Iracionalne jednacine

13,644 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
13,644
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
113
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Iracionalne jednacine

  1. 1. www.matematiranje.com IRACIONALNE JEDNAČINEPod iracionalnom jednačinom podrazumevaju se jednačine kod kojih se nepoznata nalazipod korenom.U opštem slučaju ove jednačine se ne mogu rešiti. Mi ćemo proučiti neke prostijeslučajeve.Važno: Jednačina a ( x) = b( x) je ekvivalentna sistemu a ( x) = b 2 ( x) ∧ b( x) ≥ 0Primer 1: Rešiti jednačinu: x + 7 = x +1 x + 7 = ( x + 1) 2 ∧ x +1 ≥ 0 ∧ x + 7 ≥ 0 ovo zbog korena x + 7 = x2 + 2x +1 ∧ x ≥ −1 ∧ x ≥ −7 x2 + 2x +1− x − 7 = 0 x2 + x − 6 = 0 −1± 5 x1, 2 = a =1 2 b =1 x1 = 2 c = −6 x 2 = −3Moramo proveriti da li su rešenja ‘’dobra’’ tj. da li zadovoljavaju x ≥ −1 i x ≥ −7x1 = 2 je dobrox2 = −3 nije jer x2 = −3 ≥ −1 nije tačno. Dakle, jedino rešenje je x=2Primer 2: Rešiti jednačinu: 1 + x 2 − 9 = x 1 + x 2 − 9 = x Ovde najpre ostavimo koren na jednu stranu, a sve bez korena prebacimo na drugu stranu x2 − 9 = x −1Sada postavljamo ekvivalenciju: 1
  2. 2. www.matematiranje.com x 2 − 9 = ( x − 1) 2 ∧ x −1 ≥ 0 ∧ x2 − 9 ≥ 0 x2 − 9 = x2 − 2x +1 x ≥1 x1 = 3 2x = 1+ 9 x2 = −3 2 x = 10 x=5 x ∈ (− ∞,−3] ∪ [3, ∞ )Obavezno proverimo dal rešenje zadovoljava uslove: x ≥ 1 i x ∈ (− ∞,−3] ∪ [3, ∞ )Pošto zadovoljava → x=5 je rešenjePrimer 3: Rešiti jednačinu: 12 − x x 2 − 8 = 3 12 − x x 2 − 8 = 3 /() 2 → 12 − x x 2 − 8 ≥ 0 ∧ x 2 − 8 ≥ 0 1.uslov 2.uslov 12 − x x 2 − 8 = 9 − x x 2 − 8 = 9 − 12 3 3 − x x 2 − 8 = −3 → x 2 − 8 = ⇒ ≥0⇒ x>0 x x 3.uslov x − x 2 − 8 = 3 /() 2 x 2 ( x 2 − 8) = 9 x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 → ovo je bikvadratna jednačina x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 → smena x 2 = t t 2 − 8t − 9 = 0 8 ± 10 t1, 2 = 2 t1 = 9 t 2 = −1 x 2 = 9 ∨ x 2 = −1 x 3, 4 = ± i x1 = 3, x2 = −3Kad je ovako zamršena situacija sa uslovima, kao sada, a dobili smo rešenja x1 = 3 ix2 = −3 , zamenite rešenja u početnu jednačinu, da vidite da li su ‘’dobra’’! 2
  3. 3. www.matematiranje.com 12 − x x 2 − 8 = 3 12 − 3 32 − 8 = 3 12 − 3 ⋅1 = 3 9 =3 3=3Dakle x=3 jeste rešenje x −3⇒ 12 − x x 2 − 8 = 3 12 − 3 9 − 8 = 3 12 + 3 = 3 15 = 3Natačno, dakle x=-3 nije rešenjeDakle x=3 je jedino rešenja!!!Drugi tip zadataka koji ćemo proučiti je oblika: a ( x ) ± b( x ) = c ( x )Važno:Ovde moramo najpre odrediti zajedničku oblast definisanosti funkcija a (x) i b(x)odnosno a( x) ≥ 0 i b( x) ≥ 0 , a kad dodjemo do oblika P( x) = Q( x) primenjujemo kaomalopre ekvivalenciju da P ( x) = Q( x) 2 ∧ Q( x) ≥ 0 . Opet vam savetujemo da ako se nesnalazite sa uslovima, dobijena rešenja ‘’proverite’’ u početnu jednačinu.Primer koliko su važni uslovi:Reši jednačinu: x + − x =1Ovde mora biti x ≥ 0 i − x ≥ 0 , odnosno x ≥ 0 i x ≤ 0 jedino može biti x=0, a toočigledno nije rešenje!!!Primer 1: Reši jednačinu: 2x + 8 + x + 5 = 7Pre nego počnemo sa rešavanjem: 2x + 8 ≥ 0 i x+5≥ 0 x ≥ −4 i x ≥ −5 x ∈ [− 4, ∞ ) 3
  4. 4. www.matematiranje.com 2 x + 8 + x + 5 = 7 /() 2 2 2 2x + 8 + 2 2x + 8 x + 5 + x + 5 = 72 2 x + 8 + 2 (2 x + 8)( x + 5) + x + 5 = 49 2 (2 x + 8)( x + 5) = 49 − 2 x − 8 − x − 5 2 (2 x + 8)( x + 5) = 36 − 3 x /() 2 → Pazi uslov 36 − 3x ≥ 0 4(2 x + 8)( x + 5) = (36 − 3x) 2 − 3 ≥ −36 4(2 x 2 + 10 x + 8 x + 40) = 1296 − 216 x + 9 x 2 x ≤ 12 8 x 2 + 40 x + 32 x + 160 − 1296 + 216 x − 9 x 2 = 0 − x 2 + 288 x − 1136 = 0 x 2 − 288 x + 1136 = 0 288 ± 280 x1, 2 = 2 x1 = 284 x2 = 4Da se podsetimo uslova: x ∈ [− 4, ∞ ) i x ≤ 12 , Dakle, jedino rešenje je x=4Primer 2: Reši jednačinu 7 x − 1 − 3 x − 18 = 5 uslovi su: 7 x − 1x ≥ 0 i 3 x − 18 ≥ 0 1 x≥ i x≥6 7 x ∈ [6, ∞ ) → Uslov 7 x − 1 − 3 x − 18 = 5Lakše nam je da jedan koren prebacimo pa onda da kvadriramo!!! 7 x − 1 = 5 + 3 x − 18 /() 2 7 x − 1 = 25 + 10 3 x − 18 + 3 x − 8 7 x − 1 − 25 − 3 x + 18 = 10 3 x − 18 4 x − 8 = 10 3 x − 18 / : 2 4
  5. 5. www.matematiranje.com 2 x − 4 = 5 3x − 18 /() 2 → uslov 2 x − 4 ≥ 0 (2 x − 4) 2 = 25(3x − 18) x≥2 4 x 2 − 16 x + 16 = 75 x − 450 4 x 2 − 16 x + 16 − 75 x + 450 = 0 4 x 2 − 91x + 466 = 0 91 ± 825 x1, 2 = 8 91 ± 5 33 x1, 2 = 8 91 + 5 33 x1 = 8 91 − 5 33 x2 = 8Kad se ovako desi moramo naći približne vrednosti za x1 i x2 da bi videli da lizadovoljavaju uslove: x1 ≈ 14,97 x2 ≈ 7,78Pošto su uslovi x ≥ 6 i x ≥ 2Zaključujemo da su oba rešenja dobra.Primer 3: Reši jednačinu: x + 3 + x + 8 = x + 24Rešenje: Ovde moramo postaviti: 3 uslova: x+3≥ 0 x+8 ≥ 0 x + 24 ≥ 0 , , x ≥ −3 x ≥ −8 x ≥ −24Dakle, kad upakujemo ova 3 uslova x ≥ −3 x + 3 + x + 8 = x + 24 /() 2 2 2 x + 3 + 2 x + 3 x + 8 + x + 8 =2 x + 24 x + 3 + 2 ( x + 3)( x + 8) + x + 8 = x + 24 2 ( x + 3)( x + 8) = x + 24 − x − 3 − x − 8 2 ( x + 3)( x + 8) = 13 − x → uslov: 13 − x ≥ 0 − x ≥ −13 x ≤ 13 5
  6. 6. www.matematiranje.com 4( x + 3)( x + 8) = (13 − x) 2 4( x 2 + 8 x + 3x + 24) = 169 − 26 x + x 2 4 x 2 + 32 x + 12 x + 96 − 169 + 26 x − x 2 = 0 3x 2 + 70 x − 73 = 0 − 70 ± 5776 − 70 ± 76 x1, 2 = = 6 6 x1 = 1 x2 = −24Da li su rešenja dobra?Uslovi su x ≥ −3 i x ≤ 13 , dakle x=1 je jedno rešenjePrimer 4: Rešiti jednačinu: 5+3 x + 5−3 x = 3 xRešenje: Ovde ćemo morati da uvedemo smenu:3 x =t 5 + t + 5 − t = t /() 2Uslovi: 5+t ≥ 0 i 5−t ≥ 0 t ≥ −5 − t ≥ −5 t ≤5 t ∈ [− 5,5] 5 + t + 5 − t = t /() 2 ( 5+t + 5−t )2 = t2 2 2 5 + t + (5 + t ) − (5 − t ) + 5 − t = t 2 5 + t + 2 25 − t 2 + 5 − t = t 2 2 25 − t 2 = t 2 /() 2 → uslova: t 2 − 10 ≥ 0 6
  7. 7. www.matematiranje.com 4(25 − t 2 ) = (t 2 − 10) 2 4(25 − t 2 ) = t 4 − 20t 2 + 100 100 − 4t 2 = t 4 − 20t 2 + 100 t 4 − 16t 2 = 0 t 2 (t 2 − 16) = 0 t2 = 0 ⇒ t = 0 t 2 − 16 = 0 ⇒ t = +4, t = −4za t = 4 ⇒ 3 x = 4 ⇒ x = 64 jeste rešenjeza t = −4 ⇒ 3 x − 4 ⇒ x = −64 nije rešenjeza t = 0 ⇒ x = 0 nije rešenjeDakle x = 64 je jedino rešenje!!! 7

×