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Ing. José Luis Morillo S.
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medio de “clicks”.
• Los conceptos irán apareciendo en el orden en q...
Luego de conocer los sistemas de
coordenadas rectangulares en R1 y R2, así
como el sistema de coordenadas polares en
R2, v...
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El sistema de coordenadas cilíndricas es la extensión del sistema de
coordenadas polar...
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… ahora, desde esta nueva perspectiva se puede ver el eje z que pasa
por el polo, con ...
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A(4,5 ; 45º ; 1,0) B(3,0 ; 150º ; 3,0) C(3,5 ;300º ; -2,0)
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Coordenadas rectangulares a cilíndricas
Datos: (x, y, z)
Se quiere obtener: (r, θ, z)
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Coordenadas Cilíndricas a Rectangulares:
Datos: (r, θ, z)
Se quiere obtener. (x, y, z)...
Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto A(3, -2, 1) son: A( ; 326,31°; 1)
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Solución (b):
El punto B se encuentra en elVI octante, entonces, según la regla para e...
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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
CILÍNDRICAS A RECTANGULARES
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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
CILÍNDRICAS A RECTANGULARES
Solución: Punto B
B( r , θ ,...
Los antiguos navegantes se guiaban por las
estrellas hasta que se descubrió la manera de
ubicar con exactitud la posición ...
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R3 donde los puntos se trazan
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El rango de variación de los ángulos
𝚹 y φ es:
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Esto implica que no habrá
valores de θ mayores que
360º ni valores de...
Ejemplos de puntos trazados en un sistema de coordenadas esféricas:
• A(3; 60º; 120º)
• B(5/2; 270º; 45º)
• C(1, 315º, 90º...
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Punto B(
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Obsérvese que no se usan
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Coordenadas Esféricas a rectangulares:
Se conocen las coordenadas esféricas A( ρ ; θ ;...
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Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas esféricas son:...
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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
ESFÉRICAS A RECTANGULARES
Punto B:
B(4 ; π/4; π/3)
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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
RECTANGULARES A ESFÉRICAS
Determine las coordenadas esfé...
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
RECTANGULARES A ESFÉRICAS
Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015
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Coordenadas cilindricas y esféricas

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Clase detallada sobre coordenadas cilíndricas y esféricas y sobre como relizar la transormación de coordenadas entre ambos sistemas. Teoría y ejercicios resueltos paso a paso analítica y gráficamente

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Coordenadas cilindricas y esféricas

  1. 1. Ing. José Luis Morillo S. x Y Z z x Y
  2. 2. • Esta presentación ha sido diseñada para avanzar por medio de “clicks”. • Los conceptos irán apareciendo en el orden en que fueron designados. • Espera que se despliegue todo un concepto, luego haz “click” con el ratón (o la tecla ↓) para avanzar al siguiente. • Hay párrafos largos (por mejorar) cuya lectura es e importancia para comprender el contexto. No las evites. • Los ejemplos se despliegan muy despacio para su mejor comprensión, no avances hasta que se despliegue por completo cada parte del mismo. jlms/2015 Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015
  3. 3. Luego de conocer los sistemas de coordenadas rectangulares en R1 y R2, así como el sistema de coordenadas polares en R2, veremos ahora los sistemas de coordenadas alternativos para representar puntos en R3. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015
  4. 4. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 El sistema de coordenadas cilíndricas es la extensión del sistema de coordenadas polares en R2 a R3, Imagínese un sistema de coordenadas polares en el plano, como el de la figura. Ahora imagínese que se coloca un eje z (la tercera dimensión para llevar a R3) justo en el polo y perpendicular a la pantalla. Desde esta perspectiva no se puede ver el eje z, pero si se gira el plano de la pantalla como en la siguiente figura… θ A(r, θ) r POLO
  5. 5. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 … ahora, desde esta nueva perspectiva se puede ver el eje z que pasa por el polo, con sus dos extremos (negativo y positivo) aportando la tercera coordenada (z) al punto A, de manera que las coordenadas de un punto en coordenadas Cilíndricas son: Nótese que las dos primeras coordenadas son las mismas que en coordenadas polares en el plano, de allí el punto A se eleva (polo arriba) o se deprime (polo abajo) tantas unidades como indique la coordenada “z”. • r: longitud del segmento que va desde e origen de coordenadas hasta el pie de la perpendicular del punto. • θ: ángulo medido desde el lado positivo del eje x hasta el segmento “r”. • z: distancia desde la base del plano xy hasta el punto A A(r, θ, z) z POLO -z z
  6. 6. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 A(4,5 ; 45º ; 1,0) B(3,0 ; 150º ; 3,0) C(3,5 ;300º ; -2,0) 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 z -z AB C 45ª 150ª 300ª A continuación se muestran tres puntos en coordenadas cilíndricas y su representación gráfica. Nótese que los puntos A y B se encuentran en el lado positivo del eje Z, mientras que el punto C se encuentra hacia el lado negativo del mismo Un sistema se coordenadas cilíndricas consta de infinitos cilindros concéntricos sobre los cuales se trazan los puntos, como se ve a continuación…
  7. 7. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 z -z AB C Así, el punto A se encuentra en la superficie de un cilindro de radio r= 4,5; el punto B en uno de r=3 y C en uno de r= 3,5.
  8. 8. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Coordenadas rectangulares a cilíndricas Datos: (x, y, z) Se quiere obtener: (r, θ, z) Z = Z Se hace coincidir el eje polar con el eje “X” para visualizar la relación entre ambos sistemas de coordenadas. Obsérvese que la coordenada “z” es la misma en coordenadas rectangulares y en coordenadas cilíndricas
  9. 9. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Coordenadas Cilíndricas a Rectangulares: Datos: (r, θ, z) Se quiere obtener. (x, y, z) Usando las mismas relaciones entre coordenadas,como se observa en la figura: A(x, y, z) En cualquier caso, conocidos los datos, se sustituye en las ecuaciones obtenidas de la entre los sistemas coordenadas y se realiza el cálculo correspondiente. A continuación de muestra un ejemplo:
  10. 10. Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto A(3, -2, 1) son: A( ; 326,31°; 1) Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Solución (a): El punto A se encuentra en el IV octante, entonces, según la regla para el ángulo θ: Para calcular “r”, se usan los valores de “x” e “y”, sustituyendo en la ecuación, resulta: Nótese que el ángulo obtenido corresponde efectivamente al IV octante, que es donde se encuentra el punto original. Es importante chequear estas correspondencias. Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=1. Determine las coordenadas cilíndricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son: a) A(3, -2, 1) b) B( , 10, -6) Transformación de coordenadas Rectangulares a coordenadas cilíndricas
  11. 11. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Solución (b): El punto B se encuentra en elVI octante, entonces, según la regla para el ángulo θ: Igual que en el ejemplo anterior, sustituyendo los valores de “x” e “y” en la ecuación, resulta: Nótese de nuevo que el ángulo obtenido corresponde efectivamente al VI octante, que es donde se encuentra el punto original. Es importante chequear estas correspondencias. Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: z=-6. Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto B( , 10, -6) son: B(12; 146,44°; -6) TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A CILÍNDRICAS
  12. 12. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A RECTANGULARES Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas son: a) A(3, π/6, -3) b) B( 2, -45º, -3) Solución: Punto A A( r , θ , z ) A( 3, π/6, -3 ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes: Así, las coordenadas rectangulares de A(3, π/6, -3) son: A(2,59 ; 1,5 ; -3) También de puede expresar en radicales y fracciones:
  13. 13. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A RECTANGULARES Solución: Punto B B( r , θ , z ) B( 2 , -45° , 2 ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes: Así que las coordenadas rectangulares de B( 2 , -45° , 2 ) son: B(1,41 ; -1,41 ; 2)
  14. 14. Los antiguos navegantes se guiaban por las estrellas hasta que se descubrió la manera de ubicar con exactitud la posición de un navío en altamar. Haciendo uso del sextante y cronómetros muy precisos, fueron capaces de determinar el ángulo por encima o por debajo del ecuador (latitud) y a la izquierda o derecha del meridiano de Greenwich (longitud) Este es un ejemplo de aplicación de un sistema de coordenadas esféricas. En la actualidad, los sistemas de posicionamiento vía satélite (GPS) al alcance de cualquier teléfono inteligente de gama media, usan un principio similar donde el objetivo es establecer la ubicación exacta de un objeto o persona sobre el globo terráqueo. Cada uno de nosotros tiene un par de coordenadas GPS que indica el lugar en que nos encontramos en un determinado momento, esa es nuestra posición en un sistema de coordenadas esféricas. A continuación se presenta en detalle la descripción de este sistema y su relación con otro tipo de coordenadas. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015
  15. 15. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 x Y z φ 𝚹 r ρ Otro sistema de coordenadas en R3 donde los puntos se trazan sobre la superficie de una esfera de radio ρ. En la figura se observan las coordenadas esféricas y su posición relativa respecto a un sistema de coordenadas rectangulares. Las componentes de un punto en coordenadas esféricas son A(ρ, 𝚹, φ), donde ρ es la distancia del origen de coordenadas al punto A, 𝚹 es el ángulo medido desde el lado positivo del eje X hasta el radio vector de la proyección del punto A sobre el plano XY, y φ es el ángulo medido desde el lado positivo del eje z hasta el radio vector que va del origen al punto A. A( ρ ; θ ; φ )
  16. 16. El rango de variación de los ángulos 𝚹 y φ es: x Y z Esto implica que no habrá valores de θ mayores que 360º ni valores de φ mayores que 180º (no tendría sentido) NOTA IMPORTANTE: los ejes coordenados X,Y y Z se colocan sólo como referencia, para efectos de visualizar la relación entre las coordenadas rectangulares y esféricas. En los ejemplos siguientes se puede ver que las referencias X,Y,Z no se usan para graficar puntos en este sistema de coordenadas.. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015
  17. 17. Ejemplos de puntos trazados en un sistema de coordenadas esféricas: • A(3; 60º; 120º) • B(5/2; 270º; 45º) • C(1, 315º, 90º ) x Y z A(3; 60º; 120º) V octante 60º Punto A( 60º ; 120º 120º)3 ; A( ρ ; θ ; φ ) Solución: Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015
  18. 18. x Y z Punto B( 270º 270º Obsérvese que no se usan escalas en los ejes coordenados para trazar los puntos, solo se usan los ángulos θ y φ. Una vez localizada la dirección que marcan los ángulos, se traza la longitud de ρ a lo largo de dicha dirección. ( ρ ; θ ; φ ) 45º 5/2 ; ; 45º ) 5/2 B(5/2; 270º; 45º) Entre III y IV octantes Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015
  19. 19. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 x Y z Punto C ( ; ; )315º C ( ρ ; θ ; φ ) Solución: Punto C 90º 315º 90º 1 C 1
  20. 20. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 x Y z φ θ r ρ Coordenadas rectangulares a Esféricas: Se conocen las coordenadas rectangulares A(x, y, z) y se quiere conocer las coordenadas Esféricas correspondientes A(ρ, θ, φ) Las relaciones de las componentes sobre el plano xy permanecen igual que en coordenadas polares: A( ρ ; θ ; φ )
  21. 21. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Coordenadas Esféricas a rectangulares: Se conocen las coordenadas esféricas A( ρ ; θ ; φ ) y se quiere conocer las coordenadas rectangulares A(x, y, z) correspondientes Las relaciones son las siguientes: A continuación de presentan unos ejemplos para ilustrar el cálculo con la conversión de coordenadas
  22. 22. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas esféricas son: a) A(6, 60º, 60º) b) B(4, π/4; π/3) Solución: Punto A A(6 ; 60º ; 60º): A( ρ ; θ ; φ ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes: Así, las coordenadas rectangulares de A(6, 60º, 60º) son: A(2,59 ; 4,5 ; 3) Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones:A( ; ; ) TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A RECTANGULARES
  23. 23. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A RECTANGULARES Punto B: B(4 ; π/4; π/3) B( ρ ; θ ; φ ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes: Así, las coordenadas rectangulares de B(4 ; π/4; π/3) son: B(1,41 ; 2,45 ; 2) . Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: B( ; ;2)
  24. 24. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A ESFÉRICAS Determine las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son: a) A(1 , -2 , 3) b) B(-3 , 2 , 0) Solución: Punto A A(1 , -2 , 3) A(x , y , z) Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes: Así, las coordenadas esféricas de A(1 , -2 , 3) son: A está en el IV octante, por lo tanto: De igual manera, de pueden expresar en decimales: A(3,74 ; 296,56º ; 36,70º)
  25. 25. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A ESFÉRICAS Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Solución: Punto B B(-3 , 2 , 0) B(x , y , z) Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes: B está en el II octante, por lo tanto:
  26. 26. Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015 Toda la información incluida en esta presentación ha sido recopilada, procesada, editada y montada en su totalidad por: José Luis Morillo S. Ingeniero Químico y docente de la cátedra de Geometría Analítica en la Universidad José Antonio Páez.Valencia.Venezuela . Esta presentación se hizo con fines estricta y exclusivamente educativos , el uso de la misma es libre si es con el mismo fin que motivó su creación. Comentarios y/o sugerencias serán bien recibidos en: academico.general@gmail.com Todo lo puedo en Cristo que me fortalece Valencia, Abril 2015

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