Aula 25 probalidade - parte 2

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Estatística: Probabilidade - Variáveis Discretas e Continuas. Distribuição Normal: Definição, Curva Normal, Exemplos e Exercícios.

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Aula 25 probalidade - parte 2

  1. 1. AULA 25 ESTATÍSTICAProfessor: João Alessandro PROBABILIDADE PARTE 2
  2. 2. PROBABILIDADE
  3. 3. PROBABILIDADE
  4. 4. PROBABILIDADE
  5. 5. PROBABILIDADE
  6. 6. DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE
  7. 7. DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE
  8. 8. DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE
  9. 9. DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE
  10. 10. Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades indica a percentagem de vezes que, em grande quantidade de observações, podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável aleatória.Em uma distribuição de probabilidades é necessário: ∑ P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis 0 ≤ P(x) ≤ 1 para todo o x. Distribuições descontínuas ou Distribuições de discretas probabilidade Distribuições contínuas
  11. 11. Distribuições Descontínuas ou DiscretasEnvolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatóriasrelativas a dados que podem ser contados.Exemplos: Número de ocorrências por amostras Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo Número de fumantes presentes em eventos esportivos Uniforme ou Retangular Binomial Formas da Binomial Negativa ou de Pascal distribuição Geométrica descontínua Poisson Multinomial ou Polinomial Hipergeométrica
  12. 12. Distribuições Contínuas Quando se usa as distribuições contínuas? A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;A variável aleatória em questão é contínua.Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitospontos do círculologo A probabilidade de parar em um ponto definido é zeroNas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrênciaem um intervalo P(a < x < b);Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela áreacontida no intervalo considerado.
  13. 13. Distribuições Contínuas UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL BIVARIADA NORMAL EXPONENCIAL LOGNORMALDISTRIBUIÇÕES WEIBULL CONTÍNUAS ( formas) QUI-QUADRADO χ 2 t DE STUDENT F DE SNEDECOR GAMA BETA ERLANG
  14. 14. Distribuição Normal Um pouco de história No século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número. Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal” Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento.
  15. 15. Distribuição Normal - Exemplos Altura de universitários Peso da população adulta n = 3000 µ = 152 cm s = 5 cm n = 5000 µ = 75 kg s = 12 kg0,20 0,200,15 0,150,10 0,100,05 0,050,00 0,00 0 5 5 0 5 0 5 7 1 3 1 5 3 5 9 7 9 0 1 15 16 2 4 5 7 8 13 13 14 14 14 15 16 16 1 1 Comprimento de uma régua Pessoas num restaurante µ = 250 por dia s = 20 por dia0,15 n = 1000 µ = 30cm s = 0,15cm 0,20,10 0,15 0,10,05 0,050,00 0 30 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 3 1 7 5 9 7 5 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 19 21 23 25 26 28 30
  16. 16. Distribuição Normal IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMALRetrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência demuitos fenômenos naturais e físicos.Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ounão) quando n é grande.Representa a distribuição das médias e proporções em grandesamostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a maisimportante).
  17. 17. Distribuição Normal Curva normal típica 50% 50% ∞ média ∞ Forma de uma boca de sino Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5) Média = µ Desvio padrão = σ
  18. 18. Distribuição Normal - Características1. A curva normal tem a forma de sino2. É simétrica em relação a média3. Prolonga-se de -∞ a +∞ (apenas em teoria) (assintótica)4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão)5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 16. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica da distribuição contínua)8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto
  19. 19. Distribuição NormalA probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre doispontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos µ a b P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
  20. 20. Distribuição Normal 2 1 e ( ) -1 x - µ 2 σ x – ponto considerado da distrib. µ - média da distribuição f(x) = 2π σ σ - desvio padrão da distribuiçãoOBSERVAÇÃO:x - µ = distância do ponto considerado à médiaz= x - µ número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 σ desvios padrões z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média
  21. 21. Distribuição Normal A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z) Normal não Normal padronizada padronizada z = xσ- µ P P µ x 0 z
  22. 22. Distribuição Normal Escala efetiva X Escala padronizada µ = 100,0 σ = 10,0 escala efetiva 70 80 90 100 110 120 130escala padronizada -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
  23. 23. Distribuição Normal - Consultando a tabela 1,25 . . . 1,0 00 01 02 03 04 05 06 ... 1,1 0,3944 olhando 1,2 . a tabela . .
  24. 24. Distribuição Normal - Consultando a tabela Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões área tabelada = área desejada z área entre a média e z 1,00 0,3413 1,50 0,4332 2,13 0,4834 0 z 2,77 0,4972
  25. 25. Distribuição Normal - Consultando a tabela z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z) 0 z
  26. 26. Distribuição Normal - Tabela 0 z
  27. 27. Distribuição Normal - Exemplos1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistênciacompressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuiçãonormal com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar umpacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?N(µ;σ) = N(4000,120) psi X = 3850psi P(z ≤ -1,25) X − µ 3850 − 4000z= = = −1,25 3850 4000 σ 120 Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944 -1,25Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%P ( Z ≤ −1,25) = 0,1056 = 10,56%
  28. 28. Distribuição Normal - Exemplos2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas quepermanecem acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser consideradacomo uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrãode 15 dias. Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas,aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro? f(x) µ = 50N(µ,σ) = N(50;15) dias X = 31 dias X − µ 31 − 50 z= = = −1,27 σ 15 20 31 35 X Consultando tabela: -1,27 0 ZP ( Z ≤ −1,27) = 0,3980 log o 0,5000 − 0,3980 = 0,1020 = 10,20% Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas
  29. 29. Distribuição Normal - Exemplos 3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média µ=10,00 metros, e desvio padrão igual a σ = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a 10,20 m? f(x)N(µ,σ) = N(10;0,09) metros X = 10,20m µ = 10 X − µ 10,20 − 10 z= = = 2,22 σ 0,09 10,20 X Consultando tabela temos: 0 2,22 ZP ( Z ≥ 2,22) = P ( Z ≤ −2,22) = 0,5 −0,4868 = 0,0132 =1,32%
  30. 30. Distribuição Normal - Exemplos CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS 4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio- padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos. f(x) N(µ,σ) = N(8;3) minutosX < 4 minutos X − µ 4 −8 z= = = −1,33 σ 3 4 8 X -1,33 0 Z Consultando a tabela: P ( x ≤ 4) = P ( Z ≤ −1,33) = 0,5 − 0,4082 = 0,0918 = 9,18%
  31. 31. Distribuição Normal - Exemplos ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrãode 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradasdefeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa? f(x) N(µ,σ) = N(2,00;0,01) X1 = 2,03 e X2=1,97 µ =2 X − µ 2,03 − 2z1 = = = +3 σ 0,01 X − µ 1,97 − 2z2 = = = −3 1,97 2 2,03 X σ 0,01 0 -3 3 Z P ( x > 2,03)ouP ( x < 1,97) = P ( Z > 3) + P ( Z < −3)Consultando tabela: P ( Z > 3) + P ( Z < −3) = 0,0014 + 0,0014 = 0,28%
  32. 32. DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br jalmat@hotmail.com

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