Aula 30 testes de hipóteses

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Teste de Hipóteses, tópico da Disciplina de Estatística dada ao curso de Administração.

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Aula 30 testes de hipóteses

  1. 1. AULA 30 ESTATÍSTICAProfessor: João AlessandroTESTE DE HIPÓTESES
  2. 2. COMENTÁRIOS INICIAISUma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de umadistribuição de probabilidade.Por exemplo, podemos formular a hipótese que a produtividade de peças deuma máquina é de 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como: H 0 : µ = 2,5 peçashora H1 : µ ≠ 2,5 peças/horaHo é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa. Nesse caso, aalternativa formulada é bilateral, mas também podem ser estabelecidasalternativas unilaterais, tais como: H 0 : µ = 2,5 peças / hora H1 : µ < 2,5 peças/hora
  3. 3. •Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística maisusadas.•Via de regra, a hipótese nula é feita com base no comportamentopassado do produto/processo/serviços, enquanto a alternativa éformulada em função de alterações / inovações recentes.•No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a importânciados testes de hipótese: eles permitem confirmar a eficácia das medidasde melhoria adotadas.•Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema emestudo e se calcula o parâmetro desejado. Conforme o valor doparâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir deprocedimentos estatísticos.
  4. 4. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESESPasso 1 : Definição da HipóteseO primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses: hipótesenula e hipótese alternativaHipótese Nula (Ho): É um valor suposto para um parâmetro.Se osresultados da amostra não forem muito diferentes de Ho, ela nãopoderá ser rejeitada.Hipótese Alternativa(H1) : É uma hipótese que contraria a hipótesenula, complementar de Ho, Essa hipótese somente será aceita seos resultados forem muito diferentes de Ho.
  5. 5. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESESPasso 2: Calcular a estatística do Teste É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomadade decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é comparar o valortabelado com a estatística do teste. Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a variávelpadronizada Z: (X − µ ) Variabilidade Z = das médias (σ n) Estatística do teste
  6. 6. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 3: Região Crítica• O valor da estatística do teste, no caso, o valor Z, é calculado supondo que a hipótese nula (Ho) é verdadeira. No entanto, o valor calculado pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência muito baixa. Nesse caso, a hipótese nula deve ser rejeitada e aceitamos a hipótese alternativa.• A região crítica é a região onde Ho é rejeitada. A área da região crítica é igual ao nível de significância (α), que estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira.• Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de 5%, a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é igual a 5%. Na prática, os valores usuais de alfa são α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.
  7. 7. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESESUnilateral à esquerda:Ho: µ = 50H1:: µ > 50Unilateral à direita:Ho: : µ = 50H1: : µ <50Bilateral:Ho: : µ = 50H1:: µ ≠ 50
  8. 8. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 4. Regra de Decisão: Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-seHo. Ao rejeitar a hipótese nula (Ho) existe uma forte evidência de suafalsidade. Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houveevidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.
  9. 9. PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES Passo 5: Conclusão• Aceitar Ho, implica que a hipótese nula não pode serrejeitada!• Rejeitar Ho implica que temos evidências estatísticas pararejeitá-la com um risco conhecido : α.
  10. 10. Comparação de médias, variância conhecidaSuponha que X é uma variável aleatória com média µ desconhecidae variância σ 2 conhecida. E queremos testar a hipótese de que a médiaé igual a um certo valor especificado µ0. O teste de hipótese pode serformulado como segue: H : µ=µ o 0 H 1 : µ ≠ µ0Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de nobservações e se calcula a estatística X − µo Zo = σ/ nNote que o teste é feito usando-se σ / n no denominador,uma vez que esse é o desvio padrão da média.
  11. 11. A hipótese Ho é rejeitada se Z 0 > Zα / 2 onde Z α / 2 é um valorlimite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de seobter valores externos a ± Z α / 2 é α.A probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula émenor do que α , logo rejeita-se a hipótese nula Ho. X µo Zo ≤ Z a / 2Se resultar próximo de , a hipótese Ho é aceita. X µo Zo > Z a / 2Se resultar longe de , a hipótese Ho é rejeitada.
  12. 12. RESUMO DAS HIPÓTESES H0: µ ≤ µo Ha: µ > µo H0: µ ≥ µo Ha: µ < µo H0: µ = µo Ha: µ ≠ µo
  13. 13. ERROS TIPO I E DO TIPO II Tanto a hipótese nula, quanto a hipótesealternativa pode ser verdadeira, mas não ambas. O ideal seria rejeitar Ho falso, e não rejeitar Hoverdadeiro. Isso nem sempre é possível. Temos que levarem consideração a possibilidade de erros, poisos testes estão baseados em informações deamostras.
  14. 14. ERROS TIPO I E DO TIPO IIDois tipos de erros são possíveis:Erro Tipo I – rejeitar H0 verdadeiro;Erro Tipo II – não rejeitar H0 falso.
  15. 15. ERROS TIPO I E DO TIPO IIAs probabilidades de ocorrências destesdois tipos de erros são:α = probabilidade de se cometer o ErroTipo I – chamado de nível de significânciaβ = probabilidade de se cometer o ErroTipo II
  16. 16. ERROS TIPO I E DO TIPO II TABELA – RESUMO DAS DECISÕES POSSÍVEIS Ho verdadeiro Ho falsoAceitar Ho Conclusão Erro Tipo II correta Rejeitar Erro Tipo I Conclusão Ho correta
  17. 17. TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLOA resistência à tração do aço inoxidável produzido numausina permanecia estável, com uma resistência média de72 kg/mm2 e um desvio padrão de 2,0 kg/mm2.Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinaro efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas. 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes doajuste. Podemos concluir que o ajuste mudou a resistênciaà tração de aço? (Adote um nível de significância de 5%)
  18. 18. TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLOPasso 1 : Definição da HipóteseHo: µ = 72 kg/mm2H1: µ ≠ 72 kg/mm2s = 2 kg/mm2Passo 2: Calcular a estatística do TesteSendo X = 75,0 e s = 2 kg/mm2, temos: X − µo 75 − 72 3 Z = = = = 4,74 σ n 2 10 0,6325Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 4,74 devios-padrão da média alegada emHo que é 72.
  19. 19. TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA - EXEMPLOPasso 3: Região CríticaPasso 4: Regra de Decisão Como o valor crítico para 5% é 1,96 desvios (Z tabelado), estamos na região de rejeição de Ho.Passo 5: Conclusão Ho é rejeitada e concluímos que a resistência à tração do aço mudou.
  20. 20. Exemplo: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 mde altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estãosendo produzidas são diferentes que o especificado. Umaamostra de 8 valores foi coletada e indicou X =0, 87 . Sabendoque o desvio padrão é σ = 0 ,010 , teste a hipótese do engenheirousando um nível de significância α=0,05.Solução: H o : µ = 0,85 H1 : µ ≠ 0,85 0,87 − 0,85 Zo = = 5, 66 0, 010 / 8 Zo = 5, 66 > Z 0,025 = 1,96 ⇒ Rejeita-se H o
  21. 21. α /2 α /2 µ =0,850Zα / 2 = - 1 ,9 6 Zα / 2 = + 1 ,9 6 Z 0 > Zα / 2 Z 0 ≤ Zα / 2 Z 0 > Zα / 2Rejeita Ho Aceita Ho Rejeita Ho
  22. 22. TABELA: TESTE DE MÉDIAS, VARIÂNCIA CONHECIDA
  23. 23. DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br jalmat@hotmail.com

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