Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
CIRCUITOS
ELÉCTRICOS II
TINS Básicos
INGENIERÍA ELECTRÓNI...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
2
© CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I
3
“El presente material de lectura contiene una compilación de
artículos, de breves extractos de...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I
5
Presentación
En el camino ascendente de la tecnología, alimentado en permanentes actos de
refl...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
6
En el CAPÍTULO IV, damos el concepto de POTENCIA COMPLEJA, su
triangulo correspondiente, la anal...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I
7
Índice
CAPÍTULO I
SISTEMAS MONOFASICOS DE CA ....................................................
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
8
8. Teorema Superposición ..................................................................... 1...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I
9
Distribución Temática
Clase
N°
Tema Semana Horas
1
Principios de Generación de Energía Eléctri...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
10
Clase
N°
Tema Semana Horas
12
Generación de tensiones
polifásicas. Empleo de los sistemas polif...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
11
Capítulo I
SISTEMA MONOFASICO DE CA
1. GENERACIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA
La electricidad se gener...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
12
Corriente alterna:
La corriente alterna es aquella que circula
durante un tiempo en un sentido ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
13
2. MAGNITUDES DE LA CORRIENTE Y VOLTAJE
ELECTRICO
a. Onda: Perturbación en un medio que se prop...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
14
espira cambia con el tiempo, y se produce una f.em. Los extremos de la
espira se conectan a dos...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
15
El flujo que atraviesa cada espira en ambos arrollamientos es el mismo,
luego la tensión que ap...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
16
Disposición de elementos en un alternador simple
Así, en el alternador mostrado, tenemos que el...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
17
4. ONDAS ELECTRICAS NO SENOIDALES
a. Onda rectangular.- usado en circuitos digitales.
b. Onda T...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
18
d. Onda Rectificada.- Se implementa con diodos.
e. Onda Completa. Se implementa con diodos.
1. ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
19
2
p
rm s ef
I
I I= =
la potencia eficaz resultará ser:
1
. ( )
22 2
p
rms ef ef ef p p
V
P P V ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
20
))((cos)(cos 2
maxmax
2
maxmax tIVPtIVVIP media ωω =→==
R
V
RIIVIVP
ef
efefefmedia
2
2
maxmax
2...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
21
Ejemplo # 1.
Calcular el valor promedio, valor rms, Factor forma y Factor cresta de la forma de...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
22
Luego hallamos el factor forma
5.77
1.154
5
ef
F
prom
V
F
V
= = =
Y el Factor amplitud será:
10...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
23
{ }1 2
1 20
1
( ) 0.6 ( ) ( )prom m m mV V sen td t V d t V sen td t
θ θ π
θ θ
ω ω ω ω ω
π
= + ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
24
2 2 2
h a b= +
Vectores.
Es un segmento con una punta de flecha en uno de sus extremos, y es no...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
25
horizontal se denomina real o eje de resistencias y el eje vertical es el imaginario o
eje de r...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
26
Representación cartesiana de un número complejo:
|z|=modulo de z =longitud de segmento 0P =long...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
27
Algebra Fasorial.
1. Suma complejo: Para sumar dos o más números complejos se suman las
partes ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
28
Forma rectangular
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. ( )( ) ( ) ( )z z a jb a jb a a b b j a b a b= +...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
29
6. Potenciación de un complejo:
Si:
z r φ=
⇒
Su potencia será:
7. Raíz Cuadrada:
Si:
. j
z r e ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
30
Donde: Vm = Tensión máxima
T = Periodo (s)
ω = 2πf (pulsación rad/s )
θ = Angulo de fase (grado...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
31
En el grafico tenemos dos senoides diferentes, donde v2 adelanta a v1 de Ф, o v1 se
retrasa res...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
32
Si observamos el gráfico todo el plano complejo está rotando a una velocidad
angular ω y v(t) q...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
33
Entonces la Transformación fasorial inversa será.
( ) ( )1
Re 2 2 cos( )j j j t
m ef efP V e V ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
34
Si se suman dos senoides estos deben convertirse antes en el dominio
fasorial y la suma debe de...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
35
Ejemplo # 2.
Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del
cir...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
36
Ejemplo # 3
En el circuito mostrado hallar la tensión en el capacitor vC(t), por el método
faso...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
37
8. RESPUESTA EN AC DE ELEMENTOS PASIVOS
Variables Eléctricas que se Aplican en Circuitos Serie:...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
38
Formas de reactancia:
En una Resistencia es 0X =
En Una Bobina es 90ºX L X L j L jXω ω ω= → = =...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
39
2 2 2 2 2 2
,
R jX R X
G jB G B
R X R X R X
−
+ = ⇒ = = −
+ + +
8.1 DOMINIO DEL TIEMPO
1. CIRCU...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
40
Su impedancia.- Una resistencia presenta una impedancia que sólo
tiene componente real, ya que ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
41
Aplicando la ley de ohm tenemos ( ) 0Cv t V− = , si reemplazamos valores
tenemos: ( ) 0 ( )m m
...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
42
la reactancia capacitiva depende de la frecuencia de la corriente en el
circuito.
Su impedancia...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
43
Si la tensión que se aplica en los extremos de la bobina
es: ( ) mv t V sen tω= entonces aplica...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
44
La impedancia que presenta la bobina, y por ende el circuito, será:
0 LZ jX= +
2 .LZ X f L Lπ ω...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
45
Aplicando la ley de kirchoff tenemos que ( ) R Cv t V V= + , entonces el
voltaje v(t), que alim...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
46
5. CIRCUITO R - L EN SERIE.
Al igual que el condensador al aplicarle una tensión alterna al cir...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
47
Esto indica que el voltaje esta adelantada Фº grados respecto a la
corriente, y su ángulo de de...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
48
( ) cos ; :m eq eq L Cv t I Rsen X t si X X Xω ω⎡ ⎤= + = −⎣ ⎦
( ) cos
eq
m eq
eq eq
XR
v t I se...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
49
Si la tensión alterna aplicada es ( ) mv t V sen tω= , se sabe que en un
circuito en paralelo l...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
50
Si aplicamos una tensión alterna ( ) mv t V sen tω=
Entonces por ley de kirchoff la corriente s...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
51
Si se aplica una tensión ( ) mv t V sen tω= por la ley de kirchhoff
tendremos que la suma de la...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
52
1. CIRCUITO RESISTIVO.
0º
2
mV
V =
r
0º 0º
2 2
m mV I
I
R
= =
r
Su Impedancia compleja Diagrama...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
53
3. CIRCUITO CON UNA BOBINA.
0º 0º
90º
V V V
I
j L LX ω ω
= = = −
r
r
90º
V
I
Lω
= −
r
4. CIRCUI...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
54
Impedancia del circuito RC Diagrama fasorial
2 2
CZ R X φ= + −
r
5. CIRCUITO R – L EN SERIE. (0...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
55
6. CIRCUITO R – C EN PARALELO.
( )( 0º )I Y Vφ=
.I Y V φ=
Admitancia del circuito paralelo RC D...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
56
Admitancia del circuito paralelo RL Diagrama fasorial
Y G jB Y φ= − = −
9. LEYES DE KIRCHHOFF
1...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
57
1 2 3 ............... 0nI I I I+ + + + =
r r r r
Impedancia en serie:
Las impedancias en serie ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
58
Los elementos en paralelo están en la misma tensión
1 2 .......... nI I I I= + + +
r r r r
1 2
...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
59
Delta-Estrella Estrella-Delta
1
2
3
b c
a b c
c a
a b c
a b
a b c
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z
Z Z Z
Z Z
Z...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
60
Solución.
Hallamos la impedancia equivalente en los condensadores
1 2 3 20 10 10 40eqX X X X j ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
61
Luego por ecuación de mallas hallamos la corriente I.
1
1
12.5 17.5 20
17.5 (10 12.5) 0
j I j I...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
62
(a) (b)
Solución:
Para la forma de onda (a):
1. Su diagrama fasorial es.
2. Si observamos la on...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
63
5. La magnitud de la impedancia es
100
10
10
m
m
V
Z
I
= = = Ω
Usando los valores r.m.s. será.
...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
64
El modulo de la impedancia será:
10 7.07 225º
0.143 ó 0.143 75º
70 49.5150º
m
m
V
Z Z
I
= = = Ω...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
65
10 1 990L CX X j j k− = − = − Ω
1 990 990 89.94ºZ j= − = − Ω
El voltaje efectivo será
50 0º
35....
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
67
Capítulo II
METODOS SIMPLIFICADOS DE SOLUCIÓN
De aquí en adelante analizaremos los circuitos ca...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
68
Solución:
Primero hallamos la impedancia equivalente del circuito.
1 2 3 10 20 30 10 10eqZ Z Z ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
69
20 (50 45º)(20 90º)
50 45º 70.7180º 70.72
14.142 45º 14.142 45º
L
j
V V= = = = −
− −
30 (50 45º...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
70
Ejemplo # 2:
Dado el siguiente circuito, hallar V= ______
10 30º
100 0º
(5 10 10 30º 20 5 45)
V...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
71
1 1 2 2eqV Y I Y I Y I= = =
Caso 2 Ramas:
2 1
1 2
1 2 1 2
,
Z Z
I I I I
Z Z Z Z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
72
Solución:
Primero convertimos la Impedancia en admitancia.
20 0.05RZ R G mho= = Ω ⇒ =
10 0.1L L...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
73
3. METODO DE TRANSFORMACIÓN DE FUENTES AC.
a)
2 3 1TV V V V= + −
b)
1 3 2TI I I I= + −
r r r r
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
74
c)
V
I
Z
=
r
r
d)
.V I Z=
r r
Ejemplo # 4
Hallar la suma de las tensiones, expresados en voltio...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
75
Solución:
Primero transformamos las tensiones instantáneas en fasores.
1 1
35
( ) 35 ( 45º) 45º...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
76
El diagrama fasorial será.
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
77
Capítulo III
MÉTODOS GENERAL DE SOLUCION DE REDES
ELÉCTRICOS LINEALES
Pasos para analizar circu...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
78
1 1 1 2 1 3 1 1
2 1 2 2 2 3 2
233 1 3 2 3 3
0
Z Z Z I V
Z Z Z I
VIZ Z Z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
79
Ejemplo # 1
En el circuito mostrado hallar Vx usando el método de corrientes de malla.
Solución...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
80
Malla (1)
1 2 3(7 3) 5 5 10 0ºj I j I I+ + + =
Malla (2)
1 2 35 (12 3) (2 2) 5 30ºj I j I j I+ ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
81
ellos elegidos como nudo de referencia, requiere n-1 ecuaciones de tensión
en los nudos
1 1 1 2...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
82
1
2
1 1 1 1 50 0º
5 2 4 4 5
1 1 1 1 50 90º
4 4 2 2 2
Vj
V
j
⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟ = ⎢ ⎥⎢ ⎥
...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
83
Ejemplo # 3
En el circuito mostrado calcular V1 y V2
Solución:
Como se observa en el circuito l...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
84
Diagrama
topológico
Como de observa tenemos n = 2, entonces tenemos 2 ecuaciones:
1 2 2
3
3 6 1...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
85
4. SUPERMALLA:
Una supermalla se forma conectando una fuente de corriente entre dos mallas.
Eje...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
86
Debido a la fuente de corriente entre las mallas 3 y 4, en el nodo A, tenemos.
4 3 (4)4 ..........
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
87
Por determinantes hallamos.
1
8 2 8
112 8 28 2 64 50 20
8 14
8 2 8
140 10 84 6 192 280 58 186
2...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
89
Capítulo IV
POTENCIA MONOFÁSICA
La tensión aplicada al circuito de elementos pasivos es una fun...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
90
( ) ( 2 )rms rmsp t V I sen tω=
La frecuencia de la potencia es el doble a la tensión o la corr...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
91
[ ]
2
2
2 ; ( )
2
1 1 1
. . ( )
2 22 2
rms rms rms rms
L m m m
m m m
L m
V I V I
W V XI L I
V I...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
92
c. En una resistencia. La frecuencia de la potencia es también el doble de
la tensión o la corr...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
93
2. POTENCIA REACTIVA (Q).
Proporciona una indicación de la energía intercambiada entre el
circu...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
94
Sea: Z R jX= +
Si multiplicamos a Z por 2
0I ≥ tendremos:
2 2 2
S P Q
I Z RI jXI= +
Potencia ap...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
95
4. FACTOR DE POTENCIA ( fdp ).
Es un indicador del correcto aprovechamiento de la energía eléct...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
96
T m
T m
I I
S S
=
=
b) Cuando el Sw on→ :
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
97
(1)( ) .........C m m mQ P tg P tg P tg tgφ α φ α= − = −
2
: (2)........C
C
pero
V
Q
X
=
( 2 ) ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
98
Diagrama fasorial de corrientes:
T C mI I I= +
cos cosm TI Iφ α=
cos
cos
T mI I
φ
α
=
Como:
cos...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
99
El voltaje suministrado se expresa como:
212.1
0º 150 0º V
2
V = =
Y la corriente en el circuit...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
100
Potencia Reactiva
150 41.55 ( 56.31º ) 5185Q VIsen sen VARφ= = × − = −
Potencia aparente
150 4...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
101
Circuito ( b ):
Solución:
Circuito (a)
Impedancia del circuito
1 10 10 14.14 45ºZ j= + =
2 5 5...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
102
La potencia aparente consumida por el circuito es:
*
141.42 25º 22.36 43.43º 3162 18.43º VTS V...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
103
La potencia aparente consumida es:
 
*
8.25 50.9º 1.6514º=13.61 36.9ºTS V I= = − × −
10.88 8.1...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
104
7. TEOREMA NORTON:
Cualquier red activa de un puerto se puede reemplazar con una solo
fuente d...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
105
Ejemplo # 1.
En el circuito mostrado encontrar el equivalente de thevenin
Solución:
Hallamos l...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
106
Luego hallamos la tensión
2 1
2 1
(5 53.13º)(10 0º) 50 53.13º
9.85 23.96º 9.85 23.96º
Th
Z V
V...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
107
(5 53.13º)(5 90º) 25 36.87º
7.91 18.44º 7.5 2.5
3 1 3.16 18.43º
NZ j
j
− −
= = = − = −
− −
Lue...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
108
8. TEOREMA SUPERPOSICION:
En cualquier red lineal bilateral que contenga varias fuentes
indepe...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
109
Hallamos la corriente I4.
4
100 0º 100 0º
4.285 0º A
40 20 10 13.33310
40 20
I = = =
× ++
+
Po...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
110
y por el mismo método hallamos la corriente I9.
9
50 45º 50 45º
1.79 45º A
10 40 20 820
10 40
...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
111
9. TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE
POTENCIA:
La potencia que se transfiere de una red ac...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
112
3
3
2
1 1
2
(100)(5 10 )
(100)(20 10 ) 2
R
C
L
Z
Z j
j C j
Z j L j j
ω
ω
−
−
=
= = = −
×
= = ×...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
113
1
1 1
24 0º (2 2 2)
24 2 12 0º
I j j
I I
− = + −
− = ⇒ = −
Por tanto:
1
1 1
( 2) 12( 2) 24
(2)...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
114
24(2 2) 4(2 ) 8.94 26.56º
2.83 45º 2 2
6(1 3) (1 3) 3.16 71.56º
th
th
N
V j j
Z j
I j j
− + +
...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
115
10. PROBLEMAS RESUELTOS
1. En el circuito mostrado (a) un generador de corriente alterna gener...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
116
6
1 1
5.31
(628)(300 10 )
CX
Cω −
= = = Ω
×
1
1
1
10( 5.31)
10 5.31
53 90º
11.32 27.9º
4.69 62...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
117
b) Las corrientes en R L y C son:
1
1
20 0º
8.7175.37º
2.29 75.37º A
eq
V
I
Z
I
= =
= −
2 1
(2...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
118
2. En el circuito mostrado calcular la corriente Ix, aplicando el teorema de
Thevenin en los b...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
119
(5 9)( 3)
2 5 2.73 8.88 9.29 72.91º
5 6
eq th
j j
Z Z j j
j
−
= = + + = + = Ω
−
El circuito th...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
120
3. En la red mostrada encontrar el circuito equivalente Norton etre las
terminales a y b.
Solu...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
121
1 2 3 (2)(20 10) (20 10) (5 4) 0...............j I j I j I− + + + + − =
3 2 1 2 3 (3)3 0 0.......
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
122
10(20 10) 200 100 223.6 26.56º
10 20 10 30 10 31.6218.43º
7.18.13º 7
a
a
j j
Z
j j
Z j
+ +
= =...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
123
4. En el circuito mostrado calcular la corriente Ix mediante el teorema de
superposición.
Solu...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
124
Por divisor de corriente tenemos:
1
(7 )(3 0º) 21.2 8.13º
1.714 22.13º 1.587 0.65 A
12 3 12.37...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
125
2
2
30 10 2
(20 10) 0 4 2 4.47 26.56º
0.114 22.16º
30 10 (20 10) 39 3 39.1 4.4º
(20 10) 25 6
0...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
126
[ ] [ ]
[ ]
2
00 0
20 0
0
0
1 1
( ) ( ) ( )
2
cos( ) cos(2 ) cos(0)
2 2
1 1 0
2
T
m
m
m
I id t...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
127
Solución:
Entonces
2
2S Z I=
Y por el metodo de mallas tenemos:
1 2 1245 40, 55 15, 30 50Z j Z...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
128
Reemplazando en:
2 2
2 (25 35)(0.201) 1.01 1.4
1.72 54.19º VA
S Z I j j
S
= = − = −
= −
De la ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
129
Solución:
(30 20)(15 30) 1050 600 1209.3 29.7º
45 10 45 10 46.09 12.52º
26.23 17.18º
T
T
j j j...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
130
Por divisor de corriente tenemos:
1
(15 30)(19017.18º) (33.54 63.43º)(1.9017.18º)
45 10 46.09 ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
131
1 2 (57.3 38) (33 66) 90.3 28
94.54 17.23º
T T
T
S S S S j j j
S
= + ⇒ = + + − = −
= −
Si se o...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
132
9. Determinar L = ____, E = ____ si I está en fase con VZ.
Solución:
Z LI I I= +
2
100 0º 100 ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
133
Hallamos el modulo de cada vector.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
60º
4 60º 3.46 .
L Z
L L
I I sen
I sen I am...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
134
Solución:
Por el método de mallas obtenemos las siguientes ecuaciones:
Malla (1):
1 2 3
1 2 3 ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
135
Si reemplazamos los valores de las corrientes hallados obtenemos la caida
de potencial en abV ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
136
0
0 (1)
(5 0º) 3
0.5 90º 0.3 90º ...............
10 90
V
I V
−
= = − − −
0 0
1 0 2 0
2
0.5 0º ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
137
1 2
1 2 1
(2 2 2) 2 24 0º
2 (2 2 2) 2
j j I j I
j I j j I V
− + − = −
− + + + =
Utilizando la ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
138
13. En el circuito mostrado calcular ix _____
Solución:
Primero se transforma al dominio de la...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
139
1 2(1 1.5) 2.5 20j V j V+ + =
Nodo 2
Del circuito tenemos
1
2.5
x
V
I
j
=
−
1 2 2
1 1 2 2
2
4 ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
140
Entonces la corriente XI será:
1
a
18.97 18.43º
7.59 108.4º
2.5 2.5 90º
X mp
V
I
j
= = =
−
Tra...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II  
  141
Capítulo V
RESONANCIA ELÉCTRICA
Se dice que un circuito está en resonancia cuando la tensi...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
142
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II  
  143
Diagrama de fasores de un circuito serie resonante con elementos ideales.
Factor de calida...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
144
0Q es igual a la relación entre la caída de tensión en la bobina o
condensador y de la resiste...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II  
  145
En resonancia C LB B= y la admitancia neta es igual a G , a esta
frecuencia, la corriente ...
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
146
Diagrama fasorial de un circuito en paralelo en resonancia.
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Tins circuitoselectricos2
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Tins circuitoselectricos2

927 views

Published on

Analisis de circuitos en corriente AC

Published in: Engineering
  • Be the first to comment

Tins circuitoselectricos2

  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación CIRCUITOS ELÉCTRICOS II TINS Básicos INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP Lima - Perú
  2. 2. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 2 © CIRCUITOS ELÉCTRICOS II Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : • Ing. Fernando López A. • Ing. Mercedes Zambrano O. Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra Soporte académico : Vicerrectorado de Investigación Producción : Imprenta Grupo IDAT Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.
  3. 3. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 3 “El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras Circuitos Eléctricos II publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.
  4. 4. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 4
  5. 5. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 5 Presentación En el camino ascendente de la tecnología, alimentado en permanentes actos de reflexión científica, en espacios de pensamiento creativo, impulsado por la globalización de estos años, surge esta obra; congruente con las necesidades de formación profesional, en el ámbito de las ingenierías de: Electrónica, Mecatrónica y ramas afines. Se trata de un texto de instrucción, desarrollado con criterio didáctico, de naturaleza teórica-práctica para facilitar el aprendizaje del Curso de Circuitos Eléctricos II; con un contenido secuencial compatible con el texto de Circuitos Eléctricos I, diseñado para alumnos del V ciclo de la Carrera arriba acotada. La característica singular de estos textos establecido en función del sillabus del Curso, mencionado en líneas precedentes, lleva un énfasis de actualización, como reflejo de un acopio temático cuidadoso de la cantera bibliográfica más recomendada de Circuitos Eléctricos. El texto en mención ha sido compuesto por la Ing. Mercedes Zambrano; de quien refleja la experiencia profesional y el denuedo académico, en el horizonte de mejora continua de calidad educativa; como constante de contribución profesoral a la preparación de textos de instrucción TINS. El sentido didáctico del texto, se plasma en VII capítulos,ordenados de la manera que sigue: En el CAPÍTULO I, hacemos la introducción de los sistemas monofasicos de corriente alterna, indicamos la generación de energía eléctrica, la importancia del tratamiento de ondas senoidales y no senoidales, en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia, el uso practico de FASORES, con un estricto respeto a las LEYES DE KIRCHOOFF, remarcando conceptos de impedancia, reactancia, admitancia, susceptancia, triangulo de impedancia, enfatizando “quien adelanta” o “quien atraza”, en circuitos inductivos ,capacitivos o resistivos. E n el CAPÍTULO II y III, hacemos énfasis a la aplicación de los métodos de solución en forma fasorial, apoyandose del algebra topológica y de una calculadora científica que procese operaciones con complejos, en forma programable.(HP, TEXAS VOYAGE, CASIO, etc).
  6. 6. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 6 En el CAPÍTULO IV, damos el concepto de POTENCIA COMPLEJA, su triangulo correspondiente, la analogía con el triangulo de impedancias, y la importancia del factor de potencia. Luego, hacemos aplicación de teoremas a lo circuitos en forma fasorial, con el cuidado de distinguir las fuentes independientes de las controladas, corrección del factor de potencia: una técnica que la industria lo aplica permanentemente. En el CAPÍTULO V, desarrollamos el fenómeno de Resonancia eléctrica, su importancia en la electrónica y mecatrónica, pues se aprecia el concepto de ancho de banda, factor de calidad, selectividad, y su aplicación con filtros pasabanda, rechazo de banda, como una antesala al estudio de los filtros activos con opamp. En el CAPÍTULO VI, los sistemas polifásicos - trifásicos, marcan la importancia de la energía eléctrica que mueve la industria y el progreso de cada país en el mundo. Se hace énfasis a los diagramas fasoriales de voltajes y corrientes, de sistemas trifásicos balanceados y desbalanceados, cargas en estrella y en delta, su medición usando vatimetros electrodinámicos (ahora digitales), y la medición del factor de potencia. En el CAPÍTULO VII, hacemos circuitos acoplados magnéticamente, la importancia del núcleo magnético, factor de acoplo, reactancia mutua, puntos de polaridad instantánea, voltajes inducidos, trafos lineales e ideales, reflexiones de impedancias, hasta aplicarlo en los trafos trifásicos, con la ayuda de diagramas fasoriales y el cuidado del conexionado correspondiente. Al cerrar las líneas de esta presentación el agradecimiento Institucional a la Ing. Mercedes Zambrano e Ing. Fernando López A., por el esfuerzo y delicada labor paciente en la composición del texto. Ing. Lucio H. Huamán Ureta Vicerrectorado de Investigación
  7. 7. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 7 Índice CAPÍTULO I SISTEMAS MONOFASICOS DE CA ......................................................... 11 1. Generación de la Corriente y voltaje eléctrico................................... 11 2. Magnitudes de la Corriente y Voltaje eléctrico.................................. 13 3. Medios Para Generar Tensión Alterna .............................................. 13 4. Ondas Eléctricas no Senoidales ......................................................... 17 5. Números Complejos ......................................................................... 23 6. Ondas Eléctricas Senoidales............................................................... 29 7. Fasores................................................................................................ 31 8. Respuesta en AC de Elementos Pasivos............................................. 37 9. Leyes de Kirchhoff ............................................................................. 56 10. Transformación Delta Estrella ........................................................... 58 CAPÍTULO II METODOS SIMPLIFICADOS DE SOLUCIÓN ....................................... 67 1. Divisor de Tensión Fasorial ............................................................... 67 2. Divisor de Corriente Fasorial............................................................. 70 3. Método de Transformación de Fuentes AC ...................................... 73 CAPÍTULO III METODOS GENERAL DE SOLUCION DE REDES ELECTRICOS LINEALES .................................................................................................... 77 1. Método de Corriente de Mallas ........................................................ 77 2. Método de Tensiones de Nodos ........................................................ 80 3. Supernodo.......................................................................................... 82 4. Supermalla ......................................................................................... 85 CAPÍTULO IV POTENCIA MONFASICA.......................................................................... 89 1. Potencia Activa................................................................................... 92 2. Potencia Reactiva ............................................................................... 93 3. Potencia Compleja ............................................................................. 93 4. Factor de Potencia.............................................................................. 95 5. Corrección del Factor de potencia..................................................... 95 6. Teorema de Thevenin ........................................................................ 103 7. Teorema de Norton ........................................................................... 104
  8. 8. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 8 8. Teorema Superposición ..................................................................... 108 9. Teorema Máxima Transferencia de Potencia..................................... 111 10. Problemas Resueltos........................................................................... 115 CAPÍTULO V RESONANCIA ELECTRICA...................................................................... 141 1. Resonancia Eléctrica serie.................................................................. 141 2. Circuito Paralelo Resonante .............................................................. 144 3. Circuito paralelo Resonante de dos Ramas ....................................... 150 4. Filtros Pasivos.................................................................................... 151 CAPÍTULO VI SISTEMAS TRIFASICOS............................................................................. 159 1. Generación de Sistemas Polifásicos ................................................... 159 2. Sistemas Bifásicos............................................................................... 160 3. Sistemas Trifásicos ............................................................................. 162 4. Cargas Trifásicas Balanceadas y Desbalanceado ................................ 168 5. Potencia Trifásica Compleja. ............................................................ 170 6. Medición de potencia Trifásica (Método de los dos Vatímetros) ..... 171 7. Factor de Potencia en sistemas Trifásicos Balanceados. .................... 173 CAPÍTULO VII CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNETICAMENTE ................................ 179 1. Autoinducción ................................................................................... 179 2. Inductancia Mutua............................................................................. 180 3. Transformador Lineal ........................................................................ 188 4. Transformador Ideal .......................................................................... 194 5. Transformadores: pruebas en Vacio y Corto Circuito...................... 200 6. Autotransformador ............................................................................ 207 7. Transformador Trifásico .................................................................... 210 8. Problemas Resueltos........................................................................... 219 BIBLIOGRAFÍA........................................................................................... 239
  9. 9. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 9 Distribución Temática Clase N° Tema Semana Horas 1 Principios de Generación de Energía Eléctrica. Ondas eléctricas no senoidales. Valor medio. Valor eficaz, factor de forma. 1 02 2 Propiedades fasoriales. Algebra fasorial. Suma, resta, multiplicación, división, potenciación. Transformaciones fasoriales. 2 02 3 Parámetros eléctricos: R-L-C; Impedancia, Admitancia, Conductancia, Susceptancia, Reactancia. Leyes de Kirchhoff, conexiones de elementos en serie y paralelo. Transformación de conexiones delta y estrella. 3 02 4 Métodos simplificados de divisores de tensión y de corriente. Transformación de fuentes de Tensión y de Corriente. Propiedades de elementos redundantes 4 02 5 Método General de Solución de Redes Eléctricos lineales: Corriente de mallas y Potencial de nodos. Supermalla y Supernodo 5 02 6 Potencia monofásica. Potencia activa, reactiva y aparente. Factor de potencia. Diagramas fasoriales 6 02 7 Teoremas de Thevenin y Norton. 7 02 8 Teoremas de superposición. Teorema de la Máxima transferencia de Potencia. 8 02 9 Repaso de la Teoría con ejercicios y problemas 9 02 10 EXAMEN PARCIAL 10 02 11 Resonancia, en serie y en paralelo. Variación de frecuencia. Variación de inductancia. Variación de capacitancia. Factor de calidad. Ancho de banda. Aumento de tensión por resonancia. 11 02
  10. 10. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 10 Clase N° Tema Semana Horas 12 Generación de tensiones polifásicas. Empleo de los sistemas polifásicos. Secuencia de fases. Circuitos bifásicos. 12 02 13 Circuitos trifásicos balanceados. Conexión estrella, conexión delta. Balance de potencia. Factor de potencia. 13 02 14 Continuación de Circuitos trifásicos desbalanceados, factor de potencia. 14 02 15 Autoinducción. Coeficiente de acoplamiento. Inductancia mutua. El transformador ideal. 15 02 16 Circuitos equivalentes de transformadores monofásicos. Análisis y propiedades. 16 02 17 Prueba de transformadores monofásicos en vació y en corto circuito. Conexiones de transformadores. Transformadores trifásicos. Características técnicas. 17 03 18 Repaso de la Teoría con ejercicios y problemas de aplicación. 18 02 19 EXAMEN FINAL 19 02 20 EXAMEN SUSTITUTORIO 20 02
  11. 11. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 11 Capítulo I SISTEMA MONOFASICO DE CA 1. GENERACIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA La electricidad se genera a partir de fuentes de energía, como: centrales hidroeléctricas donde se usa la fuerza mecánica de agua, o en centrales Termoeléctricas donde se produce electricidad a partir del carbón, petróleo y otros combustibles. También puede generarse a partir de la Energía Eólica, Solar y Biomásica entre otras. ¿Centrales Hidroeléctricas? En las centrales hidroeléctricas el agua de un río, se hace bajar por grandes tuberías y túneles adquiriendo gran velocidad. Al llegar abajo, el agua hace girar unas turbinas conectadas a un generador produciendo la electricidad. ¿Centrales Termoeléctricas? Las centrales termoeléctricas producen electricidad mediante turbinas movidas por vapor a presión, el cual es producido al calentar agua empleando diversos combustibles como carbón, gas natural o licuado, petróleo e incluso leña o carbón vegetal. Red de Transporte de Energía Están formadas por generadores eléctricos, transformadores, líneas de transmisión y líneas de distribución para transportar energía eléctrica hasta los hogares, colegios, industrias y otros lugares de empleo. Usualmente las más altas tensiones se usan en distancias más largas y mayores potencias. Para utilizar la energía eléctrica las tensiones se reducen a medida que se acerca a las instalaciones del usuario. Para ello se usan los transformadores eléctricos.
  12. 12. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 12 Corriente alterna: La corriente alterna es aquella que circula durante un tiempo en un sentido y después en sentido opuesto, volviéndose a repetir el mismo proceso en forma constante. Su polaridad se invierte periódicamente, haciendo que la corriente fluya alternativamente en una dirección y luego en la otra. Este tipo de corriente es la que nos llega a nuestras casas y sin ella no podríamos utilizar nuestros artefactos eléctricos y no tendríamos iluminación en nuestros hogares. También puede ser generada por un alternador o dinamo, la cual convierten energía mecánica en eléctrica. El mecanismo que lo constituye es un elemento giratorio llamado rotor, accionado por una turbina el cual al girar en el interior de un campo magnético (masa), induce en sus terminales de salida un determinado voltaje. A este tipo de corriente se le conoce como corriente alterna AC. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal, con lo que se consigue una transmisión más eficiente de la energía.
  13. 13. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 13 2. MAGNITUDES DE LA CORRIENTE Y VOLTAJE ELECTRICO a. Onda: Perturbación en un medio que se propaga de un lugar a otro, transportando energía y cantidad de movimiento pero no transporta materia. b. Angulo de fase (φ ): Cada punto de una onda posee una fase definida que indica cuanto ha progresado o avanzado dicho punto a través del ciclo básico de la onda. c. Ciclo: se llama ciclo a toda forma de onda que completa un tiempo (t), es decir comienza en un punto de la forma de onda y termina el mismo punto para iniciar otro ciclo. d. Periodo: Se determina periodo al tiempo en segundos, que tarda en completarse un ciclo. Se denota por la letra T. 1 .T seg f = e. Frecuencia: Se denomina frecuencia al número de ciclos que se realizan en un segundo. 1 f Hertz T = f. Forma de onda Periódica. Se dice que es periódica cuando se repite continuamente, después del mismo intervalo. g. Fase: Es el ángulo inicial formado por la onda, antes de empezar a contar el tiempo. En el movimiento sinusoidal representa el desplazamiento del eje vertical respecto del inicio de la sinusoide. h. Pulsación ( ω ): La pulsación del movimiento sinusoidal equivale a la velocidad angular del movimiento circular. 2 rad/sfω π= 3. MEDIOS PARA GENERAR TENSION Y CORRIENTE ALTERNA 1. Generador: Es un dispositivo que convierte la energía química - mecánica en energía eléctrica. Cuando la espira gira, el flujo del campo magnético a través de la
  14. 14. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 14 espira cambia con el tiempo, y se produce una f.em. Los extremos de la espira se conectan a dos anillos que giran con la espira (a) (b) El flujo magnético es: cosm NBAφ θ= Donde: B= densidad de campo magnético. N = Número de espiras que hay en la bobina. A = área Si Una espira que gira con velocidad angular constante (ω), tθ ω δ= + Donde: δ = desfasaje Entonces tendremos: cos( )m N BA tφ ω δ= + Por la ley de Faraday, la f.em. alterna inducida será: sin( )md V NBA t dt φ ω ω δ= − = + 2. Transformadores: Son dispositivos eléctricos utilizados para elevar o disminuir el voltaje y la intensidad de corriente alterna sin que haya pérdida de potencia. Consiste en dos bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro (N1 vueltas en el primario bobina conectada a la fuente de potencia y N2 en el secundario).
  15. 15. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 15 El flujo que atraviesa cada espira en ambos arrollamientos es el mismo, luego la tensión que aparece en el secundario es Comparando las dos ecuaciones: 2 2 1 1 V N V N = Transformador Elevador 2 1 2 1VN N V> ⇒ > Transformador Reductor 2 1 2 1VN N V< ⇒ < Si colocamos una resistencia de carga en el secundario, aparecerá una corriente I2 en fase con V2 y aparecerá un flujo adicional proporcional a N2I2. Como el flujo en el primario debe tener el mismo ritmo de variación al estar conectado a una fem externa, debe aparecer una corriente I1 el primario de forma que: Si no existen pérdidas, se debe cumplir que 1 2 2ef ef efV I V I= Usos de transformadores. Transporte de energía eléctrica con pérdidas mínimas de energía por efecto Joule utilizando alto voltaje y baja corriente. 3. Alternadores. El alternador es una máquina destinada a transformar la energía mecánica en eléctrica, generando, mediante fenómenos de inducción, una corriente alterna. Un alternador consta de dos partes fundamentales, el inductor, que es el que crea el campo magnético y el inducido que es el conductor el cual es atravesado por las líneas de fuerza de dicho campo. 1 1 d V N dt φ = 2 2 d V N dt φ = 1 1 2 2IN I N= −
  16. 16. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 16 Disposición de elementos en un alternador simple Así, en el alternador mostrado, tenemos que el inductor está constituido por el rotor R, dotado de cuatro piezas magnéticas cuya polaridad se indica. Estas piezas pueden estar imantadas de forma permanente o ser electroimanes. El inducido está constituido por las cuatro bobinas a-b, c-d, e-f y g-h, arrolladas sobre piezas de hierro que se magnetizan bajo la acción de los imanes o electroimanes del inductor. Dado que el inductor está girando, el campo magnético que actúa sobre las cuatro piezas de hierro cambia de sentido cuando el rotor gira 90º, y su intensidad pasa de un máximo, cuando están las piezas enfrentadas como en la figura, a un mínimo cuando los polos N y S están equidistantes de las piezas de hierro. Son estas variaciones de sentido y de intensidad del campo magnético las que inducirán en las cuatro bobinas una diferencia de potencial que cambia de valor y de polaridad siguiendo el ritmo del campo.
  17. 17. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 17 4. ONDAS ELECTRICAS NO SENOIDALES a. Onda rectangular.- usado en circuitos digitales. b. Onda Triangular.- Se usa en circuitos de carga y descarga c. Diente de Sierra.- Usado en TV como pulsos de sincronismo
  18. 18. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 18 d. Onda Rectificada.- Se implementa con diodos. e. Onda Completa. Se implementa con diodos. 1. Valor máximo o valor pico de tensión y de corriente. Es el máximo valor que alcanza la forma de onda, ya sea positiva o negativa, desde el eje de referencia hasta el punto más alto de la cresta o el punto mas bajo del valle. Se denota por la letra Vp si es tensión o Ip si corriente. 2. Valor pico pico de tensión y de corriente. (Vpp) Es el valor que va desde el máximo positivo (+V) hasta el máximo negativo (-V) , es decir es el doble del valor pico (positivos y negativos son simétricos). Vpp = 2 Vm ó Ipp = 2 Im 3. Valor cuadrático medio (rms). Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia. Para una señal sinusoidal, el valor eficaz de la tensión es:. 2 0 1 ( ) 2 T rms ef p rms V V v t dt T V V = = = ∫ y del mismo modo para la corriente
  19. 19. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 19 2 p rm s ef I I I= = la potencia eficaz resultará ser: 1 . ( ) 22 2 p rms ef ef ef p p V P P V I V I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4. Valor Medio.-En una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, es decir los valores positivos se compensan con los negativos por ello su valor medio es nulo; entonces se dice valor medio de una tensión o corriente alterna es igual al semiciclo de todos los valores instantáneos de tensión o corriente medidos en un cierto intervalo de tiempo. En relación con los otros valores máximos de tensión o de corriente se tienen las siguientes igualdades: Vprom = 0.637 Vp ó Iprom = 0.637Im (en un semiciclo) La potencia media suministrada al circuito formado por una resistencia, se obtiene sin factores, directamente de los valores eficaces. Así La potencia media será: max maxcos ; cosV V t I I tω ω= =
  20. 20. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 20 ))((cos)(cos 2 maxmax 2 maxmax tIVPtIVVIP media ωω =→== R V RIIVIVP ef efefefmedia 2 2 maxmax 2 1 ==== 5. Valor instantáneo de tensión y de corriente.-La forma de onda esta formada por infinitos valores instantáneos que se presentan, sucesivamente, El valor instantáneo de tensión y de corriente es aquel que tiene la señal senoidal en cualquier instante de tiempo. 6. Factor de Cresta o Factor de amplitud.- Es la relación entre el valor máximo Vm y el valor eficaz Vef de la onda senoidal v(t). m C ef V F V = 7. Factor forma.- Es la relación entre el valor eficaz y el valor medio de la onda senoidal v(t). ef F med V F V = Resumen Valor eficaz 2 21 cos ( ) 2 t T m ef m t V V V t dt t ω φ + = + =∫ Factor de forma 2 2 1,11 2 m m V F V F π π = = = Factor de cresta 2 2 1, 41m m A C V V F F= = = = Transformada fasorial 2 cos( )j m efV V e P V tφ ω φ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦
  21. 21. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 21 Ejemplo # 1. Calcular el valor promedio, valor rms, Factor forma y Factor cresta de la forma de onda mostrada. Solución. Para el intervalo 0 < t < 0.1 ( ) 10 100 Ai t t= − Entonces hallamos promI . 0.1 0 0 1 1 (10 100 ) 10(1 0.5) 0.1 T promI idt t dt T = = − = −∫ ∫ 5 ApromI = Asi mismo Ief será 0.1 0.1 2 2 2 2 0 0 0 0.12 3 2 0 1 1 (10 100 ) 100 (1 20 100 ) 0.1 100 20 100 33.33 2 3 T rms rms I i dt t dt t t dt T t t I t = = − = − + ⎡ ⎤ = − + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ Entonces tendremos: 33.33 5.77rmsI A= =
  22. 22. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 22 Luego hallamos el factor forma 5.77 1.154 5 ef F prom V F V = = = Y el Factor amplitud será: 10 1.733 5.77 m C ef V F V = = = Ejemplo # 2. En la figura mostrada la onda sinusoidal recortada, está producida por un circuito electrónico, calcular el valor medio y el valor rms de la onda v(t). Solución: El valor de θ1 se calcula de la manera siguiente: 60 = 100 sen θ1 De ahí que: 1 1 60 0.6435 rad. 100 senθ − = = 2 1 2.4981 rad.θ π θ= + = Como la onda recortada tiene un valor promedio matemático de cero, el valor medio eléctrico se calcula a partir del primer ciclo.
  23. 23. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 23 { }1 2 1 20 1 ( ) 0.6 ( ) ( )prom m m mV V sen td t V d t V sen td t θ θ π θ θ ω ω ω ω ω π = + +∫ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ]{ }1 2 1 20 cos 0.6 cosm prom V V t t t θ θ π θ θ ω ω ω π = − + + − 48.16promV V= El valor rms de la onda se puede calcular también al término del primer medio ciclo de la siguiente manera, duplicándolo. { }1 2 1 2 2 2 2 2 0 2 ( ) ( ) (0.6 ) ( ) ( ) ( ) 2 rms m m mV V sen t d t V d t V sen t d t θ θ π θ θ ω ω ω ω ω π = + +∫ ∫ ∫ { }1 2 1 2 2 2 2 0 ( ) 0.36 ( ) ( ) 2640m rms V V sen td t d t sen td t θ θ π θ θ ω ω ω ω ω π = + + =∫ ∫ ∫ 2640 51.38rmsV V= = 5. NUMEROS COMPLEJOS Introducción Al circular la corriente alterna por circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores, debido a efectos especiales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y de la frecuencia. El comportamiento de estos componentes y por tanto de estos circuitos, es diferente que cuando son recorridos por corriente continua. Conocimientos Previos Teorema de Pitágoras: Cuando se trata de circuitos de una resistencia, bobina y un condensador se pueden resolver por medio del teorema de Pitágoras la cual dice. “El cuadrado formado sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado formado por su catetos.
  24. 24. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 24 2 2 2 h a b= + Vectores. Es un segmento con una punta de flecha en uno de sus extremos, y es nombrado vector (0B) o vector. Todo vector se caracteriza por. Magnitud o Modulo: Es la longitud del vector o segmento. (longitud 0-B). se representa así │v│. Dirección: Es la dirección de la recta sobre la que está representado el vector; la dirección puede ser 0 – B ó B – 0. Sentido: Es el sentido del vector que viene dado por la punta de la flecha. Según el grafico el sentido es 0 – B. Origen o Punto de aplicación: es el lugar donde comienza el vector. Un vector se puede dar en función de sus coordenadas o descomponerse en ellas. Teniendo como: Abscisa del segmento 0 cosa V φ= Ordenada del segmento 0b V senφ= Si de un vector nos dan sus componentes, podemos hallar el modulo por el teorema de Pitágoras o la trigonometría. Numero Complejo. Un número complejo representa un punto en un plano bidimensional, ese punto determina un radio vector trazado desde el origen a ese punto. El eje
  25. 25. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 25 horizontal se denomina real o eje de resistencias y el eje vertical es el imaginario o eje de reactancia. Toda unidad imaginaria se representa por “i”, en electrónica se utiliza la letra “j”. 2 1 1j j= − → = − Existen varias formas para representar el número complejo: a) Forma compleja: Se expresa (a,b) cuyo significado ya conocemos. b) Forma binomica: Se expresa por Z a jb= + donde a representa la parte real y b la parte imaginaria. c) Forma factorial o trigonométrica: en este caso se dan las componentes a y b en función del ángulo y de sus razones trigonométricas, cuyas componentes son. cosa r φ= b rsenφ= y el modulo (cos )Z r senφ φ= + d) Forma Polar: todo numero complejo queda determinado si se conocen su modulo y su argumento o ángulo j Z r re φ φ= = Donde r es la magnitud de Z, y Ф es la fase de Z. De rectangular a polar tenemos: 2 2 1 , a b r a b tg tg b a φ φ − = + = ⇒ = De Polar a rectangular cosa r φ= , b rsenφ= Entonces Z se escribirá: (cos )Z a jb r r jsenφ φ φ= + = = +
  26. 26. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 26 Representación cartesiana de un número complejo: |z|=modulo de z =longitud de segmento 0P =longitud del vector 0P 2 2 0P a b= + Representación Polar de números complejos. Modulo ( r ): Es la distancia entre el origen y el punto P(a,b), su valor se calcula por Pitágoras. Argumento ( θ ): Es el ángulo que forma el segmento 0P con el eje horizontal, cuyo ángulo se expresa en radianes y viene dado por: , arc cos , b a b arc sen arctg r r a θ θ θ= = =
  27. 27. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 27 Algebra Fasorial. 1. Suma complejo: Para sumar dos o más números complejos se suman las partes reales y las imaginarias por separado. Dados los números complejos 1 1 1 1 1z a jb r φ= + = , 2 2 2 2 2z a jb r φ= + = Forma rectangular. 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z a jb a jb a a j b b+ = + + + = + + + Forma Polar. 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( ) z z r r r r rsen r sen φ φ φ φ φ φ + = + = + + + 2. Resta complejo: La resta también se toman por separado la parte real y la imaginaria. Es más fácil hacerla en coordenadas rectangulares. 1 2 1 2 1 2( ) ( )z z a a j b b− = − + − 3. Multiplicación complejo: Para multiplicar dos números complejos es más fácil en forma polar, las magnitudes se multiplican y los ángulos se suman. 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2. ( ) ( ) . ( )z z r r r rφ φ φ φ= = +
  28. 28. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 28 Forma rectangular 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. ( )( ) ( ) ( )z z a jb a jb a a b b j a b a b= + + = + + + 4. División complejo: En forma polar se dividen los módulos y se restan los argumentos. 5. Conjugada un complejo: Sea z a jb z φ= + = ⇒ Su conjugada es. *z a jb z φ= − = − 1 11 1 1 2 2 2 2 2 zz z z z z φ φ φ φ = = −
  29. 29. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 29 6. Potenciación de un complejo: Si: z r φ= ⇒ Su potencia será: 7. Raíz Cuadrada: Si: . j z r e φ = Su raíz enésima será: 1 . . ( )( ) j n nj jn nn n n z r e r e z r e φ φ φ = = ⇒ = 8. Logaritmo: : . ln ln . ln ln ln ln j j j si z r e z r e r e z r j φ φ φ φ = = = + = + 6. ONDAS ELECTRICAS SENOIDALES Es llamado también corriente alterna o sistema monofásico, Una función senoidal es una forma de tensión que se genera en todo el mundo y suministrada a casas, fabricas, laboratorios, etc. Una senoide es importante en el análisis de señales periódicas, análisis de circuitos y es fácil de manejar matemáticamente. ( ) ( ) ( ) ( ) . n n j n n j n n z z ze z z e z n φ φ φ φ = = = =
  30. 30. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 30 Donde: Vm = Tensión máxima T = Periodo (s) ω = 2πf (pulsación rad/s ) θ = Angulo de fase (grados) f = Frecuencia (Hz) Dos ondas sinusoidales se pueden comparar cuando operan a la misma frecuencia, no necesitan tener la misma amplitud. También para comparar es conveniente expresar ambas como seno o coseno con amplitudes positivas usando las siguientes identidades trigonométricas. ( ) cos cos cos( ) cos cos sen A B senoA B AsenB A B A B senAsenB ± = ± ± = m
  31. 31. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 31 En el grafico tenemos dos senoides diferentes, donde v2 adelanta a v1 de Ф, o v1 se retrasa respecto a v2 de Ф. Si: Ф ≠ 0 entonces v1 y v2 están fuera de fase. Si: Ф = 0 entonces v1 y v2 están en fase 7. FASORES El fasor es un vector rotando en el plano complejo, con una magnitud y una velocidad de rotación ω expresada en radianes/segundo (ω=fija). Tiene magnitud constante en un ángulo fijo desde el eje real positivo y representa un voltaje o corriente senoidal en el dominio de vector. Los fasores se utilizan en ingeniería para simplificar los cálculos con sinusoides. Permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebraico. Transformación o Representación fasorial.- Se basa en la identidad de Euler. cosj e jsenφ φ φ± = ± Donde la parte real es: cos Re( )j e φ φ = La parte imaginaria es: Im( )j sen e φ φ =
  32. 32. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 32 Si observamos el gráfico todo el plano complejo está rotando a una velocidad angular ω y v(t) que es la proyección del vector Vejωt en el eje real en función del tiempo. Para transformación una función sinusoidal al plano complejo o dominio de la frecuencia primero expresamos en la forma de coseno ( ) cos( )mv t V tω φ= + de modo que la senoide se pueda describir como la parte real de un número complejo. ( ) ( ) Re( )j t mv t V e ω φ+ = , después, si tomamos el factor tiempo ( j t e ω ) nos queda una senoide ( ) Re( )j t v t Ve ω = y si eliminamos el factor tiempo, transfórmanos la senoide del dominio del tiempo al dominio fasorial o dominio de la frecuencia. j m mV V e Vφ φ= = . Es decir si: 2 .m efV V= Reemplazando tenemos tenemos: ( )2 cos( )j m m efV V e V P V tφ φ ω φ= = = + donde P= Transformación fasorial
  33. 33. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 33 Entonces la Transformación fasorial inversa será. ( ) ( )1 Re 2 2 cos( )j j j t m ef efP V e V e e V tφ φ ω ω φ− = = + Reemplazando 2 efV por mV tenemos: cos( )mV tω φ+ Transformación fasorial inversa: Nos permite volver del dominio fasorial al dominio del tiempo. Los fasores: mV V φ= , mI I φ= − Se representan gráficamente en la siguiente figura. Cuadro transformación senoide – fasor: Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia ( ) cos( )mv t V tω φ= + mV V φ= ( ) ( )mv t V s e n tω φ= + 9 0 ºmV V φ= − ( ) cos( )mi t I tω θ= + mI I θ= ( ) ( )mi t I se n tω θ= + 90ºmI I θ= −
  34. 34. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 34 Si se suman dos senoides estos deben convertirse antes en el dominio fasorial y la suma debe determinarse mediante el algebra complejo, el resultado puede convertirse después en el dominio del tiempo. Ejemplo # 1 Si tenemos: 1 25 , 10 ( 90º)v sen t v sen tω ω= = + En el dominio fasorial será: 1 2 1 2 5 0º 10 90º 5 10 11.180 63.43ºT TT v v v v v j v θ = = = + = + = = La transformada fasorial es útil ya que permite emplear algebra compleja en lugar de algebra sinusoidal. Relaciones de fase: El ángulo de fase entre dos formas de ondas de la misma frecuencia es la diferencia angular en cualquier instante (t).
  35. 35. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 35 Ejemplo # 2. Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del circuito serie, suponiendo que contiene dos elementos. La tensión y corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente. ( ) 50 (2000 25º) ( ) 8 (2000 5º) v t sen t i t sen t = − = − Solución: Hacemos notar que ambas funciones tienen la misma frecuencia. Los fasores correspondientes a cada una de las ondas son: 50 8 25º V, 5º A 2 2 V I= − = La impedancia será. 50 2 8 2 25º 50 30º 5.4 3.1 5º 8 Z j − = = − = − Ω que corresponde a una resistencia y un condensador conectados en serie, cuyos valores vienen dados por: Parte real es: La parte imaginaria 5.4 ,R = Ω 6 1 10 3.1 160 (3.1)(2000) CX C F C μ ω = = ⇒ = = En la figura se muestra el diagrama fasorial y el diagrama de impedancias. Del diagrama fasorial se comprueba que el circuito es capacitivo ya que la tensión está retrasada respecto de la corriente.
  36. 36. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 36 Ejemplo # 3 En el circuito mostrado hallar la tensión en el capacitor vC(t), por el método fasorial. Solución: 1 1 1 1 (4)(0.25) C CX j B j j Cω = = = − = = 1 0.25 4 G = = 0.25 1 176º eq eq Y G jB Y j = + = + = Luego hallamos la tensión en el condensador: .eq C C eq I I Y V V Y = ⇒ = Reemplazando tenemos: 10 0º 7.07 76º 2(176º) CV = = − Y en el dominio del tiempo es: ( ) ( 2)7.07 cos( 76º )Cv t tω= −
  37. 37. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 37 8. RESPUESTA EN AC DE ELEMENTOS PASIVOS Variables Eléctricas que se Aplican en Circuitos Serie: a. Impedancia (Z): En corriente alterna la oposición al paso de la corriente eléctrica en un circuito formado por resistencias, bobinas y condensadores, se llama impedancia (Z) dada por: ( ) . ( ) m rm s m rm s V Vv t Z cte i t I I = = = = La impedancia se expresa también en forma fasorial Z=V/I donde tanto V como I son fasores. En consecuencia la impedancia Z es también un fasor por lo que se puede expresar de la siguiente manera Z= R ±jX donde: R es la resistencia del sistema y X es la reactancia del sistema. La impedancia, resistencia y reactancia se mide en ohms (Ω) La impedancia también se puede expresarse en forma polar como: Z R jX Z φ= + = 2 2 Z R X= + 1 X tg R φ − = cosR Z φ= , X Z senφ= b. Reactancia (X). la cantidad (XL – XC) recibe el nombre de reactancia del circuito y se representa por X. L CX X X= − Entonces la impedancia se puede escribir en términos de la reactancia del circuito en la forma 2 2 Z R X= +
  38. 38. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 38 Formas de reactancia: En una Resistencia es 0X = En Una Bobina es 90ºX L X L j L jXω ω ω= → = = = En un Condensador 1 1 1 90ºX X j jX C C Cω ω ω = → = − = − = − Cuando X es positiva la impedancia es inductiva o de retraso porque la corriente se atrasa respecto a la tensión Z=R+ jX Cuando X es negativa la impedancia es capacitiva o de adelanto porque la corriente se adelanta respecto a la tensión Z=R – jX Variables Eléctricas que se Aplican en Circuitos Paralelo c. Admitancia (Y). Ofrece facilidad al paso de la corriente. Es la inversa de la impedancia, medido en siemens(S) o mhos( ). la admitancia de un circuito es la razón entre la corriente y la tensión fasorial a través de él: 1m rms m rms I I Y V V Z = = = la admitancia también puede expresarse en forma rectangular Y G jB= + Donde: G es la Conductancia parte real de la admitancia 1 1 R G Y R Z = = = B es la Susceptancia parte imaginaria de la admitancia. 1 jB jX = La admitancia, conductancia y susceptancia se miden en siemens(S) 1 G jB R jX + = +
  39. 39. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 39 2 2 2 2 2 2 , R jX R X G jB G B R X R X R X − + = ⇒ = = − + + + 8.1 DOMINIO DEL TIEMPO 1. CIRCUITO RESISTIVO. Tenemos un circuito formado por una resistencia y alimentada por una fuente de tensión alterna senoidal. ( ) ( )mv t V sen tω= la intensidad de la corriente que se origina se deduce partir de la Ley de Ohm: ( )( ) ( ) mV sen tv t i t R R ω = = : m m V si I R = ( ) ( )mi t I sen tω= Entonces la diferencia de potencial en la resistencia será: ( ) ( )mv t I Rsen tω= Por tanto, cuando el circuito es resistivo puro, la corriente y la tensión están en fase. (Fig.1). 0ºφ = desfase entre v(t) e i(t)
  40. 40. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 40 Su impedancia.- Una resistencia presenta una impedancia que sólo tiene componente real, ya que su componente imaginaria es de valor cero. Tendremos entonces que la impedancia total del circuito será su valor nominal. Z R jX= + donde su reactancia es X=0 entonces Z R= ó m m V Z I = 1 0º X tg R φ φ − = = 2. CIRCUITO CON UN CONDENSADOR. Circuito formado por un condensador y alimentado por una fuente de tensión alterna. ( ) ( )m q v t V sen t C ω= =
  41. 41. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 41 Aplicando la ley de ohm tenemos ( ) 0Cv t V− = , si reemplazamos valores tenemos: ( ) 0 ( )m m q V sen t q CV sen t C ω ω− = ⇒ = Derivando respecto al tiempo se encuentra que la corriente que circula por el condensador será: ( ) ( ) ( ) cosm m d V sen tdq i t C C V t dt dt ω ω ω= = = , Reactancia capacitiva se define como: * 1 1 : C C si X C C X ω ω = ⇒ = Reemplazando tenemos ( ) cosm C V i t t X ω= ó ( ) ( ) 2 m C V i t sen t X π ω= + : m m C V si I X = y ef ef C V I X = ( ) ( ) 2 mi t I sen t π ω= + También m m C m m m C V V X I CV I X ω= ⇒ = = C ef ef C X V I X V I =⇒= max max Como se observa la corriente está adelantada en 90º respecto a la tensión, es decir tenemos un desfase de π/2 en los extremos del condensador.
  42. 42. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 42 la reactancia capacitiva depende de la frecuencia de la corriente en el circuito. Su impedancia: La impedancia que presenta un condensador sólo tiene componente imaginaria o reactiva, donde Xc es la reactancia capacitiva que se calcula así: 0 CZ jX= − Donde. 1 1 2 . . CZ X f C Cπ ω = = = 3. CIRCUITOS CON UNA BOBINA. El comportamiento básico de la bobina en corriente alterna se cumple ( ) ( ) di t v t L dt =
  43. 43. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 43 Si la tensión que se aplica en los extremos de la bobina es: ( ) mv t V sen tω= entonces aplicando la ecuación de la bobina, tenemos ( ) L di v t V L dt = = para obtener la corriente en función del tiempo reemplazamos m di V sen t L dt ω = separando variables e integrando tenemos 1 1 ( ) ( ) ( cos )m m V i t v t V sen t t L L L ω ω ω ⎛ ⎞ = = = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 2( ) cos ( )m mV V i t t sen t L L πω ω ω ω = − ≡ − Reactancia inductiva o inductancia es LX Lω= 2( ) ( )m L V i t sen t X πω= − − : ;m m m L L m V V si I X X I = = Reemplazando tenemos: ( ) ( 90º )mi t I sen tω= − Como se observa ahora la intensidad está atrasada en 90º es decir, el efecto del inductor es desfasar la corriente (π/2) respecto a la tensión en los extremos de la bobina.
  44. 44. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 44 La impedancia que presenta la bobina, y por ende el circuito, será: 0 LZ jX= + 2 .LZ X f L Lπ ω= = = Siendo XL la reactancia inductiva de la bobina 4. CIRCUITO R - C EN SERIE. Si tenemos una corriente alterna. ( ) mi t I sen tω=
  45. 45. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 45 Aplicando la ley de kirchoff tenemos que ( ) R Cv t V V= + , entonces el voltaje v(t), que alimenta en los extremos será igual a la suma del voltaje en la resistencia y el voltaje en el condensador. Si sabemos que. ( )RV Ri t= y C q V C = reemplazando variables e integrando tenemos: 1 ( ) ( )v t Ri t idt C = + ∫ [ ] 1 ( ) cosm m m m I v t RI sen t I sen t RI sen t t C C ω ω ω ω ω = + = + −∫ [ ]( ) cos cosm C m m Cv t RI sen t X I t I Rsen t X tω ω ω ω= − = − ( ) cosC m XR v t I Z sen t t Z Z ω ω ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ :cos ; ;C m m XR si sen V ZI Z Z φ φ= = = [ ] [ ]( ) cos . .cos ( )m mv t ZI sen t sen t ZI sen tφ ω φ ω ω φ= − = − Donde la tensión aplicada al circuito es: ( ) ( )mv t V sen tω φ= − Su Impedancia es: 2 2 CZ R X= +
  46. 46. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 46 5. CIRCUITO R - L EN SERIE. Al igual que el condensador al aplicarle una tensión alterna al circuito, tendremos una corriente permanente que esta dada por: ( ) mi t I sen tω= . entonces el voltaje v(t) que alimenta en los extremos será igual a la suma del voltaje en la resistencia y el voltaje en la bobina. ( ) R Lv t V V= + si sabemos que: ( ) L di t V L dt = entonces ( ) ( ) ( ) di t v t Ri t L dt = + Reemplazando tenemos: [ ]( ) cos ( ) cosm m m mv t RI sen t L I t RI sen t t I tω ω ω ω ω ω= + = + [ ]( ) cos cosm L m m Lv t RI sen t X I t I Rsen t X tω ω ω ω= + = + [ ] ( ) cos cos . .cos L m m XR v t ZI sen t t Z Z ZI sen t sen t ω ω φ ω φ ω ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + [ ]( ) ( )mv t ZI sen tω φ= + Si : m mZI V= Reemplazando tenemos: [ ]( ) ( )mv t V sen tω φ= +
  47. 47. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 47 Esto indica que el voltaje esta adelantada Фº grados respecto a la corriente, y su ángulo de desfase respecto a v(t) es LX arctg R ϕ = indicando con ello que la tensión v(t) está adelantada en π/2 respecto a i(t). Su impedancia es: 2 2 LZ R X= + 6. CIRCUITO R – L - C SERIE. Si aplicamos una tensión a los extremos del circuito entonces la corriente que circula por ella será la misma en todos los elementos ( ) mi t I sen tω= 1 ( ) ( ) di v t Ri t L idt dt C = + + ∫ [ ] 1 ( ) cosm m mv t RI sen t L I t I sen t C ω ω ω ω= + + ∫ [ ]( ) ( ) cos cosm m m I v t RI sen t L I t t C ω ω ω ω ω ω = + + − ( ) cos cosm L m L Cv t RI sen t X I t X I tω ω ω= + −
  48. 48. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 48 ( ) cos ; :m eq eq L Cv t I Rsen X t si X X Xω ω⎡ ⎤= + = −⎣ ⎦ ( ) cos eq m eq eq eq XR v t I sen t Z Z Z ω ω ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Siendo: 2 2 cos eq eq eq eq eq R Z X sen Z Z R Z φ φ = = = + Reemplazando [ ]( ) . cos . cos .eq mv t Z I sen t t senφ ω ω φ= + [ ] : . ; ( ) cos . cos . m eq msi V Z I sen t sen t t senω φ φ ω ω φ = + = + ( ) ( )v t sen tω φ= + Su impedancia es: 2 2 ( )L CZ R X X= + − ó 2 2 1 ef ef V Z R L C I ω ω ⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Si XL > XC → es Inductivo XL < XC → es capacitivo XL = XC → es resistivo las fases respecto a i son siempre las mismas: 0º para VR, 90º para VL y -90º para VC . 7. CIRCUITO R – L EN PARALELO.
  49. 49. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 49 Si la tensión alterna aplicada es ( ) mv t V sen tω= , se sabe que en un circuito en paralelo las tensiones en cada rama son iguales y las corrientes en cada rama son diferentes, entonces por ley de kirchoff la corriente total será: ( ) R Li t i i= + 1 ( ) ( cos )m m m m V sen t V V i t V sen t sen t t R L R L ω ω ω ω ω = + = + −∫ 1 1 ( ) cos cosm m m L L V V i t sen t t V sen t t R X R X ω ω ω ω ⎡ ⎤ = − = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( . cos )m Li t V G sen t B tω ω= − ( ) ( ) cos cos . .cos L m m BG i t V Y sen t t Y Y V Y sen t sen t ω ω φ ω φ ω ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − Si: ( ) ( )m m mI YV i t I sen tω φ= ⇒ = − Su Admitancia es: 2 2 LY G B= + cos L G Y φ = L L B sen Y φ = 1 LB tg G φ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8. CIRCUITO R – C EN PARALELO.
  50. 50. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 50 Si aplicamos una tensión alterna ( ) mv t V sen tω= Entonces por ley de kirchoff la corriente será: (1)( ) ...............R Ci t i i= + cos ,m m C R C V V i t i sen t X R ω ω= = Reemplazando en (1). ( ) cos 1 1 cos m m C m C V V i t sen t t R X V sen t t R X ω ω ω ω = + ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( . .cos )m Ci t V G sen t B tω ω= + ( ) ( ) cos cos . .cos L m m BG i t V Y sen t t Y Y V Y sen t sen t ω ω φ ω φ ω ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + : ( ) ( )m m mSi I YV i t I sen tω φ= ⇒ = + Su Admitancia es: 2 2 CY G B= + 1 B tg G φ − = 9. CIRCUITO RLC PARALELO.
  51. 51. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 51 Si se aplica una tensión ( ) mv t V sen tω= por la ley de kirchhoff tendremos que la suma de la corriente de cada componente es igual: ( ) R L Ci t i i i= + + ( ) cos ) cosm m m C V V V i t sen t t t R L X ω ω ω ω = − + 1 1 1 ( ) cos cosm L C i t V sen t t t R X X ω ω ω ⎡ ⎤ = − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( )( ) . .cos cosm L Ci t V G sen t B t B tω ω ω= − + ( ) cos cosCL m BBG i t V Y sen t t t Y Y Y ω ω ω ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) cosC L m B BG i t V Y sen t t Y Y Y ω ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Su Admitancia es: 2 2 ( )L CY G B B= + − 8.2. DOMINIO DE LA FRECUENCIA
  52. 52. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 52 1. CIRCUITO RESISTIVO. 0º 2 mV V = r 0º 0º 2 2 m mV I I R = = r Su Impedancia compleja Diagrama fasorial Z R= r m m V Z I = r 2. CIRCUITO CON UN CAPACITOR. 1 0º 90º C V I V C j ω ω= = − r r 90ºI V Cω= r Impedancia del Capacitor Diagrama fasorial 1 CZ jX j Cω = − = −
  53. 53. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 53 3. CIRCUITO CON UNA BOBINA. 0º 0º 90º V V V I j L LX ω ω = = = − r r 90º V I Lω = − r 4. CIRCUITO R – C EN SERIE. ( 0 90ºφ≤ ≤ ) 0º 0º C V V V I R jX Z Z φ φ = = = − − r r r V I Z φ= r r Impedancia de la Bobina Diagrama fasorial LZ jX j Cω= =
  54. 54. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 54 Impedancia del circuito RC Diagrama fasorial 2 2 CZ R X φ= + − r 5. CIRCUITO R – L EN SERIE. (0 90ºφ≤ ≤ ) 0º 0º L V V V I R jX Z Z φ φ = = = − + r r r I I φ= − r Impedancia del Circuito RL Diagrama fasorial 2 2 LZ R X φ= + r Z Z φ= r
  55. 55. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 55 6. CIRCUITO R – C EN PARALELO. ( )( 0º )I Y Vφ= .I Y V φ= Admitancia del circuito paralelo RC Diagrama fasorial CY G jB Y φ= + = r r 7. CIRCUITO R – L EN PARALELO. I Y φ= − ( )( 0º )I Y Vφ= − .I Y V φ= −
  56. 56. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 56 Admitancia del circuito paralelo RL Diagrama fasorial Y G jB Y φ= − = − 9. LEYES DE KIRCHHOFF 1. LEY DE TENSIONES DE KIRCHHOFF. La suma algebraica de las tensiones a lo largo de cualquier camino cerrado en un circuito cerrado es igual a cero. En corriente alterna trabajan en dos dominios. a. En el dominio del tiempo 1 2 3( ) ( ) ( ) ..... ( ) 0nv t v t v t v t+ + + = b. En el dominio de la frecuencia. 1 2 3 ............ 0nV V V V+ + + + = r r r r 2. LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF. La suma algebraica de todas las corrientes que inciden en un nudo es igual a cero. En corriente alterna trabajan en dos dominios. a. En el dominio del tiempo. 1 2 3( ) ( ) ( ) .......... ( ) 0ni t i t i t i t+ + + + = b. En el dominio de la frecuencia.
  57. 57. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 57 1 2 3 ............... 0nI I I I+ + + + = r r r r Impedancia en serie: Las impedancias en serie se suman. 1 2 ............... 0eq nZ Z Z Z= + + + = Por los elementos en serie pasa la misma corriente. ( ) 1 2 1 2 ......... ......... ab n ab n V Z I Z I Z I V I Z Z Z = + + + = + + + r r r r r r ab eq V Z I = r r Impedancia en paralelo: La suma de las inversas de impedancias en paralelo es la inversa de la impedancia equivalente. 1 2 1 1 1 1 .......... eq n I Z Z Z ZV = = + + + r r ó 1 2 ............eq nY Y Y Y= + + +
  58. 58. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 58 Los elementos en paralelo están en la misma tensión 1 2 .......... nI I I I= + + + r r r r 1 2 .......... eq n V V V V Z Z Z Z = + + + r r r r 10. TRANSFORMACIÓN DELTA-ESTRELLA Y ESTRELLA- DELTA
  59. 59. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 59 Delta-Estrella Estrella-Delta 1 2 3 b c a b c c a a b c a b a b c Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z = + + = + + = + + 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 3 1 3 a b c Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z + + = + + = + + = Nota: Un circuito Delta o Estrella está equilibrado si las impedancias en las tres ramas son iguales entre si. 3 YZ ZΔ = ó 3 Y Z Z Δ = 1 2 3YZ Z Z Z= + + y a b cZ Z Z ZΔ = + + Ejemplo # 1: En el circuito mostrado convertir el conjunto de condensadores conectados en delta en su equivalente de estrella y calcular el valor de la corriente I.
  60. 60. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 60 Solución. Hallamos la impedancia equivalente en los condensadores 1 2 3 20 10 10 40eqX X X X j j j j= + + = − − − = − Ω Luego 1 2 1 ( 20)( 10) 5 40eq X X j j Z j X j − − = = = − Ω − 1 3 2 ( 20)( 10) 5 40eq X X j j Z j X j − − = = = − Ω − 2 3 3 ( 10)( 10) 2.5 40eq X X j j Z j X j − − = = = − Ω − El circuito equivalente será
  61. 61. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 61 Luego por ecuación de mallas hallamos la corriente I. 1 1 12.5 17.5 20 17.5 (10 12.5) 0 j I j I j I j I − = − + + = Despejando I tendremos 12.5 20 17.5 0 350 90º 1.79 50.2º 12.5 17.5 195.26 39.8º 17.5 10 12.5 j j I A j j j j ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = = −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ Ejemplo # 2: Un capacitor tiene una reactancia de 80Ω a una frecuencia de 200Hz, calcular la capacitancia del capacitor. Además calcular la reactancia y susceptancia de un inductor de 0.1H a una frecuencia 1kHz.. Solución. En el capacitor su reactancia será: 1 1 C 9.95 2 2 200 80 CX F fC μ π π = → = = × × En el Inductor su reactancia será: 2 2 1000 0.1 628.3L LX fL Xπ π= → = × × = Ω Y la susceptancia es. 1 1 B 0.00159 628.3 L L L B mhos X = = → = Ejemplo # 3: En cada una de las formas de onda a y b mostrada. 1. Trazar el diagrama fasorial a cada una de las formas de onda. 2. Determinar la relación de fase entre el voltaje y la corriente. 3. Determinar una expresión para las ondas de voltaje y corriente, expresadas como una función de tiempo. 4. Presentarlas como cantidades polares complejas. 5. Calcular la impedancia en cada forma de onda.
  62. 62. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 62 (a) (b) Solución: Para la forma de onda (a): 1. Su diagrama fasorial es. 2. Si observamos la onda sinusoidal de voltaje comienza en θ = 0 y la corriente pasa a traves de cero y aumenta en dirección positiva, alcanzando el 80º, es decir I se retrasa en 80º con respecto a V. 3. En el diagrama fasorial correspondiente en el tiempo t = 0, la expresión que describen el voltaje y la corriente son: ( ) 100 ( ) A ( ) 10 ( 80º) A v t sen t i t sen t ω ω = = − 4. En forma polar compleja, el voltaje y la corriente son. 100 0º 70.710º V 2 10 80º 7.071 80º A 2 V I = = = − = −
  63. 63. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 63 5. La magnitud de la impedancia es 100 10 10 m m V Z I = = = Ω Usando los valores r.m.s. será. 70.71 10 7.071 V Z I = = = Ω Para la forma de onda (b) 1. Su diagrama fasorial es: 2. En este caso 0θ = , el fasor de voltaje ya ha girado a través de un ángulo de 1 0.707 180º ( ) 225º 10 sen− − + = − , así mismo, como la forma de onda de la corriente alcanza cero en un ángulo de 0.524 radianes o 30º, a girado a través de un ángulo de 180º - 30º = 150º. Para cuando t = 0. ( ) 10 ( 225º) A ( ) 70 ( 150) A v t sen t i t sen t ω ω = + = + Por tanto, el voltaje adelanta a la corriente en 225 – 150 = 75º, y se expresa así: 10 225º 7.071 225º A 2 V = = 70 150º 49.5150º A 2 I = =
  64. 64. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 64 El modulo de la impedancia será: 10 7.07 225º 0.143 ó 0.143 75º 70 49.5150º m m V Z Z I = = = Ω = = Ω Ejemplo # 4. En el circuito mostrado, utilizando el método fasorial, encontrar la respuesta de estado estable de la corriente total i(t) y construir el diagrama fasorial de tensiones. Solución: Primero hallamos la reactancia inductiva y capacitiva. 3 6 100(100 10 ) 10 1 1 1 (100)(10 10 ) L C X L X k C ω ω − − = = × = Ω = = = Ω × El circuito equivalente será.
  65. 65. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 65 10 1 990L CX X j j k− = − = − Ω 1 990 990 89.94ºZ j= − = − Ω El voltaje efectivo será 50 0º 35.35 0º 2 rmsV = = Entonces el fasor de Corriente será: 335.35 0º 35.71 10 89.94º A 990 89.94º efV I Z − = = = × − En el dominio del tiempo será: ( ) 0.05cos( 89.94º ) Ai t tω= +
  66. 66. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 67 Capítulo II METODOS SIMPLIFICADOS DE SOLUCIÓN De aquí en adelante analizaremos los circuitos ca en el dominio de la frecuencia por medio de fasores, pues resulta mucho mas sencillo que en el dominio del tiempo. 1. DIVISOR DE TENSIÓN FASORIAL. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , Z ZV I V V V V Z Z Z Z Z Z = = = + + + r r r r Ejemplo # 1. En el circuito mostrado calcular la corriente I y la tensión en cada elemento por el método de divisor de tensión.
  67. 67. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 68 Solución: Primero hallamos la impedancia equivalente del circuito. 1 2 3 10 20 30 10 10eqZ Z Z Z j j j= + + = + − = − 14.142 45ºeqZ = − Ω La tensión Total será. 1 2 35.36 0º 35.36 90º 35.36 35.36V V V j= + = + = + r 50 45ºV V= La Corriente Total Será: 50 45º 3.536 90º 3.536 14.142 45ºeq V I j A Z = = = = − r Por Divisor de Tensión tenemos: 10 500 45º 50 45º 35.36 90º 35.36 14.142 45º 14.142 45º RV j V= = = = − −
  68. 68. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 69 20 (50 45º)(20 90º) 50 45º 70.7180º 70.72 14.142 45º 14.142 45º L j V V= = = = − − − 30 (50 45º)(30 90º) 50 45º 106.08 0º 106.08 14.142 45º 14.142 45º C j V V − − = = = = − − 1 235.36 70.72 106.08 35.36 35.36R L CV V V V j j V V= + + = − + = + = + r la tensión total será: 50 45ºV V= r Su Diagrama fasorial será.
  69. 69. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 70 Ejemplo # 2: Dado el siguiente circuito, hallar V= ______ 10 30º 100 0º (5 10 10 30º 20 5 45) V j j = − + + + (100 0 º)(10 30 º) 1000 30 º (5 10 10 30 º 5 45) 25.28 47.147 º V j = = + + + 39.55 17.147ºV V= − 2. DIVISOR DE CORRIENTE FASORIAL. Las impedancias en paralelo dividen la corriente total en la relación inversa de las impedancias (relación de las impedancias).
  70. 70. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 71 1 1 2 2eqV Y I Y I Y I= = = Caso 2 Ramas: 2 1 1 2 1 2 1 2 , Z Z I I I I Z Z Z Z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Caso 3 o mas Ramas: 31 2 1 2 3, , , , , , n n eq eq eq eq Y YY Y I I I I I I I I Y Y Y Y = = = = Ejemplo # 3. En el circuito mostrado hallar la corriente en cada rama
  71. 71. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 72 Solución: Primero convertimos la Impedancia en admitancia. 20 0.05RZ R G mho= = Ω ⇒ = 10 0.1L L LZ X j Y j= = ⇒ = − r r rr r 5 0.2C C CZ X j Y j= = − ⇒ = r r rr r 0.05 0.1 0.2 0.05 0.1 0.112 63.43ºeqY j j j= − + = + = Ω Luego por divisor de corriente hallamos la corriente en cada elemento. 1 (6 30º)(0.05 0º )0.05 6 30º 0.112 63.43º 0.112 63.43ºeq G I I Y = = = Ω Ω r r 1 0.3 30º 2.678 33.43º 0.112 63.43º I A= = − 2 0.1 (6 30º)(0.1 90º) 6 30º 0.112 63.43º 0.112 63.43º L eq Y j I I Y − − = = = Ω r 2 0.6 60º 5.357 123.43º 0.112 63.43º I A − = = − 3 (6 30º)(0.2 90º )0.2 6 30º 0.112 63.43º 0.112 63.43º C eq Y j I I Y = = = Ω Ω r r 3 1.2120º 10.7156.57º 0.112 63.43º I A= = 1 2 3 2.678 33.43º 5.357 123.43º 10.7156.57TI I I I= + + = − + − + 5.98 30ºTI =
  72. 72. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 73 3. METODO DE TRANSFORMACIÓN DE FUENTES AC. a) 2 3 1TV V V V= + − b) 1 3 2TI I I I= + − r r r r
  73. 73. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 74 c) V I Z = r r d) .V I Z= r r Ejemplo # 4 Hallar la suma de las tensiones, expresados en voltios, cuyos valores instantáneos viene dados por. 1( ) 35 ( 45º)v t sen tω= + 2 ( ) 100 ( 30º)v t sen tω= − Tomar como sentido de la suma: a) En primer lugar el sentido positivo de v1(t), b) segundo lugar el de v2(t). V uur
  74. 74. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 75 Solución: Primero transformamos las tensiones instantáneas en fasores. 1 1 35 ( ) 35 ( 45º) 45º 24.75 45º 2 v t sen t Vω= + ⇒ = = 2 2 100 ( ) 100 ( 30º) 30º 70.71 30º 2 v t sen t Vω= − ⇒ = − = − a) Tomando el sentido de v1(t) para el calculo de la suma se tiene. 1 2 70.71 30º 24.75 45ºTV V V= − = − − (17.499 17.499) (61.236 35.355) 43.737 52.854TV j j j= + − − = − + 68.6129.61ºTV V= ( ) 68.6 2 ( 129.61º)Tv t sen tω= + ( ) 97 ( 129.61º)Tv t sen tω= + b) Tomando el sentido de v2(t) para el calculo de la suma se tiene. ' 2 1 24.75 45º 70.71 30ºTV V V= − = − − ' 43.737 52.854 68.6 50.39ºTV j V= − = ' ( ) 97 ( 50.38º)Tv t sen tω= −
  75. 75. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 76 El diagrama fasorial será.
  76. 76. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 77 Capítulo III MÉTODOS GENERAL DE SOLUCION DE REDES ELÉCTRICOS LINEALES Pasos para analizar circuitos de AC. Si está en el dominio del tiempo, transformar el circuito al dominio fasorial o al dominio de la frecuencia. Analizar el problema de la misma manera que en el análisis de circuitos cd. Transformar el fasor resultante al dominio del tiempo. 1. MÉTODOS DE LAS CORRIENTES DE MALLAS. Lazo0V =∑ rr Ec. MatricialZ I V⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r r r Sea el circuito en el dominio de la frecuencia, aplicando la ley de kirchhoff para las tensiones, se obtiene el sistema de ecuaciónes. 1 1 2 1 2 1 3 2 4 2 3 2 2 1 5 3 4 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) Z I Z I I V Z I Z I I Z I I Z I Z I I V + − = + + + − = + + =
  77. 77. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 78 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 2 3 2 233 1 3 2 3 3 0 Z Z Z I V Z Z Z I VIZ Z Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 1 11 2 2 2 2 3 4 4 2 4 4 5 23 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) I VZ Z Z Z Z Z Z Z I Z Z Z VI + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Impedancia de entrada. Si tenemos un circuito con fuente única la impedancia de entrada es la relación entre la tensión aplicada y la intensidad de corriente que da lugar es decir: , r Z ent r r rr V Z I Δ = = Δ La impedancia de entrada de un circuito con elementos activos es en sus terminales de entrada, cuando todas sus fuentes de tensión Independientes están cortocircuitado, eso si conservan su propia impedancia interna. Donde ZΔ , rrΔ son la impedancia de entrada tanto de un circuito pasivo como de un activo. Impedancia de transferencia Es la relación entre la tensión aplicada en una malla y la intensidad de la corriente que resulta en otra malla, anulando el resto de las fuentes. El doble subíndice “r s” nos indica que la fuente esta en la malla r y la intensidad a considerar es la que aparece en la malla ( s ). , r Z transf rs s rs V Z I Δ = = Δ Donde rrΔ es el determinante y adjunto de rsZ en ZΔ .
  78. 78. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 79 Ejemplo # 1 En el circuito mostrado hallar Vx usando el método de corrientes de malla. Solución: Si observamos la corriente I3, circula por la resistencia de 10Ω en sentido tal que Vx = I3(10). Entonces hallamos el sistema de ecuación:
  79. 79. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 80 Malla (1) 1 2 3(7 3) 5 5 10 0ºj I j I I+ + + = Malla (2) 1 2 35 (12 3) (2 2) 5 30ºj I j I j I+ + − − = Malla (3) 1 2 35 (2 2) (17 2) 0I j I j I− − + − = La ecuación matricial es: 1 2 3 7 3 5 5 10 0º 5 12 3 (2 2) 5 30º 5 (2 2) 17 2 0 Ij j j j j I j j I + ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Resolviendo por determinantes. 3 7 3 5 10 0º 5 12 3 5 30º 5 2 2 0 667.96169.09º 0.435 194.15º 7 3 5 5 1534.5 25.06º 5 12 3 2 2 5 2 2 17 2 j j j j j I A j j j j j j j +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠= = = − +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ 3 (10) 4.35 194.15ºxV I V= = − 2. METODO DE TENSIONES DE NODOS. La Ecuación matricial es: Y V I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r r r El procedimiento es igual que el anterior pero con admitancias, un circuito en el dominio de la frecuencia, con n nudos principales. Uno de
  80. 80. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 81 ellos elegidos como nudo de referencia, requiere n-1 ecuaciones de tensión en los nudos 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 33 1 3 2 3 3 Y Y Y V I Y Y Y V I V IY Y Y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Admitancia de Entrada y de Transferencia. Se define como: , ,,r Y r Y ent r transf rs r rr s rs I I Y Y V V Δ Δ = = = = Δ Δ Donde rrΔ y rsΔ son adjuntos de rrY e rsY en YΔ . Ejemplo # 2. En el circuito mostrado calcular la corriente I, usando el método de las tensiones de nudos. Solución: Aplicamos el método nodal y para ello transformamos las fuentes de tensión en fuentes de corriente.
  81. 81. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 82 1 2 1 1 1 1 50 0º 5 2 4 4 5 1 1 1 1 50 90º 4 4 2 2 2 Vj V j ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎜ ⎟ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥− + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎝ ⎠ De donde: 1 volt. 10 0.5 25 0.75 0.5 13.52 56.31º 24.76 72.25º 0.45 0.5 0.25 0.546 15.94º 0.25 0.75 0.5 j j V j j −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = = − − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ 24.76 72.25º 12.38 17.75º 2 90º ampI⇒ = = − 3. SUPERNODO: Un supernodo se forma conectando una fuente de tensión entre dos nodos, excepto el nodo de referencia y cualquier elemento en paralelo con ella. Para ello se aplica tanto la primera como la segunda ley de kirchoff para determinar los voltajes.
  82. 82. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 83 Ejemplo # 3 En el circuito mostrado calcular V1 y V2 Solución: Como se observa en el circuito los nodos V1 y V2 forman un supernodo, ademas R = 4 se rincea . Para aplicar el método nodal corto circuitamos la fuente de tensión, circuito abierto a la fuente de corriente y hacemos su diagrama topológico.
  83. 83. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 84 Diagrama topológico Como de observa tenemos n = 2, entonces tenemos 2 ecuaciones: 1 2 2 3 3 6 12 V V V j j = + + − Resolviendo tenemos: 1 2 (1)36 4 (1 2) .............j V j V= + − Sin embargo una fuente de tensión está conectada entre los nodos V1 y V2 1 2 (2)10 45º .........V V= + Reemplazamos la ecuación (2) en la (1) y tenemos 2 236 4( 10 45º) (1 2)j V j V− + = − 236 40135º (1 2)j V− = + 2 volt.31.35 87.17ºV = − Según la ecuación (2) 1 31.35 87.17º 10 45ºV = − + 1 volt25.72 70.42º .V = −
  84. 84. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 85 4. SUPERMALLA: Una supermalla se forma conectando una fuente de corriente entre dos mallas. Ejemplo # 4. En el circuito mostrado, hallar Vo , utilizando el análisis de malla. Solución: Observando el circuito en las mallas 3 y 4 forman una supermalla debido a que la fuente de corriente está entre éstas. Por LCK tenemos. Malla 1: 1 2 3 (1)(8 2) 2 8 10 ...........j I j I I− + − = Malla 2: 2 (2)3 ............I = − Supermalla: 3 1 4 2 (3)(8 4) 8 (6 5) 5 0 ............j I I j I j I− − + + − = )
  85. 85. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 86 Debido a la fuente de corriente entre las mallas 3 y 4, en el nodo A, tenemos. 4 3 (4)4 ..........I I= + Reemplazamos la ecuación ( 2 ) en ( 1 ) 1 3(8 2) 8 10 6j I I j− − = + Luego reemplazamos las ecuaciones ( 2 ) y ( 4 ) en ( 3 ): 3 1 3 1 3 (8 4) 8 (6 5)( 4) 5( 3) 0 8 (14 ) 24 35 j I I j I j I j I j − − + + + − − = − + + = − − Obteniendo la ecuación matricial. 1 2 8 2 8 10 6 8 14 24 35 Ij j j I j − − +⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − −⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
  86. 86. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 87 Por determinantes hallamos. 1 8 2 8 112 8 28 2 64 50 20 8 14 8 2 8 140 10 84 6 192 280 58 186 24 35 14 j j j j j j j j j j j j − −⎛ ⎞ Δ = = + − + − = −⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ − −⎛ ⎞ Δ = = + + − − − = − −⎜ ⎟ − − +⎝ ⎠ La corriente I1 es: 1 1 58 186 3.618 274.5º 50 20 j I A j Δ − − = = = Δ − La Tensión 0V será: 1 22( ) 2(3.618 274.5º) 7.2134. 6.568oV j I I j j= − − = − = − 9.756 222.32ºoV V=
  87. 87. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 89 Capítulo IV POTENCIA MONOFÁSICA La tensión aplicada al circuito de elementos pasivos es una función de tiempo, la corriente que resulta es también una función de tiempo cuyo valor depende de los elementos que integre el circuito. La potencia instantánea es el producto en cada instante de la tensión por la corriente. ( ) ( ). ( )p t v t i t= Donde p(t) puede tomar valores positivos o negativos. Una potencia positiva significa una transferencia de energía de la fuente a la red, y una potencia negativa a una transferencia de energía de la red a la fuente. POTENCIA ACTIVA: (En el dominio del tiempo) Es la potencia que da lugar a un consumo de energía y a la producción de un trabajo ó energía útil (trabajo mecánico, calor). a. En una Bobina. Si tenemos un circuito pasivo con un elemento inductivo, y aplicamos una tensión senoidal ( ) ( )mv t V sen tω= y la corriente que circula es ( ) ( )mi t I sen tω= , entonces el valor de la potencia instantánea es: ( ) ( ). ( ) ( cos )( ) 2 ( ) ( 2 ) 2 2 2 m m m m m m p t v t i t V t I sen t V Vsen t p t V I sen t ω ω ω ω = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  88. 88. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 90 ( ) ( 2 )rms rmsp t V I sen tω= La frecuencia de la potencia es el doble a la tensión o la corriente, y el valor medio de la potencia en un ciclo o periodo completo es cero. (la bobina no disipa potencia). 0mP = Energía en una Bobina: 4 4 4 0 0 0 ( ) ( 2 ) cos 2 cos 2 cos0º 2 2 4 T T T L rms rms rms rms L rms rms W p t dt V I sen t V It T W V I ω ω ω ω = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫ Si: 2 2 2 4 4 T T T π ω π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
  89. 89. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 91 [ ] 2 2 2 ; ( ) 2 1 1 1 . . ( ) 2 22 2 rms rms rms rms L m m m m m m L m V I V I W V XI L I V I LI W L I ω ω ω ω ω ω = − − = = = ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ 2 2 m L LI W = b. En un condensador: El condensador no disipa potencia. Entonces la potencia media es cero. 0mP = Potencia instantánea es: ( ) ( ) 2inst rms rmsP v t i t V I sen tω= = Energía en el condensador es: 4 2 0 2 2 T m C rms rms CV W V I sen tdtω= =∫ 2 2 m C C V W =
  90. 90. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 92 c. En una resistencia. La frecuencia de la potencia es también el doble de la tensión o la corriente, además la potencia siempre es positiva y varia desde cero a un valor máximo Vm Im. 2 2 ( ) ( ). ( ) ( )( ) ( ) 1 cos ( ) (1 cos ) 2 2 2 m m m m m m m m p t v t i t V sen t I sen t V I sen t V Vt p t V I t ω ω ω ω ω = = = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) (1 cos 2 )rms rmsp t V I tω= − El valor medio de la potencia es: 1 2 m m mP V I= Energía en la resistencia es: 2 R rms rms T W V I= 1. POTENCIA ACTIVA ( P ). (En el dominio fasorial) La ecuación de la potencia promedio en un circuito ac es: potencia aparente x factor de potenciacos cosP VI Sφ φ= = = Donde cosφ se conoce como factor de potencia y S potencia aparente. Unidad de medida: watt, kw, Mw.
  91. 91. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 93 2. POTENCIA REACTIVA (Q). Proporciona una indicación de la energía intercambiada entre el circuito y la fuente de energía. No implica transformación, trabajo útil ni consumo de energía. El producto de V Isenφ se llama potencia reactiva, en el sistema mksa voltio-amperio reactivo (VAR) y su múltiplo es el kilovoltio- amperio reactivo (KVAR). ( 1KVAR = 1000VAR). 3. POTENCIA COMPLEJA (S). Llamado también Potencia Total ó Potencia Aparente Es un parámetro que indica la disponibilidad de una máquina o una de una planta en general. Es el producto (V.I) llamado también potencia aparente su unidad de medida es el voltio-ampere (VA) y su múltiplo es kilovoltio-amperio (KVA) 1KVA = 1000VA. Demostremos: * S V I= Sea: * (1), (2)........ .........V II I I Iφ φ= = − Multiplicando miembro a miembro (1) por (2). * 2 2 . ( ) ( ) 0ºV II I I I I Iφ φ= − = = Pero: 2 * * ( ) ( . ) ( . )( ) V S Z I Z I I Z I I= = = * S V I= l.q.q.d. Resumen: cos P Q S VI S VI jVIsenφ φ φ= ⇒ = + S P jQ S φ= + = .
  92. 92. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 94 Sea: Z R jX= + Si multiplicamos a Z por 2 0I ≥ tendremos: 2 2 2 S P Q I Z RI jXI= + Potencia aparente, 2 VAS VI I Z= = Potencia real, 2 cosP VI I R wattsφ= = Potencia reactiva, 2 VARQ VIsen I Xφ= = Potencia aparente compleja, * S V I= Triangulo de Impedancia: Z R jX Z φ= + =   Triangulo de potencia:   S P jQ S φ= + =
  93. 93. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 95 4. FACTOR DE POTENCIA ( fdp ). Es un indicador del correcto aprovechamiento de la energía eléctrica. Además es la relación entre la potencia activa ( P ) y la potencia aparente (S) o el coseno del ángulo que forman los favores de la intensidad y el voltaje. cos P fdp S φ= = 5. CORRECCIÓN DE FACTOR DE POTENCIA Es una técnica empleada en la industria mediante la cual banco de condensadores adecuados se consigue corregir el factor de `potencia con las siguientes consecuencias: Reducción de la potencia total o aparente del sistema Reducción de la corriente total del sistema Reducción de las perdidas en las líneas de transmisión de energía eléctrica Reducción de costos en las instalaciones de conductores Se conserva la potencia activa del sistema. Circuito a emplear: a) Cuando el Sw off→ :
  94. 94. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 96 T m T m I I S S = = b) Cuando el Sw on→ :
  95. 95. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 97 (1)( ) .........C m m mQ P tg P tg P tg tgφ α φ α= − = − 2 : (2)........C C pero V Q X = ( 2 ) en ( 1 ): 2 ( )m C V P tg tg X φ α= − 2 ( ) C m V X P tg tgφ α = −
  96. 96. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 98 Diagrama fasorial de corrientes: T C mI I I= + cos cosm TI Iφ α= cos cos T mI I φ α = Como: cos cosα φ> cos 1 cos T mI I φ α < ⇒ < Del triangulo de potencia se observa que: T mS S< Ejemplo # 1: Se aplica un voltaje de ( ) 212.1v t sen tω= a una impedancia de 3.6156.31ºΩ , determinar la resistencia y reactancia del circuito, así como la potencia real, la potencia aparente, y la potencia reactiva consumidas. Calcular la corriente que hay en el circuito y su factor de potencia. Dibujar el triangulo de potencia para el circuito. Solución: La impedancia del circuito es: 3.6156.31º 2 3Z j= = + Ω
  97. 97. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 99 El voltaje suministrado se expresa como: 212.1 0º 150 0º V 2 V = = Y la corriente en el circuito será: 150 0º 41.55 56.31º A 3.6156.31º V I Z = = = − El factor de potencia es: Retrasadocos( 56.31º ) 0.55fdp = − = Las potencias consumidas se pueden calcular mediante dos métodos. Método 1. Potencia real 2 2 (41.55) 2 3453 WP I R= = = Potencia Reactiva 2 2 (41.55) 3 5179 VARLQ I X= = = Potencia aparente 2 2 (41.55) 3.61 6232 VAS I Z= = = Método 2. 150 41.55 56.31º 6232 56.31ºS VI VA= = × = 3457 5185 VAS j= − Método 3. Potencia real cos 150 41.55cos( 56.31º) 3457P VI Wφ= = × − =
  98. 98. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 100 Potencia Reactiva 150 41.55 ( 56.31º ) 5185Q VIsen sen VARφ= = × − = − Potencia aparente 150 41.55 6232S VI VA= = × = De acuerdo a estos resultados el triangulo de potencia será: Ejemplo # 2: Si se sabe que en el circuito a) 1 10 20º AI = − , y en el circuito b) 2 8 VLV j= + entonces: Calcular la potencia real, la potencia aparente y la potencia reactiva que consumen los siguientes circuitos a y b, en cada caso dibujar el triangulo de potencia y el factor de potencia. Circuito ( a ):
  99. 99. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 101 Circuito ( b ): Solución: Circuito (a) Impedancia del circuito 1 10 10 14.14 45ºZ j= + = 2 5 5 7.07 45ºZ j= − = − (14.14 45º)(7.07 45º 99.96 0º 6.326 18.43º 15.818.43º 15.818.43º eqZ − = = = − Ω   La corriente total es: 1 1 14.14 45º 10 20º 22.36 43.43º A 6.326 18.43º T eq Z I I Z = = − = − Si se sabe que el voltaje en cada rama es el mismo entonces 1 1T eqI Z I Z= , por lo que y  el voltaje a través del circuito es: 1 1 10 20º 14.14 45º 141.42 25º VV I Z= = − × =
  100. 100. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 102 La potencia aparente consumida por el circuito es: * 141.42 25º 22.36 43.43º 3162 18.43º VTS VI= = × − = − 2999 999.6 VAS j= − O sea: Potencia Aparente S = 3162 VA Potencia real consumida, P = 2999 W Potencia reactiva consumida, Q = 999.6 VAR adelantada El factor de potencia es:cos(43.43º 25º) 0.95− = adelantada El triangulo de potencia es: Si el ángulo es negativo indica que es una carga capacitiva. Circuito ( b ). La impedancia equivalente del circuito es: 4 (5 8) 5 36.9ºeqZ j= + − = − Ω La corriente que circula por el circuito es: 2 8 8.25 76º 1.65 14º A 5 5 90º L L V j I Z j + = = = = − El voltaje a través del circuito es: 1.65 14º 5 36.9º=8.25 50.9º VT eqV IZ= = − × − −
  101. 101. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 103 La potencia aparente consumida es:   * 8.25 50.9º 1.6514º=13.61 36.9ºTS V I= = − × − 10.88 8.17 VAS j= − O sea: Potencia aparente, S = 13.61 VA Potencia real consumida, P = 10.88 W Potencia reactiva consumida, Q = 8.17 VAR adelantada El factor de potencia cos( 50.9 14) cos( 36.9) 0.8− + = − = adelantada El triangulo de potencia es: Si el ángulo es negativo indica que es una carga Capacitiva. 6. TEOREMA THEVENIN Consiste en una fuente de voltaje en serie con una impedancia. Una red que tenga terminales a y b, a las cuales esté conectada una carga eléctrica, se comportara como si tuviera una f.e.m E con una impedancia interna Z. E se mide en las terminales con la carga desconectada, Z es la impedancia medida entre las terminales a y b con la carga desconectada y cada fuente interna de la red es sustituida por su impedancia interna.
  102. 102. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 104 7. TEOREMA NORTON: Cualquier red activa de un puerto se puede reemplazar con una solo fuente de corriente I, en paralelo con una admitancia interna Y, I es la corriente que fluirá entre las terminales a y b cuando estuviera en corto circuito; Y es la admitancia medida entre a y b con la carga desconectada, y cada fuente dentro de la red es sustituida por su admitancia interna. Equivalencia entre los circuitos de Thevenin y Norton es cuando: 1 1 y VZ IZ Y Y = = =
  103. 103. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 105 Ejemplo # 1. En el circuito mostrado encontrar el equivalente de thevenin Solución: Hallamos las impedancias 1 2 3 6 8 10 53.13º , 3 4 5 53.13º 5 5 90º Z j Z j Z j = + = Ω = − = − Ω = = Ω Luego hallamos Thevenin equivalente (10 53.13º)(5 53.13º) 50 0º 5 90º 5 90º 9 4 9.85 23.96º 5.1 23.96º 5 90º 4.66 2.9 5.49 31.89º Th Th Z j Z j − = + = + + = − + = + = Ω
  104. 104. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 106 Luego hallamos la tensión 2 1 2 1 (5 53.13º)(10 0º) 50 53.13º 9.85 23.96º 9.85 23.96º Th Z V V Z Z − − = = = + 5.1 76.9ºThZ = − Entonces el circuito equivalente de thevenin será Ejemplo # 2 En el circuito mostrado hallar el equivalente Norton en los bornes “a y b”. Solución: Primero hallamos la impedancia 1 2 3 4 5 53.13º 5 5 90º Z j Z j = + = Ω = − = − Ω
  105. 105. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 107 (5 53.13º)(5 90º) 25 36.87º 7.91 18.44º 7.5 2.5 3 1 3.16 18.43º NZ j j − − = = = − = − − − Luego hallamos la corriente. 1 1 20 0º 4 53.13º 5 53.13º N E I I Z = = = = − Entonces el circuito equivalente de Norton será:
  106. 106. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 108 8. TEOREMA SUPERPOSICION: En cualquier red lineal bilateral que contenga varias fuentes independientes, el voltaje a través de cualquier elemento o fuente es la suma de los voltajes o corrientes individuales producidos por cada fuente independiente que actúa sola. Cuando un circuito contiene fuentes dependientes, el teorema solo puede usarse cuando la variable de control es externa a la red que contiene las fuentes. Ejemplo # 1 En los circuitos mostrados, determinar la corriente que hay en cada rama de la red, por el teorema de superposición. Solución: Paso 1. Corto circuitamos V2 , la fuente V1 actuara sola, entonces el circuito equivalente es:
  107. 107. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 109 Hallamos la corriente I4. 4 100 0º 100 0º 4.285 0º A 40 20 10 13.33310 40 20 I = = = × ++ + Por divisor de corriente se tiene 5 20 4.285 0º 1.43 0º A 40 20 I = × = + Por tanto 6 4 5 4.285 0º 1.43 0º 2.86 0º AI I I= − = − = Paso 2. Corto circuitazos V1, la fuente V2 actuara sola, como se observa en el circuito mostrado.
  108. 108. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 110 y por el mismo método hallamos la corriente I9. 9 50 45º 50 45º 1.79 45º A 10 40 20 820 10 40 I = = = × ++ + Así mismo 7 81.432 45º A y 0.348 45º AI I= = Al combinar los valores de los circuitos (a) y (b) obtenemos los valores pedidos del circuito (a) de la forma siguiente. 1 4 7 4.29 0º 1.432 45º 5.410.79º AI I I= + = + = 2 5 8 1.43 0º 0.358 45º 1.7 8.55º AI I I= + = + = 3 6 9 2.86 0º 1.79 45º 4.3217.09º AI I I= + = + =
  109. 109. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 111 9. TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA: La potencia que se transfiere de una red activa a una carga depende de varios factores. Si la carga es una resistencia pura, se transfiere la máxima potencia a la carga cuando la resistencia de la carga es igual a la magnitud de la impedancia interna de la red activa. ▪ Si la carga tiene una impedancia variable, pero con un factor de potencia constante, se transfiere la máxima potencia a la carga cuando la magnitud de la impedancia de la carga es igual a la magnitud de la impedancia interna de la fuente. ▪ Si la resistencia y la reactancia de la carga son independientemente variables, se transfiere la máxima potencia a la carga cuando la impedancia de esta es igual al conjugado complejo de la impedancia interna de la fuente. ▪ Si la carga comprende una reactancia fija en serie con una resistencia variable, se transfiere la máxima potencia cuando la resistencia de la carga es igual a la suma de la magnitud de la impedancia interna de la red activa y la reactancia de la carga. Ejemplo # 2 En el circuito mostrado hallar la transferencia de potencia máxima, el valor de la potencia media, y la potencia reactiva de la carga ZL. Solución: Primero convertimos a fasores cada componente.
  110. 110. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 112 3 3 2 1 1 2 (100)(5 10 ) (100)(20 10 ) 2 R C L Z Z j j C j Z j L j j ω ω − − = = = = − × = = × = Por el teorema de máxima transferencia de potencia * L thZ Z= , entonces calculamos thZ . Se sabe que: th th N V Z I = Entonces calculamos thZ . si tomamos la referencia en el nodo “b”, la tensión de thevenin será: 1( ) 0 2th a b abierto a xV V V V V V= − = − = + Donde. 1 1 1( 2), (2)xV I j V I= = Por la ecuación de mallas hallamos I1:
  111. 111. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 113 1 1 1 24 0º (2 2 2) 24 2 12 0º I j j I I − = + − − = ⇒ = − Por tanto: 1 1 1 ( 2) 12( 2) 24 (2) 12(2) 24 xV I j j j V I = = − = − = = − = − Entonces 12 24 2( 24) 48 24 53.66 153.43ºth xV V V j j= + = − + − = − − = − Luego calculamos corriente de Norton IN. Aplicamos análisis de malla: 2 2 1 2 24 (2 2) 2( ) 2 2( ) N N j I j I I V j I I − = − + − = − Si 1 22V I= Reemplazando tenemos: 2 2 2 2 24 (2 2) 2( ) 4 2( ) N N j I j I I I j I I − = − + − ⎫ →⎬ = − ⎭ 6(1 3)NI j A= − + Entonces la impedancia de Thevenin será:
  112. 112. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 114 24(2 2) 4(2 ) 8.94 26.56º 2.83 45º 2 2 6(1 3) (1 3) 3.16 71.56º th th N V j j Z j I j j − + + = = = = = − = − − + + * 2 2L thZ Z j⇒ = = + La potencia media y la potencia reactiva de la carga ZL lo calculamos por el circuito de Thevenin: 24(2 ) 48 24 53.66 153.43º 2 2 2 2 4 4 0º th th L V j j I Z Z j j − + − − − = = = = + − + + 13.42 153.43º 12 6 AI j= − = − − La potencia media será: (Potencia máxima de transferencia). 2 2 .Re( ) (13.42) (2) 360LZ LP I Z W= = = La potencia reactiva será: 2 2 .Im( ) (13.42) (2) 360LZ LQ I Z VAR= = = .
  113. 113. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 115 10. PROBLEMAS RESUELTOS 1. En el circuito mostrado (a) un generador de corriente alterna genera una tensión sinusoidal como se muestra en el grafico (b) calcular: a. Impedancia total b. Las corrientes en R, L y C c. Angulo de desfase entre la corriente total y la tensión aplicada. d. La potencia suministrada por el generador al circuito. Si se sabe que R =10 Ω, C = 300uF, L = 0.02H Solución: Según figura (a y b) tenemos: 20 0º y LV X Lω= = 3 1 1 10 100 10 10 T ms f Hz T − = → = = = × 2 2 (100) 628rad segfω π π= = = Si: L = 0.02H, entonces la reactancia inductiva será: (628)(0.02) 12.57LX = = Ω Si: C = 300μF, entonces la reactancia capacitiva será:
  114. 114. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 116 6 1 1 5.31 (628)(300 10 ) CX Cω − = = = Ω × 1 1 1 10( 5.31) 10 5.31 53 90º 11.32 27.9º 4.69 62.1º j Z j Z Z − = − − = − = − a) La impedancia equivalente será: 2.2 (12.57 4.14) 2.2 8.43 eq eq Z j Z j = + − = +   8.7175.37ºeqZ = Ω
  115. 115. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 117 b) Las corrientes en R L y C son: 1 1 20 0º 8.7175.37º 2.29 75.37º A eq V I Z I = = = − 2 1 (2.3 75.37º)(5.31 90º 12.21 165.37º 11.32 27.9º 11.32 27.9º C C X I I R X − − − = = = − − − 2 1.07 137.47º AI = − 3 1 (2.3 75.37º)(10 0º) 23 75.37º 11.32 27.9º 11.32 27.9ºC R I I R X − − = = = − − − 3 2.032 47.47º AI = − c) El ángulo de desfase entre la corriente y la tensión aplicada es: 75.37ºφ = d) La potencia suministrada por el generador al circuito es: . cos 20(2.3)cos(75.37º)P V I φ= = 11.62 WP =
  116. 116. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 118 2. En el circuito mostrado calcular la corriente Ix, aplicando el teorema de Thevenin en los bornes a y b.. Solución: Separamos la carga y calculamos Vab. El voltaje en la resistencia 2Ω y en la bobina de j5 es cero debido a que por ellas no circula corriente. 5 9 3 5 6 7.81 50 19ºtotalZ j j j= − + = − = − − Ω 1 2015º 2.56 65.19º A 7.81 50.19ºtotal V I Z = = = − 3(2.56 65.19º) 7.68155.19º VthV j= = Luego calculamos la impedancia de Thevenin, anulando sus fuentes independientes de alimentación, si es fuente de voltaje se sustituye por un corto circuito y si es una fuente de corriente por circuito abierto.
  117. 117. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 119 (5 9)( 3) 2 5 2.73 8.88 9.29 72.91º 5 6 eq th j j Z Z j j j − = = + + = + = Ω − El circuito thevenin equivalente conectado a la carga será: 7.68155.19º 7.68155.19º 0.61109.7º 8.73 8.88 12.45 45.49º xI j = = = +
  118. 118. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 120 3. En la red mostrada encontrar el circuito equivalente Norton etre las terminales a y b. Solución: Separamos la carga y cortocircuitamos las terminales a y b Como se observa la malla 1 y 2 forman una supermalla, entonces primero hallamos las impedancias 1 2 3 12 13 23 30 10, 20 10, 5 4 (20 10), 0, 0 Z j Z j Z j Z j Z Z = + = + = − = − + = = Luego para encontrar IN aplicamos el método de mallas. 1 2 3 (1)(30 10) (20 10) 0 2..............j I j I I+ − + + =
  119. 119. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 121 1 2 3 (2)(20 10) (20 10) (5 4) 0...............j I j I j I− + + + + − = 3 2 1 2 3 (3)3 0 0..............I I I I I− = ⇒ − + = Si observamos nuestro circuito I3 es la corriente Norton. 3 (20 10) 20 10 0 0 1 3 30 10 (20 10) 2 640 320 (20 10) 20 10 5 4 390 30 0 1 1 30 10 (20 10) 2 1.6941 0.6901 1.82 22.16º N N j j j j j I I j j j j j j I j − + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠= = = − + + − +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ = + = Luego calculamos la impedancia de Norton
  120. 120. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 122 10(20 10) 200 100 223.6 26.56º 10 20 10 30 10 31.6218.43º 7.18.13º 7 a a j j Z j j Z j + + = = = + + + = Ω = + Ω 7 5 8 12 12 3 12.37 14ºNZ j j j j= + + + − = − = − Ω Entonces el circuito equivalente Norton será:
  121. 121. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 123 4. En el circuito mostrado calcular la corriente Ix mediante el teorema de superposición. Solución: a. Primero anulamos la fuente de voltaje corto circuitandolo y trabajamos con la corriente. 10(20 10) 200 100 223.6 26.56º 7.18.13º 7 10 20 10 30 10 31.6218.43º a j j Z j j j + + = = = = Ω = + Ω + + +
  122. 122. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 124 Por divisor de corriente tenemos: 1 (7 )(3 0º) 21.2 8.13º 1.714 22.13º 1.587 0.65 A 12 3 12.37 14º j I j j + = = = = + − − b. Ahora anulamos la fuente de corriente abriéndola y trabajamos con la fuente de voltaje. Aplicando el método de mallas 11 22 1230 10, 25 6, (20 10)Z j Z j Z j= + = + = − + 1 2 1 2 (30 10) (20 10) 2 (20 10) (25 6) 0 j I j I j I j I + − + = − + + + =
  123. 123. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 125 2 2 30 10 2 (20 10) 0 4 2 4.47 26.56º 0.114 22.16º 30 10 (20 10) 39 3 39.1 4.4º (20 10) 25 6 0.11 0.04 A j j j I j j j j j I j +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + +⎝ ⎠= = = = + − + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + +⎝ ⎠ = + La corriente Ix será la suma de I1 e I2: 1.587 0.65 0.11 0.04 1.7 0.69xI j j j= + + + = + 1.83 22.09º AxI = 5. Dada la función i(t) = I0 sen(ωt) que se muestra en la gráfica, calcular. El valor medio (Im) y el valor eficaz (Ief). Solución: a) El valor medio de la función i(t)=I0 sen(ωt) con ωt como variable independiente y periodo T=2π es:
  124. 124. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 126 [ ] [ ] [ ] 2 00 0 20 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 cos( ) cos(2 ) cos(0) 2 2 1 1 0 2 T m m m I id t I sen t d t T I I I t I I π π ω ω π ω π π π π = = = − = − + = − + = ∫ ∫ b) El valor eficaz de la función dada es: 2 2 2 00 0 22 2 2 20 0 0 0 2 0 0 1 1 ( ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) (2 ) 2 2 2 4 2 0 2 2 2 T ef ef ef I i dt I sen t d t T I I t I sen t d t sen t I I I π π π ω ω π ω ω ω ω π π π π = = ⎡ ⎤ = = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 6. En la rama 2 del circuito mostrado calcular la potencia activa, reactiva, aparente y el factor de potencia y y dibujar el triangulo de potencias de esta rama.
  125. 125. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 127 Solución: Entonces 2 2S Z I= Y por el metodo de mallas tenemos: 1 2 1245 40, 55 15, 30 50Z j Z j Z j= + = + = − − 1 2 1 2 (45 40) ( 30 50) 12 ( 30 50) (55 15) 0 j I j I j I j I + + − − = − − + + = Para I2 tenemos: 2 2 45 40 12 (30 50) 0 45 40 (30 50) (30 50) 55 15 12(30 5) 699.7159º 0.20161.1º A 3475 125 3447.24 2.06º j j I j j j j j I j +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠= + − +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + +⎝ ⎠ + = = = − −
  126. 126. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 128 Reemplazando en: 2 2 2 (25 35)(0.201) 1.01 1.4 1.72 54.19º VA S Z I j j S = = − = − = − De la expresión: S P Q= + Donde: watts, 1.4 VAR,1.72 VA, 1.01aparente activa reactivaQS P == = cos(54.19º ) 0.585fdp = = (adelantado). El triangulo de potencias será: 7. En el circuito mostrado, calcular la potencia activa, reactiva, aparente y el factor de potencia de la carga total. Luego calcule las mismas potencias P1 y P2 por el método de divisor de corriente y comprobar que 1 2TS S S= + e igual a la potencia de la fuente de tensión.
  127. 127. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 129 Solución: (30 20)(15 30) 1050 600 1209.3 29.7º 45 10 45 10 46.09 12.52º 26.23 17.18º T T j j j Z j j Z + − − − = = = − − − = − Ω 50 1.90A 26.23T V I Z = = = 2 2 26.23 17.18º(1.90) 94.69 17.18º 90.46 27.96 TS Z I S j = = − = − = − De donde se observa que: watts, 27.96 VAR,94.69 VA, 90.46aparente activa reactivaQS P == = cos( 17.18º ) 0.95fdp = − = (adelantado). Calculamos la potencia en la rama 1. 50 0º 1.9017.18º A 26.23 17.18ºT V I Z = = = −
  128. 128. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 130 Por divisor de corriente tenemos: 1 (15 30)(19017.18º) (33.54 63.43º)(1.9017.18º) 45 10 46.09 12.53º 63.73 46.25º 1.38 33.72º A 46.09 12.53º j I j I − − = = − − − = = − − 2 2 1 1. 36 33.69º(1.38) 57.3 38 68.7 33.69º AS Z I j= = = + = Donde: watts, 38 VAR,68.7 VA, 57.3aparente activa reactivaQS P == = cos( 33.7º ) 0.8fdp = − = atrasado Calculo de la potencia en la rama 2 Si 1.9017.18º AI = Por divisor de corriente tenemos: 2 2 (30 20)(1.9017.18º) (36 33.69º)(1.9017.18º) 45 10 46.09 12.53º 68.4 50.87º 1.48 63.4º A 46.09 12.53º j I j I + = = − − = = − 2 2 2 2 2. 33.54 63.4º(1.48) 33 66 73.46 63.43º AS Z I j= = − = − = − Donde: watts, 66 VAR,73.46 VA, 33aparente activa reactivaQS P == = cos( 63.43º ) 0.45fdp = − = adelantado La conservación de la potencia es decir la potencia total es:
  129. 129. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 131 1 2 (57.3 38) (33 66) 90.3 28 94.54 17.23º T T T S S S S j j j S = + ⇒ = + + − = − = − Si se observa el resultado coincide con lo obtenido inicialmente. Calculo de la potencia en la fuente de alimentación . (50)(1.90 17.8º) 95 17.18ºfP V I= = − = − 8. Analizar: a) Potencia mecánica del motor. b) Calcular el condensador para que corrija el factor de potencia del sistema a 0.89 (en atraso) 2 (60) 377ω π= = Solución: Hacemos el triangulo respectivo, para calcular la potencia activa ó la potencia eléctrica del motor, la cual utilizaremos para calcular la potencia mecánica del mismo. m m . 0.75 30 ecanica ecanica electrica P P n P KW = = = m 30.16ecanicaP HP= En el mismo triangulo calcularemos el capacitor para aumentar el f.p. de 0.6 a 0.89, el ángulo nuevo es: cos-1 0.89=27.13º.
  130. 130. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 132 9. Determinar L = ____, E = ____ si I está en fase con VZ. Solución: Z LI I I= + 2 100 0º 100 0º 4 60º, 25 60º 90º 90º 100 90º Z Z Z L L L V V I I Z X L I L ω ω = = = = = − = − [ ] 2 30 (53.13) (27.13) 377(380) KW tg tg C − = 452.2C Fμ=
  131. 131. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 133 Hallamos el modulo de cada vector. [ ] [ ] [ ] [ ] 60º 4 60º 3.46 . L Z L L I I sen I sen I amp − × = × → = Ahora tenemos lo siguiente: 100 100 91.99 28.89 90 2 (50)(3.46) LL mH X Lω π → = = → = Si relacionamos las corrientes obtenemos: (3.46 90º) (4 60º) 2 0.12ºL ZI I I= + = − + = Por el método de mallas involucrando la fuente obtenemos. (28.89 90º)(2 0.12º) (28.89 90º)(3.46 90º) 115.47 30º L L LV X I X I V = + = + − = 10. Analizar y calcular a) cada uno de las corrientes de mallas. b) Voltaje en los bornes a – b.
  132. 132. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 134 Solución: Por el método de mallas obtenemos las siguientes ecuaciones: Malla (1): 1 2 3 1 2 3 (1) 380 0º (1 90º 0.5 90º 4 90º) (0.5 90º) (4 90º) 380 0º 2.5 90º 0.5 90º 4 90º ......................... I I I I I I = − + − + − − − = − − − Malla (2): 1 2 3 1 2 3 (2) 0 0.5 90º (190º 0.25 90º 0.5 90º) 0.25 90º 0 0.5 90º 0.25 90º 0.25 90º ...................... I I I I I I = − − + + − + − − − = − − + − − Malla (3): 1 2 3 1 2 3 (3) 0 0.5 90º 0.25 90º (2 0º 0.25 90º 4 90º) 0 4 90º 0.25 90º 4.25 61.93º ....................... I I I I I I = − − − − − + − + = − − − + Resolviendo el sistema tenemos: 1 2 3 4.58 73.72º 1.28 4.39 2.74 29.77º 2.38 1.36 4.45103.24º 1.02 4.33 I j I j I j = = + = = + = = − +
  133. 133. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 135 Si reemplazamos los valores de las corrientes hallados obtenemos la caida de potencial en abV . [ ] 2 3( )(0.25 90º) (2.38 1.36) ( 1.02 4.33) (0.25 90º) 1.13 131.2º ab ab ab V I I V j j V = − − = + − − + − = − 1.74 73.72ºS KVA= 11. En el circuito mostrado calcular: V0=_____, I =______- Solución:
  134. 134. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 136 0 0 (1) (5 0º) 3 0.5 90º 0.3 90º ............... 10 90 V I V − = = − − − 0 0 1 0 2 0 2 0.5 0º , 0.13 38.15º 4 0º 8 38.15º V V I V I V= = = = − Si 2 13I I I= + Reemplazando valores tenemos: 0 0 0 0 0.13 38.15º 3(0.5 90º 0.3 90º ) 0.5 0º 1.63 25.88º V V V V = − − − + = Reemplazando Vo en (1): 0.22 164.29ºI = − 12. En el circuito mostrado hallar la potencia total activa y reactiva de cada una de las fuentes. Solución: Por el método de mallas, calculamos las corrientes
  135. 135. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 137 1 2 1 2 1 (2 2 2) 2 24 0º 2 (2 2 2) 2 j j I j I j I j j I V − + − = − − + + + = Utilizando la ecuación de control de la fuente de tensión dependiente de tensión 1 12V I= , obtenemos. 1 (6 2)I j= − + 2 (12 6)I j= − + Potencias en las fuentes * 24( 6 12) 24( 6 12) 144 288 322116.56º VA S VI j j j S = = − − = − + = − + = Donde: 144 Q 288 P W VAR = − = * 1 2 12 ( ) 2(2 )(12 6) 4( 6 12)(12 6) 576 432 720 143.13º S VI V I I j j j S j S VA = = − = − = − − − − = − − ⇒ = − Donde: 576 Q 432 P W VAR = − = −
  136. 136. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 138 13. En el circuito mostrado calcular ix _____ Solución: Primero se transforma al dominio de la frecuencia, vemos que 4rad segω = ( ) 20 2 cos4 20 0ºv t t V= ⇒ = 4(1) 4 1 1 2.5 4(0.1) L C X j L j X j j C ω ω = = = Ω = = = − Ω El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia será. Entonces aplicamos la LCK. Nodo 1 1 1 1 220 10 2.5 4 V V V V j j − − = + −
  137. 137. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 139 1 2(1 1.5) 2.5 20j V j V+ + = Nodo 2 Del circuito tenemos 1 2.5 x V I j = − 1 2 2 1 1 2 2 2 4 2 2 2 .5 4 2 x V V V I j j V V V V j j j − + = − + = − Simplificando tenemos 1 21 1 1 5 0V V+ = La ecuación matricial será: 1 2 1 1.5 2.5 20 11 15 0 Vj j V + ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ La determinante será: 1 1.5 2.5 15 5 11 15 j j j +⎡ ⎤ Δ = = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 20 2.5 1 1.520 300, 220 0 15 11 0 j j+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Δ = = Δ = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 2 2 3 0 0 1 8 .9 7 1 8 .4 3 º 1 5 5 2 2 0 1 3 .9 1 1 9 8 .3 º 1 5 5 V V j V V j Δ = = = Δ − Δ − = = = Δ −
  138. 138. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 140 Entonces la corriente XI será: 1 a 18.97 18.43º 7.59 108.4º 2.5 2.5 90º X mp V I j = = = − Transformando al dominio del tiempo tenemos a 7.59 2 cos(4 108.4º ) 10.73 cos(4 108.4º ) x x m p i t i t = + = +
  139. 139. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II     141 Capítulo V RESONANCIA ELÉCTRICA Se dice que un circuito está en resonancia cuando la tensión aplicada a él y la corriente que lo recorre están en fase. Además cuando se alimenta un valor pequeño de voltaje o corriente, se produce elevados tensiones o corrientes en los extremos una bobina y el condensador. 1. RESONANCIA EN SERIE. El circuito serie tiene una impedancia de 1 Z R j L C ω ω ⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 1 1 eq Z R j L C Z R L Z C ω ω ω ω ⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ El circuito presenta resonancia cuando 0Z R j= + , o cuando 1L C ω ω= . Esto ocurre en la frecuencia resonante 0ω , donde: 0 0 0 1 1 / 2 2 rad seg o bien f Hz LC LC ω ω π π = = =
  140. 140. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 142
  141. 141. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II     143 Diagrama de fasores de un circuito serie resonante con elementos ideales. Factor de calidad (Q). Se llama factor de calidad o de sobre tensión a la frecuencia de resonancia de un circuito (o de una bobina), cociente entre la máxima energía almacenada y la potencia media disipada El factor Q de una bonina, capacitor o circuito es: 2 enegía máxima almacenada energía disipada por ciclo Q π × = Y el factor Q de un circuito serie en resonancia es: 0 0 1L L Q R R C ω = =
  142. 142. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 144 0Q es igual a la relación entre la caída de tensión en la bobina o condensador y de la resistencia. Se suele tomar un valor mayor que 10 Frecuencia de corte y Ancho de banda. Es el número de ciclos a uno y otro lado de las frecuencias de corte superior Hω y corte inferior Lω , también es la diferencia de frecuencias, en las cuales la potencia disipada por el circuito es la mitad de la disipada a la frecuencia de resonancia por dicho circuito, y se expresa tanto en rad/seg como en Hz. El factor Q del circuito en resonancia está dado por 0 0 0 0 H L H L f Q BW f f ω ω ω ω = = = − − 2. RESONANCIA EN PARALELO. Se cumple que la parte compleja o susceptancia de la admitancia debe ser nula. ( )C LY G j B B= + + Donde CB j Cω= y 1 LB j Lω= − . A la frecuencia resonante 0ω , y0 0C LB B Y G j− = = + . También 0 1 L C ω =
  143. 143. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II     145 En resonancia C LB B= y la admitancia neta es igual a G , a esta frecuencia, la corriente y el voltaje de suministro están en fase entre si.
  144. 144. CIRCUITOS ELÉCTRICOS II 146 Diagrama fasorial de un circuito en paralelo en resonancia.

×