Alumno: Juan Luis Torres Grijalva

MEDIDAS DE
DISPERSIÓN O DE
VARIABILIDAD
Medidas de Dispersión
Estas medidas nos permiten analizar
la DISPERSIÓN o VARIABILIDAD
de las distribuciones que queremos
...
Algunas medidas de variabilidad son:


Rango



Rango intercuartilico



Varianza

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Desviación estándar

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Coeficien...
RANGO
Una alternativa como medida de dispersión es el RANGO
Corresponde a la diferencia entre el mayor y el menor de
nuest...
DESVIACIÓN MEDIA
Es una medida de variabilidad que se obtiene promediando
los valores absolutos de las desviaciones de los...
DESVIACIÓN MEDIA
k

n

DM =

∑x −X
i =1

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Datos No Agrupados

DM =

∑x −Xn
i =1

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Datos Agrupados
Varianza
Es una medida de variabilidad cuyo valor nos indicará si
los datos están concentrados o dispersos con respecto al...
VARIANZA POBLACIONAL
Cuantifica la cantidad de variabilidad o dispersión en
relación a la media (o promedio) de las observ...
VARIANZA POBLACIONAL para Datos
Agrupados en tabla de Frecuencia
k

σ2 =

∑( x

i

i=
1

− µ) ni

k

2

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σ2 =

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DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La desviación estándar se define como la raíz
cuadrada de la varianza

σ =+ σ

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En la práctica, l...
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Se define como el cuociente entre LA DESVIACIÓN
ESTÁNDAR y LA MEDIA:

S
CV =
X
Como el coeficient...
APLICACIONES DEL COEFICIENTE DE
VARIACIÓN
1.- Comparar variabilidad de dos distribuciones de una
misma variable con unidad...
2.- Comparar variabilidad de dos distribuciones de
variables distintas.
Ejemplo: comparar la estatura en cm y el peso en k...
3.- Comparar la variabilidad de distribuciones
con promedios distintos.
Peso de Corderos: s=40 k ; X = 98 k
Peso de Toros:...
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Partimos de una muestra de tamaño
n=15, 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 6 7 7 8 8
• RANGO O RECORRIDO: R = Max-M...
• CUASIVARIANZA:
1 n
1 7
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( x i − x ) = ∑( x j − x ) 2 n j =
S2 =
∑
n- 1 i =1
14 j=1

• DESVIACIÓN TÍPICA:

S = s2

= 1.9...
• DESVIACIÓN MEDIA:

1 n
1 7
Dm = ∑ x i − X = ∑ x j − X ⋅ n j = 1.73
n i =1
15 j=1
• COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON:
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Distribución de frecuencia de la altura (cm) de los estudiantes de
la generación 2008

157 – 162
162 – 167
167 – 172
172 –...
MEDIDAS DE ASIMETRÍA
Mide el grado de deformación horizontal de la distribución
de Frecuencias y se define:

3( X − Me )
S...
Propiedades del Coeficiente de
Asimetría (Continuación)
Valor del Coef. Asimetría

Calificación

(-0.05≤Sk<0) ó (0<Sk≤0.05...
Renta familiar

A

B

Longitud de piezas

Gasto en transporte

Longitud de piezas

Tiempo entre accidentes

Tamaño de part...
MEDIDAS DE KURTOSIS
Mide el grado de deformación vertical de la distribución de
Frecuencias y se define:

Q3 − Q1
K=
2( P9...
DIAGRAMA DE CAJA (BOX-PLOT)
Se construye del siguiente modo:
•Con los datos ordenados se obtienen los tres cuartiles
•Se d...
DIAGRAMA DE CAJA (BOXPLOT)
Media

Dato menor no atípico

Mediana
Dato mayor
no atípico

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Dato atípico...
Promedio
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S

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49.59
7.042

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LI
LS

175.75 Mo
171.58333 Q3
158.73333
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  1. 1. Alumno: Juan Luis Torres Grijalva MEDIDAS DE DISPERSIÓN O DE VARIABILIDAD
  2. 2. Medidas de Dispersión Estas medidas nos permiten analizar la DISPERSIÓN o VARIABILIDAD de las distribuciones que queremos analizar  ¿Qué tan separados están nuestros datos?  ¿Qué tan "desparramados" están los datos?
  3. 3. Algunas medidas de variabilidad son:  Rango  Rango intercuartilico  Varianza  Desviación estándar  Coeficiente de variación
  4. 4. RANGO Una alternativa como medida de dispersión es el RANGO Corresponde a la diferencia entre el mayor y el menor de nuestras observaciones Claramente influenciado por valores extremos Estimador “grueso” Por esta razón no es una buena medida de dispersión. RECORRIDO INTERCUARTILICO O AMPLITUD INTERCUARTILICA Rq = Q3 - Q1
  5. 5. DESVIACIÓN MEDIA Es una medida de variabilidad que se obtiene promediando los valores absolutos de las desviaciones de los datos con respecto al promedio. Ejemplo: Halle la Desviación Media de los siguientes datos: 2, 3, 6, 8, 11 2 -4 3 -3 6 0 X = 6 8 11 2 5
  6. 6. DESVIACIÓN MEDIA k n DM = ∑x −X i =1 i n Datos No Agrupados DM = ∑x −Xn i =1 i i n Datos Agrupados
  7. 7. Varianza Es una medida de variabilidad cuyo valor nos indicará si los datos están concentrados o dispersos con respecto al promedio y se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada valor con respecto a la media. Ejemplo: Halle la Varianza de los siguientes datos: 2, 3, 6, 8, 11 2 -42 3 -32 6 02 X = 6 8 11 22 52
  8. 8. VARIANZA POBLACIONAL Cuantifica la cantidad de variabilidad o dispersión en relación a la media (o promedio) de las observaciones. PARA DATOS NO TABULADOS N ∑( x − µ ) i σ2 = N 2 i =1 N σ2 = ∑x 2 i i =1 N − µ2 VARIANZA MUESTRAL n S = 2 ( xi − X ) 2 ∑ i =1 n n S2 = ∑x i =1 n i 2 −X2
  9. 9. VARIANZA POBLACIONAL para Datos Agrupados en tabla de Frecuencia k σ2 = ∑( x i i= 1 − µ) ni k 2 N σ2 = ∑( x ) 2 i i= 1 ni N − µ2 VARIANZA MUESTRAL para Datos Agrupados en tabla de Frecuencia k S2 = ∑( x i= 1 i − X ) ni k 2 n S2 = ∑( x ) i= 1 i n 2 ni −X 2
  10. 10. DESVIACIÓN ESTÁNDAR La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza σ =+ σ 2  En la práctica, la desviación estándar se utiliza con más frecuencia que la varianza  Una de las razones es que se expresa en las mismas unidades de medida de la variable.
  11. 11. COEFICIENTE DE VARIACIÓN Se define como el cuociente entre LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR y LA MEDIA: S CV = X Como el coeficiente de variación no tiene unidad de medida , permite comparar variabilidad entre distribuciones.
  12. 12. APLICACIONES DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN 1.- Comparar variabilidad de dos distribuciones de una misma variable con unidades de medida distintas. Ejemplo: comparar la estatura de los estadounidenses , en pulgadas con la estatura de los chilenos en cm.
  13. 13. 2.- Comparar variabilidad de dos distribuciones de variables distintas. Ejemplo: comparar la estatura en cm y el peso en kg. de los 20 niños seleccionados de gimnasia artística: Estatura (X) X =128, 5 S X =8, 4 Peso (Y) Y =36,4 S Y =4,9 Comparar la variabilidad de estas dos distribuciones.
  14. 14. 3.- Comparar la variabilidad de distribuciones con promedios distintos. Peso de Corderos: s=40 k ; X = 98 k Peso de Toros: s=50 k; X = 400 k Peso de Elefantes: s=120 k; X = 1500 k ¿Qué grupo presenta la menor dispersión?
  15. 15. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Partimos de una muestra de tamaño n=15, 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 6 7 7 8 8 • RANGO O RECORRIDO: R = Max-Min = 8-2=6 • RECORRIDO INTERCUARTÍLICO: RQ = Q3 - Q1 = 7 -3 = 4 • VARIANZA 1 n 1 7 2 2 S 2 = ∑ ( x i − X ) = ∑ ( x j − X ) n j = 3.87 n i =1 15 j=1
  16. 16. • CUASIVARIANZA: 1 n 1 7 2 ( x i − x ) = ∑( x j − x ) 2 n j = S2 = ∑ n- 1 i =1 14 j=1 • DESVIACIÓN TÍPICA: S = s2 = 1.97 • CUASIDESVIACIÓN TÍPICA: S= s 2 = 2.04 4.14
  17. 17. • DESVIACIÓN MEDIA: 1 n 1 7 Dm = ∑ x i − X = ∑ x j − X ⋅ n j = 1.73 n i =1 15 j=1 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: S CV = X = 0.394 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN MEDIA: Dm CVm = M e = 0.347
  18. 18. Distribución de frecuencia de la altura (cm) de los estudiantes de la generación 2008 157 – 162 162 – 167 167 – 172 172 – 177 Frecuencia Absoluta 7 8 9 30 177 – 182 182 – 187 TOTAL 25 14 93 50 Frecuencia relativa Altura (cm) 60 40 30 20 10 0 149.5 154.5 159.5 164.5 169.5 174.5 179.5 184.5 189.5 Altura (cm) Calcule la VARIANZA POBLACIONAL y la DESVIACIÓN ESTÁNDAR
  19. 19. MEDIDAS DE ASIMETRÍA Mide el grado de deformación horizontal de la distribución de Frecuencias y se define: 3( X − Me ) Sk = S Sk ( X − Mo ) = S Q1 + Q3 − 2Me Sk = Q3 − Q1 I. Sk es la mas usada. II. Sk se usa cuando la distribución es unimodal. III. Sk, llamada también media asimétrica, se usa cuando existen intervalos extremos abiertos ilimitados y no es posible calcular el promedio y consecuentemente la varianza. Si es una Distribución Asimétrica Sk = o o tiende a cero. Si es una Distribución Asimétrica Positiva o sesgada a la derecha S k > 0 Si es una Distribución Asimétrica Negativa o sesgda a la izquierda S k < 0
  20. 20. Propiedades del Coeficiente de Asimetría (Continuación) Valor del Coef. Asimetría Calificación (-0.05≤Sk<0) ó (0<Sk≤0.05) Casi simétrica (-0.3≤Sk<-0.05) ó (0.05<Sk≤0.3 Ligeramente asimétrica (-0.6≤Sk< -0.3) ó (0.3 < Sk≤0.6) Moderadamente (Sk<-0.6) ó (Sk>0.6) Muy asimétrica
  21. 21. Renta familiar A B Longitud de piezas Gasto en transporte Longitud de piezas Tiempo entre accidentes Tamaño de partículas
  22. 22. MEDIDAS DE KURTOSIS Mide el grado de deformación vertical de la distribución de Frecuencias y se define: Q3 − Q1 K= 2( P90 − P ) 10 Si 0,2630 < K < 0,5 es una Distribución Leptokúrtica ( picuda o puntiaguda). Si K< 0,2630 es una Distribución Mesokúrtica (moderada o normal). Si 0 < K < 0,2630 es una Distribución Platikúrtica (achatada o plana). 1.No tiene unidad de medida. 2.Se aplica a distribuciones unimodales con un valor del coeficiente de asimetría entre –0.3 y 0.3. 3.Su valor debe encontrarse en el intervalo 0 á 0.5.
  23. 23. DIAGRAMA DE CAJA (BOX-PLOT) Se construye del siguiente modo: •Con los datos ordenados se obtienen los tres cuartiles •Se dibuja un rectángulo cuyos extremos son Q1 y Q3 y se indica la posición de la mediana mediante una línea. •Se calculan los límites de admisión ( los valores que queden fuera se consideran atípicos) LI = Q 1 − 1 '5 ( Q LS = Q 3 − Q1) 3 + 1 '5 ( Q 3 − Q1) •Se dibuja una línea desde cada extremo del rectángulo hasta el valor más alejado no atípico. •Se marcan todos los datos considerados como atípicos.
  24. 24. DIAGRAMA DE CAJA (BOXPLOT) Media Dato menor no atípico Mediana Dato mayor no atípico Box-and-Whisker Plot Dato atípico 150 160 170 180 190 200 Altura Dato atípico Q1 Q3
  25. 25. Promedio S2 S 174.9 49.59 7.042 Me Q1 LI LS 175.75 Mo 171.58333 Q3 158.73333 193 176.038462 180.15 35 30 25 20 15 10 5 0 159.5 164.5 169.5 174.5 179.5 184.5

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