1.
1.5 Razones y variación
proporcional

2.
TANTO POR CIENTO Y PORCENTAJE EN SERIE
Se sabe que la calificación que un estudiante obtiene en un examen de
matemáticas, aumenta si crece el número de ejercicios que resolvió antes
de realizarlo; pero es menor cuanto mayor sea el grado de cansancio,
sobre todo intelectual, con el que llega a realizar tal examen. En estas
condiciones se dice que la calificación es directamente proporcional al
número de problemas resueltos, aunque es inversamente proporcional al
nivel o grado de cansancio al hacer el examen.

3.
• Se dice que y varía directamente como x, y es directamente
proporcional a x, cuando:
y = kx
donde x y y son variables
k se llama constante de proporcionalidad.
Constante de proporcionalidad.

4.
La producción en toneladas de caña de azúcar por hectárea aumenta con los
kilogramos de fertilizante que se emplean, es decir, P = kf, donde P es la
producción, y f los kilos de fertilizante. ¿Cuántas toneladas por hectárea se
producen en una parcela que se abonó con 385 kg de fertilizante, si otra con
condiciones semejantes produjo 91 toneladas por hectárea con 455 kg de
fertilizante?
El primer paso en esta clase de problemas consiste en obtener el valor de la
constante sustituyendo los datos, los valores conocidos, en la ecuación de
proporcionalidad, que en este ejemplo:
P = 91 toneladas f = 455 kilogramos f = 385 kilogramos
y= 91 toneladas x = 455 kilogramos x = 385 kilogramos
Ejemplo 1

5.
De donde la constante de
proporcionalidad es
y = kx
Despejando a k
k = y/x
k = 91/455
k =0.20
De donde la constante de
proporcionalidad es
P = kf
Despejando a k
k = P/f
k = 91/455
k =0.20
Considerando los datos otorgados por el problema
P es la producción, y f los kilos de fertilizante.
P = 91 toneladas f = 455 kilogramos f = 385 kilogramos
y= 91 toneladas x = 455 kilogramos x = 385 kilogramos
FORMULA ORIGINAL
FORMULA CON ADECUACIONES
AL PROBLEMA “LETRAS”
NOTA: Lo inverso de
multiplicar es dividir

6.
Cabe decir que la constante k no tiene dimensión y por eso no importan las
unidades que se utilicen al sustituir en la ecuación de proporcionalidad,
siempre y cuando se mantengan.
Con este valor de k obtenido anteriormente y el de x = 385 ó f = 385 se obtiene
la producción por hectárea:
De donde la constante de
proporcionalidad es
y = kx
y = 0.20*385
y =77 toneladas
De donde la constante de
proporcionalidad es
P = kf
P = 0.20*385
P =77 toneladas
FORMULA ORIGINAL
FORMULA CON ADECUACIONES
AL PROBLEMA “LETRAS”

7.
El volumen de ventas de un complemento dietético aumenta si se incrementa
el número de veces en que se anuncia en televisión, lo cual significa que:
V = kt
Donde V son las ventas, t es la frecuencia o número de veces en que el
complemento se anuncia, y k es la constante de proporcionalidad.
V = 4,500 piezas t = 5 veces t= 6 veces
y = 4,500 piezas x = 5 veces x= 6 veces
Ejemplo 2
Si el artículo que se anuncia 5 veces por hora, vende 4,500 piezas, ¿cuántas
se venderán si se anuncia 6 veces por hora?

8.
De donde la constante de
proporcionalidad es
y = kx
Despejando a k
k = y/x
k = 4,500/5
k =900
De donde la constante de
proporcionalidad es
V = kt
Despejando a k
k = t/V
k = 4,500/5
k =900
Considerando los datos otorgados por el problema
V son las Ventas, y t # de veces.
V = 4,500 piezas t = 5 veces t= 6 veces
y = 4,500 piezas x = 5 veces x= 6 veces
FORMULA ORIGINAL
FORMULA CON ADECUACIONES
AL PROBLEMA “LETRAS”

9.
Por lo tanto, si t = 6 entonces las ventas serán V = 900(6)
o V = 5,400 unidades.
Con este valor de k = 900 obtenido anteriormente y el de x =6 ó t =6 se obtiene
las ventas:
De donde la constante de
proporcionalidad es
y = kx
y = 900*6
y = 5,400 unidades
De donde la constante de
proporcionalidad es
V = kt
V = 900*6
V =5,400 unidades
FORMULA ORIGINAL
FORMULA CON ADECUACIONES
AL PROBLEMA “LETRAS”

10.
Proporción inversa

11.
La igualdad
y = k/x
donde x y y son variables
 x es diferente de 0
 k es la constante de proporcionalidad significa que
 y es inversamente proporcional a x.
Proporción inversa

12.
• Dos magnitudes se dicen inversamente proporcionales si al multiplicar
(dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra resulta dividida
(multiplicada) por ese mismo número.
DEFINICIÓN

13.
• El bono mensual B que un empleado recibe por su puntualidad es
inversamente proporcional al número de minutos m que llega tarde a
su trabajo, lo cual significa que:
B = k/m
• Si, por ejemplo, un empleado que llegó 3 minutos tarde recibió un
bono de $350, ¿cuándo recibirá otro que llegó 5 minutos tarde?
Ejemplo 1

14.
• Datos
Bono mensual = B minutos = m minutos = m
B = 350 m = 3 m = 5
• Para obtener el valor de la constante de proporcionalidad se tiene
que:
y = k/x
b = k/m
• Sustituyendo los valores en la formula podemos proceder a efectuar
las operaciones:
350 = k/3
• De donde se desconoce constante de proporcionalidad k
k = 350(3)
k = 1050

15.
• y entonces, cuando m = 5, resulta un bono de:
• Para obtener el valor de la constante de proporcionalidad se tiene que:
y = k/x
b = k/m
• Sustituyendo los valores en la formula podemos proceder a efectuar las
operaciones:
? = k/5
• De donde se desconoce bono mensual b
b = 1050/5
b = 210
• Note que si un empleado tiene 0 minutos de retardo entonces la expresión B = k/m
se indetermina porque no hay división entre 0, pero en ese caso el empleado
percibirá el bono máximo posible. También es cierto que muchas empresas que
otorgan este tipo de bonificación, lo cancelan en su totalidad con un retardo del
empleado.

16.
Proporción mixta

17.
• Es claro que la proporcionalidad puede darse con más de 2 variables en
proporción múltiple o mixta.
Proporción mixta

18.
• Si se supone que la calificación C que se obtiene en un examen está en
proporción directa al número de aciertos n y es inversamente proporcional al
número de minutos t en que se resuelve, entonces,
C = kn/t
• Por ejemplo, si Alejandra obtuvo 85 en un examen con 15 aciertos y 45
minutos, ¿qué calificación obtiene Carlos con 18 aciertos, si tardó 56 minutos
para resolver su examen?
Ejemplo 1
Alejandra
C= 85
n=15
m=45
Carlos
C= ?
n=18
m=56
Datos: Formula:
C = kn/t

19.
• Para la constante de proporcionalidad de Alejandra se tiene:
C = 85, t = 45 y n = 15
C = kn/t
Se tiende a despejar a la constante de proporcionalidad
85 = k(15)/45
de donde
k = 85(45)/15
k = 255
• Entonces, la calificación de Carlos, puesto que n = 18 y t = 56, es:
C = kn/t
C = 255(18)/56
C = 81.9642857

20.
Un buen padre de familia acostumbra dar a sus hijos, al final de cada
semestre, un premio P, en pesos, que es inversamente proporcional a la
expresión:
𝑛 + 1 100 − 𝑐
donde n es el número de inasistencias que la escuela le reporta y c es la
calificación semestral.
Entonces la ecuación de proporcionalidad es:
𝑷 =
𝒌
𝒏 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 − 𝒄
Ejemplo 2

21.
Si en el ejemplo 6 el hijo mayor recibió $3,250 con un promedio de 80 y 2
inasistencias
a) ¿cuánto recibirá el más chico si registró 4 inasistencias y logró 95 de
promedio semestral?
b) ¿Y cuánto recibirá su hermana que tuvo sólo una inasistencia y 90 de
promedio?
Ejemplo 3

22.
• La constante de proporcionalidad es k = 25,174 aproximadamente, ya que:
P = 3,250 n = 2 c = 80
3,250=
𝒌
𝟐+𝟏 𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟎
Entonces, el hijo menor logra un premio de:
𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟒 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟓
𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟐𝟓
𝑷 = $𝟓, 𝟎𝟑𝟒. 𝟖𝟕
k= 𝟑, 𝟐𝟓𝟎 𝟔𝟎
k= 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗
a) ¿cuánto recibirá el más chico si registró 4 inasistencias y logró 95 de
promedio semestral?
n = 4 c = 95

23.
Entonces, el hijo menor logra un premio de:
𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟏 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟎
𝑷 = 𝟐𝟓, 𝟏𝟕𝟒. 𝟑𝟗 𝟐𝟎
𝑷 = $𝟓, 𝟔𝟐𝟗. 𝟏𝟔
b) ¿Y cuánto recibirá su hermana que tuvo sólo una inasistencia y 90 de
promedio?

24.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
#6

25.
Actividad de Aprendizaje #6
1. Escriba y simbolice 3 ejemplos reales de proporcionalidad directa.
2. Mencione y simbolice 3 ejemplos de proporcionalidad inversa.
3. Escriba y represente con una ecuación 4 ejemplos reales de
proporcionalidad mixta o combinada.