solución de la ecuación diferencial . Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así: donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto . Función exponencial en el campo de los números complejos Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z: para valores imaginarios puros se cumple la identidad Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los , complejos en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera, relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parte imaginaria de .
  24. 24. Función exponencial 22 Referencias • Abramowitz, M. y Stegun, I. A. . Exponential Function. §4.2 en Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 69-71, 1972. • Courant, Richard y Fritz, John. Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol.I. Editorial Limusa,1999. ISBN 968-18-0639-5. • Apostol, T. M., Calculus. Tomo I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra lineal. Editorial reverte, 2005 ISBN 84-291-5002-1. • Ahlfors, Lars. Complex Analysis: an Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (1953, 1966, 1979) (ISBN 0-07-000657-1) Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Exponential function [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Función exponencialCommons. • Taylor Series Expansions of Exponential Functions [2] en efunda.com [3]. • Complex exponential interactive graphic [4]. • Derivative of exponential function interactive graph [5]. Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ ExponentialFunction. html [2] http:/ / www. efunda. com/ math/ taylor_series/ exponential. cfm [3] http:/ / www. efunda. com [4] http:/ / www-math. mit. edu/ daimp/ ComplexExponential. html [5] http:/ / sympl. org/ book/ examples/ interactive-plots/ derivative-exponential-function
  25. 25. Fórmula de Euler 23 Fórmula de Euler La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que: para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, y son funciones trigonométricas. O bien: siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy. Demostración Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los reales para parámetros complejos para poder demostrar la fórmula de Euler. La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar sobre los números reales. Así, es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes. La fórmula de Euler fue promulgada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde (ver Caspar Wessel).
  26. 26. Fórmula de Euler 24 Demostración usando las Series de Taylor Sabiendo que: La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo. y así sucesivamente. Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero. Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que: El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.
  27. 27. Fórmula de Euler 25 Relevancia matemática La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos. Para el logaritmo de un número negativo: basta con evaluar la fórmula de euler en , obteniendo: Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1: . Para un número negativo cualquiera: . (Con ). Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base. Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma — excepto por la unidad imaginaria — con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones. De las reglas de la exponenciación y (válidas para todo par de números complejos y ), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre. La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial: Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos . Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas para el seno y el coseno. En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler. Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (véase análisis de Fourier), y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.
  28. 28. Fórmula de Euler 26 Enlaces externos • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler formulas [1]» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 • Weisstein, Eric W. «Euler Formula [2]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Referencias [1] http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index. php?title=Euler_formulas& oldid=14630 [2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ EulerFormula. html Identidad de Euler Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma: donde: • π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longitud del círculo con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física. • e (número de Euler) es el límite de la sucesión , que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendental. • i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos. • 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación Esta identidad se puede emplear para calcular π:
  29. 29. Identidad de Euler 27 Derivación La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si entonces y ya que y que se sigue que Fórmula de Euler para un ángulo general. Lo cual implica la identidad Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que: en la expansión polinomial de e a la potencia x: para obtener: simplificando (usando i2 = -1): Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias: Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica
  30. 30. Identidad de Euler 28 Logaritmos de números negativos Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, podemos proceder de la siguiente manera: Sabiendo que : Referencias • Weisstein, Eric W.. «Euler Formula [2]» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el 15-05-2009. Ecuaciones de Euler-Lagrange Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad). Ecuaciones de Euler-Lagrange en física Caso discreto En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de acción es del tipo: Y su correspondiente variación viene dada por: Si se impone ahora que para variaciones "cercanas", esto implica que: donde L es el lagrangiano para el sistema, y son las coordenadas generalizadas del sistema. Para una introducción a este tema:
  31. 31. Ecuaciones de Euler-Lagrange 29 Caso continuo La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema que no puede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen: Donde es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acción toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por: Mecánica lagrangiana de la partícula Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano: La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede escribirse un lagrangiano en en términos de cualquier tipo de coordenadas generalizadas: Las ecuaciónes de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton para la partícula: Teoría de campos La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito. Así por ejemplo las ecuaciones de Maxwell no son otra cosa que las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al "lagrangiano" de Maxwell. La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por: (*) Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético libre y además: , son los campos eléctrico y magnético. , son la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente asociada a las cargas que interactúan con el campo. , son el potencial eléctrico y el potencial vectorial del campo. Considerando aquí el campo descrito por los potenciales , los campos eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:
  32. 32. Ecuaciones de Euler-Lagrange 30 Todos estos términos substituidos en la ecuación de Euler-Lagrange (*) nos lleva a las ecuaciones de Maxwell. Si a la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campo electromagnético viene dado por: Cuando esta parte se tiene en cuenta también se recupera la expresión para la fuerza de Lorentz. Aplicaciones en mecánica cuántica Un artículo influyente, para la introducción del formalismo lagrangiano en la mecánica cuántica, fue el de Paul Dirac de 1932. El artículo titulado “El lagrangiano en Mecánica Cuántica” comienza de la siguiente manera: “La mecánica cuántica fue construida sobre la base de la analogía con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Esto se debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica, como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus detalles en mecánica cuántica. Ahora tenemos una formulación alternativa para la dinámica clásica, provista por el lagrangiano. Esto requiere trabajar en términos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos. Las dos formulaciones son, sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el más fundamental. En primer lugar, el método lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta función de acción. (Esta función de acción es justamente la integral en el tiempo del lagrangiano). No existe un principio de acción correspondiente en términos de las coordenadas y momentos en la teoría hamiltoniana. En segundo lugar el método lagrangiano puede fácilmente ser expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la función de acción es invariante relativista; mientras que el método hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular como la conjugada canónica de la función hamiltoniana. Por estas razones sería deseable tomar la cuestión de lo que corresponde en la teoría cuántica al método lagrangiano de la teoría clásica. Una pequeña consideración muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar las ecuaciones clásicas de Lagrange en una forma directa. Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mecánica cuántica. El sólo proceso de diferenciación que puede realizarse respecto a las variables dinámicas de la mecánica cuántica es el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teoría hamiltoniana. Debemos por lo tanto mirar nuestra teoría cuántica lagrangiana de una manera indirecta. Debemos intentar tomar las ideas de la teoría lagrangiana clásica, no las ecuaciones de la teoría clásica lagrangiana”.[1] Síntesis de aplicaciones en física Como se vio antes, es posible derivar las ecuaciones de la mecánica clásica como las del electromagnetismo a partir del lagrangiano respectivo introducido en las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por ese camino, es posible ampliar el lagrangiano de Maxwell para obtener el lagrangiano de Dirac y así obtener, luego, la ecuación relativista de Dirac. También las ecuaciones de Schrödinger, de Klein-Gordon y de Proca pueden obtenerse por ese método. Incluso es posible derivar las ecuaciones de Einstein, de la relatividad generalizada, a partir del lagrangiano de Hilbert-Einstein[2]
  33. 33. Ecuaciones de Euler-Lagrange 31 Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x1, ...xn) sobre una región abierta U de la variedad de Riemann VR donde el tensor métrico viene dado por la expresión: Puesto que dados dos puntos cualquiera de VR las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva: La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de una integral de acción donde el lagrangiano sea: De ahí que la ecuación diferencial de las geodésicas venga dada por: La ecuación anterior de hecho puede, usando la simetría del tensor métrico, escribirse como: Que en términos de los símbolos de Christoffel (de primera o segunda especie) sencillamente como: Donde se han definido los símbolos de Christoffel como a partir de las derivadas del tensor métrico y el tensor inverso del tensor métrico: Referencias [1] “The lagrangian in quantum mechanics” de P.A.M. Dirac en “Quantum Electrodynamics” editado por Julian Schwinger – Dover Publications Inc. - ISBN 486-60444-6 [2] “Lagrangian Interaction” de Noel A. Doughty – Addison Wesley Publishing Co. – ISBN 0-201-41625-5 Bibliografía • Gelfand, Israel (1963). Calculus of Variations. Dover. ISBN 0-486-41448-5.
  34. 34. 32 Teoría de númerosSerie de los inversos de los números primosEn el siglo III a. C., Euclides demostró la existencia de infinitos números primos. En el siglo XVIII, Leonhard Eulerdemostró un resultado aún más profundo: La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge. Leonhard Euler (1737)El teorema, es equivalente a demostrar que:He aquí algunas de las demostraciones de este resultado.Primera demostración (Demostración original de Euler)Para empezar, describiremos algunos de los pasos previos usados por Euler en su demostración.En primer lugar consideró la serie armónica :Esta serie es claramente divergente (se puede ver en el artículo serie armónica), y por supuesto, también conocidopor Euler.Usando su fórmula del producto , mostró la existencia de infinitos números primos como sigue:Aquí, el producto es sobre todos los números primos, o dicho de otra manera, el producto indexa a todos los númerosprimos. De ahora en adelante, sin que se diga lo contrario, la suma o producto sobre el conjunto de todos losnúmeros primos se representa como p bajo el sumatorio o productorio.Euler se dio cuenta de que si existía un número finito de primos, entonces el producto de la derecha convergeríaclaramente, contradiciendo la divergencia de la serie armónica. En lenguaje moderno, se dice que la existencia deinfinidad de números primos está reflejada por el hecho de que la función zeta de Riemann tiene un polo simple en s= 1.DemostraciónEuler, tomando el producto indicado arriba, llegó a una conclusión.Tomó logaritmos naturales en ambos miembros de la igualdad, y utilizando las propiedades de las series geométricasy que la serie de Taylor de log(1-x) es:entonces:
  35. 35. Serie de los inversos de los números primos 33 para una constante C < 1. Puesto que la suma de los recíprocos de los primeros n números enteros positivos es asintótica a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a infinito ) se tiene: que sustituyendo en la expresión de arriba y despreciando el valor de C cuando n se acerca a infinito, Euler llegó a la conclusión de que: Q.E.D. Es también cierto que Euler comprendía que la suma de los recíprocos de todos los números primos menores que n es asintótica a log (log(n)) cuando n se aproxima a infinito, y de hecho este es el caso. Euler había llegado a esta conclusión por métodos cuestionables. Segunda demostración (Erdős) Una demostración elemental por reducción a lo absurdo fue descubierta por Paul Erdős y es la siguiente: Asuma que la suma de los recíprocos de todos los números primos converge: Defina pi como el i -ésimo número primo. Tenemos que: Entonces existe un número entero positivo i tal que: Defina Ni(x) como: el número de enteros positivos menores que x que son divisibles únicamente por los i primeros números primos, o dicho de otra forma, que están formados por factores primos menores o iguales a pi. ( el símbolo # significa la cantidad de números que cumplen la condición ) Cualquiera de esos números puede expresarse como: concretamente como producto de un cuadrado por un cuadrado libre. Hay 2i opciones distintas para la parte del cuadrado libre y puesto que a lo sumo habrá √x para la parte cuadrática tenemos que:
  36. 36. Serie de los inversos de los números primos 34 El número de enteros divisibles por un primo p menores que x es , así que el número de enteros menores que x que son divisibles por algún primo mayor que pi es x - Ni(x), lo denotaremos como N*i(x) y está acotado por: Dado que: es suficiente con encontrar un x tal que Ni(x) x/2 para llegar a una contradicción ya que N*i(x) es siempre menor que x/2. Si tomamos la desigualdad: y considerando la cota máxima que es cuando Ni(x) = 2i√x: Q.E.D. Tercera demostración He aquí otra demostración que da una menor estimación sobre la suma parcial, en particular, muestra como la suma crece al menos tan rápido como log (log(n)). La demostración es una adaptación de la idea de expansión del producto de Euler. De aquí en adelante, una suma o producto sobre p siempre representa una suma o producto sobre un conjunto de números primos específicos. La demostración se basa en las siguientes cuatro desigualdades: • Cada número entero positivo i se puede escribir como producto de un cuadrado por un número libre de cuadrados. Esto da la siguiente desigualdad. Donde para cada número i entre 1 y n el producto (expandido) contiene la parte del cuadrado libre de i y la suma contiene la parte del cuadrado de i. • Una cota superior estimada para el logaritmo natural es: • Una cota inferior estimada para la función exponencial es: • El límite superior (usando una serie de la cual conocemos su comportamiento asintótico) para las sumas parciales es: Combinando todas las ecuaciones vemos que:
  37. 37. Serie de los inversos de los números primos 35 Dividiendo por 2 y tomando el logaritmo natural en ambos miembros nos queda que: cuando n tiende a infinito obtenemos la misma conclusión que en las anteriores demostraciones. Q.E.D. Cuarta demostración De la desigualdad de Dusart (ver teorema de los números primos) tenemos que: entonces aplicando el criterio integral a la serie de la izquierda vemos que ésta diverge claramente. Q.E.D. Referencias • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244. Enlaces externos • http://www.EulerArchive.org [1] (en inglés) • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188 (Traducido al inglés) [2] • Ed Sandifer: "How Euler Did It.Infinitely many primes" (en inglés) [3] • Chris K. Caldwell: "There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?" (en inglés) [4] • Planetmath.org: "Prime harmonic series" (en inglés) [5] Referencias [1] http:/ / www. EulerArchive. org [2] http:/ / dewey. uab. es/ lbibiloni/ Euler/ EulerObservat. pdf [3] http:/ / www. maa. org/ editorial/ euler/ How%20Euler%20Did%20It%2029%20infinitely%20many%20primes. pdf [4] http:/ / www. utm. edu/ research/ primes/ infinity. shtml [5] http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ PrimeHarmonicSeries. html
  38. 38. Producto de Euler para la función zeta de Riemann 36 Producto de Euler para la función zeta de Riemann En 1737 Leonhard Euler demostró un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría de números ( teoría analítica de números ) enunciando el siguiente teorema: Si s > 1, entonces Leonhard Euler (1737) Si se toma como variable s, esta serie o producto toma el nombre de función zeta de Riemann y se denota como ζ(s). Nótese que el producto se extiende sobre todos los números primos. A continuación se dan un par de demostraciones sobre este resultado, incluida la demostración original de Euler. Demostración original de Euler La demostración, escrita en 1737 y publicada en 1744, muestra una forma original de obtener el producto, utilizando una cierta forma de cribado. Para su obtención solamente se utilizan métodos elementales, con lo cual cualquier persona con nociones básicas sobre álgebra puede entenderla. • Se escribe • Se multiplica ambos miembros por , y queda: • Restando la segunda serie a la primera, eliminaremos todos los términos que son múltiplos de 2. • Si repetimos sobre el siguiente término, , obtenemos: • Restando de nuevo, obtenemos: • Podemos ver que la parte de la derecha se está cribando, repitiendo este proceso indefidamente: • Dividiendo ambas partes por todo el producto obtenido que multiplica a ζ(s) obtenemos: Esto puede escribirse de forma simplificada como producto sobre todos los números primos p:
  39. 39. Producto de Euler para la función zeta de Riemann 37 Para hacer rigurosa esta prueba, sólo es necesario observar que si s es un número complejo tal que Re(s) > 1, el miembro de la derecha ( el que se está cribando ), tiende a 1,lo cual se muestra inmediatamente de la convergencia de la serie de Dirichlet para ζ(s). Otra demostración Esta demostración, más estricta, es la que se muestra a continuación: • Cada factor del producto ( dado por un número primo p ), puede ser escrito en forma de serie geométrica así: • Si s > 1, entonces y la serie converge absolutamente, luego: • Así pues, se puede coger un número finito de factores, multiplicarlos todos ellos y reagruparlos. Cogiendo todos los números primos p hasta un número primo límite q, obtenemos que: • Donde σ es la parte real de s. Por el teorema fundamental de la aritmética, cuando se extiende este producto parcial, se obtiene la suma correspondiente a los términos , donde n son números naturales que se pueden representar como producto de números primos menores o iguales que q. La desigualdad resulta del hecho de que sólo enteros mayores que q no pueden aparecer en la expansión parcial del producto. Puesto que la diferencia entre el producto parcial y ζ(s) tiende a 0 cuando σ > 1, obtenemos la convergencia en dicha región. Referencias • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244. Enlaces externos • http://www.EulerArchive.org [1] (en inglés) • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188 (Traducido al inglés) [2] • Ed Sandifer: "How Euler Did It.Infinitely many primes" (en inglés) [3]

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