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Universidad de Costa Rica
Escuela de Física
Laboratorio de Física General III
Informe especial: “Oscilaciones Amortiguad...
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Objetivos
 Estudiar los circuitos RLC en serie, la capacidad de almacenaje de energía y del
inductor, así como la disip...
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Figura 1. Circuito RLC para el estudio de oscilaciones amortiguadas.
1- Arme el circuito de la figura 1. Nótese que se d...
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transmitida al resistor y a la bobina. Como se sabe la bobina también es un elemento
almacenador de energía, por lo tant...
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Para este caso, la descarga del capacitor se dará de manera oscilante amortiguada
pues presenta un decaimiento en las am...
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Resonancia en Circuitos RLC en serie.
Tanto la bobina como el capacitor pueden ser representados con un valor óhmico en ...
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En un circuito RLC, la energía no oscila indefinidamente, se disipa en forma de calor en el
resistor y la ecuación que c...
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Nuevamente se aumentó la resistencia hasta un valor total de 15112.5Ω y se logró
observar la señal de la figura 6.
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Cálculos
En el caso subamortiguado del circuito RLC, se calcula la frecuencia natural de oscilación y
el porcentaje de e...
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𝑅𝑐 = 2√
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, obteniendo una resistencia crítica de 5596,55 Hz, por lo que el
porcentaje de error es:
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De manera que el voltaje decrece en la manera que indica el osciloscopio o amortiguada,
mientras que la energía decrece...
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flujo de corriente no sigu...
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0,1uF. Este punto es fácilmente determinable a través de la variación de la curva de
amortiguamiento, donde se da una e...
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manera alguna, sino que existe una barrera que disipa y que realiza un trabajo eléctrico de
magnitud mayor a la fuerza ...
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osciloscopio es posible determinar una señal en forma sinosoidal continua o no amortiguada con
una amplitud máxima es d...
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Conclusiones
 El estado de subamortiguamiento de un circuito RLC se alcanza cuando a una
determinada frecuencia del ge...
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 La resonancia de un circuito se da cuando el ángulo de fase entre la corriente y el
voltaje es cero, y sus gráficas p...
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Anexos
Fotografías del equipo.
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Bibliografía
(1) Bauer, W y Westfall, G.D. (2011) Física para Ingeniería y Ciencias. Tomo
II. 1 edición. McGraw Hill. M...
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Oscilaciones amortiguadas fisica_iii

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Oscilaciones amortiguadas fisica_iii

  1. 1. 1 Universidad de Costa Rica Escuela de Física Laboratorio de Física General III Informe especial: “Oscilaciones Amortiguadas” Jose María Sequeira Arguedas Fecha de entrega: 26 de mayo de 2015
  2. 2. 2 Objetivos  Estudiar los circuitos RLC en serie, la capacidad de almacenaje de energía y del inductor, así como la disipación de energía del resistor. Específicamente:  Corroborar el carácter oscilatorio del almacenamiento de energía en el circuito RLC en el caso de subamortiguamiento  Observar el decaimiento exponencial de la envolvente de carga en el capacitor en el mismo caso  Calcular y buscar valores experimentales de la resistencia crítica del circuito RLC, es decir, de la resistencia límite en que el sistema deja de oscilar  Observar el Sobreamortiguamiento del sistema  Observar el estado de resonancia del circuito Equipo En esta práctica se utilizaron los siguientes dispositivos:  Un osciloscopio Hitachi modelo V-1560 con capacidad de 100 MHz.  Un generador de señales marca BK Precision, modelo 4017 A, con capacidad de 100 Hz.  Una caja de sustitución de resistencias Extech Instruments modelo 380405  Una caja de capacitores marca Extech Instruments modelo 380405  6 cables conductores  Multímetro BK Tool Kit modelo 2706 A  Inductor marca Heath Company con una inductancia nominal de 840 mH. Procedimiento
  3. 3. 3 Figura 1. Circuito RLC para el estudio de oscilaciones amortiguadas. 1- Arme el circuito de la figura 1. Nótese que se desea observar el comportamiento en voltaje del capacitor en el osciloscopio. Selecciones en la fuente el modo de onda cuadrada. 2- Subamortiguamiento: a. Ponga un valor de 0 Ω en la caja de resistencias. En tal caso, note que la resistencia del circuito será la suma de la resistencia interna del generador y la resistencia de la bobina. b. Efectúe los ajustes necesarios en C, la ganancia del osciloscopio y en la frecuenca del generador para observar una o varias señales similares a la representada en la figura 2. Note que en las transiciones de la onda cuadrada la fuente intenta cargar el capacitor rápidamente con la polaridad en un sentido cuando se encontraba cargado en el sentido opuesto. Estos cambios repentinos no son aceptados instantaneamente por el sistema, por lo que oscila en la forma vista en la pantalla. c. Calcule la frecuencia natural de oscilacion del circuito a partir de los datos de R, L, C y usando la ecuación 5 . Comparela con la frecuencia obtenida experimentalmente. 3- Amortiguamiento Crítico: Busque experimentalmente el valor de la resistencia crítica Rc. Para esto, aumente gradualmente los valores de la resistencia de la caja y observe en que momento la señal en la pantalla deja de asemejarse a la figura 2. Compare el valor de su resistencia crítica experimental (no olvide las resistencias de la fuente y del inductor) con el valor teórico dado por la ecuación 6. 4- Sobreamoriguamiento: Ajuste en la caja de resistencias un valor mayor a la resistencia crítica. 5- Ajuste un valor de 0Ω nuevamente en la caja de resistencias para regresar a las condiciones de subamortiguamiento. Aumente gradualmente la frecuencia del generador hasta hacerla igual o ligeramente superior a la frecuencia natural de oscilación del circuito. Describa y explique lo observado.(5) Marco Teórico Cuando se conecta un capacitor a una fuente de voltaje en DC, este se carga hasta un valor máximo determinado por el valor de la capacitancia y del voltaje en sus terminales. SI una vez que este cargado, se desconecta la fuente, el capacitor empezará a ceder su carga al resto del circuito, en este caso, al tratarse de un circuito RLC, la energía será
  4. 4. 4 transmitida al resistor y a la bobina. Como se sabe la bobina también es un elemento almacenador de energía, por lo tanto mantendrá parte de la energía cedida por el capacitor, mientras que otra parte de la energía será consumida por la resistencia. Una vez descargado el capacitor, el inductor se mantendrá cargado y empezará a ceder nuevamente la energía al circuito. Transcurrido este ciclo, el capacitor se volverá a cargar pero a un voltaje menor que el inicial pues la resistencia ha disipado en calor parte de la energía durante la descarga y carga del capacitor. De esta manera la oscilación de la energía del circuito será amortiguado por la presencia de la resistencia. (5) Si analizamos el circuito en serie mediante la ley de voltajes de Kirchoff obtendremos la ecuación 1: 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 + 𝑞 𝐶 = 0 [2] Y como 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 , podemos reescribir la ecuación 2 como una ecuación de segundo orden: 𝑑2 𝑞 𝑑𝑡2 + 𝑅𝑑𝑞 𝐿𝑑𝑡 + 𝑞 𝐿𝐶 = 0 [3] Dicha ecuación tiene soluciones dependiendo del valor de λ en la ecuación característica: λ = −𝑅 2𝐿 ± √ 𝑅2 4𝐿2 − 1 𝐿𝐶 [4] Donde el discriminante Δ = 𝑅 2 4𝐿 2 − 1 𝐿𝐶 , es capaz de generar 3 soluciones: a) Subamortiguamiento (𝚫 < 𝟎) Para este caso, se presenta una solución compleja armónica que tiene la forma mostrada en la ecuación 5: 𝑞(𝑡) = 𝑞 𝑜 𝑒 −( 𝑅 2𝐿 )𝑡 cos⁡( 𝑤𝑡) [5] Donde w está dada por la ecuación 6: w = √ 1 𝐿𝐶 − 𝑅2 4𝐿2 [6]
  5. 5. 5 Para este caso, la descarga del capacitor se dará de manera oscilante amortiguada pues presenta un decaimiento en las amplitudes de las oscilaciones como se muestra en la figura 2. Este decaimiento se encuentra rodeado de una línea imaginaria llamada envolvente. Figura 2. Voltaje en el capacitor en condiciones de subamortiguamiento b) Amortiguamiento Crítico (𝚫 = 𝟎) Representa la condición límite para que el sistema deje de oscilar. En este caso el discriminante será 0 y al valor de la resistencia que hace que esto se dé se le denomina resistencia crítica. 𝑅 𝑐 = 2√ 𝐿 𝐶 [7] c) Sobreamortiguamiento (𝚫 > 𝟎) Para este caso, la resistencia del circuito es mayor a la resistencia crítica, por lo tanto el circuito deja de oscilar completamente y la señal tiende a 0 asintóticamente. Figura 3. Representación del amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento en el capacitor
  6. 6. 6 Resonancia en Circuitos RLC en serie. Tanto la bobina como el capacitor pueden ser representados con un valor óhmico en el dominio de la frecuencia. A estos valores se les conoce como reactancia y ambos valores son números complejos. En el caso del capacitor, la reactancia capacitiva, Xc, está dada por la ecuación 8 y en el caso de la bobina, se tiene que la reactancia inductiva, XL, se representa mediante la ecuación 9. De esta manera se puede encontrar que la impedancia equivalente del circuito está dada por la ecuación 10. (2) 𝑋𝑐 = −𝑖 𝑤𝐶 [8] 𝑋 𝐿 = 𝑖𝑤𝐿 [9] 𝑍 𝑒𝑞 = R + i (−⁡ 1 𝑤𝐶 + 𝑤𝐿) [10] Se dice que el circuito RLC en serie, se encontrará en resonancia si la parte imaginaria de la impedancia es nula, es decir, se tiene que cumplir que ⁡ 1 𝑤𝐶 = 𝑤𝐿. (3) Por tanto despejando w, se determina que para que el circuito este en resonancia, se debe tener la frecuencia angular de la ecuación 10. 𝑤 = √ 1 𝐿𝐶 [10] Energía en un circuito RLC y Primera Ley de la Termodinámica La energía en el circuito RLC, se define en la almacenada en el inductor y la almacenada en el capacitor, las cuales alternan indefinidamente en un circuito LC y están dadas por: 𝑈 = 𝑞2 2𝐶 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝑈 = 𝐿𝑖2 2 Mientras que la relación del potencial eléctrico y la carga están dados por V=q/C, por lo que la energía del capacitor está dada por ∆𝑉 = 𝑈 𝑞 , donde la energía es directamente proporcional al voltaje aplicado al capacitor y la constante de proporcionalidad es la carga que fluye por las placas del capacitor.
  7. 7. 7 En un circuito RLC, la energía no oscila indefinidamente, se disipa en forma de calor en el resistor y la ecuación que cuantifica este comportamiento es ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 − 𝑊, donde Q e el calor del sistema y W el trabajo. El primer enunciado de la Primera Ley de la Termodinámica establece: “El cambio en la energía interna de un sistema cerrado es igual al calor adquirido por el sistema menos el trabajo efectuado por el sistema”. En un sistema de circuito RLC, la energía se disipa en forma de calor a través del resistor, conductores y la resistencia interna del inductor. (1) Resultados Variando los valores de la frecuencia del generador y los valores del capacitor fue posible observar la gráfica mostrada en la figura 4. Para este caso la resistencia del circuito es la suma de la resistencia del generador y del osciloscopio, es decir, 112.5Ω y el valor del capacitor es de 0.04uF. Se cambió el valor del capacitor a 0.1uF y se aumentó la resistencia hasta observar en la pantalla, la señal de la figura 5. Para este caso, la resistencia utilizada fue de 5400Ω en la caja de resistencias y 112.5Ω en el osciloscopio y fuente. La resistencia total fue entonces de 5512.5Ω Figura 4. Señal de voltaje en el capacitor en condiciones de subamortiguamiento. R=112,5Ω Ohm, C= 0,04uF
  8. 8. 8 Nuevamente se aumentó la resistencia hasta un valor total de 15112.5Ω y se logró observar la señal de la figura 6. Finalmente se quitaron los valores de la resistencia en la caja y con un capacitor de 0.04uF se comenzó a variar la frecuencia del generador y se observó que cuando esta alcanzaba un valor de 833Hz, la onda mostrada en el osciloscopio aumentaba su amplitud. Se muestra en la figura 7 la señal de voltaje en el capacitor en esta frecuencia. Figura 5. Señal de voltaje en el capacitor en condiciones de amortiguamiento crítico. R=5512,5Ω Ohm, C= 0,1uF Figura 6. Señal de voltaje en el capacitor en condiciones de sobreamortiguamiento. R=15112,5Ω Ohm, C= 0,1uF
  9. 9. 9 Cálculos En el caso subamortiguado del circuito RLC, se calcula la frecuencia natural de oscilación y el porcentaje de error, utilizando la ecuación 6 del Marco Teórico y una capacitancia de 0,04 microFaradios y una resistencia de 112 Ohmios, además de una Kt de 1 milisegundo y una Kv de 2: 𝜔′ =⁡√( 1 0,0084𝐻⁡ ∗ 0,00000004𝐹 ) − 1122 (2 ∗ 0,0084𝐻)2 ⁡⁡⁡⁡⁡ ’= 5455,04 Hz, siendo esta la frecuencia angular de oscilación teórica, para calcular la experimental se utiliza la ecuación ’=2f, obteniendo una frecuencia angular de 6220,35 Hz. Respecto al porcentaje de error se tiene: %⁡𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =⁡ (6220,35 − 5455,04)𝐻𝑧 ⁡5455,04⁡𝐻𝑧 ∗ 100 % error= 14,03 % En el caso del amortiguamiento crítico se calcula el valor de resistencia teórica y experimental dada por el generador de señales, la resistencia crítica experimental fue de 5512,8 Ohmios, mientras que la teórica se obtiene con la ecuación 7 de la sección del Marco Teórico, de la siguiente manera: Figura 7. Señal de voltaje en el capacitor en condiciones de resonancia. R=112,5Ω Ohm, C= 0,04uF
  10. 10. 10 𝑅𝑐 = 2√ 0,0084⁡𝐻 0,0000001⁡𝐹 , obteniendo una resistencia crítica de 5596,55 Hz, por lo que el porcentaje de error es: %⁡𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =⁡ 5796,55−5512,8 5796,55 ∗ 100; % error= 4,9%. En el caso del sobreamortiguamiento, solo se tiene una resistencia experimental de 15112,5 Ohmios, mientras que en el caso de resonancia se obtuvo una frecuencia de resonancia de 833 Hertz y una frecuencia de resonancia: = 2f, por lo que =5233,89 rad/s. Para el cálculo de la frecuencia de resonancia se tiene 𝑓 = 1 2𝜋√𝐿𝐶 𝑓 = 1 2𝜋√0,0084∗0,00000004 = 868,26 Hz. Por lo que el porcentaje de error corresponde con: %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =⁡ 868,26−833 868,26 ∗ 100 = 4,061% Análisis de resultados A lo largo de esta práctica de laboratorio, se analizaron cuatro estados en el circuito RLC, los cuales correspondieron al subamortiguamiento, amortiguamiento crítico, sobreamortiguamiento y el estado de resonancia, los cuales dependían de los valores de frecuencia, capacitancia y resistencia. Respecto al primer caso, el de subamortiguamiento se tiene una gráfica sinusoidal en la figura 4, donde la amplitud decrece en cada periodo de carga y descarga tanto del inductor como del capacitor, siguiendo una envolvente o asíntota exponencial decreciente y que cuando el tiempo t se lleva al infinito, tanto la energía como el voltaje son cero, usando una de resistencia de 112,5Ω Ohm y una capacitancia de 0,04 uF. En este caso, la amplitud de la función sinosoidal decrece de acuerdo a una asíntota exponencial decreciente, por lo que seguirá oscilando pero con reducciones continuas en la amplitud, y cuando el tiempo es llevado al infinito, el voltaje tiende a cero, este comportamiento se deben a la disipación de energía en el resistor donde el trabajo eléctrico se disipa en forma de calor, según lo estipula la primera Ley de la Termodinámica: ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 − 𝑊, “El cambio en la energía interna de un sistema cerrado es igual al calor adquirido por el sistema menos el trabajo efectuado por el sistema”. (1) La relación entre carga, voltaje y energía está dada por la ecuación: ∆𝑉 = 𝑈 𝑞 (1)
  11. 11. 11 De manera que el voltaje decrece en la manera que indica el osciloscopio o amortiguada, mientras que la energía decrecerá proporcionalmente, debido a que menos energía almacenará el capacitor y el inductor, en cada periodo de carga y descarga, por lo que en este punto se puede hacer una comparación con la energía mecánica en un sistema de masa-resorte con fricción, donde si existe una fuerza de fricción que actúa a lo largo de un desplazamiento, generará una energía que se opone a la potencial almacenada en el resorte con cada compresión y tensión del sistema, por lo que logrará disminuir la energía del sistema y la masa conectada a un resorte dejará de oscilar en un determinado momento. De acuerdo a esto, es posible hacer la analogía de que cada compresión del resorte es una ganancia de energía en el capacitor en un periodo de carga, por lo que la función sinosoidal crece y cada descompresión o relajamiento del resorte es un periodo de descarga donde la función sinusoidal brindada por el osciloscopio decrece; mientras que es posible notar bajo condiciones no ideales, la masa se detendrá y antes de este instante pasa más veces por la posición de equilibrio, lo mismo sucede con el circuito RLC, donde los periodos de carga del inductor y capacitor se acortan, estos se cargan a un porcentaje de su capacidad máxima, que irá disminuyendo hasta ser nulo, y donde se ha disipado toda la energía es el momento donde la masa se encuentra en equilibrio o no hay cargas en movimiento que aumenten la energía de la configuración nuevamente. (1, 3, 5) El sistema masa-resorte en comparación corresponde al amortiguamiento pequeño, donde existe un trabajo de una fuerza de fricción y cuya energía es pequeña en comparación con la energía total del sistema. De acuerdo a la figura 5, usando una ganancia de 2 para el voltaje, se tiene un voltaje pico de 5,4 Volts, en el caso donde t es igual a cero, caso donde se ajustan las condiciones iniciales de la solución de la ecuación diferencial número 5 de la sección de Marco teórico, mientras que si t es infinito aunque oscile de forma observable, las envolventes tienden a cero para un límite con t igual a infinito, por lo que por el Teorema del Sándwich del Cálculo, si dos funciones acotan a otra y estas tienden a cero cuando t es infinito, la función senosoidal amortiguada debe también tender a cero para un valor idéntico, por ende el voltaje, la carga y la energía tienen un valor máximo en t igual a cero y llegan a ser nulos en t igual infinito. (4) La frecuencia angular de oscilación teórica del sistema es de 5455,04 rad/s, calculado con 0,04 microFaradios, 840 mH y 112,5 Ω de resistencia interna, mientras que el valor experimental usando una frecuencia de 990 Hz es de 6220,35 rad/s, obteniendo un error de aproximadamente 14 %. Citando errores introducidos por el factor humano donde la regulación del generador y del osciloscopio corre por cuenta del estudiante, mientras que el equipo, el cual se utiliza por muchas personas para reproducir este experimento, aspecto que puede generar fallas a los dispositivos o reducir el rango de eficiencia de los mismos. La frecuencia del circuito indica la rapidez con la que oscila el voltaje respecto del
  12. 12. 12 tiempo y con lo cual se observa en la figura 2 y 4, debido a que el la energía, voltaje y el flujo de corriente no sigue indefinidamente y de forma ideal sino que se atenúa y llega a cero para un tiempo infinito y en caso opuesto a los casos de resistencia crítica y sobreamortiguado, el sistema si oscila debido a que la barrera que produce la caja de resistencias no es tan grande, y no generará el suficiente trabajo como para oponerse de manera más inmediata al trabajo eléctrico producido por el generador de señales y que les brinda energía cinética a las cargas, por lo que la oscilación si se dará y se transferirá energía del capacitor al inductor, atravesando la barrera, es evidente que esta energía, la cual se encuentra en el inductor es menor a la inicial con la que inician las cargas en el generador y capacitor, y la forma en como esta energía se atenúa es con una envolvente o asíntota que nos dice en un determinado valor de tiempo, la amplitud máxima que alcanzará el circuito RLC, es decir que la amplitud o valor del voltaje en un tiempo de 20 segundos es menor al valor inicial del sistema RLC en un tiempo de cero segundos y será cero en un tiempo infinito o lo suficientemente grande. Esta asíntota es conocida como la envolvente y tiene su reflejo respecto a la identidad, es decir que existe una envolvente para la parte positiva del eje Y, y otra opuesta para la parte negativa del eje. Estas funciones siguen un parámetro exponencial decreciente para la superior y creciente para la envolvente inferior, encontrando una asíntota en el eje X, es decir que decaerán infinitamente en un valor de voltaje de cero (que se halla en el eje Y). Esta línea en la realidad no existe es imaginaria, sin embargo es de gran utilidad pues nos demuestra que la energía en el circuito, así como la corriente y voltaje, caen y se recargan de manera exponencial, es decir que si usamos criterios de rapidez en la convergencia de funciones, no existe una manera más rápida para que los dispositivos RLC traspasen este flujo de energía y cargas a lo largo del circuito y tal hecho se puede comprobar con las ecuaciones de carga y descarga en un capacitor, cuyo comportamiento se modela con un parámetro exponencial inverso. Se adjunta en la figura 8 un modelaje de la forma de una envolvente superponiéndola en las condiciones de subamortiguamiento. (5) Figura 8. Condiciones de subamortiguamiento con envolventes exponenciales. Para el segundo caso se tiene una resistencia crítica en el circuito RLC, cuya forma se observa en la figura 5 y tiene un valor experimental de 5512,5Ω Ohm con una capacitancia C de
  13. 13. 13 0,1uF. Este punto es fácilmente determinable a través de la variación de la curva de amortiguamiento, donde se da una estabilización en forma de meseta y no un patrón de oscilación o condiciones de subamortiguamiento. Este caso es comparable con una fuerza de amortiguamiento mayor al caso de subamortiguamiento en el sistema de masa resorte, es decir se da una pérdida de energía más abrupta y en un periodo de tiempo menor, con lo que el resistor se calentará con facilidad una vez se inicia el flujo de corriente en el circuito, siguiendo los parámetros de Termodinámica antes dispuestos, mientras que el sistema masa-resorte con una fuerza de amortiguamiento contraria al desplazamiento de magnitud casi igual que la fuerza que provoca el desplazamiento y que actúa en un periodo pequeño casi infinitesimal. Es conveniente señalar que la transferencia de energía, inicia en el capacitor, este se carga y se descarga hacia el resistor y se almacena como energía magnética en el inductor, generando campo magnético; como se ha citado anteriormente la energía oscilaría indefinidamente en un circuito LC, situación que sucede en la propagación de ondas electromagnéticas, donde el valor de los campos eléctrico y magnético no se atenúan conforme la propagación, por lo que si existe un resistor la energía se disipa como calor; si este valor de resistencia aumenta y aumenta llegará un punto en el cual la energía se disipa tan rápidamente como se almacena, generando una señal no oscilatoria sino en forma de una meseta y decreciente en partes de la curva generada por el osciloscopio. En un resorte de una suspensión, el movimiento se atenúa con grandes valores de constante, prácticamente la energía no es tal como para provocar que el resorte se mueva por un periodo apreciable, este mismo fenómeno ocurre en el caso de amortiguamiento crítico donde el valor de resistencia es tal alto que las cargas que fluían del capacitor hacia el inductor, y viceversa provocando cargas y descargas de ambos dispositivos, ya no seguirán este comportamiento y esta barrera que representa la resistencia del circuito, desvía este flujo y lo disipa como calor. El valor de resistencia crítica del circuito experimental es de 5512,5 Ω y calculando la resistencia teórica se obtiene 5796,55 Ω, con un error de 4,9 %. Considerando un error como este, los errores a consideran son los introducidos por el factor humano, ya que el regulador de frecuencia lo ajusta el estudiante, y la fuente tarda un tiempo en estabilizarse y dar el valor de frecuencia que está utilizando, además las conexiones del circuito y los errores causados por el equipo, entre los que se puede mencionar la caja de capacitancias, la cual consta de uso continuo por varios ciclos lectivos y a lo largo de muchas sesiones de laboratorio, por lo que la capacitancia y la efectividad de la caja puede variar respecto a la reportada por el fabricante, lo mismo ocurre con el inductor, el cual también puede tener menos efectividad a la reportada en condiciones de fabricación, menos capacidad inductiva e inclusive disipación de energía, la cual puede ser mucho mayor a 62,5 Ω. Otro punto a considerar son los cables conductores, de los cuales algunos presentan fallas, como desprendimiento de la entada de corriente, o algo como la conexión con los dispositivos, ya que algunos conectores quedaban un poco flojos, pudiendo influir en la transferencia de energía o frecuencia en el circuito RLC. (1, 5) El caso de sobreamortiguamiento del sistema RLC, es similar al de amortiguamiento crítico con la excepción que la resistencia utilizada fue casi del triple, debido a esto no se puede determinar que si hay energía que oscile en el circuito como en el caso de subamortiguamiento. Al igual como se discutió en el párrafo anterior y en analogía al sistema masa-resorte la energía no oscila de
  14. 14. 14 manera alguna, sino que existe una barrera que disipa y que realiza un trabajo eléctrico de magnitud mayor a la fuerza que mueve las cargas a través del circuito RLC y que está dada por el generador de señales. En una gráfica de voltaje del circuito respecto del tiempo, el voltaje en el circuito inicia en un valor para un tiempo cero y su valor sería de cero para un tiempo infinito o en condiciones reales, a lo largo de un periodo considerable. Esto se debe a disipaciones continuas de la energía con la que inician las cargas bajo el trabajo que realiza el generador de señales y que se disipa de manera continua en la barrera que representa la caja de resistencias, con la excepción del caso anterior que menos cantidad de cargas pasarán hacia el inductor según lo muestra la figura 1, y si pasan lo harán con una menor energía cinética que la inicial brindada por el generador. En comparación con el caso de amortiguamiento crítico, se tiene la figura 3 y 6, donde el voltaje del caso sobreamortiguado, decae con un mayor pendiente que el caso de resistencia crítica, debido a que la barrera de la resistencia determina que disipará menos energía en este caso, por lo que las cargas que logran pasar la barrera hacia el inductor, determinan que el caso crítico generará más voltaje a lo largo del tiempo en el circuito RLC, sin embargo este también decae a cero al infinito, debido a consideraciones energéticas. Si en el caso de resistencia crítica se usa en una resistencia x, y si esta se triplica para el caso de sobreamortiguamiento, considerando la linealidad que establece la Ley de Ohm con V=iR, la energía disipada es tres veces mayor a la del caso crítico, mientras que las cargas tendrán una tercera parte de la energía cinética en este caso en comparación con el caso sobreamortiguado, considerando siempre la linealidad que siguen los resistores en comparación con dispositivos como los diodos donde la relación de voltaje-tiempo y energía-tiempo, no es lineal sino que depende de correlaciones exponenciales o polinomiales incluso. (1, 2, 5) El caso de resonancia trabaja con valores de resistencia menores que el caso de sobreamortiguamiento, y más bien depende de la regulación de la frecuencia del generador de señales. Se dice que existe resonancia en un circuito RLC, cuando la corriente del circuito está en fase con el voltaje en el circuito, es decir que obtuviéramos todos los datos del procedimiento y graficáramos la corriente respecto del tiempo y el voltaje respecto del tiempo, obtendríamos gráficas idénticas con la excepción del as amplitudes, pero ninguna se adelanta o se atrasa a la otra, sino que en un determinado tiempo por el que circula la señal del generador ambas serán máximas o iguales a cero en un determinado momento. Este proceso de resonancia se puede explicar en la figura 9 adjunta. Si se definiera un ángulo entre los vectores fasores de corriente y voltaje, este sería igual a cero. (1, 3) Figura 9. Fasores de voltaje y corriente, con sus gráficas respecto del tiempo. Esta resonancia se logra apreciar en la práctica, cuando en el
  15. 15. 15 osciloscopio es posible determinar una señal en forma sinosoidal continua o no amortiguada con una amplitud máxima es decir que no existirá algún otro valor de frecuencia del generador que provoque esa amplitud pues con otro valor de frecuencia la amplitud de la señal no será máxima y a tal valor de frecuencia se le conoce como frecuencia angular de resonancia, por lo que a esta práctica su magnitud corresponde a 833 Hz. Este comportamiento de resonancia en el circuito se debe a que existe una frecuencia impulsora que incrementa la energía y el movimiento de cargas en el circuito, por lo que si esta frecuencia impulsora es exactamente idéntica a la frecuencia angular del circuito, la amplitud crecerá de forma infinita, sin embargo como es sabido y como se ha discutido previamente esto no sucede por la existencia de una barrera que disipa los trabajos eléctricos y la energía del sistema en forma de calor, por lo que esta frecuencia impulsora determinará la amplitud máxima de oscilación de la señal del ORC y este es el punto de interés y donde sucede la resonancia. Caso análogo es el sistema mecánico de masa resorte, donde existe una frecuencia de resonancia que impulsa el sistema, y al cabo de un momento el sistema oscila con movimiento armónico simple, donde el amortiguamiento se hace cada vez más débil y la forma del sistema en resonancia se hace más fuerte o más definida, tal y como sucede en el circuito RLC. Respecto al cálculo de la frecuencia de resonancia teórica, la cual se alcanza en 868,26 Hz y comparando con la experimental de 833 Hz se obtiene un error de 4%; por lo que este error se puede atribuir al equipo, ya que como se ha mencionado, los dispositivos con el uso adquieren menor o mayor resistividad al paso del flujo de corriente y al no contemplar o conocer este valor es posible que los datos compilados no coincidan, así también los valores de inductancia y capacitancia pueden variar con el uso, y es relevante considerar que si se utiliza un valor muy pequeño de capacitancia el error experimental aumentará en proporción. (1) En la actualidad los circuitos RLC, son una parte intrínseca del avance tecnológico, ya que a través del estudio continuo de las amortiguaciones y estados de resonancia es que muchos dispositivos se han optimizado y logran facilitar la vida cotidiana, digitalizar información y realizar complejos procedimientos en ordenadores, celulares, en ámbitos de telecomunicaciones y otro sinnúmero de aplicaciones, y aunque no se mencionó antes, los transformadores y rectificadores operan con estos dispositivos y se valen de circuitos RLC, para manejar distintos tipos de onda y administrar voltajes para ampliar el rango de utilidad de estos sistemas, por lo que el estudio de las oscilaciones es una tarea imprescindible en muchas de las ramas de la ciencia, pues como es sabido con mejores herramientas se mejoran los conocimientos y se logran avances en la humanidad.
  16. 16. 16 Conclusiones  El estado de subamortiguamiento de un circuito RLC se alcanza cuando a una determinada frecuencia del generador, la resistencia no es tal que impida el paso de la corriente por completo, mientras que el caso de resistencia crítica la señal del circuito emitida por el sistema tiene forma de meseta y deja de oscilar, en cuanto al caso sobreamortiguado la resistencia logra generar una señal curva decreciente igual que en el caso crítico pero con mayor pendiente.  En un circuito RLC subamortiguado, la resistencia interna del inductor como de la fuente, permiten que la energía del sistema oscile de manera sinosoidal pero con una amplitud decreciente en forma de una curva que da una asíntota y se conoce como la envolvente y esta determina que para un tiempo determinado, el circuito no puede alcanzar un valor de voltaje y por ende niveles de energía mayores, es decir que la señal sobrepase este parámetro, y cuyo valor es fácilmente calculable con la ecuación 5, respecto del voltaje.  En los circuitos de resistencia crítica y sobreamortiguados, la magnitud de resistencia es tan alto que no permite la transferencia libre de carga, voltajes y energías entre el capacitor e inductor, todo trabajo eléctrico ejercido por un acelerador de cargas o fuente es contrarrestado por la barrera que representa la caja de resistencia. Si este valor de resistencia fuera nulo, bajo condiciones ideales el sistema oscilaría de manera indefinida transfiriendo la energía del capacitor hacia el inductor y viceversa, almacenándose en forma de campo eléctrico y magnético, siendo este un principio en básico en el comportamiento de ondas electromagnéticas.  La energía disipada en el sistema RLC, se libera en forma de calor a través del resistor, pues como se ha mencionado, este dispositivo se concibe como una barrera para las cargas que se mueven desde la fuente hacia el capacitor y luego al inductor, por lo que un exceso de cargas atrapadas y que traían energía cinética generan calor y esta situación respeta la Primera Ley de la Termodinámica , donde el cambio de la energía del sistema se relaciona directamente con el calor disipado y el trabajo eléctrico necesario para mover las cargas.  La analogía de los circuitos RLC con los sistemas de masa-resorte con fuerzas amortiguadoras es amplia y de suma utilidad, ya que permite visualizar y explicar cómo actúan las fuerzas de amortiguamiento, y que casos obtendremos si se varía la magnitud del parámetro de oposición al movimiento del sistema, la cual genera un trabajo negativo y que actúa contrario a la dirección de desplazamiento del sistema, en un caso masa y en el otro las cargas aceleradas por la fuente.
  17. 17. 17  La resonancia de un circuito se da cuando el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje es cero, y sus gráficas por ende alcanzan valores nulos o máximos en tiempos iguales, es decir las gráficas no están desfasadas. Este punto es determinable cuando a resistencia baja se alcanza la amplitud máxima de una oscilación sinosoidal y que no es amortiguada.  En esta práctica se introdujeron errores considerables, tales como los provocados por el uso continuo del equipo y que la regulación de las frecuencias y voltajes depende del estudiante, por lo que la reducción del error depende de que tan meticuloso se requiera y las condiciones del equipo para reproducir la práctica.  Las aplicaciones de los circuitos RLC son bastas, tales como los transformadores y rectificadores, por lo que su continuo estudio se traduce en un continuo progreso de todas las ramas de la ciencia y de los dispositivos electrónicos que día con día obtienen mejoras.
  18. 18. 18 Anexos Fotografías del equipo.
  19. 19. 19 Bibliografía (1) Bauer, W y Westfall, G.D. (2011) Física para Ingeniería y Ciencias. Tomo II. 1 edición. McGraw Hill. México. (2) Burbano, E., Gracia, C., Física General, 32ed, Editorial Tébar. (3) Dorf, R., Svoboda, J. Circuitos Eléctricos, 6ta Edición, Alfa y Omega. (4) Edwards, B. (1996) Cálculo con Geometría Analítica. Cuarta Edición. México: Prentice Hall. (5) Ramírez, A., Gutiérrez, H. (2015). Manual de Prácticas, Laboratorio de Física General III, Universidad de Costa Rica.

This file concerns to a laboratory report from the "Física General III" University of Costa Rica course. It has a general description of the procedure followed in the lab and the main results obtained, also includes conclusions about the electromagnetic oscillations patterns obtained with the analogical oscilloscope connected to the RLC circuit.

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