Aula 22 probabilidade - parte 1

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Estatística: Probabilidade - Conceitos Iniciais, definições, exemplos e exercícios.

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Aula 22 probabilidade - parte 1

  1. 1. AULA 22 ESTATÍSTICAProfessor: João Alessandro PROBABILIDADE PARTE 1
  2. 2. PROBABILIDADE
  3. 3. PROBABILIDADEINTRODUÇÃO• A palavra probabilidade deriva do Latim probare(provar ou testar).• Informalmente, provável é uma das muitas palavrasutilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendotambém substituída por algumas palavras como“sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”,dependendo do contexto.
  4. 4. 1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
  5. 5. 1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO - EXEMPLOS
  6. 6. 2. CONCEITOS ESSENCIAIS2.1 Espaço Amostral Consideremos uma experiência onde podeocorrer n resultados possíveis. Cada um dos nresultados possíveis será chamado ponto amostral, eo conjunto S de todos os resultados possíveis, ouseja, o conjunto S de todos os pontos amostrais seráchamado espaço amostral da experiência.
  7. 7. PROBABILIDADE2.1 Espaço Amostral (continuação)Exemplo 1:Lançamento de uma moeda:Existem dois resultados possíveis, portantoS = {“cara”, “coroa”}
  8. 8. PROBABILIDADE2.1 Espaço Amostral (continuação) Exemplo 2: Lançamento de um dado: Existem 6 resultados possíveis, portanto: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
  9. 9. 3. DEFINIÇÕES
  10. 10. PROBABILIDADE3.1 Evento Chama-se evento qualquer subconjunto A doespaço amostral S. A está contido em S.
  11. 11. PROBABILIDADE3.1 Evento (continuação) Exemplo 1: No lançamento de um dado, o evento “número ímpar” é A = { 1; 3; 5} A está contido em S.
  12. 12. PROBABILIDADE3.1.1 Evento Impossível: O conjunto vazio também é um subconjuntode S, portanto, também é um evento; o conjuntovazio é chamado evento impossível, pois nuncaocorre. Exemplo: Sair o número 7 no lançamento deum dado é um evento impossível. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A={ } ou A = φ
  13. 13. PROBABILIDADE3.1.2 Evento Certo: O conjunto S é subconjunto de si próprio,portanto S também é um evento; S é chamado deevento certo, pois sempre acontece. Exemplo: Sair o número 1 a 6 nolançamento de um dado é um evento certo. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  14. 14. PROBABILIDADE3.1.3 Eventos Complementares: Chama - se de evento complement ar de um evento A num espaço amostral S, ao evento A tal que A = S – A.Exemplo: No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”. A = { 1, 3, 5} A = {2, 4, 6}
  15. 15. PROBABILIDADE3.1.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:Dois eventos A e B são mutuamente exclusivosquando A ∩ B = φ(lê - se : A e B igual a conjunto vazio)Exemplo: No lançamento de um dado: A: Sair número par. B: Sair número ímpar. A ∩ B =φ Pois se sair um número par não há como sair um número ímpar e vice - versa.
  16. 16. PROBABILIDADE4. Probabilidade de Um Evento: É calculada pela fórmula: n( A ) P( A) = n(S ) Onde : P ( A) é a probabilidade de ocorrer o evento A n(A) é o número de elementos do evento A n(S) é o número de elementos do evento S
  17. 17. ExercíciosProbabilidade de um Evento
  18. 18. RESOLVENDO EXERCÍCIOS1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine aprobabilidade de ocorrer:a) A: um número primo.Resolução:A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral. n( A) P( A) = n(S ) 3 1 P( A) = = ou 0,5 = 50% 6 2
  19. 19. RESOLVENDO EXERCÍCIOS1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine aprobabilidade de ocorrer:b) B: um número múltiplo de 3. Resolução: B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S. n(B) = 2 é o número de elementos do evento B. n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral. n(B ) P(B ) = n(S ) 2 1 P( A) = = ou 0, 3 = 33,33% 6 3
  20. 20. RESOLVENDO EXERCÍCIOS2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola aoacaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3? Resolução: A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3 retirados de S. n(B) = 6 é o número de elementos do evento A. n(S) = 18 n( A ) P( A) = n(S ) 6 1 P( A) = = ou 0,3333... = 33,3% 18 3
  21. 21. PROBABILIDADE3. Soma de Probabilidades: É calculada pela fórmula: Dica esperta: Em P ( A ∪ B ) = P( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) problemas de “soma de probabilidades” sempre encontramos a palavra OU. Onde : P ( A ∪ B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou B P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A P(B) é a probabilidade de ocorrer o evento B P(A ∩ B) é a probabilidade de ocorrer o evento A e B
  22. 22. Exercícios SOMA DEPROBABILIDADES
  23. 23. RESOLVENDO EXERCÍCIOSLançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é aprobabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:Resolução :Vamos fazer por partes :Passo 1 : Calculando P(A).Sendo o evento A : ser retirado um número par :A = { 2, 4, 6} são os números pares retirados S.n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.n(S ) = 6 é o número de elementos do espaço amostral. n( A ) P( A) = n(S ) 1 P(A) = 3 1 2 P( A) = = 6 2
  24. 24. RESOLVENDO EXERCÍCIOSPasso 2 : Calculando P(B).Sendo o evento B : ser retirado um número múltiplo de 3 :B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados de S.n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.n(S ) = 6 é o número de elementos do espaço amostral. n( B ) P(B ) = 1 n(S ) P(B ) = 2 1 3 P(B ) = = 6 3
  25. 25. RESOLVENDO EXERCÍCIOSPasso 3 : Calculando P(A ∩ B).Sendo o evento A ∩ B : ser retirado um número par e múltiplo de 3 :A ∩ B = { 6} é o número par e múltiplo de 3 retirado de S.n(A ∩ B) = 1 é o número de elementos do evento A ∩ B.n(S ) = 6 é o número de elementos do espaço amostral. n( A ∩ B ) P( A ∩ B ) = n(S ) 1 P( A ∩ B ) = 1 6 P( A ∩ B ) = 6
  26. 26. RESOLVENDO EXERCÍCIOSPasso 4 (FINAL) : Calculando P(A ∪ B).Sendo : 1P(A) = 2 1 Calculando a soma das probabilidades :P (B ) = 3 P ( A ∪ B ) = P( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) 1P( A ∩ B ) = 6 1 1 1 P ( A ∪ B) = + − 2 3 6 tirando o mmc dos denominadores e fazendo as operações temos : 3+2−1 P ( A ∪ B) = 6 4 2 P ( A ∪ B ) = = ou 0,6666... = 66,67% 6 3
  27. 27. PROBABILIDADE4.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES: Multiplicação das probabilidades.Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S.A e B são ditos independentes se a probabilidade deum deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro Dica esperta:ocorrer, isto é, se: Em problemas de “multiplicação P ( A ∩ B) = P( A) x P (B /de ) A probabilidades” sempreOnde : encontramos aP ( A ∩ B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A E, B vogal e escritaP(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou subentendida.P(B/A) é a probabilidade de ocorrer o evento B tendo ocorrido o evento A
  28. 28. ExercícioMULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
  29. 29. RESOLVENDO EXERCÍCIOSUma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.Resolução :Vamos fazer por partes :Passo 1 : Calculando P(A).S = {6 bolas amarelas, 9 bolas brancas}n(S ) =15 é o número de elementos do espaço amostral.Sendo o evento A : ser retirado uma bola amarelaA = { 6 bolas amarelas} são as bolas amarelas possíveis de serem retiradas de S.n(A) = 6 é o número de elementos do evento A. n( A) P( A) = n(S ) 2 P(A) = 6 2 5 P( A) = = 15 5
  30. 30. RESOLVENDO EXERCÍCIOSPasso 2 : Calculando P(B/A).Sendo o evento B/A : retirar a 2ª bola branca, tendo retirada a 1ª amarela.Consequência :S = {5 bolas amarelas, 9 bolas brancas} , o espaço amostral foi modificado, pois foi retirada uma bola amarela!n(S ) = 14 é o número de elementos do espaço amostral.B/A = { 9 bolas brancas} são as bolas brancas possíveis de serem retiradas de S.n(B/A) = 9 é o número de elementos do evento A. n( A) P( A) = n(S ) 9 9 P(B / A) = P( A) = 14 14
  31. 31. RESOLVENDO EXERCÍCIOSPasso 3 (FINAL) : Calculando P(A ∩ B).Sendo : Calculando a multiplicação 2 das probabilidades :P(A) = 5 P ( A ∩ B) = P( A) x P (B / A) 9 2 9P (B / A) = P ( A ∩ B) = x 14 5 14 18 P ( A ∩ B) = 70 Simplificando a fração temos : 9 P ( A ∩ B) = ou 0,2571 = 25,71% 35
  32. 32. DÚVIDAS?joao.alessandro@grupointegrado.br jalmat@hotmail.com

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