SlideShare a Scribd company logo
www.usat.edu.pe
www.usat.edu.pe
Profesor Jorge A Huarachi Chávez PhD.
j.huarachi@usat.edu.pe
markaslayku9@Gmail.com
Curso Herramientas para la
toma de decisiones
Sesión IV Semana II
www.usat.edu.pe
Contenido de la Sesión
2
• Variables Aleatorios variables Discretas y
continuas
• Distribución de probabilidades
• Toma de Decisiones con probabilidades:
Criterio del Valor Monetario Esperado (VME)
• Análisis de Sensibilidad usando Excel
www.usat.edu.pe
3
Variables aleatorias
Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe
con certeza el valor que tomará, sino solo los valores que
puede tomar (o rango de valores en los que se puede
mover) y la probabilidad de que tome esos valores (o la
probabilidad de que tome un valor en un intervalo
definido).
Hay dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas
Se dice que una variable aleatoria es discreta cuando el
número de valores que puede tomar es finito.
Se dice que una variable aleatoria es continua, cuando esa
variable puede tomar un número infinito de valores.
www.usat.edu.pe
Una variable aleatoria es una descripción numérica de la
resultado de un experimento.
Variables aleatorias
Una variable aleatoria discreta puede suponer que una
número finito de valores
Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier
valor numérico o una secuencia infinita deValores en un
intervalo o colección de
Intervalos.
www.usat.edu.pe
Variables aleatorias
Pregunta
Variable Aleatoria x
Tipo
Familia
Tamaño
x - Número de dependientes en
familia reportada en la declaración
de impuestos
Discreta
Distancia desde
casa hasta la tienda
x - Distancia en millas desde
hogar del sitio de la tienda
Continua
Perro propio
o gato
x - 1 si no posee ninguna mascota;
• 2 si solo son perros propios;
3 si solo son propios los gatos;
4 si es(n) propio(s) perro(s) y(s) gato(s)
Discreta
 Ejemplos de variables aleatorias

www.usat.edu.pe
Variables aleatorias
La primera, segunda y cuarta variables anteriores son discretas,
mientras que la tercera es continua.
 Ejemplos de variables aleatorias

www.usat.edu.pe
7
Ejemplo (1):
x: nota obtenida en una determinado asignatura
La variable x tomará cualquier valor en el rango [0,10], puede tomar
un número infinito de valores.
Ejemplo (2):
x: ingreso anual per cápita en miles de euros en una
determinada población.
En un intervalo de números positivos, podría ser este: [mínimo
salario, infinito), esta variable puede tomar un número infinito de
valores.
(3) Multitud de variables económicas son continúas:
La inflación, los rendimientos de activos en bolsa, los cambios en
los tipos de interés, el duración de un determinado proceso
de producción, el valor de las ventas, .........
Ejemplos de variables aleatorias continuas
www.usat.edu.pe
8
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores.
Al conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria y
sus respectivas probabilidades se le denomina distribución de
probabilidad.
En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente
Valores
posibles
Probabilidad
0 1/16 = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) Prob. Suceso 1(S1)
1 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S1, S2, S3, S4
2 6/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+... Prob. S6, S7, S8, S9, S10, S11
3 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S12, S13, S14, S15
4 1/16 = (1/16) Prob. Suceso 16(S16)
www.usat.edu.pe
9
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
La distribución de probabilidad de una variable nos permite conocer la
probabilidad asignada a los distintos valores que puede tomar una variable.
Además, la distribución de probabilidad nos permite conocer la probabilidad
de que una variable sea inferior a un determinado valor, o, que tome
valores en un determinado intervalo.
En el ejemplo (1), podemos conocer la probabilidad de que la variable x tome
un valor menor o igual que 3, , o la probabilidad de que teme un
valor entre 2 y 4, .
x
p(
)
3
( 
x
P
)
4
2
( 
 x
P
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
3
( 







 x
P
x
P
x
P
x
P
x
P
16
15
16
4
16
6
16
4
16
1
)
3
( 





x
P
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
4
2
( 






 x
P
x
P
x
P
x
P
16
11
16
1
16
4
16
6
)
4
2
( 




 x
P
www.usat.edu.pe
10
Momentos de la distribución de Probabilidad
• Esperanza Matemática ( media, o valor esperado)
• Varianza
• Desviación típica
• Coeficiente de variación
Esperanza matemática (E(x))
La esperanza matemática de una variable discreta, es una media ponderada
de los valores que puede tomar esa variable utilizando como coeficientes de
ponderación sus probabilidades.
Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores:
{ } y sus probabilidades son { }
La Esperanza matemática se calcula como:
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
n
n p
x
p
x
p
x
p
x
x
E 



 ...
)
( 3
3
2
2
1
1
n
x
x
x
x ,..
,
, 3
2
1 n
p
p
p
p ,..
,
, 3
2
1
www.usat.edu.pe
11
El valor esperado de una variable, es el valor alrededor del cuál la variable
toma distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que
señala donde se encuentra centrada la distribución.
Ejemplo (3)
Sean x e y dos variables aleatorias cuyas distribuciones de probabilidad vienen
dadas en las tablas 1 y 2 respectivamente.
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Valores
posibles
Probabilidad
3 3/10
4 4/10
5 3/10
Tabla 1
Valores
posibles
Probabilidad
2 3/10
3 2/10
4 1/10
5 2/10
6 2/10
Tabla 2
www.usat.edu.pe
12
Con los datos del ejemplo 3, calcular
1. La esperanza matemática de x e y
Esperanza matemática de x e y
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
4
)
10
/
5
(
5
)
10
/
4
(
4
)
10
/
3
(
3
)
( 






x
E
8
.
3
)
10
/
2
(
6
)
10
/
2
(
5
)
10
/
1
(
4
)
10
/
2
(
3
)
10
/
3
(
2
)
( 










y
E
www.usat.edu.pe
EJEMPLO DISPOSITIVOS JCL
• Variable aleatoria discreta con un número finito de
valores
• Sea X= numero de TVs vendidas en una tienda en un dia
donde X puede tomar 5 valores {0, 1, 2, 3, 4}
13
www.usat.edu.pe
Deje que x = número de clientes que llegan en un día,
donde x puede asumir los valores 0, 1, 2, . . .
Ejemplo: Dispositivos JSL
 Variable aleatoria discreta con una secuencia infinita
de valores

Podemos contar los clientes que llegan, pero no hay
límite superior finito en el número que podría llegar.
www.usat.edu.pe
La distribución de probabilidad para una variable aleatoria
describe cómo se distribuyen las probabilidades a través de
los valores de la variable aleatoria.
Podemos describir una distribución de probabilidad discreta
con una tabla, gráfico o ecuación.
Distribuciones de probabilidad discretas
www.usat.edu.pe
Variables aleatorias continuas
 Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas
son los siguientes:
 El número de onzas de sopa colocada en una lata
etiquetada "8 onzas"
 El tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a
Nueva York
 La vida útil del tubo de imagen en un nuevo televisor
 La profundidad de perforación necesaria para
alcanzar el petróleo en una operación de perforación
en alta mar

www.usat.edu.pe
Distribuciones de probabilidad continua
• Una variable aleatoria continua puede asumir
cualquier valor en un intervalo en la línea real o en una
colección de intervalos.
• No es posible hablar de la probabilidad de que la
variable aleatoria asuma un valor determinado.
• En su lugar, hablamos de la probabilidad de que la
variable aleatoria asuma un valor dentro de un
intervalo dado.
•
www.usat.edu.pe
Distribuciones de probabilidad continua
 La probabilidad de que la variable aleatoria asuma
un valor dentro de un intervalo dado de x1 a x2 se
define como el área bajo el gráfico de la función de
densidad de probabilidad entre x1 y x2.

f (x)
x
Uniforme
x1 x2
x
f (x)
Normal
x1 x2
x1 x2
Exponencial
x
f (x)
x1
x2
www.usat.edu.pe
Distribución de probabilidad normal
• La distribución de probabilidad normal es la
distribución más importante para describir una variable
aleatoria continua.
• Es ampliamente utilizado en la inferencia estadística.
www.usat.edu.pe
Alturas
de la gente
Distribución de probabilidad normal
 Se ha utilizado en una amplia variedad de
aplicaciones:

Medidas
Científicas
Pruebas
Calificaciones
Cantidades
de lluvia
www.usat.edu.pe
Ejemplo: DiCarlo Motors, Inc.
 La distribución de probabilidad proporciona la
siguiente información.
 Hay una probabilidad de 0.18 de que no se vendan
coches durante un día.
 El volumen de ventas más probable es 1, con f(1) a
0,39.
 Hay una probabilidad de 0,05 de un día de ventas
excepcional con cuatro o cinco coches que se venden.

www.usat.edu.pe
Distribución de probabilidad uniforme discreta
La distribución de probabilidad uniforme discreta es
el ejemplo más simple de una probabilidad discreta
distribución dada por una fórmula.
La función de probabilidad uniforme discreta es
f(x) = 1/n
Dónde:
n = el número de valores al azar
variable puede asumir
los valores de la
variable aleatoria
son igualmente
probables
www.usat.edu.pe
Varianza de x
• El valor esperado proporciona una idea del valor
medio o central para la variable aleatoria, pero con
frecuencia queremos una medida de la dispersión, o
variabilidad, de los valores posibles de esta variable.
 = Media
 2 = Varianza
Dónde:
Var(x) = 𝜎2=√∑(x-µ)2 f (x)
f (x) = Funcion de X
www.usat.edu.pe
Desviación Estándar de X
24
D.S (x) = 𝜎 =√∑(x-µ)2 f (x)
• En este punto nuestra interpretación de la varianza y
la desviación estándar se limita a comparaciones de la
variabilidad de diferentes variables aleatorias. Para el
ejemplo podemos concluir que la cantidad de
automóviles vendidos por día (x) donde 𝝈𝟐 =1.25 y
𝝈 =1.118. automóviles vendidos por día
www.usat.edu.pe
Calculo de la Varianza para el ejemplo DiCarlo Motors
Inc.
25
www.usat.edu.pe
Distribución de probabilidad normal
• Función de densidad de probabilidad normal
•
2 2
( ) /2
1
( )
2
x
f x e  
 
 

 = Media
 = desviacion estandar
 = 3.14159
e = 2.71828
Dónde:
www.usat.edu.pe
Las probabilidades para la variable aleatoria normal
son dadas por áreas bajo la curva. El área total bajo
la curva es 1 (.5 a la izquierda de la media y 0.5 a la
derecha).
Distribución de probabilidad normal
 Características

.5 .5
x
www.usat.edu.pe
Distribución de probabilidad normal
 Características

de los valores de una variable aleatoria normal
están dentro de su media.
68.26%
+/- 1 desviación estándar
de los valores de una variable aleatoria normal
están dentro de su media.
95.44%
+/- 2 desviaciones estándar
de los valores de una variable aleatoria normal
están dentro de su media.
99.72%
+/- 3 desviaciones estandar
www.usat.edu.pe
Toma de Decisiones con probabilidades:
Criterio del valor monetario esperado (VME)
• Supongamos que una persona que tiene que tomar una decision
tiene K acciones posibles, ai’ a2 , ... , aK y se enfrenta a H estados
de la naturaleza. Sea Mr el rendimiento correspondiente a la i-esima
accion y el j -esimo estado y P la probabilidad de que ocurra el j-
esimo estado de la H J naturaleza, cumpliéndose que I Pj = 1. EI
valor monetario esperado de la acci6n ai'
• VME(a), es
• EI criterio del valor monetario esperado adopta la accion que tiene el
mayor valor monetario esperado; es decir, dada una eleccion entre
acciones alternativas, el criterio del VME dicta la eleccion de la
accion cuyo VME es mayor
29
www.usat.edu.pe
Toma de decisiones con probabilidades
• Enfoque de valor esperado
- Si se dispone de información probabilística sobre
los estados de la naturaleza, se puede utilizar el
enfoque del valor esperado (EV).
- Aquí se calcula la rentabilidad prevista para cada
decisión sumando los productos de la recompensa en
cada estado de la naturaleza y la probabilidad de que
se produzca el estado respectivo de la naturaleza.
- Se elige la decisión de obtener el mejor rendimiento
esperado.
www.usat.edu.pe
• El valor esperado de una alternativa de decisión es la
suma de los pagos ponderados para la alternativa de
decisión.
• El valor esperado (EV) de la alternativa de decisión di
se define como:
•
donde: N = el número de estados de la naturaleza
P(sj ) = la probabilidad de estado de la
naturaleza
Vij = la recompensa correspondiente a la
decisión alternativa di y estado de la naturaleza sj
Valor esperado de una alternativa de decisión
EV( ) ( )
d P s V
i j ij
j
N



1
EV( ) ( )
d P s V
i j ij
j
N



1
www.usat.edu.pe
Valor esperado para cada decisión
Elija la alternativa de decisión con el EV más
grande. Construir el gran complejo.
3
d1
d2
d3
EMV = .8(8 mil) + .2(7 mil) = $7.8 mil
EMV = .8(14 mil) + .2(5 mil) = $12.2 mil
EMV = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil
Small
Medium
Grande
2
1
4
www.usat.edu.pe
Análisis de riesgos
• Análisis de riesgos ayuda al responsable de la toma
de decisiones a reconocer la diferencia entre:
– el valor esperado de una alternativa de decisión, y
– la recompensa que en realidad podría ocurrir
• The perfil de riesgo para una alternativa de decisión
muestra los posibles pagos para la alternativa de
decisión junto con sus probabilidades asociadas.
www.usat.edu.pe
Perfil de riesgo
• Gran alternativa de decisión compleja
Pagos que van entre -9 y 20
•
.20
.40
.60
.80
1.00
-10 -5 0 5 10 15 20
Probability
www.usat.edu.pe
Análisis de sensibilidad
• Análisis de sensibilidad se puede utilizar para
determinar cómo los cambios en los siguientes
insumos afectan a la alternativa de decisión
recomendada:
– probabilidades para los estados de la naturaleza
– valores de los pagos
–Si un pequeño cambio en el valor de una de las
entradas provoca un cambio en la alternativa de
decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo y
un cuidado adicionales en la estimación del valor de
entrada.
www.usat.edu.pe
Análisis de Decision
• Un enfoque para el análisis de sensibilidad es
seleccionar diferentes valores para las probabilidades de
los estados de la naturaleza y los resultados, y luego
resolver el problema del análisis de decisiones.
• Si la alternativa de decisión recomendada cambia,
sabemos que la solución es sensible a los cambios
hechos.
36
www.usat.edu.pe
DATOS INICIALES
37
www.usat.edu.pe
SUPONGAMOS QUE SE CAMBIAN LAS PROBABILIDADES
DE LAS DEMANDAS
• Por ejemplo, suponga que en el problema de PDC la
probabilidad de una demanda fuerte cambia a 0.2 y la
probabilidad de una demanda débil cambia a 0.8. Antes
la probabilidad de la demanda fuerte era 0.8 y de la débil
0.2. Los nuevos valores esperados seran
• VE(d1) = 0.2(8) + 0.8(7) = 7.2
• VE(d2) = 0.2(14) + 0.8(5) = 6.8
• VE(d3) =0.2(20) + 0.8(29) = 3.2
• Antes la decisión mas favorable era la decisión d3 que
daba un VE de 14.2 y ahora la decisión mas favorable
será d1 con un VE de 7.2
38
www.usat.edu.pe
Sensibilidad a través de graficos
• En el caso particular de dos estados de la naturaleza se
puede utilizar un procedimiento gráfico para determinar
cómo los cambios en las probabilidades de los estados
de la naturaleza afectan a la alternativa de decisión
recomendada.
• Para demostrar este procedimiento, suponga que p es la
probabilidad del estado de la naturaleza s1; es decir,
P(s1) = p. Con sólo dos estados de la naturaleza en el
problema de PDC, la probabilidad del estado de la
naturaleza s2 es
39
www.usat.edu.pe
Esto se convierte a VE (d1) igual
40
www.usat.edu.pe
VALOR ESPERADO PARA LAS ALTERNATIVAS DE DECISIÓN
DE PDC COMO UNA FUNCIÓN DE p
41
www.usat.edu.pe
Un repartidor de periódico puede compra el diario Gestión a $
0.40 y venderlo a $ 0.75. Sin embargo, debe adquirir los
periódicos antes de saber cuantos puede vender realmente. Si
compra mas periódicos de los que puede vender, simplemente
desechara el excedente, sin costo adicional. Si no compra
suficientes periódicos, pierde ventas potenciales ahora y
posiblemente en el futuro (los clientes disgustados podrían ya no
comprarle). Supóngase, por el momento, que esta perdida de
ventas futuras es representada por un costo de perdida del buen
nombre estimado en $ 0.50 por cliente insatisfecho. A
continuación mostramos la distribución de probabilidades de la
demanda de periódicos.
Ejemplo 01: Puesto de periódico.
Demanda 0 1 2 3
Probabilidad 0.1 0.3 0.4 0.2
www.usat.edu.pe
Análisis de decisiones: Primer paso
Para simplificar el análisis, supondremos las siguientes
decisiones:
 Comprar 0 periódico
 Comprar 1 periódico.
 Comprar 2 periódicos.
 Comprar 3 periódicos.
www.usat.edu.pe
Análisis de decisiones: Segundo paso
Definiendo nuestros estados de naturaleza:
 Que me compren 0 periódico.
 Que me compren 1 periódico.
 Que me compren 2 periódicos.
 Que me compren 3 periódicos.
www.usat.edu.pe
Análisis de decisiones: Tercer paso
Construyendo mi tabla de retribuciones, tenemos:
www.usat.edu.pe
Análisis de decisiones: Tomar la
decisión
Usaremos el criterio de: Maximizar el rendimiento esperado
Precio de venta 75 centavos
Costo de compra 40 centavos
Costo de perdida de un cliente 50 centavos
Rendimiento esperado
Decisión 0 1 2 3
0 0 -50 -100 -150 -85.0
1 -40 35 -15 -65 -12.5
2 -80 -5 70 20 22.5
3 -120 -45 30 105 7.5
Probabilidades 0.1 0.3 0.4 0.2
Estados de naturaleza
De acuerdo a este criterio, nuestra decisión será: comprar
02 periódicos, porque me produce el mayor rendimiento
esperado.
www.usat.edu.pe
Análisis de sensibilidad
• Análisis de sensibilidad se puede utilizar para
determinar cómo los cambios en los siguientes
entradas afectan a la alternativa de decisión
recomendada:
• probabilidades para los estados de la naturaleza
• valores de los pagos
• Si un pequeño cambio en el valor de una de las
entradas provoca un cambio en la alternativa de
decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo y un
cuidado adicionales en la estimación del valor de
entrada.
•
www.usat.edu.pe
Análisis de decisiones: Análisis de
sensibilidad
La decisión tomada, está basada en un costo, el costo de
perdida de un cliente, cuyo valor es mucho menos seguro
que los otros dos costos (compra y venta). ¿Qué le pasaría
a la decisión óptima si el costo de perder a un cliente
fuera diferente?.
Para resolver
esto, haremos
un análisis de
sensibilidad
con la ayuda
del Excel
www.usat.edu.pe
ANALISIS DE SENCIBILIDAD
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
0
2
0
4
0
6
0
8
0
1
0
0
1
2
0
1
4
0
Comprar 0
Comprar 1
Comprar 2
Comprar 3
Análisis de decisiones: Análisis de
sensibilidad
www.usat.edu.pe
Para realizar la sensibilidad sombree la tabla que ha
construido el eje de columnas corresponde a los costos
de perder clientes por no atender y las filas corresponde
a
50
www.usat.edu.pe
51
Clickeando en datos seguido de tabla de datos se escribe
La celda que corresponde a $B3 que corresponde a el costo por
perder 0, 1, 2, 3 en términos de costos y le aparece la data en la
tabla para dibujar el grafico se va a insertar
www.usat.edu.pe
Se escoge en el Excel la forma del grafico y sale el grafico
que se encuentra en la diapositiva anterior
52
www.usat.edu.pe
53
• Es importante identificar el tipo de variable que intervienen en
la toma de decisiones distinguiendo las variables continuas y
discretas.
• Estas variables generan unos valores muestrales que adoptan
determinados tipos de distribución que describen los valores y
sus probabilidades existiendo distribución continuas
uniformes, Normal y Exponencial
• Cuando la toma de decisiones además de los estados de la
naturaleza cuenta con probabilidades la mejor decisión se
obtene aplicando el Valor Esperado EV.
• Es importante conocer la sensibilidad de la solución cuando las
entradas a la toma de decisiones se modifican en términos de
los valores de pagos y las probabilidades
Conclusiones
www.usat.edu.pe
54
• Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2011). Métodos
cuantitativos para los negocios. México: Cengage Learning
Editores.
• Eppen, G., Gould, F., Schmidt, C., Moore, J., & Weatherford, L.
(2000). Investigación de operaciones en la ciencia
administrativa (Quinta Edición ed.). México: Prentice-Hall.
• Howard J. Weiss (2005) POM - QM FOR WINDOWS Versión 3
Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey,
07458.
Referencia : Autores de libros
www.usat.edu.pe
55
• Revisar el Cap. VI del Manual
POM-QM análisis de Decisión
con información perfecta con
probabilidades Ejemplo 1
Toma de decisión
• Resolver Ejercicios de Tarea II
Actividades para la siguiente sesión:
www.usat.edu.pe
REVISAR ESTE MATERIAL
• Revisar el link -
https://www.youtube.com/watch?v=vdOEDS22vXY
Como calcular el Punto de Equilibrio usando Excel
• Revisar el link
https://www.youtube.com/watch?v=33vWT3qoiZ4
Para calcular el punto de equilibrio usando POM-QM w
• Revisar el Link para usar el programa POM-QM para la
toma de decisiones bajo incertidumbre
https://www.youtube.com/watch?v=O0dVnM3PdbM
56
www.usat.edu.pe
http://www.facebook.com/usat.peru
https://plus.google.com/+usateduperu
https://twitter.com/usatenlinea
https://www.youtube.com/user/tvusat
Docente:
@usat.edu.pe
@Gmail.com

More Related Content

Similar to Sesion iv semana ii (1) (13)

Guia de estudio para aa5
Guia de estudio  para aa5 Guia de estudio  para aa5
Guia de estudio para aa5
Doris Diaz Flores
 
Random variable
Random variableRandom variable
Random variable
JalilAlih
 
Random variable
Random variable Random variable
Random variable
JalilAlih
 
AP Statistic and Probability 6.1 (1).ppt
AP Statistic and Probability 6.1 (1).pptAP Statistic and Probability 6.1 (1).ppt
AP Statistic and Probability 6.1 (1).ppt
AlfredNavea1
 
Theory of probability and probability distribution
Theory of probability and probability distributionTheory of probability and probability distribution
Theory of probability and probability distribution
polscjp
 
DMV (1) (1).docx
DMV (1) (1).docxDMV (1) (1).docx
DMV (1) (1).docx
FarandeTruptiBalasah
 
Probability distribution
Probability distributionProbability distribution
Probability distribution
Rohit kumar
 
ISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptx
ISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptxISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptx
ISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptx
ssuser1eba67
 
Random variables and probability distributions Random Va.docx
Random variables and probability distributions Random Va.docxRandom variables and probability distributions Random Va.docx
Random variables and probability distributions Random Va.docx
catheryncouper
 
random variation 9473 by jaideep.ppt
random variation 9473 by jaideep.pptrandom variation 9473 by jaideep.ppt
random variation 9473 by jaideep.ppt
BhartiYadav316049
 
Probability, Discrete Probability, Normal Probabilty
Probability, Discrete Probability, Normal ProbabiltyProbability, Discrete Probability, Normal Probabilty
Probability, Discrete Probability, Normal Probabilty
Faisal Hussain
 
Chapter 4 part3- Means and Variances of Random Variables
Chapter 4 part3- Means and Variances of Random VariablesChapter 4 part3- Means and Variances of Random Variables
Chapter 4 part3- Means and Variances of Random Variables
nszakir
 
Properties of Discrete Probability Distribution.pptx
Properties of Discrete Probability Distribution.pptxProperties of Discrete Probability Distribution.pptx
Properties of Discrete Probability Distribution.pptx
RandyNarvaez
 
Chapter 1 random variables and probability distributions
Chapter 1   random variables and probability distributionsChapter 1   random variables and probability distributions
Chapter 1 random variables and probability distributions
Antonio F. Balatar Jr.
 
random variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evf
random variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evfrandom variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evf
random variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evf
JoseMiguelMaulion
 
Random variable,Discrete and Continuous
Random variable,Discrete and ContinuousRandom variable,Discrete and Continuous
Random variable,Discrete and Continuous
Bharath kumar Karanam
 
Hypothesis testing.pptx
Hypothesis testing.pptxHypothesis testing.pptx
Hypothesis testing.pptx
rklums91
 
Chapter 4 part2- Random Variables
Chapter 4 part2- Random VariablesChapter 4 part2- Random Variables
Chapter 4 part2- Random Variables
nszakir
 
PSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptx
PSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptxPSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptx
PSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptx
HarshithSai17
 
Discrete and Continuous Random Variables
Discrete and Continuous Random VariablesDiscrete and Continuous Random Variables
Discrete and Continuous Random Variables
Cumberland County Schools
 

Similar to Sesion iv semana ii (1) (13) (20)

Guia de estudio para aa5
Guia de estudio  para aa5 Guia de estudio  para aa5
Guia de estudio para aa5
 
Random variable
Random variableRandom variable
Random variable
 
Random variable
Random variable Random variable
Random variable
 
AP Statistic and Probability 6.1 (1).ppt
AP Statistic and Probability 6.1 (1).pptAP Statistic and Probability 6.1 (1).ppt
AP Statistic and Probability 6.1 (1).ppt
 
Theory of probability and probability distribution
Theory of probability and probability distributionTheory of probability and probability distribution
Theory of probability and probability distribution
 
DMV (1) (1).docx
DMV (1) (1).docxDMV (1) (1).docx
DMV (1) (1).docx
 
Probability distribution
Probability distributionProbability distribution
Probability distribution
 
ISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptx
ISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptxISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptx
ISM_Session_5 _ 23rd and 24th December.pptx
 
Random variables and probability distributions Random Va.docx
Random variables and probability distributions Random Va.docxRandom variables and probability distributions Random Va.docx
Random variables and probability distributions Random Va.docx
 
random variation 9473 by jaideep.ppt
random variation 9473 by jaideep.pptrandom variation 9473 by jaideep.ppt
random variation 9473 by jaideep.ppt
 
Probability, Discrete Probability, Normal Probabilty
Probability, Discrete Probability, Normal ProbabiltyProbability, Discrete Probability, Normal Probabilty
Probability, Discrete Probability, Normal Probabilty
 
Chapter 4 part3- Means and Variances of Random Variables
Chapter 4 part3- Means and Variances of Random VariablesChapter 4 part3- Means and Variances of Random Variables
Chapter 4 part3- Means and Variances of Random Variables
 
Properties of Discrete Probability Distribution.pptx
Properties of Discrete Probability Distribution.pptxProperties of Discrete Probability Distribution.pptx
Properties of Discrete Probability Distribution.pptx
 
Chapter 1 random variables and probability distributions
Chapter 1   random variables and probability distributionsChapter 1   random variables and probability distributions
Chapter 1 random variables and probability distributions
 
random variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evf
random variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evfrandom variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evf
random variable dkhbehudvwyetvf3ddet3evf
 
Random variable,Discrete and Continuous
Random variable,Discrete and ContinuousRandom variable,Discrete and Continuous
Random variable,Discrete and Continuous
 
Hypothesis testing.pptx
Hypothesis testing.pptxHypothesis testing.pptx
Hypothesis testing.pptx
 
Chapter 4 part2- Random Variables
Chapter 4 part2- Random VariablesChapter 4 part2- Random Variables
Chapter 4 part2- Random Variables
 
PSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptx
PSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptxPSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptx
PSQT_CO2_S11_Variance_V3.pptx
 
Discrete and Continuous Random Variables
Discrete and Continuous Random VariablesDiscrete and Continuous Random Variables
Discrete and Continuous Random Variables
 

More from JorgeAHuarachiCh

SESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptx
SESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptxSESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptx
SESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptx
JorgeAHuarachiCh
 
SESIÓN 12-13 (6).pptx
SESIÓN 12-13 (6).pptxSESIÓN 12-13 (6).pptx
SESIÓN 12-13 (6).pptx
JorgeAHuarachiCh
 
14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx
14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx
14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx
JorgeAHuarachiCh
 
13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx
13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx
13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx
JorgeAHuarachiCh
 
Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...
Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...
Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...
JorgeAHuarachiCh
 
Plan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdf
Plan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdfPlan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdf
Plan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdf
JorgeAHuarachiCh
 
SESION 1 SEMANA 1.pptx
SESION 1  SEMANA 1.pptxSESION 1  SEMANA 1.pptx
SESION 1 SEMANA 1.pptx
JorgeAHuarachiCh
 
PLAN ESTRATEGICO SESION.ppt
PLAN ESTRATEGICO SESION.pptPLAN ESTRATEGICO SESION.ppt
PLAN ESTRATEGICO SESION.ppt
JorgeAHuarachiCh
 
Sesion 3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidad
Sesion  3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidadSesion  3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidad
Sesion 3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidad
JorgeAHuarachiCh
 
5 semana sesion 10 analisis de sensibilidad (6)
5 semana   sesion 10 analisis de sensibilidad (6)5 semana   sesion 10 analisis de sensibilidad (6)
5 semana sesion 10 analisis de sensibilidad (6)
JorgeAHuarachiCh
 
Qmb11ch10a problematranspoete
Qmb11ch10a problematranspoeteQmb11ch10a problematranspoete
Qmb11ch10a problematranspoete
JorgeAHuarachiCh
 
Inventarios probabilisticos
Inventarios probabilisticosInventarios probabilisticos
Inventarios probabilisticos
JorgeAHuarachiCh
 

More from JorgeAHuarachiCh (12)

SESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptx
SESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptxSESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptx
SESION_17 PROBLEMA DE TRANSBORDO Y ASIGNACION (4).pptx
 
SESIÓN 12-13 (6).pptx
SESIÓN 12-13 (6).pptxSESIÓN 12-13 (6).pptx
SESIÓN 12-13 (6).pptx
 
14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx
14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx
14 Semana - SESION_27_MODELOSDEINVENTARIOSADICIONALES (9) (3).pptx
 
13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx
13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx
13 Semana - SESION_26_MODELOSDEINVENTARIOS (5) (1).pptx
 
Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...
Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...
Presentacion Estudio sobre RS en Escuelas formadoras de Negocios y Administra...
 
Plan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdf
Plan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdfPlan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdf
Plan_de_Negocios_para_Emprendedores (1).pdf
 
SESION 1 SEMANA 1.pptx
SESION 1  SEMANA 1.pptxSESION 1  SEMANA 1.pptx
SESION 1 SEMANA 1.pptx
 
PLAN ESTRATEGICO SESION.ppt
PLAN ESTRATEGICO SESION.pptPLAN ESTRATEGICO SESION.ppt
PLAN ESTRATEGICO SESION.ppt
 
Sesion 3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidad
Sesion  3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidadSesion  3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidad
Sesion 3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidad
 
5 semana sesion 10 analisis de sensibilidad (6)
5 semana   sesion 10 analisis de sensibilidad (6)5 semana   sesion 10 analisis de sensibilidad (6)
5 semana sesion 10 analisis de sensibilidad (6)
 
Qmb11ch10a problematranspoete
Qmb11ch10a problematranspoeteQmb11ch10a problematranspoete
Qmb11ch10a problematranspoete
 
Inventarios probabilisticos
Inventarios probabilisticosInventarios probabilisticos
Inventarios probabilisticos
 

Recently uploaded

Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...
Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...
Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...
nimaruinazawa258
 
Singapore Event 2024 IPSASB Update Slides
Singapore Event 2024 IPSASB Update SlidesSingapore Event 2024 IPSASB Update Slides
Singapore Event 2024 IPSASB Update Slides
International Federation of Accountants
 
Singapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education Slides
Singapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education SlidesSingapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education Slides
Singapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education Slides
International Federation of Accountants
 
How to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete Guide
How to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete GuideHow to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete Guide
How to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete Guide
Daniel
 
5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now
5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now
5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now
Daniel
 
Call Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service Chennai
Call Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service ChennaiCall Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service Chennai
Call Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service Chennai
namratasinha41
 
Singapore 2024 Sustainability Slides.pdf
Singapore 2024 Sustainability Slides.pdfSingapore 2024 Sustainability Slides.pdf
Singapore 2024 Sustainability Slides.pdf
International Federation of Accountants
 
Seven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdf
Seven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdfSeven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdf
Seven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdf
FinTech Belgium
 
Tiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docx
Tiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docxTiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docx
Tiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docx
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
GUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdf
GUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdfGUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdf
GUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdf
ProexportColombia1
 
Enhanced metrics to measure the Regulatory impact
Enhanced metrics to measure the Regulatory impactEnhanced metrics to measure the Regulatory impact
Enhanced metrics to measure the Regulatory impact
Alexander Belyaev
 
Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7
Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7 Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7
Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7
shaankumar98663
 
Application Of mathematics in Finance- Time Value of Money
Application Of mathematics in Finance- Time Value of MoneyApplication Of mathematics in Finance- Time Value of Money
Application Of mathematics in Finance- Time Value of Money
vineetabhati1
 
足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】
足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】
足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】
tuppermarvin593
 
Presentation on recent trends in financial system .pptx
Presentation on recent trends in financial system .pptxPresentation on recent trends in financial system .pptx
Presentation on recent trends in financial system .pptx
SomiyahJagadeesh
 
Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...
Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...
Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...
khannsohil539
 
PM pre reads for the product manager framework
PM pre reads for the product manager frameworkPM pre reads for the product manager framework
PM pre reads for the product manager framework
KishoreKatta6
 
Call Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance Payment
Call Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance PaymentCall Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance Payment
Call Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance Payment
prijesh mathew
 
欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】
欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】
欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】
mukeshomran942
 
The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...
The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...
The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...
Yashwanth Rm
 

Recently uploaded (20)

Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...
Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...
Tdasx: Interpreting the 2024 Cryptocurrency Market Funding Trends and Technol...
 
Singapore Event 2024 IPSASB Update Slides
Singapore Event 2024 IPSASB Update SlidesSingapore Event 2024 IPSASB Update Slides
Singapore Event 2024 IPSASB Update Slides
 
Singapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education Slides
Singapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education SlidesSingapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education Slides
Singapore 2024 Sustainability Reporting and Accountancy Education Slides
 
How to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete Guide
How to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete GuideHow to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete Guide
How to Invest in Cryptocurrency for Beginners: A Complete Guide
 
5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now
5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now
5 Compelling Reasons to Invest in Cryptocurrency Now
 
Call Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service Chennai
Call Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service ChennaiCall Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service Chennai
Call Girls Chennai 8824825030 Independent Call Girl Service Chennai
 
Singapore 2024 Sustainability Slides.pdf
Singapore 2024 Sustainability Slides.pdfSingapore 2024 Sustainability Slides.pdf
Singapore 2024 Sustainability Slides.pdf
 
Seven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdf
Seven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdfSeven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdf
Seven Camp April 2024 Cohort Booklet.pdf
 
Tiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docx
Tiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docxTiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docx
Tiểu luận: PURPOSE OF BUDGETING IN SME.docx
 
GUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdf
GUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdfGUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdf
GUIA_LEGAL_CHAPTER_4_FOREIGN TRADE CUSTOMS.pdf
 
Enhanced metrics to measure the Regulatory impact
Enhanced metrics to measure the Regulatory impactEnhanced metrics to measure the Regulatory impact
Enhanced metrics to measure the Regulatory impact
 
Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7
Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7 Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7
Call Girls Bangalore 9024918724 Verified Service Available Near Me 24x7
 
Application Of mathematics in Finance- Time Value of Money
Application Of mathematics in Finance- Time Value of MoneyApplication Of mathematics in Finance- Time Value of Money
Application Of mathematics in Finance- Time Value of Money
 
足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】
足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】
足球博彩-足球博彩在哪个软件买球-足球博彩买球软件下载|【​网址​🎉ac55.net🎉​】
 
Presentation on recent trends in financial system .pptx
Presentation on recent trends in financial system .pptxPresentation on recent trends in financial system .pptx
Presentation on recent trends in financial system .pptx
 
Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...
Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...
Independent Call Girls Visakhapatnam 8800000000 Low Rate HIgh Profile Visakha...
 
PM pre reads for the product manager framework
PM pre reads for the product manager frameworkPM pre reads for the product manager framework
PM pre reads for the product manager framework
 
Call Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance Payment
Call Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance PaymentCall Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance Payment
Call Girls Chennai 🎉 7339748667 🎉 With No Advance Payment
 
欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】
欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】
欧洲杯足彩-欧洲杯足彩押注-欧洲杯足彩押注官网|【​网址​🎉ac99.net🎉​】
 
The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...
The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...
The various stages, after the initial invitation has been made to the public ...
 

Sesion iv semana ii (1) (13)

  • 1. www.usat.edu.pe www.usat.edu.pe Profesor Jorge A Huarachi Chávez PhD. j.huarachi@usat.edu.pe markaslayku9@Gmail.com Curso Herramientas para la toma de decisiones Sesión IV Semana II
  • 2. www.usat.edu.pe Contenido de la Sesión 2 • Variables Aleatorios variables Discretas y continuas • Distribución de probabilidades • Toma de Decisiones con probabilidades: Criterio del Valor Monetario Esperado (VME) • Análisis de Sensibilidad usando Excel
  • 3. www.usat.edu.pe 3 Variables aleatorias Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certeza el valor que tomará, sino solo los valores que puede tomar (o rango de valores en los que se puede mover) y la probabilidad de que tome esos valores (o la probabilidad de que tome un valor en un intervalo definido). Hay dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas Se dice que una variable aleatoria es discreta cuando el número de valores que puede tomar es finito. Se dice que una variable aleatoria es continua, cuando esa variable puede tomar un número infinito de valores.
  • 4. www.usat.edu.pe Una variable aleatoria es una descripción numérica de la resultado de un experimento. Variables aleatorias Una variable aleatoria discreta puede suponer que una número finito de valores Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier valor numérico o una secuencia infinita deValores en un intervalo o colección de Intervalos.
  • 5. www.usat.edu.pe Variables aleatorias Pregunta Variable Aleatoria x Tipo Familia Tamaño x - Número de dependientes en familia reportada en la declaración de impuestos Discreta Distancia desde casa hasta la tienda x - Distancia en millas desde hogar del sitio de la tienda Continua Perro propio o gato x - 1 si no posee ninguna mascota; • 2 si solo son perros propios; 3 si solo son propios los gatos; 4 si es(n) propio(s) perro(s) y(s) gato(s) Discreta  Ejemplos de variables aleatorias 
  • 6. www.usat.edu.pe Variables aleatorias La primera, segunda y cuarta variables anteriores son discretas, mientras que la tercera es continua.  Ejemplos de variables aleatorias 
  • 7. www.usat.edu.pe 7 Ejemplo (1): x: nota obtenida en una determinado asignatura La variable x tomará cualquier valor en el rango [0,10], puede tomar un número infinito de valores. Ejemplo (2): x: ingreso anual per cápita en miles de euros en una determinada población. En un intervalo de números positivos, podría ser este: [mínimo salario, infinito), esta variable puede tomar un número infinito de valores. (3) Multitud de variables económicas son continúas: La inflación, los rendimientos de activos en bolsa, los cambios en los tipos de interés, el duración de un determinado proceso de producción, el valor de las ventas, ......... Ejemplos de variables aleatorias continuas
  • 8. www.usat.edu.pe 8 Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores. Al conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria y sus respectivas probabilidades se le denomina distribución de probabilidad. En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente Valores posibles Probabilidad 0 1/16 = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) Prob. Suceso 1(S1) 1 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S1, S2, S3, S4 2 6/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+... Prob. S6, S7, S8, S9, S10, S11 3 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S12, S13, S14, S15 4 1/16 = (1/16) Prob. Suceso 16(S16)
  • 9. www.usat.edu.pe 9 Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas La distribución de probabilidad de una variable nos permite conocer la probabilidad asignada a los distintos valores que puede tomar una variable. Además, la distribución de probabilidad nos permite conocer la probabilidad de que una variable sea inferior a un determinado valor, o, que tome valores en un determinado intervalo. En el ejemplo (1), podemos conocer la probabilidad de que la variable x tome un valor menor o igual que 3, , o la probabilidad de que teme un valor entre 2 y 4, . x p( ) 3 (  x P ) 4 2 (   x P ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 3 (          x P x P x P x P x P 16 15 16 4 16 6 16 4 16 1 ) 3 (       x P ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 2 (         x P x P x P x P 16 11 16 1 16 4 16 6 ) 4 2 (       x P
  • 10. www.usat.edu.pe 10 Momentos de la distribución de Probabilidad • Esperanza Matemática ( media, o valor esperado) • Varianza • Desviación típica • Coeficiente de variación Esperanza matemática (E(x)) La esperanza matemática de una variable discreta, es una media ponderada de los valores que puede tomar esa variable utilizando como coeficientes de ponderación sus probabilidades. Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores: { } y sus probabilidades son { } La Esperanza matemática se calcula como: Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas n n p x p x p x p x x E      ... ) ( 3 3 2 2 1 1 n x x x x ,.. , , 3 2 1 n p p p p ,.. , , 3 2 1
  • 11. www.usat.edu.pe 11 El valor esperado de una variable, es el valor alrededor del cuál la variable toma distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que señala donde se encuentra centrada la distribución. Ejemplo (3) Sean x e y dos variables aleatorias cuyas distribuciones de probabilidad vienen dadas en las tablas 1 y 2 respectivamente. Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas Valores posibles Probabilidad 3 3/10 4 4/10 5 3/10 Tabla 1 Valores posibles Probabilidad 2 3/10 3 2/10 4 1/10 5 2/10 6 2/10 Tabla 2
  • 12. www.usat.edu.pe 12 Con los datos del ejemplo 3, calcular 1. La esperanza matemática de x e y Esperanza matemática de x e y Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas 4 ) 10 / 5 ( 5 ) 10 / 4 ( 4 ) 10 / 3 ( 3 ) (        x E 8 . 3 ) 10 / 2 ( 6 ) 10 / 2 ( 5 ) 10 / 1 ( 4 ) 10 / 2 ( 3 ) 10 / 3 ( 2 ) (            y E
  • 13. www.usat.edu.pe EJEMPLO DISPOSITIVOS JCL • Variable aleatoria discreta con un número finito de valores • Sea X= numero de TVs vendidas en una tienda en un dia donde X puede tomar 5 valores {0, 1, 2, 3, 4} 13
  • 14. www.usat.edu.pe Deje que x = número de clientes que llegan en un día, donde x puede asumir los valores 0, 1, 2, . . . Ejemplo: Dispositivos JSL  Variable aleatoria discreta con una secuencia infinita de valores  Podemos contar los clientes que llegan, pero no hay límite superior finito en el número que podría llegar.
  • 15. www.usat.edu.pe La distribución de probabilidad para una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades a través de los valores de la variable aleatoria. Podemos describir una distribución de probabilidad discreta con una tabla, gráfico o ecuación. Distribuciones de probabilidad discretas
  • 16. www.usat.edu.pe Variables aleatorias continuas  Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas son los siguientes:  El número de onzas de sopa colocada en una lata etiquetada "8 onzas"  El tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York  La vida útil del tubo de imagen en un nuevo televisor  La profundidad de perforación necesaria para alcanzar el petróleo en una operación de perforación en alta mar 
  • 17. www.usat.edu.pe Distribuciones de probabilidad continua • Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier valor en un intervalo en la línea real o en una colección de intervalos. • No es posible hablar de la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor determinado. • En su lugar, hablamos de la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor dentro de un intervalo dado. •
  • 18. www.usat.edu.pe Distribuciones de probabilidad continua  La probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor dentro de un intervalo dado de x1 a x2 se define como el área bajo el gráfico de la función de densidad de probabilidad entre x1 y x2.  f (x) x Uniforme x1 x2 x f (x) Normal x1 x2 x1 x2 Exponencial x f (x) x1 x2
  • 19. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad normal • La distribución de probabilidad normal es la distribución más importante para describir una variable aleatoria continua. • Es ampliamente utilizado en la inferencia estadística.
  • 20. www.usat.edu.pe Alturas de la gente Distribución de probabilidad normal  Se ha utilizado en una amplia variedad de aplicaciones:  Medidas Científicas Pruebas Calificaciones Cantidades de lluvia
  • 21. www.usat.edu.pe Ejemplo: DiCarlo Motors, Inc.  La distribución de probabilidad proporciona la siguiente información.  Hay una probabilidad de 0.18 de que no se vendan coches durante un día.  El volumen de ventas más probable es 1, con f(1) a 0,39.  Hay una probabilidad de 0,05 de un día de ventas excepcional con cuatro o cinco coches que se venden. 
  • 22. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad uniforme discreta La distribución de probabilidad uniforme discreta es el ejemplo más simple de una probabilidad discreta distribución dada por una fórmula. La función de probabilidad uniforme discreta es f(x) = 1/n Dónde: n = el número de valores al azar variable puede asumir los valores de la variable aleatoria son igualmente probables
  • 23. www.usat.edu.pe Varianza de x • El valor esperado proporciona una idea del valor medio o central para la variable aleatoria, pero con frecuencia queremos una medida de la dispersión, o variabilidad, de los valores posibles de esta variable.  = Media  2 = Varianza Dónde: Var(x) = 𝜎2=√∑(x-µ)2 f (x) f (x) = Funcion de X
  • 24. www.usat.edu.pe Desviación Estándar de X 24 D.S (x) = 𝜎 =√∑(x-µ)2 f (x) • En este punto nuestra interpretación de la varianza y la desviación estándar se limita a comparaciones de la variabilidad de diferentes variables aleatorias. Para el ejemplo podemos concluir que la cantidad de automóviles vendidos por día (x) donde 𝝈𝟐 =1.25 y 𝝈 =1.118. automóviles vendidos por día
  • 25. www.usat.edu.pe Calculo de la Varianza para el ejemplo DiCarlo Motors Inc. 25
  • 26. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad normal • Función de densidad de probabilidad normal • 2 2 ( ) /2 1 ( ) 2 x f x e         = Media  = desviacion estandar  = 3.14159 e = 2.71828 Dónde:
  • 27. www.usat.edu.pe Las probabilidades para la variable aleatoria normal son dadas por áreas bajo la curva. El área total bajo la curva es 1 (.5 a la izquierda de la media y 0.5 a la derecha). Distribución de probabilidad normal  Características  .5 .5 x
  • 28. www.usat.edu.pe Distribución de probabilidad normal  Características  de los valores de una variable aleatoria normal están dentro de su media. 68.26% +/- 1 desviación estándar de los valores de una variable aleatoria normal están dentro de su media. 95.44% +/- 2 desviaciones estándar de los valores de una variable aleatoria normal están dentro de su media. 99.72% +/- 3 desviaciones estandar
  • 29. www.usat.edu.pe Toma de Decisiones con probabilidades: Criterio del valor monetario esperado (VME) • Supongamos que una persona que tiene que tomar una decision tiene K acciones posibles, ai’ a2 , ... , aK y se enfrenta a H estados de la naturaleza. Sea Mr el rendimiento correspondiente a la i-esima accion y el j -esimo estado y P la probabilidad de que ocurra el j- esimo estado de la H J naturaleza, cumpliéndose que I Pj = 1. EI valor monetario esperado de la acci6n ai' • VME(a), es • EI criterio del valor monetario esperado adopta la accion que tiene el mayor valor monetario esperado; es decir, dada una eleccion entre acciones alternativas, el criterio del VME dicta la eleccion de la accion cuyo VME es mayor 29
  • 30. www.usat.edu.pe Toma de decisiones con probabilidades • Enfoque de valor esperado - Si se dispone de información probabilística sobre los estados de la naturaleza, se puede utilizar el enfoque del valor esperado (EV). - Aquí se calcula la rentabilidad prevista para cada decisión sumando los productos de la recompensa en cada estado de la naturaleza y la probabilidad de que se produzca el estado respectivo de la naturaleza. - Se elige la decisión de obtener el mejor rendimiento esperado.
  • 31. www.usat.edu.pe • El valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los pagos ponderados para la alternativa de decisión. • El valor esperado (EV) de la alternativa de decisión di se define como: • donde: N = el número de estados de la naturaleza P(sj ) = la probabilidad de estado de la naturaleza Vij = la recompensa correspondiente a la decisión alternativa di y estado de la naturaleza sj Valor esperado de una alternativa de decisión EV( ) ( ) d P s V i j ij j N    1 EV( ) ( ) d P s V i j ij j N    1
  • 32. www.usat.edu.pe Valor esperado para cada decisión Elija la alternativa de decisión con el EV más grande. Construir el gran complejo. 3 d1 d2 d3 EMV = .8(8 mil) + .2(7 mil) = $7.8 mil EMV = .8(14 mil) + .2(5 mil) = $12.2 mil EMV = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil Small Medium Grande 2 1 4
  • 33. www.usat.edu.pe Análisis de riesgos • Análisis de riesgos ayuda al responsable de la toma de decisiones a reconocer la diferencia entre: – el valor esperado de una alternativa de decisión, y – la recompensa que en realidad podría ocurrir • The perfil de riesgo para una alternativa de decisión muestra los posibles pagos para la alternativa de decisión junto con sus probabilidades asociadas.
  • 34. www.usat.edu.pe Perfil de riesgo • Gran alternativa de decisión compleja Pagos que van entre -9 y 20 • .20 .40 .60 .80 1.00 -10 -5 0 5 10 15 20 Probability
  • 35. www.usat.edu.pe Análisis de sensibilidad • Análisis de sensibilidad se puede utilizar para determinar cómo los cambios en los siguientes insumos afectan a la alternativa de decisión recomendada: – probabilidades para los estados de la naturaleza – valores de los pagos –Si un pequeño cambio en el valor de una de las entradas provoca un cambio en la alternativa de decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo y un cuidado adicionales en la estimación del valor de entrada.
  • 36. www.usat.edu.pe Análisis de Decision • Un enfoque para el análisis de sensibilidad es seleccionar diferentes valores para las probabilidades de los estados de la naturaleza y los resultados, y luego resolver el problema del análisis de decisiones. • Si la alternativa de decisión recomendada cambia, sabemos que la solución es sensible a los cambios hechos. 36
  • 38. www.usat.edu.pe SUPONGAMOS QUE SE CAMBIAN LAS PROBABILIDADES DE LAS DEMANDAS • Por ejemplo, suponga que en el problema de PDC la probabilidad de una demanda fuerte cambia a 0.2 y la probabilidad de una demanda débil cambia a 0.8. Antes la probabilidad de la demanda fuerte era 0.8 y de la débil 0.2. Los nuevos valores esperados seran • VE(d1) = 0.2(8) + 0.8(7) = 7.2 • VE(d2) = 0.2(14) + 0.8(5) = 6.8 • VE(d3) =0.2(20) + 0.8(29) = 3.2 • Antes la decisión mas favorable era la decisión d3 que daba un VE de 14.2 y ahora la decisión mas favorable será d1 con un VE de 7.2 38
  • 39. www.usat.edu.pe Sensibilidad a través de graficos • En el caso particular de dos estados de la naturaleza se puede utilizar un procedimiento gráfico para determinar cómo los cambios en las probabilidades de los estados de la naturaleza afectan a la alternativa de decisión recomendada. • Para demostrar este procedimiento, suponga que p es la probabilidad del estado de la naturaleza s1; es decir, P(s1) = p. Con sólo dos estados de la naturaleza en el problema de PDC, la probabilidad del estado de la naturaleza s2 es 39
  • 40. www.usat.edu.pe Esto se convierte a VE (d1) igual 40
  • 41. www.usat.edu.pe VALOR ESPERADO PARA LAS ALTERNATIVAS DE DECISIÓN DE PDC COMO UNA FUNCIÓN DE p 41
  • 42. www.usat.edu.pe Un repartidor de periódico puede compra el diario Gestión a $ 0.40 y venderlo a $ 0.75. Sin embargo, debe adquirir los periódicos antes de saber cuantos puede vender realmente. Si compra mas periódicos de los que puede vender, simplemente desechara el excedente, sin costo adicional. Si no compra suficientes periódicos, pierde ventas potenciales ahora y posiblemente en el futuro (los clientes disgustados podrían ya no comprarle). Supóngase, por el momento, que esta perdida de ventas futuras es representada por un costo de perdida del buen nombre estimado en $ 0.50 por cliente insatisfecho. A continuación mostramos la distribución de probabilidades de la demanda de periódicos. Ejemplo 01: Puesto de periódico. Demanda 0 1 2 3 Probabilidad 0.1 0.3 0.4 0.2
  • 43. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Primer paso Para simplificar el análisis, supondremos las siguientes decisiones:  Comprar 0 periódico  Comprar 1 periódico.  Comprar 2 periódicos.  Comprar 3 periódicos.
  • 44. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Segundo paso Definiendo nuestros estados de naturaleza:  Que me compren 0 periódico.  Que me compren 1 periódico.  Que me compren 2 periódicos.  Que me compren 3 periódicos.
  • 45. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Tercer paso Construyendo mi tabla de retribuciones, tenemos:
  • 46. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Tomar la decisión Usaremos el criterio de: Maximizar el rendimiento esperado Precio de venta 75 centavos Costo de compra 40 centavos Costo de perdida de un cliente 50 centavos Rendimiento esperado Decisión 0 1 2 3 0 0 -50 -100 -150 -85.0 1 -40 35 -15 -65 -12.5 2 -80 -5 70 20 22.5 3 -120 -45 30 105 7.5 Probabilidades 0.1 0.3 0.4 0.2 Estados de naturaleza De acuerdo a este criterio, nuestra decisión será: comprar 02 periódicos, porque me produce el mayor rendimiento esperado.
  • 47. www.usat.edu.pe Análisis de sensibilidad • Análisis de sensibilidad se puede utilizar para determinar cómo los cambios en los siguientes entradas afectan a la alternativa de decisión recomendada: • probabilidades para los estados de la naturaleza • valores de los pagos • Si un pequeño cambio en el valor de una de las entradas provoca un cambio en la alternativa de decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo y un cuidado adicionales en la estimación del valor de entrada. •
  • 48. www.usat.edu.pe Análisis de decisiones: Análisis de sensibilidad La decisión tomada, está basada en un costo, el costo de perdida de un cliente, cuyo valor es mucho menos seguro que los otros dos costos (compra y venta). ¿Qué le pasaría a la decisión óptima si el costo de perder a un cliente fuera diferente?. Para resolver esto, haremos un análisis de sensibilidad con la ayuda del Excel
  • 49. www.usat.edu.pe ANALISIS DE SENCIBILIDAD -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 Comprar 0 Comprar 1 Comprar 2 Comprar 3 Análisis de decisiones: Análisis de sensibilidad
  • 50. www.usat.edu.pe Para realizar la sensibilidad sombree la tabla que ha construido el eje de columnas corresponde a los costos de perder clientes por no atender y las filas corresponde a 50
  • 51. www.usat.edu.pe 51 Clickeando en datos seguido de tabla de datos se escribe La celda que corresponde a $B3 que corresponde a el costo por perder 0, 1, 2, 3 en términos de costos y le aparece la data en la tabla para dibujar el grafico se va a insertar
  • 52. www.usat.edu.pe Se escoge en el Excel la forma del grafico y sale el grafico que se encuentra en la diapositiva anterior 52
  • 53. www.usat.edu.pe 53 • Es importante identificar el tipo de variable que intervienen en la toma de decisiones distinguiendo las variables continuas y discretas. • Estas variables generan unos valores muestrales que adoptan determinados tipos de distribución que describen los valores y sus probabilidades existiendo distribución continuas uniformes, Normal y Exponencial • Cuando la toma de decisiones además de los estados de la naturaleza cuenta con probabilidades la mejor decisión se obtene aplicando el Valor Esperado EV. • Es importante conocer la sensibilidad de la solución cuando las entradas a la toma de decisiones se modifican en términos de los valores de pagos y las probabilidades Conclusiones
  • 54. www.usat.edu.pe 54 • Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2011). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Cengage Learning Editores. • Eppen, G., Gould, F., Schmidt, C., Moore, J., & Weatherford, L. (2000). Investigación de operaciones en la ciencia administrativa (Quinta Edición ed.). México: Prentice-Hall. • Howard J. Weiss (2005) POM - QM FOR WINDOWS Versión 3 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458. Referencia : Autores de libros
  • 55. www.usat.edu.pe 55 • Revisar el Cap. VI del Manual POM-QM análisis de Decisión con información perfecta con probabilidades Ejemplo 1 Toma de decisión • Resolver Ejercicios de Tarea II Actividades para la siguiente sesión:
  • 56. www.usat.edu.pe REVISAR ESTE MATERIAL • Revisar el link - https://www.youtube.com/watch?v=vdOEDS22vXY Como calcular el Punto de Equilibrio usando Excel • Revisar el link https://www.youtube.com/watch?v=33vWT3qoiZ4 Para calcular el punto de equilibrio usando POM-QM w • Revisar el Link para usar el programa POM-QM para la toma de decisiones bajo incertidumbre https://www.youtube.com/watch?v=O0dVnM3PdbM 56