Matrices y determinantes

2,502 views

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,502
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
83
Actions
Shares
0
Downloads
133
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matrices y determinantes

  1. 1. Matrices y determinantes<br />Profa. Joane De Jesús<br />Mate 4031: Algebra Lineal<br />
  2. 2. Dimensión de una matriz<br />Una matriz es un arreglo rectangular de números encerrados entre paréntesis cuadrados. (corchetes)<br />El orden o dimensión de una matriz es importante en la relación con las operaciones con matrices.<br />Se define una matriz m x n como la que tiene m filas y n columnas.<br />Siempre primero el número de filas.<br />
  3. 3. Dimensión de una matriz<br />Si una matriz tiene el mismo número de filas y de columnas se denomina una matriz cuadrada.<br />Una matriz con una sola columna se denomina matiz columna y una con una sola fila se denomina matriz fila.<br />
  4. 4. Ejemplos <br />Matriz cuadrada 425505679 3 x 3<br />Matriz columna 3−210 4 x 1<br />Matriz fila 230 1 x 3<br /> <br />
  5. 5. Matrices <br />Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos correspondientes son iguales.<br />𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓=𝑢𝑣𝑤𝑥𝑦𝑧<br /> Si y solo si a=u b=v c=w<br /> d=x e=y f=z<br /> <br />
  6. 6. Operaciones con matrices<br />Suma de matrices<br />Multiplicación de una matriz por un número <br />
  7. 7. Suma de matrices<br />La suma de matrices de la misma dimensión es una matriz cuyos elementos se forman con la suma de los elementos correspondientes de las dos matrices dadas.<br />Para matrices con diferentes dimensiones no se define la suma.<br />𝑎𝑏𝑐𝑑+𝑤𝑥𝑦𝑧=(𝑎+𝑤)(𝑏+𝑥)(𝑐+𝑦)(𝑑+𝑧)<br /> <br />
  8. 8. Ejemplo <br />Sume las siguientes matrices, si es posible.<br />2−3012−5+312−325<br /> = 2+3−3+10+21+(−3)2+2−5+5<br /> = 5−22−240<br /> <br />
  9. 9. Suma de matrices<br />La suma de matrices de la misma dimensión es asociativa y conmutativa, es decir, si A, B y C son matrices de la misma dimensión, entonces<br />A+B=B+A Propiedad conmutativa<br />(A+B)+C=A+(B+C) Propiedad asociativa<br />Se denomina matriz cero o nula aquella que tiene todos sus elementos iguales a cero.<br />Ejemplo:<br />0000<br /> <br />
  10. 10. Suma de matrices<br />El negativo de una matriz, denotado por –M, es una matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de M. por lo tanto, si<br />𝑀=𝑎𝑏𝑐𝑑, entonces −M=−𝑎−𝑏−𝑐−𝑑<br />Obsérvese que M+(-M)=0<br /> <br />
  11. 11. Resta de matrices<br />Si A y B son matrices de la misma dimensión, entonces se define la resta de la siguiente manera:<br />A-B=A+(-B)<br />Por lo tanto, para restar la matriz B de la matriz A, simplemente se restan los elementos correspondientes.<br />
  12. 12. Ejemplo <br />Reste las siguientes matrices, si es posible.<br />3−250−−2234<br />= 3−250+2−2−3−4<br />= 3+2−2+(−2)5+(−3)0+(−4)<br />= 5−42−4<br /> <br />
  13. 13. Multiplicación de una matriz por un número <br />El producto de un número k y una matriz M, denotado por kM, es una matriz con elementos formados por la multiplicación de cada elemento de M por k.<br />
  14. 14. Ejemplo <br />Multiplica la matriz por el escalar dado.<br />−23−10−2130−1−2<br />= 3(−2)−1(−2)0(−2)−2(−2)1(−2)3(−2)0(−2)−1(−2)−2(−2)<br />= −6204−2−6024<br /> <br />
  15. 15. Práctica <br />Utiliza las matrices dadas para contestar las siguientes preguntas:<br />𝐴=2−130     𝐵=−312−3     𝐶=2−30<br />¿Cuál es la dimensión de A, B y C?<br />¿Qué elemento está en la primera fila y segunda columna de la matriz B?<br />Escriba una matriz nula de la misma dimensión que B.<br />Encuentre:A+B, A-B y B-A<br />Encuentre: 5C y -10A<br /> <br />
  16. 16. Multiplicación de matrices<br />Producto punto<br />Multiplicación de matrices<br />Propiedades de la multiplicación<br />
  17. 17. Producto punto<br />El producto punto de una matriz fila 1 x n y una matriz columna n x 1 es el número real dado por:<br />𝑎1𝑎2    …𝑎𝑛∙𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+…+𝑎𝑛𝑏𝑛<br /> <br />
  18. 18. Ejemplo <br />Encuentre el producto punto:<br />2−30∙−52−2<br />= 2−5+−32+0−2<br />=−10+−6+0<br />=−16<br /> <br />
  19. 19. Producto de matrices<br />El producto de dos matrices A y B se define solo bajo la suposición de que el número de columnas de A es igual al número de columnas de B. <br />Si A es una matriz m x p y B es una matriz p x n, entonces la matriz producto de A y B, denotada por AB, es una matriz m x n.<br />m x p p x n<br />Deben ser iguales<br />Matriz resultante<br />
  20. 20. Ejemplo <br />Multiplica las siguientes matrices, si es posible.<br />𝐴=23−1−212   𝑦   𝐵=1320−12 <br />Verifica las dimensiones:<br />2 x 3 3 x 2<br />El número de columnas de A es igual al número de filas de B.<br />Las dimensiones del producto son 2 x 2.<br /> <br />
  21. 21. 23−1−212.1320−12 <br /> =21+32+(−1)(−1)23+30+(−1)(2)−21+12+2(−1)−23+10+2(2)<br />=2+6+16+0+(−2)−2+2+(−2)−6+0+4<br />=94−2−2<br /> <br />
  22. 22. Propiedades de la multiplicación <br />Suponiendo, que, para las matrices indicadas A, B y C todos los productos y sumas están definidos, para k, un numero real:<br />(AB)C=A(BC) Propiedad asociativa<br />A(B+C)=AB+AC Propiedad distributiva<br />(B+C)A=BA+CA Propiedad distributiva<br />k(AB)=(kA)B=A(kB) <br />La multiplicación de matrices no es siempre conmutativa.<br />
  23. 23. Práctica <br />Encuentra los productos punto.<br />24∙31<br />−1−22∙2−13<br />−240∙−1−32<br /> <br />
  24. 24. Práctica <br />Encuentre los productos de las matrices, si es posible.<br />34−1−2∙−12<br />2−312∙1−10−2<br />2−1113−2∙130−1−22<br /> <br />
  25. 25. Inversa de una matriz cuadradaEcuaciones de matrices<br />Matriz identidad para la multiplicación<br />Inversa de una matriz cuadrada<br />Ecuaciones de matrices<br />
  26. 26. Matriz identidad para la multiplicación <br />El conjunto de las matrices cuadradas de orden n (dimensión n x n) tiene una identidad y esta dada como sigue: el elemento identidad para la multiplicación para el conjunto de matrices cuadradas de orden n es la matriz cuadrada de orden n, denotada por I, con unos en la diagonal principal (desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha) y ceros en los otros lugares.<br />Ejemplos: <br />1001100010001<br /> <br />
  27. 27. Inversa de una matriz cuadrada<br />En el conjunto de los números reales se sabe que para cada número real a, existe un número real 𝑎−1, tal que 𝑎−1𝑎=1.<br />El número 𝑎−1 se denomina inverso de a con respecto al producto, o el inversomultiplicativo de a.<br />Si 𝑀−1 existe para una matriz M, entonces 𝑀−1 se denomina inversa de M con respecto al producto.<br /> <br />
  28. 28. Inversa de una matriz cuadrada<br />A continuación se emplea esta definición para encontrar 𝑀−1para <br />𝑀=2312<br /> se necesita 𝑀−1=𝑎𝑐𝑏𝑑<br /> tal, que 𝑀𝑀−1=𝑀−1𝑀=𝐼<br /> Por lo tanto, se escribe<br />2312𝑎𝑐𝑏𝑑 =1001<br /> <br />
  29. 29. Inversa de una matriz cuadrada<br />y se trata de encontrar a, b, c y d de tal manera que el producto de M y 𝑀−1 sea la matriz identidad I.<br />Para encontrar la matriz inversa de una matriz, se aumenta la misma con la matriz inversa y se trabaja con reducción de filas hasta intercambiar las matrices de posiciones.<br /> <br />
  30. 30. Ejemplo <br />Encuentra la matriz inversa para 𝐴=2914<br />Aumentamos la matriz con I<br />2914    1001 ~ 1429    0110 ~ 1401    011−2<br />𝑅2↔𝑅1𝑅2->𝑅2−2𝑅1𝑅1->𝑅1−4𝑅2<br />29−2−801   100−21−2       140−410    01−48−49<br /> <br />
  31. 31. ~ 1001    −491−2<br />Matriz inversa 𝐴−1=−491−2<br />Verificamos la respuesta multiplicando A por la inversa<br />2914−491−2=2−4+9(1)29+9(−2)1−4+4(1)19+4(−2)<br />=−8+918+(−18)−4+49+(−8)=1001<br /> <br />
  32. 32. Inversa de una matriz cuadrada M<br />Si 𝑀|𝐼 se transforma mediante operaciones con filas en 𝐼|𝐵 , entonces la matriz resultante B es 𝑀−1. Sin embargo, si se obtienen sólo ceros en una o más filas a la izquierda de la barra vertical, entonces 𝑀−1 no existirá. <br /> <br />
  33. 33. Práctica <br />En cada problema demuestra que las dos matrices son inversas una de otra, comprobando que su producto es igual a la matriz de identidad I.<br />3−4−233423<br />33−1−2−21−4−521−1102−1230<br /> <br />
  34. 34. Práctica <br />Dada la matriz M, como se indica, encuentre 𝑀−1 y muestre que 𝑀−1𝑀=𝐼.<br />2153<br />13−225−3−32−4<br /> <br />
  35. 35. Función determinante<br />Función determinante<br />Determinantes de segundo orden<br />Determinantes de tercer orden<br />
  36. 36. Función determinante<br />El dominio de la función determinante es el conjunto de todas las matrices cuadradas con elementos reales, y su rango es el conjunto de todos los números reales.<br />Si A es una matriz cuadrada, entonces el determinante de A se denota por det A o, simplemente, al escribir el orden de elementos en A utiliza líneas verticales en lugar de paréntesis cuadrados.<br />
  37. 37. Función determinante<br />Ejemplo:<br />det2351=2351<br />Un determinante de orden n es uno con n filas y n columnas.<br /> <br />
  38. 38. Determinantes de segundo orden<br />Los determinantes de segundo orden se simbolizan en general de la siguiente forma: 𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22, donde se emplea una letra simple con un doble subíndice para facilitar la generalización a determinantes de orden más alto.<br />El primer subíndice indica la fila a la que pertenece el elemento, y el segundo subíndice indica la columna.<br /> <br />
  39. 39. Determinantes de segundo orden<br />El valor de un determinante de segundo orden es:<br />𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22=𝑎11𝑎22−𝑎21𝑎12<br />El determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.<br /> <br />
  40. 40. Ejemplo <br />Encuentre el determinante de 𝐴=3−54−2<br />det 𝐴=3−54−2<br />=3−2−4−5<br />=−6−−20<br />=−6+20<br />det𝐴=14<br /> <br />
  41. 41. Determinantes de tercero orden<br />Un determinante de tercer orden es un arreglo cuadrado de nueve elementos y representa un número real, dado por la siguiente fórmula:<br />𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33=𝑎11𝑎22𝑎33−𝑎11𝑎32𝑎23+𝑎21𝑎32𝑎13−𝑎21𝑎12𝑎33+𝑎31𝑎12𝑎23−𝑎31𝑎22𝑎13<br />Para disminuir el proceso utilizaremos los conceptos menor y cofactor.<br /> <br />
  42. 42. Determinantes de tercer orden <br />El menor de un elemento de un determinante de tercer orden es un determinante de segundo orden que se obtiene por la eliminación de la fila y la columna a la que pertenece el elemento.<br />Por ejemplo:<br />Menor de 𝑎23=𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33=𝑎11𝑎12𝑎31𝑎32<br /> <br />
  43. 43. Determinantes de tercer orden<br />Una cantidad asociada estrechamente al menor de un elemento es el cofactor del mismo.<br />El cofactor del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el producto del menor 𝑎𝑖𝑗 y de (−1)𝑖+𝑗.<br />Cofactor de 𝑎𝑖𝑗=−1𝑖+𝑗(𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑗)<br /> <br />
  44. 44. Determinantes de tercer orden<br />El signo frente al menor −1𝑖+𝑗, puede determinarse mejor si usamos una tabla patrón de los signos + y – sobre el determinante comenzando con + en la esquina superior izquierda: +−+−+−+−+<br /> <br />
  45. 45. Ejemplo <br />Encuentre los cofactores de -2 y 5 en el determinante −2031−65−120<br />Cofactor de -2 <br />(−1)1+1−6520<br />=−6520=−60−25=0−10=−10<br /> <br />
  46. 46. Cofactor de 5<br />(−1)2+3−20−12<br />=−−20−12<br />=−[2−2−10]=−−4−0=−4=4<br /> <br />
  47. 47. Práctica <br />Encuentra los cofactores de -6 y 3 en el determinante −2031−65−120<br /> <br />
  48. 48. Determinantes de tercer orden <br />El valor de un determinante de orden 3 es la suma de los tres productos obtenidos al multiplicar cada elemento de alguna fila (o columna) por su cofactor.<br />Si utilizamos la primera fila:<br />𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33<br /> <br />
  49. 49. Ejemplo <br />Encuentre el determinante por el desarrollo de la primera fila. −2031−65−120<br />=−2−6520+0−15−10+31−6−12<br />=−2−60−25+0+312−−1−6<br />=−20−10+0+32−6<br />=−2−10+0+3−4<br />=20+0+−12<br />=8<br /> <br />
  50. 50. Práctica <br />Encuentre el determinante de:<br />𝐴=21341212−3<br />𝐵=2−20−3121−3−1<br /> <br />
  51. 51. Referencia <br />Algebra y trigonometría. 1988. McGraw Hill, tercera edición.<br />

×