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Otimiza¸˜o de equa¸˜es de            ca           co        recorrˆncia lineares              e          Jedson B. Guedesh...
Neste texto ser´ apresentada uma maneira de se otimizar uma               aequa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes con...
Defini¸˜o formal     ca   Seja             un = a1 un−1 + · · · + ak un−k + f (n),    n ≥ k,   onde                        ...
Otimiza¸˜o - Exemplo       ca   Uma t´cnica bem util e bastante utilizada ´ a de transformar uma         e           ´    ...
Otimiza¸˜o - Exemplo       ca   Assim, vemos que se                          un = 2un−1 + 3n ,   ent˜o      a             ...
Otimiza¸˜o - Exemplo       ca   E se multiplicarmos a equa¸˜o de recorrˆncia dada por trˆs,                              c...
Otimiza¸˜o - Exemplo       ca   A equa¸˜o dada n˜o foi multiplicada por trˆs por acaso.          ca        a              ...
Exemplo  A rela¸˜o de recorrˆncia (3) ´ linear homogˆnea e equivalente        ca           e         e             e  `que...
Exemplo         o            ıstico de un+1 = 5un − 6un−1 ´  O polinˆmio caracter´                            e           ...
Exemplo  Rescrevendo o polinˆmio caracter´                     o            ıstico, encontramos                      p(x) ...
Exemplo                p           n  Usando un =   j=1 Qj (n)rj ,   achamos                     un = Q1 (n) 2n + Q2 (n) 3...
Exemplo  Dessa forma, podemos montar o seguinte sistema de equa¸˜es:                                                      ...
Exemplo  Reescrevendo o un em fun¸˜o n˜o mais de Qi (n), mas em fun¸˜o                          ca a                      ...
Pronto!   Reescrevendo o un em fun¸˜o n˜o mais de Qi (n), mas em fun¸˜o                           ca a                    ...
Pronto!   Usando racioc´ an´logo, ´ poss´ reslover mais uma gama de                 ınio a     e    ıvel   rela¸˜es de rec...
Exemplo 2  Seja            un = 2un−1 + n + 2n ,   n≥1            u0 = 0
Exemplo 2  Seja                   un = 2un−1 + n + 2n ,   n≥1                   u0 = 0  Multiplicando por dois a equa¸˜o d...
Exemplo 2  Ainda da equa¸˜o dada, temos que               ca                           un = 2un−1 + n + 2n                ...
Exemplo 2  Como ainda h´ termo deixando a equa¸˜o de recorrˆncia n˜o              a                      ca           e   ...
Exemplo 2      (11 - 10):            un+3 − un+2 = 5un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1   (12)                   un+3 = 6un+2 − 1...
Exemplo 2  Agora, sim, encontramos uma equa¸˜o de recorrˆncia linear a                                   ca          e  co...
Exemplo 2  Primeiramente, achamos seu polinˆmio caracter´                                  o            ıstico. O qual ´  ...
Exemplo 2  Podemos - e devemos - reescrever tal polinˆmio na forma                                                  o  P(x...
Exemplo 2  Seguindo com o processo, encontraremos uma rela¸˜o de                                                    ca  re...
Um outro caminho  Esta rela¸˜o deu bastante trabalho, basicamente devido `s           ca                                  ...
O polinˆmio caracter´       o            ıstico pelo produto de produt´rios!                                              ...
O polinˆmio caracter´       o            ıstico pelo produto de produt´rios!                                              ...
O polinˆmio caracter´       o            ıstico pelo produto de produt´rios!                                              ...
O polinˆmio caracter´       o            ıstico pelo produto de produt´rios!                                              ...
O polinˆmio caracter´       o            ıstico pelo produto de produt´rios!                                              ...
O polinˆmio caracter´       o            ıstico pelo produto de produt´rios!                                              ...
Bibliografia e referˆncias                   e      Arquivo pessoal do Jedson: Anota¸˜es das aulas do prof.                ...
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Equações de recorrência - II (Otimização)

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Otimização (resolução) de Equações de recorrência lineares a coeficientes constantes e não-homogêneas: link.

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Equações de recorrência - II (Otimização)

  1. 1. Otimiza¸˜o de equa¸˜es de ca co recorrˆncia lineares e Jedson B. Guedeshttp://jedsonguedes.wordpress.com
  2. 2. Neste texto ser´ apresentada uma maneira de se otimizar uma aequa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes constantes ca en˜o-homogˆneas. a eEis alguns exemplos: cn = 7cn−1 + 2n un = 3un−2 + 5n−1
  3. 3. Defini¸˜o formal ca Seja un = a1 un−1 + · · · + ak un−k + f (n), n ≥ k, onde l f (n) = bin Pi (n), i=1 com Pi (n) sendo um polinˆmio em n de grau bi . o
  4. 4. Otimiza¸˜o - Exemplo ca Uma t´cnica bem util e bastante utilizada ´ a de transformar uma e ´ e equa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes constantes ca e n˜o-homogˆnea em uma linear a coeficientes constantes a e homogˆnea. e Um exemplo do uso de tal t´cnica ´ mostrado abaixo. e e Nos s˜o dadas as seguintes informa¸˜es: a co un = 2un−1 + 3n , n≥1 u0 = 1
  5. 5. Otimiza¸˜o - Exemplo ca Assim, vemos que se un = 2un−1 + 3n , ent˜o a un+1 = 2un + 3n+1 . (1)
  6. 6. Otimiza¸˜o - Exemplo ca E se multiplicarmos a equa¸˜o de recorrˆncia dada por trˆs, ca e e encontramos 3 · un = 3 · 2un−1 + 3 · 3n 3un = 6un−1 + 3n+1 (2)
  7. 7. Otimiza¸˜o - Exemplo ca A equa¸˜o dada n˜o foi multiplicada por trˆs por acaso. ca a e Repare que agora o termo que torna a equa¸˜o dada ca n˜o-homogˆnea, que neste caso ´ o 3 a e e n+1 , est´ presente em ambas a as equa¸˜es. co Com isso podemos subtrair (2) de (1), para eliminar o termo que as deixa n˜o-homogˆneas. a e un+1 − 3un = 2un − 6un−1 un+1 = 5un − 6un−1 (3)
  8. 8. Exemplo A rela¸˜o de recorrˆncia (3) ´ linear homogˆnea e equivalente ca e e e `quela dada que ´ n˜o-homogˆnea. a e a e Portanto, basta utilizar o mesmo processo visto na nota de aula Equa¸˜es de recorrˆncia, I : achar o polinˆmio caracter´ co e o ıstico, usar o somat´rio dado, montar o sistema de equa¸˜es e substituir os o co valores.
  9. 9. Exemplo o ıstico de un+1 = 5un − 6un−1 ´ O polinˆmio caracter´ e p(x) = x 2 − 5x + 6. ızes: {2,3}. Cada raiz tem multiplicidade igual a 1. Suas ra´
  10. 10. Exemplo Rescrevendo o polinˆmio caracter´ o ıstico, encontramos p(x) = (x − 2)1 (x − 3)1 .
  11. 11. Exemplo p n Usando un = j=1 Qj (n)rj , achamos un = Q1 (n) 2n + Q2 (n) 3n λ0 λ1
  12. 12. Exemplo Dessa forma, podemos montar o seguinte sistema de equa¸˜es: co u0 = λ0 20 + λ1 30 = 1 u1 = λ0 21 + λ1 31 = 5 ⇓ λ0 + λ1 = 1 2λ0 + 3λ1 = 5 Com isso, achamos que λ0 = −2 e λ1 = 3.
  13. 13. Exemplo Reescrevendo o un em fun¸˜o n˜o mais de Qi (n), mas em fun¸˜o ca a ca de λi , temos un = λ0 2n + λ1 3n Substituindo os valores de λi , un = −2 · 2n + 3 · 3n ⇓ un = −2n+1 + 3n+1
  14. 14. Pronto! Reescrevendo o un em fun¸˜o n˜o mais de Qi (n), mas em fun¸˜o ca a ca de λi , temos un = λ0 2n + λ1 3n Substituindo os valores de λi , un = −2 · 2n + 3 · 3n ⇓ un = −2n+1 + 3n+1 S´ isso. o
  15. 15. Pronto! Usando racioc´ an´logo, ´ poss´ reslover mais uma gama de ınio a e ıvel rela¸˜es de recorrˆncia. co e A dificuldade deste m´todo est´ em reparar quais opera¸˜es fazer e a co para se conseguir eliminar a parte n˜o-homogˆnea, o que pode n˜o a e a ser t˜o ´bvio. a o Outro problema ´ que pode ser preciso repetir os passos iniciais e v´rias e v´rias vezes, como veremos abaixo. a a
  16. 16. Exemplo 2 Seja un = 2un−1 + n + 2n , n≥1 u0 = 0
  17. 17. Exemplo 2 Seja un = 2un−1 + n + 2n , n≥1 u0 = 0 Multiplicando por dois a equa¸˜o dada: ca 2un = 4un−1 + 2n + 2n+1 (4)
  18. 18. Exemplo 2 Ainda da equa¸˜o dada, temos que ca un = 2un−1 + n + 2n ⇓ un+1 = 2un + (n + 1) + 2n+1 (5) Subtraindo (4) de (5): (5 − 4) : un+1 − 2un = 2un − 4un−1 + (n + 1) − 2n (6) un+1 = 4un − 4un−1 − n + 1 (7) un+2 = 4un+1 − 4un − (n + 1) + 1 (8)
  19. 19. Exemplo 2 Como ainda h´ termo deixando a equa¸˜o de recorrˆncia n˜o a ca e a homogˆnea, continuamos. e (8 − 7) : un+2 − un+1 = 4un+1 − 8un + 4un−1 − 1 (9) un+2 = 5un+1 − 8un + 4un−1 − 1 (10) un+3 = 5un+2 − 8un+1 + 4un − 1 (11)
  20. 20. Exemplo 2 (11 - 10): un+3 − un+2 = 5un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 (12) un+3 = 6un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 (13)
  21. 21. Exemplo 2 Agora, sim, encontramos uma equa¸˜o de recorrˆncia linear a ca e coeficientes constantes homogˆnea, a equa¸˜o (13): e ca un+3 = 6un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 . Com isso, a otimizamos da forma j´ conhecida. a
  22. 22. Exemplo 2 Primeiramente, achamos seu polinˆmio caracter´ o ıstico. O qual ´ e definido por P(x) = x 4 − 6x 3 + 13x 2 − 12x + 4
  23. 23. Exemplo 2 Podemos - e devemos - reescrever tal polinˆmio na forma o P(x) = (x − r1 ) m1 (x − r )m2 . . . (x − r )mp , p ≤ k. Assim, o 2 p supracitado polinˆmio caracter´ o ıstico fica: P(x) = (x − 2)2 (x − 1)2
  24. 24. Exemplo 2 Seguindo com o processo, encontraremos uma rela¸˜o de ca recorrˆncia que ´ equivalente ` primeira, mas dada em fun¸˜o de n e e a ca apenas, que ´e un = −2 − n + 2n+1 + n2n .
  25. 25. Um outro caminho Esta rela¸˜o deu bastante trabalho, basicamente devido `s ca a manobras que foram necess´rias para se conseguir uma rela¸˜o de a ca recorrˆncia homogˆnea equivalente ` primeira, pois ap´s achar o e e a o polinˆmio caracter´ o ıstico, o processo foi o j´ conhecido. a Voltemos, pois, ao passo em que estamos a achar o polinˆmio o caracter´ ıstico. Repare que P(x) = (x − 2)2 (x − 1)2 = (x − 2)1 (x − 1)1+1 (x − 2)0+1 .
  26. 26. O polinˆmio caracter´ o ıstico pelo produto de produt´rios! o Os expoentes n˜o foram postos assim por acaso, mas para facilitar a a visualiza¸˜o e identifica¸˜o. ca ca P(x) = (x − 2)1 (x − 1)1+1 (x − 2)0+1 (H) (N−H) (H) significa a parte homogˆnea, ao passo que (N-H) representa a e parte n˜o-homogˆnea. a e
  27. 27. O polinˆmio caracter´ o ıstico pelo produto de produt´rios! o H´ um teorema que diz que o polinˆmio caracter´ a o ıstico pode ser escrito como um produto de produt´rios, que ´ definido por: o e P(x) = (x − ri )mi · (x − bi )grau Pi (n)+1 ri ´ a raiz homogˆnea e bi ´ a parte n˜o-homogˆnea. e e e a e
  28. 28. O polinˆmio caracter´ o ıstico pelo produto de produt´rios! o ´ E gra¸as a este teorema que podemos reescrever P(x) como c P(x) = (x − 2)1 (x − 1)1+1 (x − 2)0+1 E, de fato, podemos verificar que as ra´ de ızes P(x) = x 4 − 6x 3 + 13x 2 − 12x + 4 s˜o {2, 1}. a Para que se apreenda bem o uso deste produto de produt´rio, o outro exemplo ´ dado a seguir. e Considere un = 5un−1 − 6un−2 + n2 2n .
  29. 29. O polinˆmio caracter´ o ıstico pelo produto de produt´rios! oExemplo A parte homogˆnea ´ 5un−1 − 6un−2 e suas ra´ s˜o {2, 3}, uma e e ızes a vez que o polinˆmio caracter´ o ıstico deste ´ x 2 − 5x + 6, e cada raiz e possui multiplicidade igual a 1. Assim, o produt´rio da parte homogˆnea ser´ o e a (x − ri )mi = (x − 2)1 (x − 3)1 .
  30. 30. O polinˆmio caracter´ o ıstico pelo produto de produt´rios! oExemplo A parte n˜o-homogˆna ´ n2 2n . a e e Em 2n , temos que 2 ´ raiz de multiplicidade 1. e Teremos, ent˜o, expoente igual a 3, que surge da multiplicidade de a n2 , que ´ 2, adicionado de 1. e Desta forma, o produt´rio da parte n˜o-homogˆnea ser´ o a e a (x − bi )grau Pi (n)+1 = (x − 2)3 .
  31. 31. O polinˆmio caracter´ o ıstico pelo produto de produt´rios! oExemplo o ıstico de un = 5un−1 − 6un−2 + n2 2n ´, O polinˆmio caracter´ e portanto, P(x) = (x − 2)(x − 3) · (x − 2)3 P(x) = (x − 2)4 (x − 3).
  32. 32. Bibliografia e referˆncias e Arquivo pessoal do Jedson: Anota¸˜es das aulas do prof. co Rafael, UFC - DEMA, Matem´tica Finita (2011) a Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik: Matem´tica concreta, Reading, Massachusetts: a Addison-Wesley (1994)

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