ARBOL• Los árboles representan estructurasdinámicas de datos, debido a que puedencambiar en tiempo de ejecución y no linea...
ÁRBOLES• Un árbol es una estructura jerárquica aplicadasobre una colección de elementosu objetos llamados nodos; uno de lo...
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CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS ÁRBOLESa) Todo árbol que no es vacío, tiene un único nodo raíz.b) Un nodo X es descen...
Ejemplo: ÁRBOL GENERAL.Dado el árbol general de la figura de abajo, se hacen sobre él lassiguientes consideraciones.1.- A ...
LONGITUD DE CAMINO (LC)• Se define la longitud de camino X como elnúmero de arcos que deben ser recorridospara llegar desd...
• Es la suma de las longitudes de camino de todos los nodosdel árbol, y se calcula por medio de la siguiente fórmula.i= ni...
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• La media del longitud de camino se calcula con la siguienteformulaLCIM = LCI /NLCIM= media de longitud de camino interno...
• ARBOL EXTENDIDOEs aquel en el que el número de hijos de cada nodos esigual al grado del árbolEn caso de que algún nodo n...
Árbol generalLONGITUD DE CAMINO EXTERNO(LCE)LONGITUD DE CAMINOÁrbol extendidoAB CD E F G HI J LKEl número de nodos especia...
• Es la sumatoria de las longitudes de caminode todos los nodos especiales del árbol y secalcula con la siguiente formula∑...
•h= altura•i = nivel del árbol•Ne= numero de nodos especiales en elnivel iLCE= 1x2 + 1x3+11x4+12x5LCE =109LONGITUD DE CAMI...
• LA MEDIA DE LA LONGITUD DE CAMINO EXTERNO se calcula dividiendo elLCE, para el número de nodos especiales.LCEM= LCE/NeLC...
ÁRBOLES BINARIOSEs una estructura ordenada, en elcual cada nodo puede tener comomáximo dos subárboles conocidoscomo subárb...
EJEMPLOSÁRBOLES BINARIOS• Árboles de búsquedas2714 5777732 5911 50
EJEMPLOSÁRBOLES BINARIOSÁrbol genealógicoPedromamá papáabueloabuelo abuelaabuela
EJEMPLOSÁRBOLES BINARIOSÁrboles que representa expresiones matemáticas(a*b)+{(c÷d) 3}ᶺ+* ᶺad÷ 3cb
TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOS DISTINTOSEstructura y distribución de arcos diferentesa. b.2714 577112714 57711Á...
TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOS SIMILARESEstructura idénticas e información de nodos diferentes2714 071ÁRBOLES B...
TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOS EQUIVALENTESEstructura idénticas e información de nodos iguales2714 57711ÁRBOLES...
TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOSÁrboles binarios distintos: ………………..Árboles binarios similares: ………………..Árboles b...
ÁRBOLES BINARIOS COMPLETOSÁRBOLES BINARIOSÁrbol binario completo(ABC), es aquel en el cual todossus nodos excepto los del ...
ÁRBOLES BINARIOS COMPLETOSÁRBOLES BINARIOSCÁLCULO DEL NÚMERO DE NODOS.Números de nodos(ABC)=2h-1h= altura del árbolNúmeros...
REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS• Enlazar los hijos de cada nodo en forma vertical
REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS• Enlazar los nodos hermanos en forma horizontal
REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS
REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS• Girar aproximadamente 45 grados
ASPECTOS IMPORTANTESÁRBOLES BINARIOS• Si la rama derecho de cada nodo excepto el nodo raíz esdiferente de vacío, se encuen...
ASPECTOS IMPORTANTESÁRBOLES BINARIOS• Si la rama izquierda de cada nodo excepto el nodo raíz esdiferente de vacío, se encu...
REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOSEjemplo
REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOSEjemplo:
REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOSEjemplo:
RECORRIDOS EN ÁRBOLESBINARIOSRECORRIDOSRecorrido en preorden•Visitar la raíz•Recorrer el subárbol izquierdo•Recorrer el su...
Ejemplos:Recorrido en preorden104,71,17,3,18,19,240,108,110,245Recorrido en inorden3,17,18 ,71 ,19, 104 , 108, 110240, 245...
Ejemplos:Recorrido en preorden:Recorrido en inorden:Recorrido en postorden:RECORRIDOS EN ÁRBOLESBINARIOS
ÁRBOLES DE BINARIOS DEBÚSQUEDAFormalmente se define un árbol binario de búsqueda dela siguiente manera: Para todo nodo T d...
INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS1. Comparar la clave a insertar con la raíz del árbol. Si es mayor, sesigue con el ...
INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOSInsertar los siguientes datos:15, 5,17,3,16,8,21,6,25,11,13
Ejemplo:Insertar los elementos 120-87-43-65-140-99-130-22-56INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS
Ejemplo: INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS
La operación de búsqueda consiste en lo siguiente.Comparar el valor buscado con la informara del nodo visitado, si noes ig...
En la eliminación de un árbol binario de búsqueda , se debendistinguir los siguientes casos:1.Si el elemento a eliminar es...
BibliografíaOsvaldo, C. (2002). Estructuras de Datos.México: McGRAW-HILL.
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Arboles

  1. 1. ARBOL• Los árboles representan estructurasdinámicas de datos, debido a que puedencambiar en tiempo de ejecución y no linealespuesto que a cada elemento del árbol puedenseguirle varios elementos.
  2. 2. ÁRBOLES• Un árbol es una estructura jerárquica aplicadasobre una colección de elementosu objetos llamados nodos; uno de los cuales es conocidocomo raíz. Además se crea una relación de parentescoentre los nodos dando lugar a términos comopadre, hijo, hermano, antecesor, sucesor, ancestro,etc.• Formalmente se define un árbol de tipo T comouna estructura homogénea que es la concatenaciónde un elemento de tipo T con un número finito dearboles disjuntos llamados subárboles.
  3. 3. EGKJIABD FCHL(A (B (D ( I ), E, F (J, K )), C (G, H ( L ))))Diagramas de VennAnidación de paréntesisFORMAS DE REPRESENTACION DE UNÁRBOL
  4. 4. Los árboles tienen una gran variedad de aplicaciones.Para construir un árbol genealógico, para el análisis de circuitos eléctricos ypara numerar los capítulos y secciones de un libro.Gráficamente puede representarse una estructura de diferentes formas y todasellas equivalentes.Por medio de grafos, esta última representación es la que comúnmente seutiliza; y ha originado el término árbol por su parecido abstracto con elvegetal (raíz, ramas, hojas).APLICACIONESAB CD E F G HI J LK
  5. 5. CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS ÁRBOLESa) Todo árbol que no es vacío, tiene un único nodo raíz.b) Un nodo X es descendiente directo de un nodo Y, si el nodo X es apuntadopor el nodo Y. En este caso es común utilizar la expresión X es hijo de Y.c) Un nodo X es antecesor directo de un nodo Y, si el nodo X apunta al nodo Y.En este caso es común utilizar la expresión X es padre de Y.d) Se dice que todos los nodos que son descendientes directos (hijos) de unmismo nodo (padre), son HERMANOS.e) Todo nodo que no tiene ramificaciones (hijos), se conoce con el nombre deTERMINAL u HOJA.f) Todo nodo que no es raíz, ni terminal u hoja se conoce con el nombre deINTERIOR.g) GRADO es el número de descendientes directos de un determinado nodo.GRADO DE ÁRBOL, es el máximo grado de todos los nodos del árbol.h) NIVEL es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a undeterminado nodo. Por definición, la raíz tiene en nivel 1.i) ALTURA del árbol es el máximo número de niveles de todos los nodos delárbol.
  6. 6. Ejemplo: ÁRBOL GENERAL.Dado el árbol general de la figura de abajo, se hacen sobre él lassiguientes consideraciones.1.- A es la raíz del árbol.2.- B es hijo de A. C es hijo de A. D es hijo de B. E es hijo de B. L es hijo de H.3.- A es padre de B. B es padre de D. D es padre de I. C es padre de G. H es padre de L.4.- B y C son hermanos. D,E y F son hermanos. G y H son hermanos. J y K sonhermanos.5.- I, E, J, K, G y L son nodos terminales u hojas.6.- B, D, F, C y H son nodos interiores.7.- El grado del nodo A es 2. B es 3. C es 2. D es 1. E es 0. El grado del árbol es 3.8.- El nivel del nodo A es 1. B es 2. D es 3. C es 2. L es 4.9.- La altura del árbol es 4.AB CD E F G HI J LK
  7. 7. LONGITUD DE CAMINO (LC)• Se define la longitud de camino X como elnúmero de arcos que deben ser recorridospara llegar desde la raíz al nodo X. pordefinición la raíz tiene longitud de camino 1,sus descendientes directos 2…• Por ejemplo el nodo I tiene una longitud decamino igual a 4
  8. 8. • Es la suma de las longitudes de camino de todos los nodosdel árbol, y se calcula por medio de la siguiente fórmula.i= nivel del árbolh= altura del árbolNi = número de nodos en el nivel i∑==hii inLCI1*LONGITUD DE CAMINOLONGITUD DE CAMINOINTERNO (LCI)
  9. 9. i= nivel del árbolh= altura del árbolni = número de nodos en el nivel iLCI = 1x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4LCI= 36AB CD E F G HI J LKEjemploLONGITUD DE CAMINOINTERNO (LCI)LONGITUD DE CAMINO
  10. 10. • La media del longitud de camino se calcula con la siguienteformulaLCIM = LCI /NLCIM= media de longitud de camino internoN = número de nodosLCIM = 36/12LCIM= 3LONGITUD DE CAMINOMEDIA DE LONGITUD DECAMINO INTERNOAB CD E F G HI J LK
  11. 11. • ARBOL EXTENDIDOEs aquel en el que el número de hijos de cada nodos esigual al grado del árbolEn caso de que algún nodo no cumpla con estacondición se debe incorporar al mismo tantos nodosespeciales como se requiera.• NODOS ESPECIALESTienen como objetivo:–Remplazar las ramas vacías o nulas–No pueden tener descendientes–Se representa en forma de cuadrado.LONGITUD DE CAMINOEXTERNO(LCE)LONGITUD DE CAMINO
  12. 12. Árbol generalLONGITUD DE CAMINO EXTERNO(LCE)LONGITUD DE CAMINOÁrbol extendidoAB CD E F G HI J LKEl número de nodos especiales de este árbol es 25.
  13. 13. • Es la sumatoria de las longitudes de caminode todos los nodos especiales del árbol y secalcula con la siguiente formula∑+==12*hii ineLCEDONDE:h= ALTURAi = NIVELNe= NODO ESPECIALLONGITUD DE CAMINO EXTERNO(LCE)LONGITUD DE CAMINO
  14. 14. •h= altura•i = nivel del árbol•Ne= numero de nodos especiales en elnivel iLCE= 1x2 + 1x3+11x4+12x5LCE =109LONGITUD DE CAMINO EXTERNO(LCE)LONGITUD DE CAMINO
  15. 15. • LA MEDIA DE LA LONGITUD DE CAMINO EXTERNO se calcula dividiendo elLCE, para el número de nodos especiales.LCEM= LCE/NeLCE= 109Ne= 25LCEM = 109/25=4.36MEDIA DE LONGITUD DE CAMINO EXTERNO(LCE)LONGITUD DE CAMINO
  16. 16. ÁRBOLES BINARIOSEs una estructura ordenada, en elcual cada nodo puede tener comomáximo dos subárboles conocidoscomo subárbol izquierdo y subárbolderecho, dependiendo de suubicación con respecto a la raíz
  17. 17. EJEMPLOSÁRBOLES BINARIOS• Árboles de búsquedas2714 5777732 5911 50
  18. 18. EJEMPLOSÁRBOLES BINARIOSÁrbol genealógicoPedromamá papáabueloabuelo abuelaabuela
  19. 19. EJEMPLOSÁRBOLES BINARIOSÁrboles que representa expresiones matemáticas(a*b)+{(c÷d) 3}ᶺ+* ᶺad÷ 3cb
  20. 20. TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOS DISTINTOSEstructura y distribución de arcos diferentesa. b.2714 577112714 57711ÁRBOLES BINARIOS
  21. 21. TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOS SIMILARESEstructura idénticas e información de nodos diferentes2714 071ÁRBOLES BINARIOS2714 57711b.a.
  22. 22. TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOS EQUIVALENTESEstructura idénticas e información de nodos iguales2714 57711ÁRBOLES BINARIOS2714 57711b.a.
  23. 23. TIPOS DE ÁRBOLES BINARIOSÁRBOLES BINARIOSÁrboles binarios distintos: ………………..Árboles binarios similares: ………………..Árboles binarios equivalentes: …………..Ejemplos:
  24. 24. ÁRBOLES BINARIOS COMPLETOSÁRBOLES BINARIOSÁrbol binario completo(ABC), es aquel en el cual todossus nodos excepto los del ultimo nivel tiene dos hijos
  25. 25. ÁRBOLES BINARIOS COMPLETOSÁRBOLES BINARIOSCÁLCULO DEL NÚMERO DE NODOS.Números de nodos(ABC)=2h-1h= altura del árbolNúmeros de nodos(ABC)=24-1Números de nodos(ABC)=15
  26. 26. REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS• Enlazar los hijos de cada nodo en forma vertical
  27. 27. REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS• Enlazar los nodos hermanos en forma horizontal
  28. 28. REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS
  29. 29. REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOS• Girar aproximadamente 45 grados
  30. 30. ASPECTOS IMPORTANTESÁRBOLES BINARIOS• Si la rama derecho de cada nodo excepto el nodo raíz esdiferente de vacío, se encuentra un nodo que era hermano enel árbol general.– 5 hermano de 4– 6 hermano de 2– 11 hermano de 5• Si la rama izquierda de cada nodo excepto el nodo raíz esdiferente de vacío, se encuentra un nodo que era hijo en elárbol general.– 5 hermano de 6– 2 hermano de 7– 4 hermano de 9
  31. 31. ASPECTOS IMPORTANTESÁRBOLES BINARIOS• Si la rama izquierda de cada nodo excepto el nodo raíz esdiferente de vacío, se encuentra un nodo que era hijo en elárbol general.– 5 hijo de 6– 9 hijo de 5– 4 hijo de 9
  32. 32. REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOSEjemplo
  33. 33. REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOSEjemplo:
  34. 34. REPRESENTACIÓN DE ÁRBOLES GENERALESCOMO BINARIOSÁRBOLES BINARIOSEjemplo:
  35. 35. RECORRIDOS EN ÁRBOLESBINARIOSRECORRIDOSRecorrido en preorden•Visitar la raíz•Recorrer el subárbol izquierdo•Recorrer el subárbol derechoRecorrido en inorden•Recorrer el subárbol izquierdo•Visitar la raíz•Recorrer el subárbol derechoRecorrido en postorden•Recorrer el subárbol izquierdo•Recorrer el subárbol derecho•Visitar la raíz
  36. 36. Ejemplos:Recorrido en preorden104,71,17,3,18,19,240,108,110,245Recorrido en inorden3,17,18 ,71 ,19, 104 , 108, 110240, 245Recorrido en postorden3 18 17 19 71 110 108 245 240104RECORRIDOS EN ÁRBOLESBINARIOS
  37. 37. Ejemplos:Recorrido en preorden:Recorrido en inorden:Recorrido en postorden:RECORRIDOS EN ÁRBOLESBINARIOS
  38. 38. ÁRBOLES DE BINARIOS DEBÚSQUEDAFormalmente se define un árbol binario de búsqueda dela siguiente manera: Para todo nodo T del árbol se debecumplir que todos los valores almacenados en el subárbolizquierdo de T sean menores o iguales a la informaciónguardada en el nodo T. De forma similar, todos losvalores almacenados en el subárbol derecho de T debenser mayores o iguales a la información guardada en elnodo T
  39. 39. INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS1. Comparar la clave a insertar con la raíz del árbol. Si es mayor, sesigue con el subárbol derecho. Si es menor, se continúa con elsubárbol izquierdo.2. Repetir sucesivamente el paso 1 hasta que se cumpla alguna de lassiguientes condiciones:a. El subárbol derecho, o el subárbol izquierdo, es igual a vacío,en cuyo caso procederá a insertar el elemento en el lugar quele corresponde.b. La clave que se quiere insertar está en el nodo analizado, porlo tanto no se lleva a cabo la inserción. Este caso es válidosólo cuando la aplicación exige que no se repitan elementos.
  40. 40. INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOSInsertar los siguientes datos:15, 5,17,3,16,8,21,6,25,11,13
  41. 41. Ejemplo:Insertar los elementos 120-87-43-65-140-99-130-22-56INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS
  42. 42. Ejemplo: INSERCIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS
  43. 43. La operación de búsqueda consiste en lo siguiente.Comparar el valor buscado con la informara del nodo visitado, si noes igual, se deberá continuar sólo por alguno de los dos subárbolesles.BÚSQUEDAOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS
  44. 44. En la eliminación de un árbol binario de búsqueda , se debendistinguir los siguientes casos:1.Si el elemento a eliminar es terminal u hoja, simplemente se suprimeredefiniendo el puntero de su predecesor.2.Si el elemento a eliminar tiene un solo descendiente, entonces tieneque sustituirse por ese descendiente.3.Si el elemento a eliminar tiene los dos descendientes, entonces setiene que sustituir por el nodo que se encuentra más a la izquierda enel subárbol derecho o por el nodo que se encuentra más a la derecha enel subárbol izquierdo.ELIMINACIÓNOPERACIONS CON ÁRBOLESBINARIOS
  45. 45. BibliografíaOsvaldo, C. (2002). Estructuras de Datos.México: McGRAW-HILL.

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