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CURSO DE MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
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FACULTAD DE INGENIERÍA
Operaciones con funciones y sus gráficas. Composición de
funciones y su gráfica. Función Inversa. Aplicaciones.
MATEMÁTICA
SEMESTRE: 2022-I
SEMANA 10
FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA:

2. 30/05/2022
2
LOGROS DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
▪ Resuelve problemas y ejercicios sobre funciones cuadráticas, raíz
cuadrada, racionales, definidas por partes y función valor absoluto;
▪ Calcula el dominio y rango de una función en forma analítica así
como gráficamente de forma coherente.
▪ Analiza, modela y resuelve problemas referentes al tema, utilizando
algoritmos y propiedades.

3. 30/05/2022
3
MOTIVACIÓN
Cuando la población cuyo crecimiento pretende ser estudiado
mediante el modelo exponencial alcanza un cierto tamaño en relación
al ambiente ecológico donde se desarrolla la población, el modelo
exponencial puede dejar de ser adecuado porque los factores
limitantes del crecimientos como la escasez de recursos reducen la
tasa de incremento de la población.
En esos casos resulta adecuado introducir un término que de cuenta
de la capacidad del ecosistema para sostener una gran población. El
modelo resultante llamado modelo logístico está basado en la curva
logística o curva en forma de "S".
O sea que la velocidad de crecimiento es proporcional al producto del tamaño de la población x(t) y la
diferencia K - x(t)
Este modelo es adecuado para describir el crecimiento de una población de personas tanto como el
de bacterias en un cultivo o la forma en que se propaga una epidemia. No obstante, si se toman en
cuenta factores ambientales que reducen la tasa de crecimiento de la población, el tamaño de dicha
población x(t) estará limitada a un cierto número máximo de K, tal que:

4. 30/05/2022
4

5. Si f y g son funciones con dominios respectivamente definimos:
MATEMATICA BASICA
5
f g
D y D
( )( ) ( )
1 ( ),
. +
+ = + = 
f g f g
f g x f x g x D D D
( )( ) ( )
2 ( ),
. −
− = − = 
f g f g
f g x f x g x D D D
3 = =
kf f
( k f )( x ) k f ( x ), D D ( k constante real )
.
.
.
4 ( . )( ) ( ) ( ,
. )
= = 
f g f g
f g x f x g x D D D
 
/
( )
( ) , / ( ) 0
( )
5.
 
= =   
 
 
f g f g
f f x
x D x D D g x
g g x
OPERACIONES CON FUNCIONES

6. 1. FUNCIÓN CONSTANTE.-
Regla de correspondencia:
f (x) = k , k  R , D ( f ) = R , R (f) = k
f (x) = k
Y
X
O
Funciones Elementales

7. I: →
i) I(x) = x
2. FUNCIÓN IDENTIDAD.-
tal que;
ii) D(I) =
( )
iii) R I =
Esta función es inyectiva, suryectiva y biyectiva.
I(x) = x
Y
X
O
Es la función

8. 3. FUNCIÓN LINEAL.-
Es la función f : R → R tal que
es su regla de correspondencia.
, m,k , m 0
i)f(x) = mx +k  
ii) D ( f ) = R , R(f) =
f (x) = mx + k
Y
X
O

9. 4. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.-
( ) =
i) G x x se llama función raíz cuadrada.
( ) 0 ,


= 
ii) D G ( ) 0 ,


= 
R G
,
G (x) =
Y
X
O
x
Es la función f : R → R tal que

10. x
5. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
x si x 0
x
x si x 0
− 

= 


i)f (x) =
ii) D ( f ) = R , R(f) 0,


= 
Esta función no es inyectiva. f (x) =
O
X
Y

11. 6.FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.-
La función f : R → R cuya regla de correspondencia es f(x)= , se llama
función máximo entero de x o función escalera .
D = R
( )
x
R = Z
x
( )
x
1
x n n x n
=     +
1 1 0
0 0 1
1 1 2
x x
x x
x x
= −  −  
=   
=   

12. 7. FUNCIÓN SIGNO.-
La función f : R → R / f (x) = sig (x)
se llama signo de y está definido por
1, x 0
sig(x) 0 , x 0
1, x 0



= =

− 

D ( f ) = R , R (f) =  – 1, 0, 1 
Esta función no es inyectiva.
1
X
Y
O
- 1

13. 8.-FUNCION ESCALON UNITARIO O FUNCIÓN DE HEAVISIDE
0, x 0
f(x) U(x)
1, x 0


= = 


y
0, x a
f(x) U(x a)
1, x a


= − = 


D (U) = R , R (U) = 0,1
Para a 
0
+
, se llama escalón unitario desplazando “a” unidades
a la derecha del cero.
Y
0
1
X

14. Considerando la función:
2
f(x) x x 0
a b c
= + + =
El vértice está dado por:
VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA
V ( h ; k )
=
b
h
2a
−
=
k f(h)
=
X
Y Eje de simetría
Vértice =(h,k)
a > 0
X
Y
vértice
Eje
a < 0

15. 10. FUNCIÓN RACIONAL.-
, donde P (x) y Q (x) son
P x
f x
Q x
=
( )
( )
( )
polinomios de grados n y m respectivamente y
D (f) = x R / Q (x)  0 
Ejemplo
3
2
x x 42
f(x)
x 3x 10
− −
=
− −
, D (f) = R –  – 2 , 5 

16. 11. FUNCIÓN PERIÓDICA
Una función real de variable real f : R → R, se dice que es periódica si existe un
número real T  0, tales que
i) x, T  D( f )  x + T  D( f ) y
ii) f (x + T) = f (x)
Nota: Al menor número T  0 se denomina período de la función.
Interpretación.-
Si una función f es periódica, significará que el gráfico de f se puede obtener por
repetición de un parte de ella (llamado ciclo) definido en un intervalo de longitud T (Periodo)
Como ejemplo de funciones periódicas tenemos las funciones trigonométricas tales como
seno, coseno, tangente, etc.

17. 12. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES (MONÓTONAS)
a) Una función F con dominio D ( f ) es creciente (monótona) si
1 2
x , x D(F) /
  
1 2
x x


1 2
F(x ) F(x )
Y
X
y = F (x)
F (x1)
x2
x1
F (x2)
O

18. 12. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES (MONÓTONAS)
b) Una función F con dominio D ( f ) es decreciente (monótona) si
1 2
x , x D(F) /
  
1 2
x x

1 2
F(x ) F(x )

Y
X
y = F (x)
F (x2)
x1 x2
F (x1)
O

19. 13. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición.- Para cualquier número real a  0 , a  1, la función f (x) = , se
x
a
llama función exponencial de base a.
D ( f ) = R , R(f ) 0,
= 
y = ax
0 < a < 1
Y
X
y = ax
a > 1
1

20. 1.- Si a  1, la función f (x) = es creciente en todo su dominio.
x
a
2.- Si 0  a  1, la función es decreciente en todo su dominio:
3.- La gráfica de toda función exponencial pasa por el punto P1(0, 1)
4.- En la grafica se puede observar que si x y
b b
= entonces x = y
Ejemplo.
Graficar las siguientes funciones, determinando su dominio y rango.
1) x
y 3
= , 2)
x
2
y
3
 
 
 
= , 3)
x
y 2
= − , 4) y = 2
3 +
x
Propiedades de la función exponencial

21. 14.- FUNCION LOGARÍTMICA.
Definición.-
Para a  0 , a  1, x  R escribimos y =loga x  x =
y
a
Esta expresión y = loga
x es llamada función logaritmo de x en
base a.
0 1
a
  1
a 

22. Ejemplo 1:
Trazar la gráfica de la función 2
y log x
=
determinando su dominio y rango.
La gráfica de la función
se obtiene reflejando la gráfica de
2x
la función y = con respecto a
la recta y = x . D ( f ) =  0 ,   ,
R ( f ) = R
2
y log x
=
2
y log x
=
y = x
y =
y = 2 x
X
Y
1
1
1.- Si a  1 la función y = loga x es creciente en todo su dominio.
2.- Si 0  a  1 la función y = x es decreciente en todo su dominio.
3.- La gráfica de la función y = X pasa por el punto 1
P (1, 0)
loga
loga
Propiedades de la función logarítmica en base a:
(0,1)
(1,0)

23. X
Y
x
– x 0
15. FUNCION PAR.
Una función f : R → R es par, si
x D(f) x D(f)
  − 
i)
f( x) f(x) x D(f)
− =  
ii)
f (- x ) = f ( x )
y = f ( x )
Eje de simetría
Ejemplo.-
1.-
2
f(x) x 1, x
= −  es par
2.- g (x) = cos x , x  R , es par

25. 16. FUNCION IMPAR
Una función f : R → R es impar, si
i)
ii)
f
x D x D(f)
  − 
f( x) f(x), x D(f)
− = −  
Ejemplo
3
f(x) = x - x, x
Nota.- La gráfica de una función par es simétrico al eje Y y de
una función impar es simétrico al origen de coordenadas.
Y
X
0 x
- x
f (x)
y = f (x)
- f (x)

26. 17.- FUNCIÓN SENO
y
f : / f(x) sen(x)
→ =
Periodo:
D(f) ,
=  
R(f)= 1,1
−
2
Además es impar y su gráfica es simétrica con respeto al origen de coordenadas.
18. FUNCIÓN COSENO
f : / f(x) cos(x) ,
→ =  
R(f)= 1,1
−
D(f) ,
=
El periodo es y
2 cos( x) cos(x).
− =
es una función par y su gráfica es simétrica con respecto al eje Y.
( ) ( )
sen x sen x
− = −

27. 19. FUNCIÓN TANGENTE
Sea
sen(x)
f : / y f(x) tan(x)
cos(x)
→ = = = y D(f) (2n 1) / n
2

 
= − + 
 
 
R(f)=
Se verifica; f(x ) f(x) x D(tan)
+  =   . Luego, el periodo de tangente es 

28. 20. FUNCIÓN COTANGENTE
y
R(f)= 
 
D(f ) n / n
= −  
cos(x)
f : / y f(x) cot(x)
sen(x)
→ = = =
f(x ) f(x) x D(cot)
+  =  
Se tiene
y . Luego, el periodo de cotangente es

29. 21. FUNCIÓN SECANTE
1
f : / y f(x) sec(x)
cos(x)
→ = = =
D(f) (2n 1) / n
2

 
= − + 
 
 
Ran(sec) 1,1
= − − . El periodo de la secante es 2
Se tiene; y

30. 22. FUNCIÓN COSECANTE
Se tiene;
1
f : / y f(x) csc(x)
sen(x)
→ = = =
 
D(f ) n / n
= −   Ran(csc) 1,1
= − − . El periodo de la secante es 2

31. 30/05/2022
31
Gráfica original: y=f(x)
Traslación horizontal de c unidades a la derecha: 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐)
Traslación horizontal de c unidades a la izquierda: 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐)
Traslación horizontal de c unidades hacia arriba: 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐
Traslación horizontal de c unidades hacia abajo: 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑐
Reflexión (respecto al eje X): 𝑦 = −𝑓 𝑥
Reflexión (respecto al eje Y): 𝑦 = 𝑓 −𝑥
Reflexión (respecto al origen): 𝑦 = −𝑓 −𝑥
Tipos Básicos de transformaciones (c>0)

32. Graficar:
Solución
Ejemplo.-

33. Tipos Básicos de transformaciones II
Si 0 < 𝑎 < 1 se alarga horizontalmente 𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥)
Si a>1, f(x) se alarga verticalmente y se forma: y=af(x)
Si 0<a<1, f(x) se encoge verticalmente y se forma: y=af(x)

34. 30/05/2022
34
0,
( ) ( )
1;
si t T
t t T
si t T


− − = 


 
( )
x
 ( 2)
x
 − ( ) ( 2)
x x
 
− −
Introducción al Modelo de Señales
Ejemplo:
FUNCIÓN ESCALONADA UNITARIA

35. 30/05/2022
35

36. 30/05/2022
36