Estadistica ebook

9,562 views

Published on

Medidas de tendencia central

Published in: Education

Estadistica ebook

  1. 1. Introducción a la estadística, distribuciones de frecuencias, gráficos estadísticos, medidas de tendencia central, dispersión, posición y forma, con ejemplos resueltos en Microsoft Excel® JUAN CARLOS VERGARA SCHMALBACH VÍCTOR MANUEL QUESADA IBARGUEN ISBN: 978-84-690-5503-8 Grupo Métodos Cuantitativos de GestiónPrograma de Administración Industrial Universidad de Cartagena Universidad de Cartagena
  2. 2. ESTADÍSTICA BÁSICA CONAPLICACIONES ®EN MS EXCEL JUAN CARLOS VERGARA SCHMALBACH VÍCTOR MANUEL QUESADA IBARGÜEN ISBN: 978-84-690-5503-8
  3. 3. CONTENIDOPRÓLOGO ..............................................................................................................8LOS AUTORES.......................................................................................................9LIBRO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CON WINQSB .........................................10INTRODUCCIÓN ..................................................................................................111. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA .............................................................13 1.1 UN POCO DE HISTORIA ............................................................................13 1.2 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN ................................................................14 1.2.1 Clasificación de la estadística ...............................................................15 1.3 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA...........................................................162. LAS TABLAS DE FRECUENCIA.......................................................................18 2.1 CONSTRUCCIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LAS TABLAS TIPO A ........18 2.1.1 Ejemplo tabla de frecuencia tipo A........................................................18 2.1.2 Características de las tablas Tipo A......................................................22 2.1.3 Construcción de las tablas Tipo A en Excel ..........................................22 2.2 CONSTRUCCIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LAS TABLAS TIPO B ........32 2.2.1 Ejemplo 1: tablas de frecuencia tipo B ..................................................33 2.2.2 El Problema de la Ambigüedad en las Tablas de Frecuencia Tipo B....37 2.2.3 Ejemplo 2: tablas de frecuencia tipo B ..................................................39 2.2.4 Características de las tablas tipo B .......................................................41 2.2.4 Construcción de las tablas tipo B en Excel ...........................................41 2.3 EJERCICIOS PROPUESTOS .....................................................................52 2.4 CASO: LA GESTIÓN DEL GOBIERNO.......................................................56 2.5 CUESTIONARIO DE REPASO....................................................................583. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS ............................................................................60 3.1 GRÁFICOS DE SECTORES .......................................................................60 3.1.1 Ejemplo de gráficos de sectores ...........................................................60 3.1.2 Características de los gráficos de sectores...........................................62 3.1.3 Construcción de los gráficos de sectores en Excel ...............................62 3.2 GRÁFICOS DE COLUMNAS.......................................................................69 3.2.1 Ejemplo de gráficos de columnas .........................................................69 3
  4. 4. 3.2.2 Características de los gráficos de columnas .........................................71 3.2.3 Construcción de los gráficos de columnas en Excel .............................72 3.3 HISTOGRAMA.............................................................................................76 3.3.1 Ejemplo de histogramas........................................................................76 3.3.2 Características de los histogramas .......................................................78 3.3.3 Construcción de histogramas en Excel .................................................79 3.4 POLÍGONOS DE FRECUENCIAS...............................................................81 3.4.1 Ejemplo de polígonos de frecuencias ...................................................81 3.4.2 Características de los polígonos de frecuencias ...................................83 3.4.3 Construcción de los polígonos de frecuencias en Excel ......................84 3.5 CURVAS SUAVIZADAS O CURVAS DE FRECUENCIAS..........................85 3.5.1 Construcción de las curvas suavizadas en Excel..................................85 3.5.2 Características de las curvas suavizadas .............................................86 3.6 OJIVAS........................................................................................................86 3.6.1 Ejemplo de ojivas ..................................................................................86 3.6.2 Características de las ojivas..................................................................88 3.6.3 Interpretando la información en las ojivas .............................................88 3.6.4 Construcción de ojivas en Excel ...........................................................89 3.7 PICTOGRAMAS ..........................................................................................94 3.7.1 Ejemplo de pictogramas........................................................................94 3.7.2 Características de los pictogramas .......................................................95 3.8 EJERCICIOS PROPUESTOS .....................................................................96 3.9 CASO: EL PROVEEDOR DE TUBOS DE ACERO ...................................100 3.10 CUESTIONARIO DE REPASO................................................................101CAPITULO 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL........................................104 4.1 LA MEDIA ARITMÉTICA ...........................................................................104 4.1.1 Media aritmética para datos no agrupados .........................................104 4.1.2 Ejemplo: la media aritmética para datos no agrupados ......................105 4.1.3 Media aritmética para datos agrupados ..............................................105 4.1.4 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A......106 4.1.5 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo B......1074
  5. 5. 4.1.6 Ejemplo: comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados y datos agrupados en tablas tipo B .......................................108 4.1.7 Cálculo de la media aritmética en Excel .............................................109 4.1.8 Ventajas ..............................................................................................113 4.1.9 Desventajas ........................................................................................113 4.2 LA MEDIANA .............................................................................................114 4.2.1 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos impar) .....................................................................................................................114 4.2.2 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos par) .115 4.2.3 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo A ..................115 4.2.4 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo B ..................117 4.2.5 La fórmula para calcular la mediana ...................................................118 4.2.6 Ubicando la mediana en el gráfico de ojiva.........................................119 4.2.7 Calculo de la mediana en Excel ..........................................................119 4.2.8 Ventajas ..............................................................................................120 4.2.9 Desventajas ........................................................................................120 4.3 LA MODA ..................................................................................................121 4.3.1 Ejemplo: moda para datos no agrupados ...........................................121 4.3.2 Ejemplo: moda para datos agrupados ................................................121 4.3.3 Calculo de la moda mediante fórmula.................................................122 4.3.4 Calculo de la mediana en Excel ..........................................................122 4.3.5 Ventajas ..............................................................................................124 4.3.6 Desventajas ........................................................................................124 4.4 EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................125 4.5 CASO: POBLACIÓN Y MUESTRA............................................................127 4.6 CUESTIONARIO DE REPASO..................................................................128CAPITULO 5: MEDIDAS DE DISPERSIÓN ........................................................131 5.1 DESVIACIÓN MEDIA ................................................................................131 5.1.1 Ejemplo: Desviación media para datos no agrupados ........................134 5.1.2 Ejemplo: Desviación media para datos agrupados .............................135 5.1.3 Cálculos de la desviación media en Excel ..........................................136 5.2 LA VARIANZA ...........................................................................................140 5
  6. 6. 5.2.1 Ejemplo: Varianza para datos no agrupados ......................................141 5.2.2 Ejemplo: Varianza para datos agrupados ...........................................141 5.2.3 Cálculo de la varianza en Excel ..........................................................142 5.3 DESVIACIÓN ESTÁNDAR ........................................................................146 5.3.1 Ejemplo: Desviación estándar para datos no agrupados ....................147 5.3.2 Ejemplo: Desviación estándar para datos agrupados .........................148 5.3.3 Cálculo de la Desviación estándar en Excel .......................................149 5.4 COEFICIENTE DE VARIACIÓN ................................................................152 5.4.1 Ejemplo: Desviación estándar para datos no agrupados ....................153 5.4.2 Calculo del coeficiente de variación en Excel .....................................155 5.5 EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................156 5.6 CASO: EL RÍO MAGDALENA ...................................................................158CAPITULO 6: MEDIDAS DE POSICIÓN.............................................................160 6.1 PERCENTILES..........................................................................................160 6.1.1 Ejemplo: Calculo de percentiles ..........................................................162 6.1.2 La fórmula para calcular percentiles ...................................................163 6.2 DECILES ...................................................................................................163 6.2.1 Ejemplo: Calculo de deciles ................................................................164 6.2.2 La fórmula para calcular deciles..........................................................166 6.3 CUARTILES...............................................................................................166 6.3.1 Ejemplo: Calculo de cuartiles ..............................................................167 6.3.2 La fórmula para calcular cuartiles .......................................................168 6.4 APLICACIÓN DE PERCENTILES Y CUARTILES EN EXCEL ..................169 6.5 LAS MEDIDAS DE POSICIÓN Y EL GRÁFICO DE OJIVA.......................171 6.6 EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................173 6.7 CUESTIONARIO DE REPASO..................................................................175CAPITULO 7: MEDIDAS DE FORMA .................................................................177 7.1 TIPOS DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA MÁS COMUNES ........177 7.1.1 Distribución simétrica ..........................................................................177 7.1.2 Distribución asimétrica ........................................................................178 7.2 RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA ................................179 7.2.1 Ejemplo: Relación entre la media, mediana y moda ...........................1806
  7. 7. 7.3 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA ................................................................181 7.3.1 Ejemplo: Cálculo del coeficiente de asimetría.....................................181 7.4 CURTOSIS ................................................................................................183 7.4.1 Ejemplo: Cálculo de la Curtosis ..........................................................184 7.5 EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................186ANEXO A. RESUMEN DE SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS ESTADÍSTICAS UNIDAD II .. 188ANEXO B. RESUMEN DE SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS ESTADÍSTICAS UNIDAD IV. 189ANEXO C. RESUMEN DE SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS ESTADÍSTICAS UNIDAD V . 190ANEXO D. RESUMEN DE SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS ESTADÍSTICAS UNIDAD VI 192ANEXO E. RESUMEN DE SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS ESTADÍSTICAS UNIDAD VII 193 7
  8. 8. PRÓLOGOEl lector seguramente se preguntará el porqué y para qué de un nuevo texto deestadística básica, con la abundancia de manuales de estadística como existenhoy día, de manera que se hace necesario, desde estas primeras páginas ponerleen conocimiento las diferencias de este nuevo texto con cualquier otro que hayatenido a mano.En efecto, en cuanto a contenido, es posible que usted, señor estudiante,docente, empresario o, en general, usuario de esta obra, sólo encuentre temascomunes a cualquier libro de estadística; no obstante encontrará un aspectodiferenciador que constituye un verdadero valor añadido que le permitirá agilizarel estudio de las técnicas estadísticas ahorrándole tiempo apreciable en el manejode datos y por ende dejándole un mayor espacio disponible para el análisis de lainformación requerida para la toma de decisiones.Es común en la enseñanza de la estadística en las escuelas de ingeniería,administración y demás disciplinas que la utilizan, que los docentes reclamen laadquisición de software especializado para el manejo de su asignatura, a lo queno siempre las instituciones responden con la debida diligencia. Pero aún cuandohaya respuesta positiva en este sentido, que las instituciones se preocupen pormantenerse actualizadas en materia de software licenciado, en ocasiones éstosrevisten tal complejidad en su manejo que tanto estudiantes como profesoresdesisten de su uso, permaneciendo la enseñanza de esta materia en unasituación de “manualidad” que obliga a que la mayor parte del tiempopresupuestado para su desarrollo se invierta en la llamada “carpintería” y muypoco en el análisis, cual es la finalidad última si se desea hacer uso óptimo de lainformación disponible.La obra que hoy ofrecemos a la comunidad académica y empresarial cuenta conla ventaja de estar basada en Excel®, un software al alcance de cualquierinstitución o persona y de fácil manejo por parte de cualquier usuario, de tal formaque al tiempo que se imparte la asignatura se logra tanto el dominio de laestadística como del Excel®, una valiosa herramienta para la gestión de procesosadministrativos a cualquier nivel.Los estudiantes de la estadística descriptiva encontrarán en este texto losconceptos básicos y la metodología para la manipulación de datos para producirla información relevante para el uso requerido.Esperamos que el libro tenga la acogida que se merece pues, siendo un tantoinmodestos, pretendemos que constituya un aporte significativo a la mejora de losmétodos de enseñanza de esta importante asignatura, Los autores8
  9. 9. LOS AUTORES VÍCTOR MANUEL QUESADA IBARGUEN: Docente Titular de la Universidad de Cartagena en el área de los métodos cuantitativos del programa de Administración Industrial. Ingeniero Industrial de la Universidad INCCA, Especialista en Finanzas U. del Valle, Especialista en Investigación U. de Cartagena, Magíster en Economía de la Universidad Nacional de Colombia, Ph.D. Ingeniería de Organización, Universidad de Sevilla España.Perteneciente al Grupo de Investigación de Métodos Cuantitativos deGestión (GMCG). Libros publicados: Programación Lineal (S/ISBN),Programación Lineal y Entera. ISBN 958 – 33 – 0588 – X (1997),Productividad y Eficiencia en la Empresa: Un Enfoque Práctico ISBN-958-9230-19-9 (2003), Métodos Cuantitativos con WINQSB ISBN-978-84-690-3681-5 (2007).Correo electrónico: quesastoque@une.com.co JUAN CARLOS VERGARA SCHMALBACH: Ingeniero Industrial de la Universidad Tecnológica de Bolívar, especialista en finanzas de la Universidad de Cartagena y magister en Administración de Empresas de la Universidad Nacional. Docente de tiempo completo de la Universidad de Cartagena en el área de los métodos cuantitativos del programa de Administración Industrial. Perteneciente al Grupode Investigación de Métodos Cuantitativos de Gestión (GMCG). Librospublicados: Métodos Cuantitativos con WINQSB ISBN- 978-84-690-3681-5 (2006).Correo Electrónico: juancarlosvergaras@yahoo.com.mx. Página WEB:http://juancarlosvergara.50webs.org.Página WEB grupo métodos cuantitativos de gestión: http://metodoscuantitativos.50webs.org 9
  10. 10. LIBRO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CON WINQSB El libro MÉTODOS CUANTITATIVOS CON WINQSB lo introducirá en el apasionante mundo de la solución de problemas complejos mediante el uso de software para computadoras. WINQSB es una aplicación versátil que permite la solución de una gran cantidad de problemas desde niveles administrativos, producción, recurso humano hasta la dirección de proyectos. Debido a su facilidad y potencia de manejo, este libro se convierte en una herramienta indispensable para el estudiante de pregrado o postgrado que participa en materias relacionadas como la investigación de operaciones, los métodos de trabajo, planeación de la producción, evaluación de proyectos, control de calidad, simulación, estadística, entre otras. Los módulos tratados en este libro son: - Programación Lineal y Entera - Programación por Metas - PERT – CPM - Planeación Agregada - Pronósticos - Teoría y Sistemas de Inventario - Análisis de Decisiones - Planeación de Requerimiento de Materiales (MRP) - Programación Dinámica - Modelos de Redes - Teoría y simulación de colas - Cadenas de MarkovPuede conseguir la versión electrónica en la página web http://www.eumed.net oen http://metodoscuantitativos.50webs.org10
  11. 11. INTRODUCCIÓNEl libro ESTADÍSTICA BÁSICA CON APLICACIONES EN MS EXCEL® estadiseñado como un texto introductorio hacia la Estadística Descriptiva, a partir deejercicios resueltos paso a paso, utilizando como complemento Microsoft Excel®.Al terminar el curso, el estudiante comprenderá el origen de la Estadística, losmétodos cuantitativos básicos para el tratamiento de datos y un manejo en lasfunciones estadísticas ofrecidas por Microsoft Excel®.El libro cuenta con siete capítulos donde se presenta una introducción teórica,ejercicios resueltos paso a paso, ejercicios propuestos, un cuestionario y unresumen de fórmulas utilizadas por capitulo. La temática tratada se resume en:Capitulo 1 - Introducción a la estadística: Incluye una breve historia del origen ydesarrollo de la estadística. Al igual que los conceptos básicos necesarios parainiciar el curso.Capitulo 2 – Tablas de frecuencia: Tabulación de datos en tablas simples(llamadas tipo A) y con intervalos de clases (tipo B).Capitulo 3 – Gráficos estadísticos: Gráficos construidos a partir de las tablas defrecuencias.Capitulo 4 – Medidas de tendencia central: Calculo de la media, mediana y moda.Capitulo 5 – Medidas de dispersión: Cálculo de la desviación media, varianza ydesviación estándar.Capitulo 6 – Medidas de posición: Cálculo de percentiles, Deciles y cuartiles.Capitulo 7 – Medidas de forma: Cálculo de indicadores que identifican la forma enque se distribuyen los datos.El libro cuenta con pequeños iconos que identifican secciones especiales: Identificador de definiciones de términos estadísticos Ejercicio resuelto en Microsoft Excel® Formato de la función estadística empleada en Microsoft Excel® 11
  12. 12. CAPITULO 1INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA En este capitulo se hará un pequeño recorrido por la historia de la estadística, mencionando algunos de los personajes que la impulsaron, recalcando sus progresos y aportes a través del tiempo. Analizaremos los conceptos que adoptan los distintos autores sobre la definición de estadísticas y su clasificación. Por último, entenderemos la estadística como una herramienta de apoyo a la investigación de tipo cuantitativa, la cual se hace participe desde la recolección de datos hasta el análisis de los mismos.12
  13. 13. 1. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA1.1 UN POCO DE HISTORIAEl uso de herramientas cuantitativas para el tratamiento de datos, tiene origen enépocas remotas. Se tiene información de hace más 3000 años antes de Cristo,donde las antiguas civilizaciones, como la Egipcia, aplicaron continuamentecensos que ayudaban a la organización del estado y la construcción de laspirámides.El antiguo testamento nos sugiere que Moisés ordenó un “Censo” a la poblaciónIsraelita para identificar los miembros de las familias. En la antigua Grecia y elImperio Romano, era común la aplicación de censos para la planificación deimpuestos y la prestación del servicio militar.La palabra estadística deriva del latín moderno statisticum collegium (“consejo deestado”), del latín antiguo status (“posición”, “forma de gobierno”), de la palabraitaliana moderna statista (“estadista”, “político”) y del italiano antiguo stato(“estado”). En 1749, el alemán, Gottfried Achenwall (1719-1792) usa el términoStatistik en su libro titulado “Staatswissenschaft der vornehmen EuropäischenReiche und Republiken”, quien originalmente designó la palabra estadística parael análisis de los datos de un gobierno, definiéndola como la “Ciencia del Estado”.A Gottfried Achenwall se le conoce como el “Padre de la Estadística”.La primera persona que introdujo el término estadística en Inglaterra fue Sir JohnSinclair (1754-1835) con su trabajo “Statistical Account of Scotland” (1791-,1799)trabajo compilado en 21 volumenes. El autor explica en su libro, que la palabraestadística la adoptó gracias al estudio de investigaciones realizadas enAlemania, como una palabra novedosa que llamaría la atención de los ingleses; adiferencia, de que en Alemania la estadística se usa como instrumento para medirla fortaleza de un estado, mientras que Sinclair, la emplearía como generadora deinformación interna para encontrar falencias y proponer mejoras en el país. Aeste trabajo le siguieron dos publicaciones: la segunda edición elaborada entre1834 y 1845; la tercera edición comienza después de la segunda guerra mundialcomprendiendo los periodos entre 1951 y 1992.1A comienzos del siglo XIX, la palabra estadística adopta un significado másgeneralizado hacia la recolección y clasificación de cualquier tipo de datoscuantitativos.William Playfair (1759-1823) expone su idea de que los gráficos permiten unacomunicación más eficiente que las tablas de frecuencia. Es considerado como elinventor de los gráficos lineales, de barras y de sectores. Playfair publicó el librotitulado “The Commercial and Political Atlas” (1786) el cual contiene 43 gráficos1 Para obtener el texto completo de las ediciones puede dirigirse al siguiente link http://edina.ac.uk/stat-acc-scot 13
  14. 14. de series de tiempo y por primera vez, es usado un gráfico de barras. En 1801utiliza el primer gráfico de sectores en su obra “Playfair’s Statistical Breviary”.Sir Francis Galton (1822-1911) creó el concepto estadístico de regresión ycorrelación, y fue el primero en aplicar métodos estadísticos para estudiar lasdiferencias humanas basado en el uso de cuestionarios y entrevistas pararecolectar los datos.Herman Hollerith (1860-1929) fue un estadístico estadounidense quien desarrollola primera máquina tabuladora basada en tarjetas perforadas y mecanismoseléctrico-mecánicos para el tratamiento rápido de millones de datos. Su máquinafue usada en el censo de 1890 en estados unidos que redujo la tabulación de losdatos de 7 años (censo de 1880) a 2.5 años. Creó la firma “Computing TabulatingRecording Corporation (CTR)”, que bajo la presidencia de Thomas J. Watson fuerenombrada a “International Business Machines (IBM)” en 1924.Major Greenwwod (1880-1949) investiga los problemas de salud asociados altrabajo en fábricas. Desarrolló la Epidemiología y en 1919 creó el Ministerio de laSalud en Inglaterra, responsable de datos estadísticos médicos.1.2 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓNComo vimos en el apartado anterior, la estadística a variado su significado através del tiempo, pasando de ser una herramienta usada solo para laadministración de los gobiernos, a una ciencia con un sin fin de aplicaciones endiferentes disciplinas. Estadística: La enciclopedia Británica define la estadística como la ciencia encargada de recolectar, analizar, presentar e interpretar datos.La estadística pasa a ser una ciencia básica cuyo objetivo principal es elprocesamiento y análisis de grandes volúmenes de datos, resumiéndolos entablas, gráficos e indicadores (estadísticos), que permiten la fácil compresión delas características concernientes al fenómeno estudiado. Estadística: El famoso diccionario Ingles Word Reference define la estadística como un área de la matemática aplicada orientada a la recolección e interpretación de datos cuantitativos y al uso de la teoría de la probabilidad para calcular los parámetros de una población. Estadístico: Cualquier característica medible calculada sobre una muestra o población.Los datos pueden provenir de una población o muestra. Esto datos deben sercuantitativos, para así poder aplicar sobre ellos, operaciones aritméticas.14
  15. 15. Muestra: Es un subconjunto de una población. Una muestra es representativa cuando los elementos son seleccionados de tal forma que pongan de manifiesto las características de una población. Su característica más importante es la representatividad. La selección de los elementos que conforman una muestra pueden ser realizados de forma probabilística o aleatoria (al azar), o no probabilística. Muestra Población1.2.1 Clasificación de la estadísticaLa estadística se puede clasificar en dos grandes ramas: • Estadística descriptiva o deductiva. • Estadística inferencial o inductiva.La primera se emplea simplemente para resumir de forma numérica o gráfica unconjunto de datos. Se restringe a describir los datos que se analizan. Siaplicamos las herramientas ofrecidas por la estadística descriptiva a una muestra,solo nos limitaremos a describir los datos encontrados en dicha muestra, no sepodrá generalizar la información hacia la población. La estadística inferencialpermite realizar conclusiones o inferencias, basándose en los datos simplificadosy analizados de una muestra hacia la población o universo. Por ejemplo, a partirde una muestra representativa tomada a los habitantes de una ciudad, se podráinferir la votación de todos los ciudadanos que cumplan los requisitos con un errorde aproximación. 15
  16. 16. 1.3 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICAEl proceso de aplicación de la estadística implica una serie de pasos: 1. Selección y determinación de la población o muestra y las características contenidas que se desean estudiar. En el caso de que se desee tomar una muestra, es necesario determinar el tamaño de la misma y el tipo de muestreo a realizar (probabilístico o no probabilístico). 2. Obtención de los datos. Esta puede ser realizada mediante la observación directa de los elementos, la aplicación de encuestas y entrevistas, y la realización de experimentos. 3. Clasificación, tabulación y organización de los datos. La clasificación incluye el tratamiento de los datos considerados anómalos que pueden en un momento dado, falsear un análisis de los indicadores estadísticos. La tabulación implica el resumen de los datos en tablas y gráficos estadísticos. 4. Análisis descriptivo de los datos. El análisis se complementa con la obtención de indicadores estadísticos como las medidas: de tendencia central, dispersión, posición y forma. 5. Análisis inferencial de los datos. Se aplican técnicas de tratamiento de datos que involucran elementos probabilísticos que permiten inferir conclusiones de una muestra hacia la población (opcional). 6. Elaboración de conclusiones. Se construye el informe final. PASO 1 PASO 2 PASO 3 Selección y Obtención de los datos Clasificación, tabulación determinación de la (observación, encuesta, y organización. población o muestra experimento) PASO 6 PASO 5 PASO 4 Informe final Análisis inferencial Análisis descriptivo (opcional)16
  17. 17. CAPITULO 2TABLAS DE FRECUENCIA El principal objetivo de la estadística descriptiva es sintetizar conjuntos de datos mediante tablas o gráficos resumen, con el fin de poder identificar el comportamiento característico de un fenómeno y facilitar su análisis exhaustivo. Cualquier investigación que se emprenda puede conducir a la acumulación de valores cuantitativos y cuasi-cualitativos correspondientes a las diversas medidas efectuadas. Esta posibilidad, convierte a la estadística en una herramienta vital para el tratamiento de volúmenes de datos mediante tablas resúmenes conocidas como "Tablas de Frecuencia". Cuando los datos son agrupados, la interpretación resulta ser más sencilla. 17
  18. 18. 2. LAS TABLAS DE FRECUENCIA Tablas de Frecuencia: Tablas estadísticas que agrupan diversos valores de una variable, simplificando los datos.Para entender como funcionan las tablas de frecuencia, analicemos el siguienteejemplo:Una persona lanza una moneda 10 veces, y registra si el lado superior cae encara (C) o sello (S). Los resultados del experimento se muestran a continuación: C, S, S, C, C, S, S, C, S, CLa forma de simplificar los datos anteriores equivale a contar cuantas veces serepite cada lado de la moneda. A esta operación la conoceremos como“frecuencia Absoluta”. Frecuencia Absoluta (f): Numero de veces que se repite un valor dentro de un conjunto de datos.El lado cara se repitió 5 veces y el lado sello 5 veces. Nótese que la suma de lasfrecuencias equivale al total de lanzamientos. Lado Frecuencia ( f ) Cara (C) 5 Sello (S) 5Podemos identificar dos tipos de tablas de frecuencias, las cuales denotaremoscomo tablas tipo A y B.2.1 CONSTRUCCIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LASTABLAS TIPO ALas Tablas Tipo A se caracterizan por manejar un conjunto pequeño de posiblesresultados de una variable dentro de la muestra o población. Por lo general, suuso tiende al manejo de datos cualitativos o variables cuantitativas discretas.2.1.1 Ejemplo tabla de frecuencia tipo AUna empresa decide medir el grado de aceptación de 10 clientes sobre un nuevoproducto que hace poco salió al mercado. Para tal fin, se les pide que valoren,empleando una escala del 1 al 5, su opinión frente al producto. (1 = Muy Malo, 2= Malo, 3 = Regular, 4 = Bueno y 5 = Excelente). Las respuestas tabuladas delos 10 clientes son:18
  19. 19. Cliente Respuesta 1 2 2 5 3 4 4 5 5 4 6 3 7 4 8 5 9 3 10 5En presencia de estos puntajes, la persona encargada del proyecto, pide que sesimplifiquen y luego se interpreten los datos.SOLUCIÓNComo podemos observar, el numero de resultados que puede alcanzar la variablegrado de aceptación son relativamente pocos (solo cinco posibilidades), por locual identificaremos la tabla de frecuencia resultante como una Tabla Tipo A.Otra forma de catalogar los datos es conociendo la distancia o variación que hayentre el valor menor (Xmin) y el valor mayor (Xmax), diferencia que de ahora enadelante la conoceremos como “Rango”. Rango (R): Diferencia existente entre el valor Máximo (Xmax) y el valor Mínimo (Xmin) de un conjunto de datos. La fórmula empleada es: R = X max − X minEn nuestro ejemplo R seria igual a 4. R = 5 −1 R=4Si el rango manejado es pequeño, bastara representar los datos con una tablaTipo A. Para crear esta tabla deberemos seguir los siguientes pasos:PASO 1: Contar las veces que se repite cada valor dentro de la muestra.PASO 2: Ubicar estas frecuencias en una tabla ordenada. 19
  20. 20. Grado de Aceptación Frecuencia (f) 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 TOTAL 10Ninguno de los clientes valoró al producto como muy malo (grado de aceptaciónigual a 1), mientras que la mayoría de las respuestas se centraron en valorar alproducto como Excelente y Bueno (grado de aceptación iguales a 5 y 4respectivamente).Observando los datos resumidos, podemos concluir que la mayoría de laspersonas encuestadas tienen una visión favorable del nuevo producto. Quedaclaro, como la tabla de frecuencia agiliza el análisis de los datos.Nótese que la sumatoria de las frecuencias es igual al número de personasencuestadas (10), por lo cual podemos llegar a la siguiente conclusión: Nc ∑f i =1 i =nDonde Nc representa el número de posibles resultados tabulados en la tabla (quede ahora en adelante se le conocerán como “clases”). En el caso de que seentreviste a toda la población, la fórmula se adaptaría así: Nc ∑f i =1 i =NLa estadística considera otros tipos de frecuencias auxiliares que complementanel análisis de las tablas de frecuencia. Frecuencia Absoluta Acumulada (F): Presenta un saldo acumulado de las frecuencias de los intervalos. Esta frecuencia se calcula sumando el acumulado de las frecuencias de los intervalos anteriores más la frecuencia absoluta del intervalo actual. Fi = Fi −1 + f i20
  21. 21. La Frecuencia Absoluta Acumulada del último intervalo es igual al tamaño de lamuestra (o población). Siguiendo con el ejemplo, tenemos: Grado de aceptación 1: F1 = 0 Grado de aceptación 2: F2 = 0 + 1 = 1 Grado de aceptación 3: F3 = 1 + 2 = 3 Grado de aceptación 4: F4 = 3 + 3 = 6 Grado de aceptación 5: F5 = 6 + 4 = 10Esta frecuencia no proporciona de inmediato el número de casos que queda pordebajo de cada clase. La F4, por ejemplo, nos dice que seis personas opinaronque el producto se encontraba entre muy malo y bueno. Frecuencia Relativa (h): Equivale a la razón de las frecuencias de cada intervalo sobre la totalidad de los datos (n o N, dependiendo del caso). Matemáticamente se expresa: fi hi = nPara el ejemplo, las frecuencias relativas son: 0 h1 = =0 Grado de aceptación 1: 10 1 h2 = = 0,1 Grado de aceptación 2: 10 ó 10% 2 h3 = = 0,2 Grado de aceptación 3: 10 ó 20% 3 h4 = = 0,3 Grado de aceptación 4: 10 ó 30% 4 h5 = = 0,4 Grado de aceptación 5: 10 ó 40%La sumatoria de las frecuencias relativas debe ser igual a 1 (si se trabaja estosvalores como porcentaje, equivaldría al 100% de los datos). Nc ∑h i =1 i =1El 40% de las personas encuestadas (h5), opinaron que el producto es excelente. 21
  22. 22. Frecuencia Relativa Acumulada (H): Presenta un saldo acumulado de las frecuencias relativas de cada intervalo de clase. Su cálculo resulta de la suma del acumulado de las frecuencias relativas de los intervalos anteriores más la frecuencia relativa del intervalo actual. H i = H i −1 + hiLa última de las Frecuencias Relativas Acumuladas equivale a 1. Las tablas defrecuencias suelen mostrar tanto las frecuencias absolutas, como relativas. Grado de Aceptación (Clase) F F h H 1 0 0 0,0 0,0 2 1 1 0,1 0,1 3 2 3 0,2 0,3 4 3 6 0,3 0,6 5 4 10 0,4 1,0 TOTAL 10 1,02.1.2 Características de las tablas Tipo A- El número de posibles valores que toma la variable debe ser reducido. (Rangopequeño).- Suele ser utilizada en la cuantificación de las variables cuasi-cualitativas.- Maneja variables cuantitativas cuyos valores son preferiblemente discretos.- Su construcción es sencilla.- La interpretación equivale a especificar la frecuencia de cada resultado.2.1.3 Construcción de las tablas Tipo A en Excel Creemos un archivo nuevo en Microsoft ® Excel pulsando sobre la opción Nuevo en el menú Archivo o pulsando sobre el botón que se encuentra en la barra de herramientas.Aquellos que posean la versión 2007, deberán oprimir el botón ARCHIVO que seencuentra en la esquina superior izquierda de la ventana.22
  23. 23. Ubiquémonos a partir de la celda B2 y escribamos los siguientes datos (unapalabra en cada celda): Azul Verde Rojo Blanco Rojo Verde Rojo Rojo Azul Azul Blanco Verde Azul Rojo Verde Azul Azul Rojo Verde Azul Rojo Verde Verde Azul Rojo Negro Negro Negro Azul Verde Verde Verde Blanco Azul Rojo Negro Negro Azul Negro Blanco Rojo Azul Blanco Azul Negro Azul Azul Blanco Azul Rojo Blanco Rojo Blanco Rojo Blanco Verde Blanco Azul Verde Azul Rojo Verde Negro Blanco Rojo Azul Azul Rojo Azul BlancoEn Excel debería verse así: 23
  24. 24. Construyamos la estructura de nuestra tabla de frecuencia dejando espacio parala frecuencia absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada a partirde la celda B13:Para determinar la cantidad de colores azul que existen en los datos inicialesemplearemos la siguiente fórmula: CONTAR.SI: Permite contar una palabra, número o carácter especial dentro de un conjunto de datos. Formato: CONTAR.SI(rango;criterio) Categoría: EstadísticaUbicándonos en la celda C14 activaremos la fórmula CONTAR.SI pulsando sobreel botón o en la opción Función en el menú Insertar.En Microsoft Excel 2007 deberá ingresar en la ficha FÓRMULAS y luego pulsarsobre el botón ASISTENTE PARA FUNCIONES.24
  25. 25. Esto generará una ventana donde se encuentran todas las funciones disponiblesen Excel. Localicemos nuestra función y pulsemos en el botón Aceptar.La función CONTAR.SI requiere de dos parámetros: • El rango, equivalente a los datos iniciales. • El criterio, haciendo alusión al valor que se desea contar 25
  26. 26. Pulsemos en el botón designado para el Rango, el cual reduce la ventana dela función. Luego con ayuda del Mouse, seleccionamos los datos iniciales delejemplo (B2:H11):Pulsemos la tecla Enter o en el botón para regresar a la ventana de la función.Luego seguimos los mismos pasos para el parámetro Criterio, teniendo en cuentaque solo seleccionaremos el color que deseamos contar dentro de los datosiniciales (el Azul):26
  27. 27. Nos valdremos de la celda B13 en nuestra tabla de frecuencia donde seencuentran el listado de los colores:Regresamos a la ventana de la función y pulsamos en el botón Aceptar: 27
  28. 28. Debe aparecer el valor 21, indicando que existen 21 aciertos en los datosiniciales. Para calcular la frecuencia del color Rojo debemos seguir los mismospasos que para el color Azul.Para ahorrarnos este trabajo, Excel tiene la opción de arrastrar fórmulas a otrasceldas. En nuestro caso arrastraríamos la fórmula a las celdas C15, C16, C17 yC18. Para que esto tenga efecto debemos ajustar la fórmula inicial:El rango B2:H11 marca los datos iniciales, mientras que la celda B14 indica elcolor que se va a contar. La celda B14 debe variar para poder asignar los otroscolores, mientras que el rango de datos iniciales se debe mantener fijo (los datosiniciales serán siempre los mismos). Ubiquemos el cursor en la Barra de Fórmulasal comienzo de la celda B2 y pulsemos la tecla F4; de igual horma hacemos estopara la celda H11. El resultado debería verse como sigue:Lo que hicimos se conoce como Referencia Fija de Celda y permite que a lahora de arrastrar la fórmula, las celdas fijadas no varíen.Para arrastrar la celda debemos ubicar el Mouse en la esquina inferior derecha dela celda C14 hasta que el puntero cambie a una cruz negra delgada. Justo en esemomento, pulsaremos el botón izquierdo del Mouse y arrastramos hacia la celdaC18:El resultado final debería verse como sigue:28
  29. 29. Recordemos que la sumatoria de las Frecuencias Absolutas equivale al tamañodel conjunto de los datos iniciales. Para verificar esto emplearemos una nuevafunción llamada SUMA. SUMA: Suma todos los números en un rango de celdas Formato: SUMA(número1;número2;…) Categoría: Matemáticas y TrigonométricasAmpliemos la tabla de frecuencia para incluir una fila al final cuyo encabezado seaTotal:En la celda C19, ubiquemos la función SUMA de la forma explicada en la funciónanterior o pulsando sobre el botón . De forma automática se seleccionará elrango de celdas C14:C18. 29
  30. 30. Pulsemos la tecla ENTER para ver el resultado de la sumatoria:La primera Frecuencia Absoluta Acumulada será igual a la primera FrecuenciaAbsoluta (21). En la celda D14 colocaremos el signo igual y luego pulsaremossobre la celda C14 para trasladar su valor (recuerde pulsar la tecla Enter):La Frecuencia Absoluta Acumulada para el color Rojo (D15) equivale a laFrecuencia Absoluta Acumulada del color Azul (D14) más la Frecuencia Absolutadel color Rojo (C15). En Excel se vería como sigue:30
  31. 31. Para calcular el resto de Frecuencias, arrastraremos la fórmula que esta en D15hasta la celda D18. El resultado final se muestra a continuación:Para calcular las Frecuencias Relativas (h) tomaremos cada Frecuencia Absolutay la dividiremos sobre el total de datos (C19).Nótese que para poder arrastrar la fórmula debemos fijar primero la celda C19 (eltotal no varía).El calculo de la Frecuencia Relativa Acumulada (H) lo haremos de forma similarque el calculo de la Frecuencia Absoluta Acumulada (F). La tabla final defrecuencia es (se cambiaron los formatos): 31
  32. 32. 2.2 CONSTRUCCIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LASTABLAS TIPO BEste tipo de tablas suelen ser utilizadas cuando el número de resultados posiblesque puede obtener una variable son tan amplios, que una Tabla Tipo A haría muypoco en resumirlos (estos datos representan un rango muy amplio).Debido a esta cantidad de valores, será necesario agruparlos mediante intervalos(la estadística los llama “Intervalos de Clases”).Por ejemplo, en el caso de contar con una valoración del 1 al 100 (un rangoequivalente a 99), una tabla de frecuencia Tipo A se encargaría de buscarcuantas veces se repite cada uno de los 99 posibles resultados en un conjunto dedatos, teniendo una función contraria a la de resumir los datos.Agrupar los valores de la variable en intervalos podría simplificar estas fuentes dedatos. Por ejemplo, podríamos hablar de las frecuencias para los valorescomprendidos entre 0-20, 20-40, 40-60, 60-80 y 80-100.En el intervalo 0-20 (que de ahora en adelante le llamaremos intervalo de clase),se sumaran las frecuencias de los datos cuyos resultados estén entre 0 y 20. Intervalo de clase: Intervalos empleados en las Tablas de Frecuencias Estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Lm) y un límite superior (Ls).Otro punto importante que el estadista debe definir, es la cantidad de intervalos declase que empleará en la tabla de frecuencia. Esta cantidad de intervalos nodeberían ser muchos, debido a que no se cumpliría el objetivo de resumir lainformación, y no tan pocos intervalos, ya que se perdería mucha información.No existe una formula, ni unos principios únicos para establecer el numero deintervalos. Para nuestro libro, optaremos por manejar un número de intervalosconvenientes entre 5 y 15.Algunos autores han propuestos formulas que permiten ayudar en la tarea deconseguir el numero ideal de intervalos. Numero de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia.La primera, la más conocida, establece el número de intervalos al obtener la raízcuadrada del total de elementos considerados en el estudio.32
  33. 33. Nc = n 2Cuando se trabajan con muestras mayores a 225, la formula obtiene un Ncsuperior a 15, por tanto, recomendaremos para estos casos la siguiente formula: 1 + 3,22 log nSi en ambas formulas obtenemos un Nc mayor a 15, simplemente tomaremos 15intervalos. El estadista podrá omitir los resultados de las formulas y conseguiráseleccionar el numero de intervalos que crea son los mas adecuados, de acuerdoal objeto del estudio o las características que desea mostrar de la variable.Cada intervalo posee un número máximo de resultados que puede agrupar. Aeste valor lo conoceremos como el “Ancho del Intervalo de Clase (A)”. Ancho del intervalo de Clase (A): Equivale a la diferencia entre el Limite superior (Ls) y el Limite inferior (Lm) de cada intervalo. Matemáticamente se expresa: A = Ls − Lm Su cálculo resulta de la división del Rango (R) entre el Número de Intervalos (Nc) A = R / NcHay que aclarar, que el ancho puede variar entre los intervalos, pero por razonesestéticas, comprensión y para facilitar el análisis, se recomienda manejar unancho común.A continuación expondremos un ejemplo completo de tablas tipo B.2.2.1 Ejemplo 1: tablas de frecuencia tipo BUn sondeo realizado en la Universidad de Cartagena sobre 30 alumnos del sextosemestre de Administración Industrial, pretende mostrar que edad es la másrepresentativa.2 En el caso de que hablemos de la población, reemplazaremos n por N. 33
  34. 34. Las edades de los alumnos fueron: 17 17 19 19 31 21 18 27 21 22 24 19 25 24 24 23 20 29 21 19 21 22 21 20 20 19 19 23 20 21Elabore una tabla de frecuencia que resuma los resultados.SOLUCIÓNAntes de elaborar la tabla de frecuencia, debemos definir cual de los dos tipospropuestos es el que mejor se adapta (Tipo A y Tipo B).Si resumimos los datos en una tabla tipo A, tendríamos una tabla muy extensa, enla cuales algunas frecuencias de las edades serian 0. Esto se debe a que elrango manejado es muy amplio (R = 31 - 17 = 14). Edad f 17 2 18 1 19 6 20 4 21 6 22 2 ,,, … 31 1 Total 30En el caso de que queramos agrupar aun más estos datos, trabajaríamos con elconcepto de intervalos de clase (Tabla Tipo B).PASO 1: Determinar el numero de intervalos (Nc).Optaremos por utilizar la primera formula expuesta: Nc = n Nc = 30 = 5,477 ≅ 6 IntervalosSe debe siempre aproximar el número de intervalos al entero más próximo,recordando que este valor no será menor a 5, ni un valor mayor a 15. Nuestratabla estará constituida por seis intervalos.34
  35. 35. Paso 2: Determinar el ancho de cada intervalo.Antes de hallar el ancho de los intervalos de clase, debemos calcular el rango (R)como primera medida. R = 14Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho: R 14 A= = Nc 6 A = 2,333El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que enel conjunto de datos tratados. Como los datos son valores enteros (variablediscreta), aproximamos al entero superior. A≅3El ajuste del Ancho no podrá ser menor al valor obtenido inicialmente.Paso 3: Determinar el nuevo Rango (R’).En el momento de realizar el ajuste del ancho del intervalo, el rango seincrementa automáticamente. Este “Nuevo Rango” lo denotaremos como R’: R = A x Nc R = 3 x 6 = 18 Nuevo Rango (R’): Rango que es convenido por el Ancho de los intervalos a los decimales que son manejados en los datos objeto del estudio. Su calculo se realiza multiplicando el Ancho ajustado por el Número de Intervalos: R = A x NcEl rango se incremento en cuatro años. El incremento se le sumará al valorMáximo (Xmax’) o restará al valor Mínimo (Xmin’). En este caso optaremos poraumentar el valor Máximo y reducir el valor Mínimo en dos. Incremento = R−R = 18 − 14 = 4 X max = 31 + 2 = 33 X min = 17 − 2 = 15El alumno podrá repartir el incremento de la forma que crea más conveniente. 35
  36. 36. Este procedimiento permite encontrar los valores máximos y mínimos cuya restasea igual al nuevo Rango (R’) R = X max − X min = 18Paso 4: Determinar los intervalos de clases iniciales.Con los valores máximos y mínimos, y el ancho, podremos armar cada intervalode clase. El primer intervalo parte del valor mínimo, al cual le agregamos elancho. Ni Lm Ls 1 15 18El segundo intervalo parte del límite superior del intervalo anterior. Ni Lm Ls 1 15 18 2 18 21Seguimos realizando este proceso hasta alcanzar el valor máximo: Ni Lm Ls 1 15 18 2 18 21 3 21 24 4 24 27 5 27 30 6 30 33Esta primera distribución presenta algunos inconvenientes al momento de repartirlas frecuencias a cada intervalo de clase, por ejemplo, existen 6 personas del totalde encuestados que tienen una edad de 21 años, los cuales podrían serclasificados en el intervalo dos o en el tres. Ni Lm Ls 2 18 21 3 21 24Este caso se le conoce como el “Problema de la Ambigüedad”, y el cual debe sersolucionado antes de terminar la tabla de frecuencia tipo B.36
  37. 37. 2.2.2 El Problema de la Ambigüedad en las Tablas de Frecuencia TipoBPropondremos dos soluciones diferentes para resolver el problema de laambigüedad.2.2.2.1 Primera SoluciónSe trabajan con intervalos cuyos límites Superiores e Inferiores tendrán undecimal adicional sobre el número de decimales manejados en los datos.Por ejemplo, si el Limite Superior del primer intervalo es 21 y los datos trabajadosson valores enteros, el nuevo límite superior será 21,1. Si los datos trabajan conun decimal, el nuevo Limite Superior sería 21,01.El primer límite Inferior (Valor Mínimo) y el último límite Superior (Valor Máximo)se mantendrán sin modificación.El problema quedaría solucionado de la siguiente manera: Ni Lm Ls 2 18.1 21.1 3 21.1 24.1Las seis personas que tienen 21 años quedarían registradas en el intervalonúmero 2.2.2.2.2 Segunda SoluciónSe convierten los Limites Superior e Inferior en Límites Abiertos y Cerrados. Seconsidera como Límite Abierto aquel que admite un número superior, más noigual, al valor indicado. El Límite Cerrado puede admitirse así mismo.Los límites que son abiertos se identifican con el Paréntesis y los LímitesCerrados con el Corchete.La solución a nuestro problema quedaría: Ni Lm Ls 2 ( 18 21 ] 3 ( 21 24 ] 37
  38. 38. El valor 21 se ubica en el intervalo dos. Otra forma de colocar los intervalos es: Ni Lm Ls 2 [ 18 21 ) 3 [ 21 24 )El valor 21 se ubica ahora en el intervalo número tres. Continuando con elejemplo anterior:Paso 5: Determinar los intervalos de clases reales. Ni Lm Ls 1 15,0 18,1 2 18,1 21,1 3 21,1 24,1 4 24,1 27,1 5 27,1 30,1 6 30,1 33,0Paso 6: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y marcasde clases.Un valor representativo de los intervalos en las tablas de frecuencia son las“Marcas de Clase”. Marcas de Clase (Mc): Se define como el punto medio de un intervalo de clase. Ls + Lm Mc = 2Las marcas de clase son muy utilizadas en algunas gráficas estadísticas y encálculos que serán vistos posteriormente. Ni Lm Ls F F H H MC 1 15,0 18,1 3 3 0,10 0,10 16,6 2 18,1 21,1 16 19 0,53 0,63 19,6 3 21,1 24,1 7 26 0,23 0,87 22,6 4 24,1 27,1 2 28 0,07 0,93 25,6 5 27,1 30,1 1 29 0,03 0,97 28,6 6 30,1 33,0 1 30 0,03 1,00 31,6 Total 30 1,0038
  39. 39. 2.2.3 Ejemplo 2: tablas de frecuencia tipo BCrear una tabla tipo B que resuma los siguientes datos: 96,65 118,94 353,18 831,52 170,72 136,76 546,56 949,14 717,34 189,10 226,96 888,39 376,43 97,94 72,06 897,99 510,13 774,02 358,48 835,14 146,19 992,42 722,36 56,06 718,43 869,57 251,83 473,74 253,90 852,44 859,76 950,77 742,90 243,41 558,50 965,75 705,55 461,15 167,49 174,51 919,39 784,01 73,16 673,45 137,28 490,94 87,95 763,32 731,09 235,69 927,49 43,07 224,61 829,01Paso 1: Determinar el número de intervalos (Nc).Aplicamos la primera fórmula para determinar el número de intervalos de clase. Nc = n Nc = 54 = 7,348 ≅ 8 IntervalosPaso 2: Determinar el ancho de cada intervalo.Se determina el rango como primera medida. X mzx = 992,42 X min = 72,06 R = 992,42 − 72,06 = 920,36Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho: R 920,36 A= = Nc 8 A = 115,045El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que enel conjunto de datos tratados. A ≅ 115,05 39
  40. 40. Paso 3: Determinar el nuevo Rango (R’).Como el ancho fue ajustado, se procede a hallar el nuevo rango (R’). R = A x Nc R = 115,05 x 8 = 920,40El incremento entre el nuevo rango (R’) y el rango inicial (R), se reparte entre elvalor mínimo y el valor máximo Incremento = R −R = 920,40 − 920,36 = 0,04 X max = 992,42 + 0,02 = 992,44 X min = 72,06 − 0,02 = 72,04Paso 4: Determinar los intervalos de clases iniciales. Ni Lm Ls 1 72,04 187,09 2 187,09 302,14 3 302,14 417,19 4 417,19 532,24 5 532,24 647,29 6 647,29 762,34 7 762,34 877,39 8 877,39 992,44Paso 5: Determinar los intervalos de clases reales. Ni Lm Ls 1 72,040 187,091 2 187,091 302,141 3 302,141 417,191 4 417,191 532,241 5 532,241 647,291 6 647,291 762,341 7 762,341 877,391 8 877,391 992,44040
  41. 41. Paso 6: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y marcasde clases.Ni Lm Ls f F h H MC1 72,040 187,091 14 14 0,26 0,26 129,572 187,091 302,141 7 21 0,13 0,39 244,623 302,141 417,191 3 24 0,06 0,44 359,674 417,191 532,241 4 28 0,07 0,52 474,725 532,241 647,291 2 30 0,04 0,56 589,776 647,291 762,341 7 37 0,13 0,69 704,827 762,341 877,391 9 46 0,17 0,85 819,878 877,391 992,440 8 54 0,15 1,00 934,92 Total 54 1,002.2.4 Características de las tablas tipo B- El número de posibles valores que toma la variable es elevado. (Rango grande).- Se utiliza para el tratamiento de variables cuantitativas (discretas y continuas).- Su construcción es más compleja que en las tablas tipo A.- La interpretación equivale a especificar la frecuencia de cada intervalo de clase.- Presenta un componente adicional: las marcas de clase.2.2.4 Construcción de las tablas tipo B en Excel Desarrollemos los seis pasos para la construcción de tablas tipo B en Excel a partir del siguiente conjunto de datos (digítelos a partir de la celda B2): 30 32 17 28 79 20 5 8 69 1 72 24 76 29 47 11 22 67 60 4 39 71 19 27 64 28 56 41 70 4 44 24 62 65 30 76 3 28 78 6 78 79 1 13 29 64 16 37 3Paso 1: Determinar el número de intervalos (Nc).El número de intervalos depende del tamaño de la muestra o población de datos.Para obtener esta información utilizaremos una nueva función llamada CONTAR: 41
  42. 42. CONTAR: Cuenta un conjunto de celdas que posean números en su contenido Formato: CONTAR(ref1;ref2;…) Categoría: EstadísticasPara aplicar la fórmula, primero creemos una tabla resumen a partir de la celdaB10, que empiece por la cantidad de datos (n) y el número de intervalosEn la celda C10, ingresamos la función CONTAR:En Ref1, seleccionaremos el rango de celdas equivalentes a la totalidad de losdatos:42
  43. 43. Al pulsar Enter y luego el botón Aceptar, tendremos como resultado el conteo delas celdas que tienen números (49 datos en total).Aplicando la fórmula: Nc = nObtendremos un número de intervalos. La raíz cuadrada se consigue con lafórmula RAIZ: RAIZ: Calcula la raíz cuadrada de un número. Formato: RAIZ(número) Categoría: Matemáticas y TrigonométricasUbiquémonos en la celda C11 y activemos esta función. El parámetro númerocorresponde a la celda C10, cuyo valor es 49: 43
  44. 44. Al pulsar en Aceptar tendremos como resultado el valor 7, indicando que nuestratabla tendrá 7 intervalos de clase.Paso 2: Determinar el ancho de cada intervalo.Aumentemos nuestra tabla resumen con cuatro nuevas filas: valor mínimo (Xmin),valor máximo (Xmax), rango (R) y ancho del intervalo de clase (A):Para determinar el valor mínimo y máximo utilizaremos las dos siguientesfórmulas: MIN: Localiza y muestra el valor mínimo de un conjunto de números. Formato: MIN(número1;número2;…) Categoría: Estadísticas MAX: Localiza y muestra el valor máximo de un conjunto de números. Formato: MAX(número1;número2;…) Categoría: EstadísticasEn la casilla número1 de la función MIN, ubicaremos el rango correspondiente alos datos del ejercicio. Procedemos a hacer lo mismos con la función MAX.44
  45. 45. La tabla resumen debe quedar:El rango se calcula con una simple fórmula dada por la resta de C13 y C12. Elancho equivale a la división del rango (C14) y el número de intervalos (C11). =C13-C12 =C14/C11 45
  46. 46. Paso 3: Determinar el nuevo Rango (R’).Ajustemos primero el ancho del intervalo a 12 (para trabajar con valores enteros)con la siguiente función: MULTIPLO.SUPERIOR: Redondea un número hacia arriba. Formato: MULTIPLO.SUPERIOR(número;cifra_significativa) Categoría: Matemáticas y TrigonométricasCon una nueva fila encabezada por A’ (indica el ancho ajustado), activaremosesta función. En el parámetro número seleccionaremos la celda donde seencuentra el ancho sin ajustar (C15), y en cifra_significativa (equivale al múltiploal que se desea redondear), el valor de 1.El nuevo rango resulta de la multiplicación entre la celda C16 y C11:46
  47. 47. Sumaremos la diferencia entre R’ y R al valor máximo (para no afectar el valormínimo): =C12 =C13+(C14-C17)Paso 4 y paso 5: Determinar los intervalos de clases iniciales y reales.Construyamos la tabla de frecuencia para 7 intervalos de clase:El límite inferior para el primer intervalo de clase es 1 (Xmin’), siendo su límitesuperior 13 (Xmin’ más el ancho de clase). =C22+C16 =C18 47
  48. 48. El límite inferior de las siguientes clases es igual al límite superior de su claseanterior:Podremos arrastrar esta fórmula hasta el último intervalo de clase (C28):Para calcular los límites superior bastará con arrastrar la fórmula que esta en lacelda D22, fijando de antemano, la celda C16 que hace referencia al tamaño de laclase:El resultado de los intervalos iniciales es el siguiente:48
  49. 49. El problema de la ambigüedad se corregirá agregando al primer límite superior unvalor de 0,1 y restando al último este mismo valor:Paso 6: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y marcasde clases.Comencemos con la frecuencia absoluta (f). Para trabajar con intervalosemplearemos una nueva función: FRECUENCIA: Muestra el número de veces que se repite un número .dentro de un rango de celdas. Formato: FRECUENCIA(datos;grupos) Categoría: EstadísticasA partir de la celda E22, activamos la función FRECUENCIA mostrando unaventana que pide dos requisitos: datos, que equivale al rango de celda donde estálos datos iniciales y grupos, correspondiente en nuestro caso, a los límitessuperiores de la tabla de frecuencia. Datos 49
  50. 50. Límites superioresAl pulsar en Aceptar, Excel mostrará la frecuencia para el primer intervalo declase:50
  51. 51. Para el cálculo de las frecuencias restantes deberemos seguir los siguientespasos (dado que es una fórmula matricial): • Ubicados desde la celda E22, seleccione las celdas consecutivas hasta C28. • Pulse la tecla F2. • Luego pulse de forma conjunta las teclas Control + Mayúsculas + Enter. Ctrl + +El resultado final es:Determine el resto de las frecuencias empleando los mismos pasos vistos paralas tablas tipo A. El cálculo de las marcas de clase se hace tomando la suma delos dos límites dividido entre dos. La primera marca de clase es el resultado de:La tabla definitiva (con algunos cambios en el formato) es: 51
  52. 52. 2.3 EJERCICIOS PROPUESTOS2.3.1 Realice una tabla de frecuencia que resuma los siguientes datos: 1, 6, 8, 4, 5, 3, 4, 1, 1, 5, 3, 8, 7, 4, 6, 2, 8, 9, 3, 4, 10, 2.a. ¿Cuál es el dato que mas se repite?b. ¿Cuál es el dato que menos se repite?c. ¿Cuál es el Rango?d. ¿Qué tipo de tabla sería la más conveniente para agrupar estos datos?2.3.2 Crear una tabla de frecuencia que permita agrupar los siguientes datoscualitativos Rojo Verde Azul Verde Negro Amarillo Azul Rojo Rojo Verde Negro Azul Blanco Negro Verde Rojo Negro Rojo Blanco Azul Rojo Verde Verde Negro2.3.3 Un grupo de personas valora la gestión del departamento de servicio alcliente de un supermercado catalogándolo como: Excelente (E), Bueno (B),Regular (R) o Malo (M). Los resultados obtenidos son: E B B R E M B E B R R R M B B E M E R R B B E R R B B E R M E E B E B B R M R Ea) Elabore una tabla de frecuencia que permita resumir los datosb) ¿Que porcentaje de personas valoró la Gestión del Departamento comoBuena?c) ¿Cuantas personas valoraron la gestión como Excelente y Buena?d) Interprete f3, F3, h3 y H3.52
  53. 53. 2.3.4 Agrupe los siguientes datos en una Tabla de Frecuencia 23 21 43 41 19 29 17 33 35 30 25 11 28 40 22 45 43 23 29 32 9 47 47 31 122.3.5 Agrupe los siguientes datos en una tabla de frecuencia 11,3 14,2 21 20,5 29,9 31,2 33,7 22,5 27,6 20,3 29,4 31,4 21 12,1 30 29,9 15,6 32,2 43 17,7 27,6 22,5 41,1 19,1 13,6 47,3 11 15,6 33,3 15,4 38,1 35,3 39,8 30 152.3.6 Los siguientes datos representan el diámetro interno en cm. de 30 tubospara acueducto tomados como muestra dentro de un programa de calidad estatal. 14,1 14,2 13,9 14,7 12,9 15 14,1 14,5 14,9 13,6 14,5 14 15,1 14,7 13,8 14,2 14,2 14,7 13,9 13 14,6 14,1 14 14,8 14,7 15,2 13,5 14,2 14,8 14,5a) Elabore una tabla de frecuencia que agrupe los datos. Justifique la elección delTipo de Tabla usada.b) Interprete F2, F4 - F2, F4 - f3, f3 + f2.c) Interprete h1 + h2, H3 - H2, H3 - h22.3.7 Elabore una tabla de frecuencia que agrupe los siguientes datos. 200,23 145,81 178,15 133,9 149,11 211,64 176,59 124,45 194,58 144,32 157,21 174,38 121,04 193,2 139,45 201,55 174,73 147,83 230,99 212,71 53
  54. 54. 2.3.8 A continuación se muestran los ingresos registrados en 50 familiasseleccionadas al azar de estrato 3 en una importante ciudad: $ 582.400,00 $ 841.210,00 $ 458.882,00 $ 535.211,00 $ 283.427,00 $ 433.792,00 $ 413.914,00 $ 485.925,00 $ 463.710,00 $ 848.607,00 $ 417.028,00 $ 550.409,00 $ 291.932,00 $ 538.597,00 $ 438.579,00 $ 223.878,00 $ 280.678,00 $ 947.218,00 $ 240.334,00 $ 391.814,00 $ 622.441,00 $ 781.633,00 $ 503.314,00 $ 700.010,00 $ 762.212,00 $ 681.517,00 $ 593.656,00 $ 221.135,00 $ 570.688,00 $ 382.734,00 $ 431.972,00 $ 718.487,00 $ 688.648,00 $ 775.123,00 $ 592.240,00 $ 317.555,00 $ 341.204,00 $ 1.147.607,00 $ 303.165,00 $ 716.003,00 $ 696.637,00 $ 926.773,00 $ 380.497,00 $ 647.222,00 $ 315.031,00 $ 584.599,00 $ 635.302,00 $ 345.931,00 $ 753.701,00 $ 500.558,00 $ 617.137,00 $ 285.715,00 $ 262.217,00 $ 1.115.432,00 $ 551.668,00 $ 698.338,00 $ 398.000,00 $ 655.230,00 $ 821.100,00 $ 293.312,00 $ 346.031,00 $ 415.560,00 $ 558.260,00 $ 306.300,00 $ 394.019,00 $ 347.485,00 $ 341.103,00 $ 400.496,00 $ 469.799,00 $ 773.411,00 $ 357.441,00 $ 192.019,00 $ 191.021,00 $ 810.474,00 $ 504.725,00 $ 489.025,00 $ 382.482,00 $ 353.289,00 $ 376.616,00 $ 480.314,00 $ 385.656,00 $ 705.757,00 $ 978.298,00 $ 272.328,00 $ 452.318,00 $ 736.707,00 $ 576.128,00 $ 310.504,00 $ 384.916,00 $ 584.196,00 $ 465.540,00 $ 828.898,00 $ 690.247,00 $ 920.824,00 $ 310.504,00 $ 480.314,00 $ 750.317,00 $ 1.115.851,00 $ 828.898,00 $ 272.328,00Construya una tabla de frecuencia que agrupe los datos en 10 intervalos de clase.2.3.9 A partir de la siguiente tabla de frecuencias con datos parciales: Nc Lm Ls f F h H 1 (10 14] 10 2 (14 18] 15 3 (18 22] 31 4 (22 26] 42 5 (26 30] 55 TOTALa) Calcule las frecuencias faltantes (f, h y H)b) Modifique la tabla de frecuencia para que incluya los siguientes datos: 14, 22,26, 27y 28.54
  55. 55. 2.3.10 Debido a un grave accidente, el gerente de una compañía consultoraperdió información de un estudio de mercado que realizó a una importantecompañía a nivel nacional de gaseosas. Solo se conoce algunos datos parcialessobre una entrevista que se elaboró a 150 personas. Nc Lm Ls f F h H 1 0,0 2,1 24 24 0,16 0,16 2 2,1 4,1 38 62 0,25 0,41 3 4,1 6,1 45 107 0,30 0,71 4 6,1 8,1 16 123 0,11 0,82 5 8,1 10,1 8 131 0,05 0,87 6 10,1 12,1 17 148 0,11 0,99 7 12,1 14,0 2 150 0,01 1,00 TOTAL 150 1,00Reconstruya la tabla de frecuencia.¿Cuantas personas toman menos de 4 gaseosas por semana?¿Cuantas personas toman al menos 3 gaseosas por semana? 55
  56. 56. 2.4 CASO: LA GESTIÓN DEL GOBIERNOEl alcalde de un pequeño pueblo, el Dr. Fernández, se siente preocupado porciertos comentarios que rondan en la calle, en los cuales, lo critican de habersedesempeñado mal en el cargo. El asesor de imagen cree que estas conjeturasson falsas, y propone al Centro de Planeación que realice una encuesta sobrealgunas familias (según el DANE, el pueblo cuenta con 1.500 familias) con elpropósito de obtener cierta información de la gestión del gobierno actual.La encuesta presentada por planeación fue la siguiente:1. Califique de 1 a 5 la gestión del gobierno municipal (siendo 1 el menor valor y 5el máximo). _________________2. Marque con una X. En cuál de las siguientes áreas el gobierno presentó lamejor gestión: a. Economía b. Obras civiles c. Servicios Públicos d. Eventos culturales3. ¿Aprobaría usted la reelección del alcalde? Si _____ No_____4. ¿Cuántos empleos cree usted que generó la Alcaldía municipal en el periodoactual de mandato? __________________La información recolectada se muestra en la siguiente tabla:TareaEl Departamento de planeación lo contrata a usted para que resuma la anteriorinformación en tablas de frecuencias, e interprete los resultados sobre las 30familias encuestadas. Además, conteste las siguientes preguntas:1. ¿Que tipo de variables puede identificar en la encuesta?2. ¿Que tipo de tablas y por que, recomendaría utilizar para el resumen de losdatos en cada pregunta?3. ¿Defina cual es la población, la muestra y el fenómeno estudiado por eldepartamento de planeación?56
  57. 57. 4. ¿Que puede concluir de los resultados de la encuesta?5. ¿Cree usted que la encuesta permite resolver todas las dudas sobre la gestióndel gobierno del pueblo? Sustente. Familia Valoración Áreas Reelección Empleos 1 3 Economía Si 150 2 3 Eventos culturales No 0 3 4 Eventos culturales Si 200 4 5 Economía Si 350 5 5 Servicios Públicos Si 250 6 4 Eventos culturales No 100 7 2 Economía No 100 8 1 Servicios Públicos No 20 9 5 Obras civiles Si 240 10 1 Economía No 25 11 3 Eventos culturales No 100 12 4 Servicios Públicos No 0 13 5 Economía Si 250 14 5 Servicios Públicos Si 450 15 4 Economía Si 100 16 3 Servicios Públicos No 0 17 5 Eventos culturales Si 150 18 5 Economía Si 50 19 3 Eventos culturales No 20 20 4 Servicios Públicos Si 300 21 2 Economía No 120 22 2 Obras civiles No 10 23 5 Eventos culturales Si 410 24 1 Eventos culturales No 50 25 2 Eventos culturales No 0 26 5 Economía Si 150 27 4 Eventos culturales Si 20 28 4 Eventos culturales Si 300 29 5 Economía Si 400 30 3 Eventos culturales No 250 57
  58. 58. 2.5 CUESTIONARIO DE REPASOSelección Múltiple con Única Respuesta: Marque con una X la respuesta correcta.1. Las Tablas de Frecuencia Tipo A se caracterizan por:A. Trabajan solo con datos cualitativos.B. Agrupan datos cuyo Rango es bajo.C. Agrupan datos cuyo Rango es alto.D. Presentan más intervalos que en las Tablas Tipo B.2. Las frecuencias relativas se diferencian de las frecuencias absolutas porque:A. Las frecuencias relativas se establecen de acuerdo a una base.B. Las frecuencias relativas se expresan como porcentaje.C. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.D. La A y B.3. En una tabla de frecuencia, F4 - F2 es lo mismo que:A. F4 - f3B. F2 + f3C. F3D. f3 + f44. En una tabla de frecuencia, h3 + H2 es lo mismo que:A. H3B. H4C. h3D. h3 - h45. En el proceso de elaboración de las Tablas Tipo B, suele determinarse unnuevo Rango (R) para luego hacer los intervalos de clase. ¿Cuando es necesariohallar R?A. Cuando se desea agregar nuevos intervalos.B. En el momento en que aproximamos el Ancho de los Intervalos.C. Cuando se aumenta el tamaño de la muestra.D. Ninguna de las anteriores.58
  59. 59. CAPITULO 3GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Este capitulo lo dedicaremos al estudio de los gráficos estadísticos más usados que parten de resúmenes o tablas de frecuencias. La ventaja de los gráficos con respecto a las tablas estudiadas en el capitulo anterior, es que permite una fácil interpretación y análisis de los datos, al mostrar las frecuencias mediante símbolos, barras, polígonos y sectores. 59
  60. 60. 3. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Gráficos Estadísticos: Son representaciones visuales que emplean símbolos, barras, polígonos y sectores, de los datos contenidos en tablas de frecuencias.Trataremos siete tipos de gráficos estadísticos: • Gráfico de sectores • Gráficos de columnas • Histograma • Polígonos de frecuencias • Curvas suavizadas o curvas de frecuencias • Ojivas • Pictogramas3.1 GRÁFICOS DE SECTORESEste tipo de diagramas consideran una figura geométrica en que la distribución defrecuencias se reparte dentro de la figura como puede ser una dona, pastel,círculo o anillo, en el que cada porción dentro de la figura representa lainformación porcentual del total de datos.3.1.1 Ejemplo de gráficos de sectoresRealizar un diagrama de sectores a partir de la siguiente tabla de frecuencia queresume las preferencias de un grupo de encuestados hacia cinco candidatos aelecciones locales: Clase Frecuencia Candidato 1 25 Candidato 2 30 Candidato 3 45 Candidato 4 20 Candidato 5 20 Total 140SOLUCIÓNPara crear un gráfico de sectores, hay que tener en cuenta los siguientes pasos:60
  61. 61. PASO 1: Determinar las frecuencias relativas para cada clase. Clase f h Candidato 1 25 0,1786 Candidato 2 30 0,2142 Candidato 3 45 0,3214 Candidato 4 20 0,1429 Candidato 5 20 0,1429 Total 140 1,0000PASO 2: Determinar los ángulos que representan las porciones dentro de lafigura para cada clase.Un círculo esta formado por un ángulo de 360º. La porción correspondiente alCandidato 1 equivale a un 17,86% de esos 360º, es decir, 64,296º. Gráficamentetendríamos (se parte desde el eje vertical superior, y se comienza a graficar cadaclase en sentido de las manecillas del reloj): 64,296ºLa tabla final con los ángulos repartidos para cada clase quedaría: Clase f h Ángulo Candidato 1 25 0,1786 64,296º Candidato 2 30 0,2142 77,112º Candidato 3 45 0,3214 115,704º Candidato 4 20 0,1429 51,444º Candidato 5 20 0,1429 51,444º Total 140 1,0000 360º 61
  62. 62. El gráfico definitivo se muestra a continuación (nótese que cada sector seidentifica con un color diferente): Candidato 5 Candidato 1 14% 18% Candidato 4 14% Candidato 2 21% Candidato 3 33%3.1.2 Características de los gráficos de sectores - No muestran frecuencias acumuladas. - Se prefiere para el tratamiento de datos cualitativos o cuasicualitativos. - La mayor área (o porción de la figura) representa la mayor frecuencia. - Son muy fáciles de elaborar. - Suelen utilizarse para representar tablas tipo A. - La figura completa equivale al 100% de los datos (360º).3.1.3 Construcción de los gráficos de sectores en Excel Vamos a explicar la creación de gráfico de sectores a partir del ejemplo anterior. Los primero es trasladar la tabla de datos (a partir de la celda B2) en una hoja vacía: Utilice la función SUMA para calcular los totales62
  63. 63. En el caso de Excel, solo es necesario trabajar con una sola frecuencia.Ubiquémoslos en una celda fuera de la tabla que acabamos de crear y pulsemosel botón de Asistentes para Gráficos o elija la opción Gráfico en el menúInsertar. El asistente cuenta de cuatro pasos sencillos para la creación de variostipos de gráficosAparecerá una nueva ventana con diferentes tipos de gráficos. Seleccionemos elcorrespondiente al gráfico de sectores (Circular en Excel). En el tenemos laopción de 6 gráficos de sectores.Para observar esta misma ventana en Microsoft Excel 2007 deberá situarse en laficha INSERTAR y pulsar sobre el botón GRÁFICOS, luego pulsar el botón queamplía la ventana. 63
  64. 64. Se selecciona el tipo de gráfico CIRCULAR.Al pulsar en el botón SIGUIENTE, pasaremos al pasos dos del asistente, endonde especificaremos los datos de origen para crear el gráfico. Pulsemos elbotón AGREGAR que se encuentra en la ficha SERIE:64
  65. 65. Este botón permite introducir distintas series de datos (provenientes de distintastablas de frecuencias, variables o poblaciones). Excel pide tres campos paraconstruir el gráfico: - Nombre: Título o encabezado del gráfico. - Valores: Las frecuencias que están en la tabla (puede ser relativa o absoluta, ambas no acumuladas). - Rótulos del eje de categorías (X): Representa las clases de la tabla de frecuencias.Este formato se incluye en la versión 2007 en la opción EDITAR DATOS DEORIGEN (“Edit Data Source”). Equivale a valores Equivale a los rótulos del eje de categoría (X)En el título escribamos “Gráfico de Sectores”. En valores señalemos lasfrecuencias absolutas (f): Rango de frecuencias absolutas 65
  66. 66. En la casilla rótulos del eje de categoría corresponde al rango de las celdas quemuestran las clases: Rango de ClasesEn MS Excel 2007 la ventana para introducir los datos de origen debe quedarcomo sigue:Pulse nuevamente siguiente para dirigirnos al tercer paso del asistente. En elpodremos editar tres fichas: Títulos, Leyendas y Rótulos de datos. En la ficha66

×