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Desarrollo de la clase
1.- Dudas clase anterior
2.- Revisión tarea
3.- Crecimiento o Decrecimiento (Modelo de
Malthus )
4....
CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO
(MODELO DE MALTHUS)
Si P(t) representa la población en el tiempo t, un
modelo que permite dete...
1.-) En un cultivo de bacterias se tenían x
números de familias. Después de una
hora se observaron en el cultivo 1000
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Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que
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Clase 06  aplicaciones de ecuaciones diferenciales
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Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferenciales

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Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferenciales

  1. 1. Desarrollo de la clase 1.- Dudas clase anterior 2.- Revisión tarea 3.- Crecimiento o Decrecimiento (Modelo de Malthus ) 4.- Circuito LR en Serie 5.- Ley de Newton del enfriamiento 6.- Diseminación de una enfermedad
  2. 2. CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO (MODELO DE MALTHUS) Si P(t) representa la población en el tiempo t, un modelo que permite determinar esta población En cualquier instante t, teniendo información de La población en el tiempo t0, es conocido como Modelo de Malthus: 00 )(, PtPinicialvalorconkP dt dP
  3. 3. 1.-) En un cultivo de bacterias se tenían x números de familias. Después de una hora se observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y después de 4 horas, 3000 familias. Determinar el número de familias de la bacteria que había originalmente en el cultivo. t=1 P=1000 t=4 P=3000
  4. 4. kP dt dP t=1 P=1000 t=4 P=3000 kdt P dP kdt P dP ck 43000ln Como cktPln ck1000ln Como ck 11000ln ck43000ln ck1000ln ck43000ln Al resolver 542,6366,0 ck
  5. 5. cktPln 542,6366,0 ck 542,6366,0ln tPEntonces 542,6366,0ln tP ee 542,6366,0 t ePDeterminar el número de familias de la bacteria que había originalmente en el cultivo. 0t 542,60366,0 eP 542,6 eP 67,693P Respuesta: Aprox. 694 familias
  6. 6. Circuito LR en Serie Si consideramos el siguiente circuito eléctrico dt di L Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de potencial a través del inductor y de la resistencia , es igual a la fuerza electromotriz (fem) aplicada al circuito y es así como se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente i R )(tE )(ti )(tERi dt di L donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamente y la corriente i(t) es conocida como la respuesta del sistema.
  7. 7. Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es ½ Henry y la resistencia es 10 ohms. Determine la corriente i si la corriente inicial es cero. RECORDEMOS L = inductancia R = resistencia E(t)= fuerza electromotriz i(t) =respuesta del sistema. Entonces R L tE )( 12 2/1 10
  8. 8. R L tE )( 1212 2/1 2/1 1010 )(tERi dt di L dt di i 2/ 2420 i dt di
  9. 9. 2420 i dt di 24)(20)( thtP ])([)( )()( dttheCeti dttpdttp dttp )( dt20 t20 e dte t20 24 24 t e20 5 6 dtthe dttp )( t20 24 dt 20 20 t e
  10. 10. tdttp 20)( tdttp edtthe 20)( 5 6 )( ])([)( )()(´ dttheCeti dttpdttp )(ti )(ti e t20 c t e20 5 6 t ec 20´ tt ee 2020 5 6 5 6 )( 20´ t ecti
  11. 11. Determine la corriente i si la corriente inicial es cero. 5 6 )( 20´ t ecti 5 6 0 020´ ec Entonces t=0 y i(t)=0 5 6 0 0´ ec 5 6 10 c 5 6 c t eti 20´ 1 5 6 )( 5 6 5 6 )( 20´ t eti
  12. 12. TAREA 15 Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 ohms y un inductor de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra a T=0 . Determine la corriente para todo t
  13. 13. Ley de Newton del enfriamiento Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un cuerpo, en interacción con la temperatura de un medio dominante, al que llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerará constante. Si Tam es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo inmerso en esta temperatura ambiente, entonces la temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el medio del cuerpo y la temperatura ambiente. Así, el problema queda modelado por la ecuación amTTk dt dT 0 )0( TTinicialvalorcon
  14. 14. Si la temperatura del aire es de 20ºC y una sustancia se enfría de 100ºC a 60ºC en 30 minutos. Calcule en que instante la temperatura de la sustancia será de 40ºC. 6030 1000 20 Tt Tt Tam am TTk dt dT 20Tk dt dT kdt T dT 20 cktT )20ln( kdt T dT 20
  15. 15. 1000 Ttsi ck 0)20100ln( c)80ln( 6030 Ttsi ck 30)2060ln( )80ln(30)40ln( k k 30 )80ln()40ln( 023,0k
  16. 16. )80ln(023,0)20ln( tT )80ln(023,0)2040ln( t )80ln(023,0)20ln( t )20ln()80ln(023,0 t 023,0 )20ln()80ln( t 27,60t RESPUESTA: Aprox. 60 minutos Calcule en que instante la temperatura de la sustancia será de 40° C
  17. 17. TAREA 16 GUIA 3 :EJERCICIOS A – B- C

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