Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Adicione formule

16,031 views

Published on

  • Be the first to comment

Adicione formule

  1. 1. ADICIONE FORMULEZbir uglova sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β tgα + tg β tg (α + β ) = 1 − tgα ⋅ tg β ctgα ⋅ ctg β − 1 ctg (α + β ) = ctg β + ctgαRazlika uglova sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tgα − tgβ tg (α − β ) = 1 + tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ + 1 ctg (α − β ) = ctgβ − ctgαPrimećujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeniznaci!!!Naravno, učenicima je uvek problem da zapamte formule a ‘’bezobrazni’’ profesori imne daju da ih koriste iz knjige. Naš je savet da probate da sebi stvorite ‘’asocijaciju’’ kojaće vam pomoći da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju‘’asocijaciju’’:Zapamtite dve male ‘’pesmice’’ koje odgovaraju na dve početne formule:sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ∧ cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β “sin - ko više ko-si “ “kosi-kosi manje sine-sine”Uvek prvo pišite ugao α pa βZa tg (α + β ) znamo da je: sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β tg (α + β ) = = (sad gde vidite sinus zamenite cos(α + β ) cos α cos β + sin α sin β tgα ⋅1 + 1 ⋅ tgβ tgα + tgβga sa tangens a kosinus sa jedinicom) = = 1⋅1 − tgαtgβ 1 − tgαtgβ www.matematiranje.com 1
  2. 2. cos(α + β ) cos α cos β − sin α sin βZa ctg (α + β ) = = = (zamenite sinus sa 1, a kosinus sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β ctgαctgβ − 1⋅1 ctgα ⋅ ctgβ − 1sa kotanges) = = 1 ⋅ ctgβ + ctgα ⋅1 ctgβ + tgαZnači zapamtili smo ‘’sinko više kosi’’ i ‘’kosi kosi manje sine sine’’ i izveli smoformule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!!1) Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova oda)15, 75, i b) 105 stepenia) sin15o = sin(45o − 30o ) = sin 45o ⋅ cos 30o − cos 45o sin 30o 2 3 2 1 2( 3 − 1) = ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2 4 cos15 = cos(45 − 30 ) o o o = cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o 2 3 2 1 2( 3 + 1) = ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 4 tg 45o − tg 30o tg15o = tg (45o − 30o ) = 1 + tg 45o tg 30o 3 3− 3 1− = 3 = 3 = 3− 3 3 3+ 3 3+ 3 1+ 3 3 3− 3 = racionališemo sa 3− 3 = (3 − 3 ) 2 = = = ( 9 − 6 3 + 3 12 − 6 3 6 2 − 3 ) = 2− 3 32 − 3 2 9−3 6 6 sin 15oNaravno tg15o smo mogli izračunati i lakše tg15o = … cos15o 1 1 2+ 3 2+ 3 ctg15o = = ⋅ = = 2+ 3 tg15 o 2− 3 2+ 3 4−3 www.matematiranje.com 2
  3. 3. sin 75o = sin(45o + 30o ) = sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o 2 3 2 1 = ⋅ + ⋅ 2 2 2 2 = 2 ( 3 +1 ) 4 cos 75 = cos(45o + 30o ) o = cos 45o cos 30o − sin 45o sin 30o 2 3 2 1 = ⋅ − ⋅ 2 2 2 2 = 2 ( 3 −1 ) 4 2 3 +1 ( ) sin 75o 4 3 +1 tg 75o = = = = (moramo opet racionalizaciju) 2 3 −1 cos 75o ( 3 −1 ) 4 = 3 +1 3 +1 3 + 2 3 +1 4 + 2 3 2 2 + 3 ⋅ = = = ( = 2+ 3 ) 3 −1 3 + 1 3 −1 2 2 1 1 2− 3 ctg 75o = = ⋅ = 2− 3 tg 75 2+ 3 2− 3 o ⎛π ⎞b) sin 105o = sin(90o + 15o ) = sin ⎜ + 15o ⎟ = (imamo formulu) = cos15o = ⎝2 ⎠ 2 ( 3 + 1)(a ovo smo već našli) = 4 (Naravno, isto bismo dobili i preko formule sin 105o = sin 60o + 45o) ⎛π ⎞ 2( 3 − 1) cos105o = cos ⎜ + 15o ⎟ = − sin15o = − ⎝2 ⎠ 4 ⎛π ⎞ tg105o = tg ⎜ + 15o ⎟ = −ctg15o = −( 2 + 3) ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ctg105o = ctg ⎜ + 15o ⎟ = −tg15o = −( 2 − 3) ⎝2 ⎠opet ponavljamo da može I ideja da je tg1050 = tg (60o + 45o ) …itd. www.matematiranje.com 3
  4. 4. 12)a) Proveri jednakost sin 20 o cos10 o + cos 20 o sin 10 o = 2 sin 20 cos10 + cos 20 sin 10 = (ovo je: sin α cos β + cos α sin β = sin(α + β ) ) o o o o 1 = sin(20o + 10o ) = sin 30o = 2 3b) cos 47 o cos17 o + sin 47 o sin 17 o = 2 cos 47 cos17 + sin 47 sin 17 = (ovo je: cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β ) ) o o o o 3 = cos(47 o − 17 o ) = cos 30o = 2 3 5 ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞3) Izračunati sin(α + β ) , ako je sin α = + , cos β = − i α ∈ ⎜ , π ⎟, ⎜ π , ⎟ 5 13 ⎝2 ⎠⎝ 2 ⎠ sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin βZnači ‘’fale’’ nam cos α i sin β . Njih ćemo naći iz osnovne indentičnosti: sin 2 α + cos 2 α = 1 sin 2 β + cos 2 β = 1 cos 2 α = 1 − sin 2 α sin 2 β = 1 − cos 2 β 2 2 ⎛3⎞ ⎛ 5⎞ cos α = 1 − ⎜ ⎟ 2 sin β = 1 − ⎜ − ⎟ 2 ⎝5⎠ ⎝ 13 ⎠ 9 169 − 25 cos 2 α = 1 − sin 2 β = 25 169 25 − 9 144 cos 2 α = sin 2 β = 25 169 16 144 cos 2 α = sin β = ± 25 169 16 12 cos α = ± sin β = ± 25 13 4 ovde su sinusi negativni cos α = ± Dakle: 5 12 sin β = − 13Dal da uzmemo + ili – to namgovori lokacija ugla ⎛π ⎞ α ∈ ⎜ ,π ⎟ ⎝2 ⎠ 4Ovde su kosinusi negativni! Znači da je cos α = − 5 4
  5. 5. Vratimo se da izračunamo sin (α + β ) 3 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 12 ⎞ 15 48 33 sin (α + β ) = ⋅ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ = − + = 5 ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 13 ⎠ 65 65 65 ⎛π ⎞ 12 ⎛π ⎞4) Izračunati tg ⎜ + α ⎟ za koje je sin α = i α ∈ ⎜ ,π ⎟ ⎝4 ⎠ 13 ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ + tgα ⎛π ⎞ ⎝4⎠ 1 + tgα tg ⎜ + α ⎟ = = ⎝4 ⎠ 1 − tg ⎛ π ⎞ ⋅ tgα 1 − tgα ⎜ ⎟ ⎝4⎠ sin αPošto je tgα = , znači moramo naći cos α cos α sin 2 α + cos 2 α = 1 12 2 ⎛ 12 ⎞ tgα = 13 ⎜ ⎟ + cos α = 1 5 2 ⎝ 13 ⎠ − 13 144 12 cos 2 α = 1 − tgα = − 169 5 169 − 144 cos 2 α = Vratimo se u zadatak: 169 12 25 1− cos 2 α = ⎛ π ⎞ 5 tg ⎜ + α ⎟ = 169 ⎝4 ⎠ 1+ 12 25 5 cos α = ± 169 −7 5 ⎛π ⎞ 5 7 cos α = ± tg ⎜ + α ⎟ = =− 13 ⎝4 ⎠ 17 17 ⎛π ⎞ 5Da li uzeti + ili – ? α ∈ ⎜ , π ⎟ ⎝2 ⎠Ovde su kosinusi negativni!!!Dakle 5 cos α = − 13 www.matematiranje.com 5
  6. 6. 1 1 π5) Ako su α i β oštri uglovi i ako je tgα = i tgβ = pokazati da je α + β = 2 3 4Ispitajmo koliko je tg (α + β ) = ? 1 1 5 + tgα + tgβ tg (α + β ) = = 2 3 = 6 =1 1 − tgαtgβ 1 − 1 ⋅ 1 5 2 3 6Znači: tg (α + β ) = 1 , ovo je moguće u 2 situacije: α + β = 45o ili α + β = 225 o pošto suα i β oštri uglovi, zaključujemo: π α + β = 45o tj. α + β = 46) Dokazati da je (2 + 3tg 2 y )tg ( x − y ) = tgy , ako je 2tgx − 3tgy = 0 (2 + 3tg 2 y )tg ( x − y ) = tgx − tgy 3tgy (2 + 3tg 2 y ) ⋅ = (pošto je 2tgx − 3tgy = 0 zaključujemo tgx = ) 1 + tgxtgy 2 3tgy − tgy (2 + 3tg y ) ⋅ 2 2 = 3tgy 1+ ⋅ tgy 2 3tgy − 2tg (2 + 3tg 2 y ) ⋅ 2 = 2 + 3tg 2 y 2 3tgy − 2tgy (2 + 3tg 2 y ) ⋅ = tgy 2 + 3tg 2 yOvim je dokaz završen.7) Dokazati identitet:sin(α + β ) tgα + tg β =cos(α − β ) 1 + tgα tg β sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β = = (sada ćemo izvući: cos α cos β i gore i cos(α − β ) cos α cos β + sin α sin βdole) www.matematiranje.com 6
  7. 7. ⎛ sin α sin β ⎞ cos α cos β ⎜ + ⎟ = ⎝ cos α cos β ⎠ = tgα + tg β ⎛ sin α sin β ⎞ 1 + tgα ⋅ tg β cos α cos β ⎜1 + ⋅ ⎟ ⎝ cos α cos β ⎠ 2 +1 1 ⎛ π⎞ π8) Ako je tgα = , tgβ = i α , β ∈ ⎜ 0, ⎟ , dokazati da je α − β = 2 −1 2 ⎝ 2⎠ 4Sredimo prvo izraze tgα i tgβ 2 +1 tgα = (izvršimo racionalizaciju) 2 −1 ( ) 2 2 +1 2 +1 2 +1 2 + 2 2 +1 tgα = ⋅ = = 2 −1 2 +1 2 2 − 12 2 −1 tgα = 3 + 2 2 1 1 2 2 tg β = = ⋅ = 2 2 2 2 2 tg β = 2 2 3+ 2 2 − tgα − tg β 2 tg (α − β ) = = = 2 je zajednički i gore i dole= 1 + tgα ⋅ tg β 1+ 2 2 3+ 2 2 ( ) 6+4 2 − 2 6+3 2 = 2 = 2 =1 2 3 2 4 6+3 2 + + 2 2 2 2Dakle tg (α − β ) = 1 , to nam govori da je α − β = 45o ili α − β = 225o . Pošto u zadatku ⎛ π⎞ πkaže da je α , β ∈ ⎜ 0, ⎟ zaključujemo α − β = 45o tj. α − β = što je i trebalo ⎝ 2⎠ 4dokazati! www.matematiranje.com 7

×