Proposiciones.

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Proposiciones.

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMÍN TOROVICE - RECTORADO ACADÉMICO DECANATO DE INGENIERÍA ESCUELA DE COMPUTACION Alumno: Jorge Martínez C.I. 19.323.838 Profesor: Domingo Méndez
  2. 2. Una proposicion es un enunciado cuyo contenido esta sujeto aser clasificado como “Verdadero” o “Falso”, pero no ambascosas a las vez.Notacion: Las proposiciones se notaran con letras minusculas:p, q, r, s, t, ya que las letras mayusculas las usaremos paradenotar los conjuntos.Llamaremos valor logico de una proposicion, el cualdenotaremos por VL, al valor 1 si la proposicion es verdadera; y0 si es falsa.
  3. 3. Las operaciones logicas son simbolos o conectivos que nospermiten construir otras proposiciones; o simplemente unir dos omas proposiciones, a partir de proposiciones dadas. Cuandouna proposicion no contiene conectivos logicos diremos que esuna proposicion atomica o simple; y en el caso contrario,diremos que es una proposicion molecular o compuesta.
  4. 4. Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos oconectivos que nos permiten construir otras proposiones; osimplemente unir dos o más proposiciones, a partir deproposiciones dadas.Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremosque es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario,diremos que es una proposición molecular o compuesta.Estas operaciones son llamadas operaciones veritativas. Aqui gy t representan dos proposiciones cualquiera.
  5. 5. CONECTIVO OPERACION SIMBOLICAMENTE SE LEE No g o no es ~ Negacion ~g cierto g Conjuncion o ^ g^t gyt producto logico Disyuncion o v suma logica gvt got (inclusiva) Condicional o g implica t o si → g→t implicacion g entonces g si solo si t o Bicondicional o ↔ g↔t g es doble implicacion equivalente a t Disyuncion v g vt Ogot Exclusiva
  6. 6. Tabla de verdad de los conectivos logicos: p ~p p q 1 0 V F 0 1 F VEste mismo resultado lo podemos expresar en forma analiticamediante la siguiente igualdad: VL(p) = 1 - VL(~p)
  7. 7. Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es laproposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico estádado con la tabla o igualdad siguiente: p q p^q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0VL(p ^ q) = minimo valor (VL(p), VL(q)) en otras palabras elmenor valor de los numeros dados.
  8. 8. Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es laproposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico estádado por la tabla siguiente: p q pvq 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0VL(p v q) = maximo valor (VL(p), VL(q))
  9. 9. Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y qes la proposición p v q, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógicoestá dado por la tabla. En otras palabras, la disyunciónexclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales. p v q V F V F V V V V F F F F
  10. 10. Seam p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente py consecuente q es la proposicion p → q, que se lee “si p,entonces q”, y cuyo valor logico esta dado por la siguiente tabla: p q p →q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
  11. 11. Condición Necesaria y Condición Suficiente:El condicional es una de las proposiciones más importantes enla matemática, ya que la mayoría de teoremas vienen dados enesa forma. En los teoremas, el antecedente es llamado hipótesisy el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresadotambién con las llamadas condiciones necesarias y suficientes.El antecedente es la condición suficiente y el consecuente lacondición necesaria.Condicionales Asociados:Dado un condicional p → q podemos asociar los siguientescondicionales:1. Directo: p → q2. Reciproco: q → p3. Contrarecíproco : ~ q → ~ p4. Contrario: ~ p → ~ q
  12. 12. Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q ala proposición p ↔ q, que se lee "p si sólo si q", o "p escondición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico esdado por la siguiente tabla. p q p ↔q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1En otras palabras el VL(p↔q) = 1 si VL(p) = VL(q)
  13. 13. Formas Proporcionales:A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar losconectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t,etc., se les llaman formas proposicionales, por ejemplot→(q^~r)~ [(p↔s)^(r↔q)] son formas proposicionales y podemosdecir, para ser más preciso que las variables proposicionalestambién son formas proposicionales.
  14. 14. Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad deuna proposición compuesta y depende de las proposicionessimples y de los operadores que contengan.Ejemplo:(p v q) v ¬ q p q (p v q) ¬q (p v q) v ¬q V V V F V V F V V V F V V F V F F F F V En este caso, es una Tautología, ya que no importa si p y q sean falsas o verdaderas, la resolución siempre es verdadera.
  15. 15. Proposición Tautológica o TautologíaEs aquella proposición molecular que es verdadera (es decir,todos los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdadson 1) independientemente de los valores de sus variables.Ejemplo: Probar que p v ~ p es una Tautología.pv~p1 1 00 1 1
  16. 16. ContradicciónEs aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decircuando los valores de verdad que aparecen en su tabla deverdad son todos 0) independientemente de los valores de susvariables proposicionales que la forman. Por ejemplo, laproposición molecular del ejemplo siguiente es unacontradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al método delas tablas de verdad.Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción.p^~p1 0 00 0 1
  17. 17. Leyes Idempotentes: pvq↔p p^q↔pLeyes Asociativas: (p v q) v r ↔ p v (q v r) (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)Leyes Conmutativas: pvq↔qvp p^q↔q^p
  18. 18. Leyes Distributivas: p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r) p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r)Leyes de Identidad: pvF↔p p^F↔F pvV↔V p^V↔p
  19. 19. Leyes de Complementación: p v ~ p ↔ V (Tercio excluido) p ^ ~ p ↔ F (Contradicción) ~ (~ p) ↔ p (Doble negación) ~V↔F;~F↔VLeyes de Morgan: ~ (p v q) ↔ ~ p ^ ~ q ~ (p ^ q) ↔ ~ p v ~ q
  20. 20. Otras Equivalencias Notables: p → q ↔ ~ p v q (Ley del condicional) p ↔ q ↔ (p → q) ^ (q → p) (Ley del bicondicional) p v q ↔ (p ^ ~ q) v (~ p ^ q) (Ley de disyunción exclusiva) p → q ↔ ~ q → ~ p (Ley del contrarrecíproco) p v q ↔ ~ (~p ^ ~ q) ((p v q) → r) ↔ (p → r) ^ (q → r) (Ley de demostración por casos) (p → q) ↔ [(p ^ ~ q) → F] (Ley de reducción al absurdo)
  21. 21. Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A ImplicaLógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:A B si el condicional A → B es una tautología.Proposiciones Equivalentes:Sean A y B dos formas proposicionales. Diremos que A esLógicamente Equivalente a B, o simplemente que A esequivalente a B, y escribimosA → B o A v B,Si y sólo si la forma bicondicional A v B es una tautología.
  22. 22. Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que unaproposición, llamada conclusión es consecuencia de otras proposicionesdadas llamadas premisas.Forma Proposicional de un RazonamientoUn razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C loescribiremos en forma proposicional como: P1 P2 P3 P4 . . . Pn ---- C
  23. 23. Diremos que un razonamiento es válido o correcto si laconjunción de premisas implica lógicamente la conclusión, enotro caso se dice que es no válido.Un razonamiento que no es válido es llamado falacia.
  24. 24. Demostración DirectaEn la demostración directa debemos probar una implicación:p q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa pmediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizanaxiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradaspreviamente.
  25. 25. Demostración IndirectaDentro de este método veremos dos formas de demostración:Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicionalequivalente a p → C nos proporciona la Ley del contrarrecíproco:P → C ≡ ~ C → ~ P.Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que laproposición p q es tautológicamente equivalente a laproposición (p ^ ~ q) (r ^ ~ r) siendo r una proposicióncualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas deverdad.
  26. 26. Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemosidentificar con una forma proposicional. Es decir, dada una formaproposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuitopodemos asociarle la forma proposicional correspondiente.Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemossimplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen lamisma función que el original. Veamos los siguientes interruptoresen conexión:
  27. 27. Conexión en serie la cual se representa p ^ q.Conexión en paralelo la cual se representa como p v q.Esta representaciones nos servirán de base para lacorrespondencia entre los circuitos y proposiciones.

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