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AULA 01LIMITES E CONTINUIDADEPROFESSOR JOÃO ALESSANDRO       JULHO - 2012
Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha.Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km decompr...
Noção Intuitiva   Sucessões                                             Dizemos   numéricas                               ...
Definição de Limites   Seja f(x) definida em um intervalo aberto    em torno de “a” (um número real), exceto    talvez em...
Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno dex0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10). Figura 1:
Definição informal de limiteSeja f(x) uma função definida em um intervalo aberto emtorno de x0, exceto, possivelmente em x...
   Definição de Limite                  y            L+ε              L             L -ε                    0   a-   δ   ...
Exemplo - Limites Seja y = f(x) = 2x + 1 Aproximação à direita    Aproximação à esquerda    x              y          x   ...
Limites    4,0    3,5    3,0y    2,5    2,0          0,4   0,6   0,8   1,0   1,2   1,4   1,6                            x
LimitesNota-se que quando x tende para 1, pelosdois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3,ou seja, (x    1) implica em (y ...
Limites                         x2 + x − 2No caso da função f(x) =            é diferente pois                            ...
Limites     4,0     3,5     3,0y     2,5     2,0           0,4   0,6   0,8   1,0   1,2   1,4   1,6                        ...
Limites Laterais   Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a,    está-se calculando o limite lateral esque...
Dada a função f: IR → IR, definida por f(x) = x + 3.Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiverpróximo de 1,...
 x + 1, para x ≤ 1Dada a função f: IR → IR, definida por f ( x) =                                                  x + ...
Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite              ∴lim(x2 ) = 4                x →2      “O limite da funçã...
EXERCÍCIO 1O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?                     y                      2                      1    ...
EXERCÍCIO 2O que ocorre com f(x) quando x = 1?                          y                           3                     ...
EXERCÍCIO 3O que ocorre com f(x) quando x = 1?                          y                           2                     ...
Continuidade de uma função em um número        Uma função f é contínua em um número x0 se                      lim f ( x) ...
Continuidade de uma função em um intervalo abertoUma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos o...
BIBLIOGRAFIA1) DEMANA, WAITS, FOLEY, KENNEDY. Pré-Cálculo. São Paulo:Pearson, 2009.2) DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercíci...
Aula 01   limites e continuidade
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Limites e Continuidade: Definição e exemplos.

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  1. 1. AULA 01LIMITES E CONTINUIDADEPROFESSOR JOÃO ALESSANDRO JULHO - 2012
  2. 2. Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha.Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km decomprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico.Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação dopássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)
  3. 3. Noção Intuitiva Sucessões Dizemos numéricas que: Os termos tornam-se cada vez1, 2, 3, 4, 5, .... maiores, sem atingir um limite x→+∞1 2 3 4 5 Os números aproximam-se , , , , ,..... cada vez mais de 1, sem x→12 3 4 5 6 nunca atingir esse valor Os termos tornam-se cada vez1, 0, -1, -2, -3, ... menor, sem atingir um limite x→-∞ 3 5 6 Os termos oscilam sem tender1, ,3, ,5, ,7,... a um limite 2 4 7
  4. 4. Definição de Limites Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a. c a d Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a” e escrevemos
  5. 5. Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno dex0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10). Figura 1:
  6. 6. Definição informal de limiteSeja f(x) uma função definida em um intervalo aberto emtorno de x0, exceto, possivelmente em x0.Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos osvalores de x suficientemente próximos de x0, entãodizemos que a função f tem limite L quando x tende parax0 e escrevemos: lim f(x) = L x→ x0 x0
  7. 7.  Definição de Limite y L+ε L L -ε 0 a- δ a a+ δ xO limite de uma função y = ƒ(x) , quando x tende a “a“ , a ∈ R ,indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“ , se para qualquer ε(épsilon), ε ∈ R , ε > 0 , por menor que seja, existir δ (delta), δ ∈R , δ > 0 , tal que: Ix–aI <δ → I ƒ(x) - L I < ε .
  8. 8. Exemplo - Limites Seja y = f(x) = 2x + 1 Aproximação à direita Aproximação à esquerda x y x y 1,5 4 0,5 2 1,3 3,6 0,7 2,4 1,1 3,2 0,9 2,8 1,05 3,1 0,95 2,9 1,02 3,04 0,98 2,96 1,01 3,02 0,99 2,98
  9. 9. Limites 4,0 3,5 3,0y 2,5 2,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 x
  10. 10. LimitesNota-se que quando x tende para 1, pelosdois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3,ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim,diz-se que: lim f ( x) = lim(2 x + 1) = 3 x →1 x →1 Neste caso o limite é igual ao valor da função. lim = f(1) = 3 f(x) x→1
  11. 11. Limites x2 + x − 2No caso da função f(x) = é diferente pois x −1f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existee é igual 3.Ver gráfico a seguir:
  12. 12. Limites 4,0 3,5 3,0y 2,5 2,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 x
  13. 13. Limites Laterais Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a - Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a + Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais: lim− lim [f(x)] x →[f(x)] = a x→a+
  14. 14. Dada a função f: IR → IR, definida por f(x) = x + 3.Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiverpróximo de 1, mas não for igual a 1. Pela direita Pela esquerda y x f(x) = x + 3 x f(x) = x + 3 2 5 0 3 1,5 4,5 0,25 3,25 4 1,25 4,25 0,75 3,75 1,1 4,1 0,9 3,9 1,01 4,01 0,99 3,99 1,001 4,001 0,999 3,999 1,0001 4,0001lim f ( x) = 4 lim f ( x) = 4x →1− 1 x x →1+
  15. 15.  x + 1, para x ≤ 1Dada a função f: IR → IR, definida por f ( x) =   x + 3, para x > 1Determinar, graficamente, lim f ( x) x→1 lim f ( x) = 4 + 4 x →1 lim f ( x) = 2 − 2 x →1 1 Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
  16. 16. Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite ∴lim(x2 ) = 4 x →2 “O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.
  17. 17. EXERCÍCIO 1O que ocorre com f(x) próximo de x = 1? y 2 1 1 5 x Lim f(x) não existe x 1
  18. 18. EXERCÍCIO 2O que ocorre com f(x) quando x = 1? y 3 2 1 5 x Lim f(x) = L = 2 x 1
  19. 19. EXERCÍCIO 3O que ocorre com f(x) quando x = 1? y 2 1 1 5 x Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1) x 1
  20. 20. Continuidade de uma função em um número Uma função f é contínua em um número x0 se lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.a) b) c)
  21. 21. Continuidade de uma função em um intervalo abertoUma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo. ]a, b[
  22. 22. BIBLIOGRAFIA1) DEMANA, WAITS, FOLEY, KENNEDY. Pré-Cálculo. São Paulo:Pearson, 2009.2) DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática.Moscou: Mir, 1977. 488 p.3) FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006.4) LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. v. 1 e 2. 2. ed. SãoPaulo: HARBRA, 1982.5) PISKUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. v. 1. Moscou: Mir, 1977.6) ROGAWSKI, J. Cálculo. v.1. Porta Alegre: Bookman, 2009.7) STEWART, J. Cálculo. v. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. 577 p.8) SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. v. 1. 2. ed. SãoPaulo: Makron Books, 1994. 744 p.9) THOMAS, G. B. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pearson, 2002.

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