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### Sesion iv semana ii (1) (13)

• 1. www.usat.edu.pe www.usat.edu.pe Profesor Jorge A Huarachi Chávez PhD. j.huarachi@usat.edu.pe markaslayku9@Gmail.com Curso Herramientas para la toma de decisiones Sesión IV Semana II
• 2. www.usat.edu.pe Contenido de la Sesión 2 • Variables Aleatorios variables Discretas y continuas • Distribución de probabilidades • Toma de Decisiones con probabilidades: Criterio del Valor Monetario Esperado (VME) • Análisis de Sensibilidad usando Excel
• 3. www.usat.edu.pe 3 Variables aleatorias Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certeza el valor que tomará, sino solo los valores que puede tomar (o rango de valores en los que se puede mover) y la probabilidad de que tome esos valores (o la probabilidad de que tome un valor en un intervalo definido). Hay dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas Se dice que una variable aleatoria es discreta cuando el número de valores que puede tomar es finito. Se dice que una variable aleatoria es continua, cuando esa variable puede tomar un número infinito de valores.
• 4. www.usat.edu.pe Una variable aleatoria es una descripción numérica de la resultado de un experimento. Variables aleatorias Una variable aleatoria discreta puede suponer que una número finito de valores Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier valor numérico o una secuencia infinita deValores en un intervalo o colección de Intervalos.
• 5. www.usat.edu.pe Variables aleatorias Pregunta Variable Aleatoria x Tipo Familia Tamaño x - Número de dependientes en familia reportada en la declaración de impuestos Discreta Distancia desde casa hasta la tienda x - Distancia en millas desde hogar del sitio de la tienda Continua Perro propio o gato x - 1 si no posee ninguna mascota; • 2 si solo son perros propios; 3 si solo son propios los gatos; 4 si es(n) propio(s) perro(s) y(s) gato(s) Discreta  Ejemplos de variables aleatorias 
• 6. www.usat.edu.pe Variables aleatorias La primera, segunda y cuarta variables anteriores son discretas, mientras que la tercera es continua.  Ejemplos de variables aleatorias 
• 7. www.usat.edu.pe 7 Ejemplo (1): x: nota obtenida en una determinado asignatura La variable x tomará cualquier valor en el rango [0,10], puede tomar un número infinito de valores. Ejemplo (2): x: ingreso anual per cápita en miles de euros en una determinada población. En un intervalo de números positivos, podría ser este: [mínimo salario, infinito), esta variable puede tomar un número infinito de valores. (3) Multitud de variables económicas son continúas: La inflación, los rendimientos de activos en bolsa, los cambios en los tipos de interés, el duración de un determinado proceso de producción, el valor de las ventas, ......... Ejemplos de variables aleatorias continuas
• 8. www.usat.edu.pe 8 Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores. Al conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria y sus respectivas probabilidades se le denomina distribución de probabilidad. En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente Valores posibles Probabilidad 0 1/16 = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) Prob. Suceso 1(S1) 1 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S1, S2, S3, S4 2 6/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+... Prob. S6, S7, S8, S9, S10, S11 3 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S12, S13, S14, S15 4 1/16 = (1/16) Prob. Suceso 16(S16)
• 9. www.usat.edu.pe 9 Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas La distribución de probabilidad de una variable nos permite conocer la probabilidad asignada a los distintos valores que puede tomar una variable. Además, la distribución de probabilidad nos permite conocer la probabilidad de que una variable sea inferior a un determinado valor, o, que tome valores en un determinado intervalo. En el ejemplo (1), podemos conocer la probabilidad de que la variable x tome un valor menor o igual que 3, , o la probabilidad de que teme un valor entre 2 y 4, . x p( ) 3 (  x P ) 4 2 (   x P ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 3 (          x P x P x P x P x P 16 15 16 4 16 6 16 4 16 1 ) 3 (       x P ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 2 (         x P x P x P x P 16 11 16 1 16 4 16 6 ) 4 2 (       x P
• 10. www.usat.edu.pe 10 Momentos de la distribución de Probabilidad • Esperanza Matemática ( media, o valor esperado) • Varianza • Desviación típica • Coeficiente de variación Esperanza matemática (E(x)) La esperanza matemática de una variable discreta, es una media ponderada de los valores que puede tomar esa variable utilizando como coeficientes de ponderación sus probabilidades. Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores: { } y sus probabilidades son { } La Esperanza matemática se calcula como: Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas n n p x p x p x p x x E      ... ) ( 3 3 2 2 1 1 n x x x x ,.. , , 3 2 1 n p p p p ,.. , , 3 2 1
• 11. www.usat.edu.pe 11 El valor esperado de una variable, es el valor alrededor del cuál la variable toma distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que señala donde se encuentra centrada la distribución. Ejemplo (3) Sean x e y dos variables aleatorias cuyas distribuciones de probabilidad vienen dadas en las tablas 1 y 2 respectivamente. Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas Valores posibles Probabilidad 3 3/10 4 4/10 5 3/10 Tabla 1 Valores posibles Probabilidad 2 3/10 3 2/10 4 1/10 5 2/10 6 2/10 Tabla 2
• 12. www.usat.edu.pe 12 Con los datos del ejemplo 3, calcular 1. La esperanza matemática de x e y Esperanza matemática de x e y Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas 4 ) 10 / 5 ( 5 ) 10 / 4 ( 4 ) 10 / 3 ( 3 ) (        x E 8 . 3 ) 10 / 2 ( 6 ) 10 / 2 ( 5 ) 10 / 1 ( 4 ) 10 / 2 ( 3 ) 10 / 3 ( 2 ) (            y E
• 13. www.usat.edu.pe EJEMPLO DISPOSITIVOS JCL • Variable aleatoria discreta con un número finito de valores • Sea X= numero de TVs vendidas en una tienda en un dia donde X puede tomar 5 valores {0, 1, 2, 3, 4} 13
• 14. www.usat.edu.pe Deje que x = número de clientes que llegan en un día, donde x puede asumir los valores 0, 1, 2, . . . Ejemplo: Dispositivos JSL  Variable aleatoria discreta con una secuencia infinita de valores  Podemos contar los clientes que llegan, pero no hay límite superior finito en el número que podría llegar.
• 15. www.usat.edu.pe La distribución de probabilidad para una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades a través de los valores de la variable aleatoria. Podemos describir una distribución de probabilidad discreta con una tabla, gráfico o ecuación. Distribuciones de probabilidad discretas
• 16. www.usat.edu.pe Variables aleatorias continuas  Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas son los siguientes:  El número de onzas de sopa colocada en una lata etiquetada "8 onzas"  El tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York  La vida útil del tubo de imagen en un nuevo televisor  La profundidad de perforación necesaria para alcanzar el petróleo en una operación de perforación en alta mar 
• 17. www.usat.edu.pe Distribuciones de probabilidad continua • Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier valor en un intervalo en la línea real o en una colección de intervalos. • No es posible hablar de la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor determinado. • En su lugar, hablamos de la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor dentro de un intervalo dado. •
• 18. www.usat.edu.pe Distribuciones de probabilidad continua  La probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor dentro de un intervalo dado de x1 a x2 se define como el área bajo el gráfico de la función de densidad de probabilidad entre x1 y x2.  f (x) x Uniforme x1 x2 x f (x) Normal x1 x2 x1 x2 Exponencial x f (x) x1 x2
• 19. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad normal • La distribución de probabilidad normal es la distribución más importante para describir una variable aleatoria continua. • Es ampliamente utilizado en la inferencia estadística.
• 20. www.usat.edu.pe Alturas de la gente Distribución de probabilidad normal  Se ha utilizado en una amplia variedad de aplicaciones:  Medidas Científicas Pruebas Calificaciones Cantidades de lluvia
• 21. www.usat.edu.pe Ejemplo: DiCarlo Motors, Inc.  La distribución de probabilidad proporciona la siguiente información.  Hay una probabilidad de 0.18 de que no se vendan coches durante un día.  El volumen de ventas más probable es 1, con f(1) a 0,39.  Hay una probabilidad de 0,05 de un día de ventas excepcional con cuatro o cinco coches que se venden. 
• 22. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad uniforme discreta La distribución de probabilidad uniforme discreta es el ejemplo más simple de una probabilidad discreta distribución dada por una fórmula. La función de probabilidad uniforme discreta es f(x) = 1/n Dónde: n = el número de valores al azar variable puede asumir los valores de la variable aleatoria son igualmente probables
• 23. www.usat.edu.pe Varianza de x • El valor esperado proporciona una idea del valor medio o central para la variable aleatoria, pero con frecuencia queremos una medida de la dispersión, o variabilidad, de los valores posibles de esta variable.  = Media  2 = Varianza Dónde: Var(x) = 𝜎2=√∑(x-µ)2 f (x) f (x) = Funcion de X
• 24. www.usat.edu.pe Desviación Estándar de X 24 D.S (x) = 𝜎 =√∑(x-µ)2 f (x) • En este punto nuestra interpretación de la varianza y la desviación estándar se limita a comparaciones de la variabilidad de diferentes variables aleatorias. Para el ejemplo podemos concluir que la cantidad de automóviles vendidos por día (x) donde 𝝈𝟐 =1.25 y 𝝈 =1.118. automóviles vendidos por día
• 25. www.usat.edu.pe Calculo de la Varianza para el ejemplo DiCarlo Motors Inc. 25
• 26. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad normal • Función de densidad de probabilidad normal • 2 2 ( ) /2 1 ( ) 2 x f x e         = Media  = desviacion estandar  = 3.14159 e = 2.71828 Dónde:
• 27. www.usat.edu.pe Las probabilidades para la variable aleatoria normal son dadas por áreas bajo la curva. El área total bajo la curva es 1 (.5 a la izquierda de la media y 0.5 a la derecha). Distribución de probabilidad normal  Características  .5 .5 x
• 28. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad normal  Características  de los valores de una variable aleatoria normal están dentro de su media. 68.26% +/- 1 desviación estándar de los valores de una variable aleatoria normal están dentro de su media. 95.44% +/- 2 desviaciones estándar de los valores de una variable aleatoria normal están dentro de su media. 99.72% +/- 3 desviaciones estandar
• 29. www.usat.edu.pe Toma de Decisiones con probabilidades: Criterio del valor monetario esperado (VME) • Supongamos que una persona que tiene que tomar una decision tiene K acciones posibles, ai’ a2 , ... , aK y se enfrenta a H estados de la naturaleza. Sea Mr el rendimiento correspondiente a la i-esima accion y el j -esimo estado y P la probabilidad de que ocurra el j- esimo estado de la H J naturaleza, cumpliéndose que I Pj = 1. EI valor monetario esperado de la acci6n ai' • VME(a), es • EI criterio del valor monetario esperado adopta la accion que tiene el mayor valor monetario esperado; es decir, dada una eleccion entre acciones alternativas, el criterio del VME dicta la eleccion de la accion cuyo VME es mayor 29
• 30. www.usat.edu.pe Toma de decisiones con probabilidades • Enfoque de valor esperado - Si se dispone de información probabilística sobre los estados de la naturaleza, se puede utilizar el enfoque del valor esperado (EV). - Aquí se calcula la rentabilidad prevista para cada decisión sumando los productos de la recompensa en cada estado de la naturaleza y la probabilidad de que se produzca el estado respectivo de la naturaleza. - Se elige la decisión de obtener el mejor rendimiento esperado.
• 31. www.usat.edu.pe • El valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los pagos ponderados para la alternativa de decisión. • El valor esperado (EV) de la alternativa de decisión di se define como: • donde: N = el número de estados de la naturaleza P(sj ) = la probabilidad de estado de la naturaleza Vij = la recompensa correspondiente a la decisión alternativa di y estado de la naturaleza sj Valor esperado de una alternativa de decisión EV( ) ( ) d P s V i j ij j N    1 EV( ) ( ) d P s V i j ij j N    1
• 32. www.usat.edu.pe Valor esperado para cada decisión Elija la alternativa de decisión con el EV más grande. Construir el gran complejo. 3 d1 d2 d3 EMV = .8(8 mil) + .2(7 mil) = \$7.8 mil EMV = .8(14 mil) + .2(5 mil) = \$12.2 mil EMV = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = \$14.2 mil Small Medium Grande 2 1 4
• 33. www.usat.edu.pe Análisis de riesgos • Análisis de riesgos ayuda al responsable de la toma de decisiones a reconocer la diferencia entre: – el valor esperado de una alternativa de decisión, y – la recompensa que en realidad podría ocurrir • The perfil de riesgo para una alternativa de decisión muestra los posibles pagos para la alternativa de decisión junto con sus probabilidades asociadas.
• 34. www.usat.edu.pe Perfil de riesgo • Gran alternativa de decisión compleja Pagos que van entre -9 y 20 • .20 .40 .60 .80 1.00 -10 -5 0 5 10 15 20 Probability
• 35. www.usat.edu.pe Análisis de sensibilidad • Análisis de sensibilidad se puede utilizar para determinar cómo los cambios en los siguientes insumos afectan a la alternativa de decisión recomendada: – probabilidades para los estados de la naturaleza – valores de los pagos –Si un pequeño cambio en el valor de una de las entradas provoca un cambio en la alternativa de decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo y un cuidado adicionales en la estimación del valor de entrada.
• 36. www.usat.edu.pe Análisis de Decision • Un enfoque para el análisis de sensibilidad es seleccionar diferentes valores para las probabilidades de los estados de la naturaleza y los resultados, y luego resolver el problema del análisis de decisiones. • Si la alternativa de decisión recomendada cambia, sabemos que la solución es sensible a los cambios hechos. 36
• 38. www.usat.edu.pe SUPONGAMOS QUE SE CAMBIAN LAS PROBABILIDADES DE LAS DEMANDAS • Por ejemplo, suponga que en el problema de PDC la probabilidad de una demanda fuerte cambia a 0.2 y la probabilidad de una demanda débil cambia a 0.8. Antes la probabilidad de la demanda fuerte era 0.8 y de la débil 0.2. Los nuevos valores esperados seran • VE(d1) = 0.2(8) + 0.8(7) = 7.2 • VE(d2) = 0.2(14) + 0.8(5) = 6.8 • VE(d3) =0.2(20) + 0.8(29) = 3.2 • Antes la decisión mas favorable era la decisión d3 que daba un VE de 14.2 y ahora la decisión mas favorable será d1 con un VE de 7.2 38
• 39. www.usat.edu.pe Sensibilidad a través de graficos • En el caso particular de dos estados de la naturaleza se puede utilizar un procedimiento gráfico para determinar cómo los cambios en las probabilidades de los estados de la naturaleza afectan a la alternativa de decisión recomendada. • Para demostrar este procedimiento, suponga que p es la probabilidad del estado de la naturaleza s1; es decir, P(s1) = p. Con sólo dos estados de la naturaleza en el problema de PDC, la probabilidad del estado de la naturaleza s2 es 39
• 40. www.usat.edu.pe Esto se convierte a VE (d1) igual 40
• 41. www.usat.edu.pe VALOR ESPERADO PARA LAS ALTERNATIVAS DE DECISIÓN DE PDC COMO UNA FUNCIÓN DE p 41
• 42. www.usat.edu.pe Un repartidor de periódico puede compra el diario Gestión a \$ 0.40 y venderlo a \$ 0.75. Sin embargo, debe adquirir los periódicos antes de saber cuantos puede vender realmente. Si compra mas periódicos de los que puede vender, simplemente desechara el excedente, sin costo adicional. Si no compra suficientes periódicos, pierde ventas potenciales ahora y posiblemente en el futuro (los clientes disgustados podrían ya no comprarle). Supóngase, por el momento, que esta perdida de ventas futuras es representada por un costo de perdida del buen nombre estimado en \$ 0.50 por cliente insatisfecho. A continuación mostramos la distribución de probabilidades de la demanda de periódicos. Ejemplo 01: Puesto de periódico. Demanda 0 1 2 3 Probabilidad 0.1 0.3 0.4 0.2
• 43. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Primer paso Para simplificar el análisis, supondremos las siguientes decisiones:  Comprar 0 periódico  Comprar 1 periódico.  Comprar 2 periódicos.  Comprar 3 periódicos.
• 44. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Segundo paso Definiendo nuestros estados de naturaleza:  Que me compren 0 periódico.  Que me compren 1 periódico.  Que me compren 2 periódicos.  Que me compren 3 periódicos.
• 45. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Tercer paso Construyendo mi tabla de retribuciones, tenemos:
• 46. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Tomar la decisión Usaremos el criterio de: Maximizar el rendimiento esperado Precio de venta 75 centavos Costo de compra 40 centavos Costo de perdida de un cliente 50 centavos Rendimiento esperado Decisión 0 1 2 3 0 0 -50 -100 -150 -85.0 1 -40 35 -15 -65 -12.5 2 -80 -5 70 20 22.5 3 -120 -45 30 105 7.5 Probabilidades 0.1 0.3 0.4 0.2 Estados de naturaleza De acuerdo a este criterio, nuestra decisión será: comprar 02 periódicos, porque me produce el mayor rendimiento esperado.
• 47. www.usat.edu.pe Análisis de sensibilidad • Análisis de sensibilidad se puede utilizar para determinar cómo los cambios en los siguientes entradas afectan a la alternativa de decisión recomendada: • probabilidades para los estados de la naturaleza • valores de los pagos • Si un pequeño cambio en el valor de una de las entradas provoca un cambio en la alternativa de decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo y un cuidado adicionales en la estimación del valor de entrada. •
• 48. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Análisis de sensibilidad La decisión tomada, está basada en un costo, el costo de perdida de un cliente, cuyo valor es mucho menos seguro que los otros dos costos (compra y venta). ¿Qué le pasaría a la decisión óptima si el costo de perder a un cliente fuera diferente?. Para resolver esto, haremos un análisis de sensibilidad con la ayuda del Excel
• 49. www.usat.edu.pe ANALISIS DE SENCIBILIDAD -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 Comprar 0 Comprar 1 Comprar 2 Comprar 3 Análisis de decisiones: Análisis de sensibilidad
• 50. www.usat.edu.pe Para realizar la sensibilidad sombree la tabla que ha construido el eje de columnas corresponde a los costos de perder clientes por no atender y las filas corresponde a 50
• 51. www.usat.edu.pe 51 Clickeando en datos seguido de tabla de datos se escribe La celda que corresponde a \$B3 que corresponde a el costo por perder 0, 1, 2, 3 en términos de costos y le aparece la data en la tabla para dibujar el grafico se va a insertar
• 52. www.usat.edu.pe Se escoge en el Excel la forma del grafico y sale el grafico que se encuentra en la diapositiva anterior 52
• 53. www.usat.edu.pe 53 • Es importante identificar el tipo de variable que intervienen en la toma de decisiones distinguiendo las variables continuas y discretas. • Estas variables generan unos valores muestrales que adoptan determinados tipos de distribución que describen los valores y sus probabilidades existiendo distribución continuas uniformes, Normal y Exponencial • Cuando la toma de decisiones además de los estados de la naturaleza cuenta con probabilidades la mejor decisión se obtene aplicando el Valor Esperado EV. • Es importante conocer la sensibilidad de la solución cuando las entradas a la toma de decisiones se modifican en términos de los valores de pagos y las probabilidades Conclusiones
• 54. www.usat.edu.pe 54 • Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2011). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Cengage Learning Editores. • Eppen, G., Gould, F., Schmidt, C., Moore, J., & Weatherford, L. (2000). Investigación de operaciones en la ciencia administrativa (Quinta Edición ed.). México: Prentice-Hall. • Howard J. Weiss (2005) POM - QM FOR WINDOWS Versión 3 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458. Referencia : Autores de libros
• 55. www.usat.edu.pe 55 • Revisar el Cap. VI del Manual POM-QM análisis de Decisión con información perfecta con probabilidades Ejemplo 1 Toma de decisión • Resolver Ejercicios de Tarea II Actividades para la siguiente sesión:
• 56. www.usat.edu.pe REVISAR ESTE MATERIAL • Revisar el link - https://www.youtube.com/watch?v=vdOEDS22vXY Como calcular el Punto de Equilibrio usando Excel • Revisar el link https://www.youtube.com/watch?v=33vWT3qoiZ4 Para calcular el punto de equilibrio usando POM-QM w • Revisar el Link para usar el programa POM-QM para la toma de decisiones bajo incertidumbre https://www.youtube.com/watch?v=O0dVnM3PdbM 56
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