Electromagnetismo Luis Francisco Garcia Russi-William Javier Trigos

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Electromagnetismo Luis Francisco Garcia Russi-William Javier Trigos

  1. 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 ELECTROMAGNETISMO LUIS F. GARCIA R. & WILLIAM J TRIGOS G 2Ed
  2. 2. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 ELECTROMAGNETISMO LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI & WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA BUCARAMANGA UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER DEPARTAMENTO DE FISICA 28 de septiembre de 2014
  3. 3. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1  A mis padres: BLANCA Y EFRAIN, destellos divinos, Manantiales de amor.  Luis F. García.
  4. 4. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 AGRADECIMIENTO El autor desea expresar su sincero agradecimiento a la Señorita LUZ MARINA RAMOS HORTUA, Tecnóloga en Arte y Decoración, artífice del diseño de la portada, de la transcripción a máquina del manuscrito, de la elaboración de las gráficas, y en una palabra, la persona que facilitó con su ayuda, paciencia y estímulo, la realización de esta obra. A la Dra. GRACIELA CHALELA, Decana de la Facultad de Ciencias, por haber incentivado con sus acertadas insinuaciones, la producción intelectual. Al Dr. AUGUSTO LOPEZ Z., Director del Departamento de Física, por su ejemplar dinamismo y laboriosidad, que constituyeron el estímulo determinante para la feliz terminación de este texto. A los colegas, por sus valiosas sugerencias. A los estudiantes, por haber conducido a muchas mejoras en la presentación de los temas. A los FISICOS DEL MUNDO, por haber plasmado su sabiduría, su creatividad y su vigorosa disciplina intelectual, en los magníficos textos que constituyeron la fuente bibliográfica. AUTOR LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI REVISOR WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA
  5. 5. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 ÍNDICE ANALÍTICO Tabla de contenido ELECTROMAGNETISMO ...................................................................................................................................................... 2 AGRADECIMIENTO ........................................................................................................................................................... 4 ÍNDICE ANALÍTICO ........................................................................................................................................................... 5 INTRODUCCION ............................................................................................................................................................. 12 CAPÍTULO 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ............................................................................................................. 2 I. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ......................................................................................................................... 3 1.1. ESBOZO HISTORICO: ................................................................................................................................................. 3 1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA: ................................................................................................................................. 4 1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA: .................................................................................................................................... 4 1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON ............................................................................ 4 1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: ........................................................................................................................ 4 1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA: ....................................................................................................................... 5 1.3.4. CLASES DE CARGA: .......................................................................................................................................... 5 1.4. UNIDADES DE CARGA: .............................................................................................................................................. 6 1.5. LEY DE COULOMB: .................................................................................................................................................... 6 1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO: ....................................................................................... 7 1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL QJ. .......................... 8 1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA DQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL. ................................................................................................ 9 1.9. CAMPO ELÈCTRICO. .................................................................................................................................................. 9 1.10. LINEAS DE FUERZA: ................................................................................................................................................. 10 1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: ........................................................................................... 11 1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES: .............................................................. 12 1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: ............................................................ 12 1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS: ............................................................................................. 12 1.15. FLUJO ELÉCTRICO: ................................................................................................................................................... 13 1.16. LEY DE GAUSS: ........................................................................................................................................................ 15 1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ...................................................................................... 18 1.18. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 19 1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS: .................................................................................................... 19 1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS: ................................................................................ 25 1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................................ 47 1.18.4. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (ley de gauss) ......................................................................................... 62 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO ................................................................................................................................... 82 II. POTENCIAL ELÉCTRICO .............................................................................................................................................. 83 2.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................................... 83
  6. 6. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL ..................................................................................................................................... 83 2.3. POTENCIAL EN UN PUNTO ...................................................................................................................................... 84 2.4. POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL Q................................ 84 2.5. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES (SISTEMA DISDRETO) ............................................................................................................................................................................ 85 2.6. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA .................................................. 86 2.7. EJEMPLOS SOBRE CÁLCULO DE POTENCIALES ........................................................................................................ 86 2.7.1. DETERMINAR EL POTENCIAL DE UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DE UNA CARGA PUNTUAL Q. ..................................................................................................................................................................... 86 2.7.2. DETERMINAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA X, DENTRO DE DOS PLACAS CONDUCTORAS DE DENSIDADES CARGA IGUALES Y OPUESTAS , SI SU SEPARACIÓN D ES MUCHO MENOR QUE SUS DIMENSIONES GLOBALES. EL CAMPO ES UNIFORME, SIENDO , Y . VER FIG. (2.7.2) ......................................................................................................................... 87 2.7.3. HALLAR EL POTENCIAL EN EL PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DEL ANILLO CARGADO, DE CARGA Q Y DENSIDAD UNIFORME DE CARGA Λ = A, INDICANDO EN LA FIG. (2.7.3) ........................................ 87 2.7.4. HALLAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DE UN DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE DE RADIO A DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA UNIFORME , COMO SE MUESTRA EN LA FIG. (2.7.4) ............................................................................................................................ 88 2.7.5. HALLAR LA DIFERENCIA DE POTENCIAL EN LAS PROXIMIDADES DE UNA LÍNEA DE CARGA DE DENSIDAD UNIFORME Λ. ................................................................................................................................................ 89 2.8. CÁLCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELECTRÓNICO ............................................................................. 89 2.9. SIGNIFICADO FÍSICO DE GRADIENTE ....................................................................................................................... 91 2.10. SUPERFICIES EQUI-POTENCIALES ............................................................................................................................ 91 2.11. POTENCIAL DE UN CONDUCTOR ............................................................................................................................. 92 2.12. DIPOLO ELECTRICO ................................................................................................................................................. 92 2.13. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA .................................................................................................................. 93 2.13.1. ENERGÍA POTENCIAL DE UN DÍPOLO EN UN CAMPO ELÉCRICO UNIFORME. ............................................... 94 2.14. ENERGIA EN FUNCIÓN DEL CAMPO ........................................................................................................................ 95 2.15. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 97 2.15.1. PROBLEMAS DE POTENCIAL ELÉCTRICO: ...................................................................................................... 97 2.15.2. PROBLEMAS SOBRE TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA: ............................................................. 111 2.15.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 116 2.16. MODELO DE EVALUACIONES: ............................................................................................................................... 136 2.16.1. EVALUACIÓN 1 (1 P): ................................................................................................................................... 136 2.16.2. EVALUACIÓN 2 (1 P): ................................................................................................................................... 139 2.16.3. EVALUACIÓN 3 (1P): .................................................................................................................................... 142 2.16.4. EVALUACIÓN 4 (1 P): ................................................................................................................................... 146 CAPÍTULO 3. CAPACITANCIA ............................................................................................................................................ 152 III. CAPACITANCIA ........................................................................................................................................................ 153 3.1 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................................... 153 3.2 CONDUCTOR AISLADO Y DOS CONDUCTORES CERCANOS .................................................................................... 153 3.3 CONDENSADOR (O CAPACITADOR) ....................................................................................................................... 154 3.4 CALCULO DE CAPACIDADES .................................................................................................................................. 154 3.4.1 CAPACITADOR DE LÁMINAS PLANAS PARALELAS: ................................................................................................ 155
  7. 7. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 3.4.2 CAPACITADOR CILINDRICO .................................................................................................................................... 156 3.4.3 CAPACITADOR ESFERICO ....................................................................................................................................... 157 3.5 COMBINACIÓN DE CONDENSADORES .................................................................................................................. 158 3.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ..................................................................................................................................... 158 3.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ............................................................................................................................................. 159 3.6 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR .................................................................................................. 160 3.7 AUTOENERGIA DE CARGAS ELÉCTRICAS ............................................................................................................... 162 3.8 FUERZA ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR ............................................................................................. 162 3.9 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES.................................................................................... 163 3.10 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 165 3.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................................ 172 CAPÍTULO 4. DIELÉCTRICOS .............................................................................................................................................. 193 IV. DIELÉCTRICOS ......................................................................................................................................................... 194 4.1. DESCRIPCIÓN ........................................................................................................................................................ 194 4.2. POLARIZACIÓN DE LA MATERIA ............................................................................................................................ 196 4.3. LEY DE GAUSS ....................................................................................................................................................... 199 4.4. TRES VECTORES ELÉCTRICOS ................................................................................................................................. 202 4.5. CONDICIONES DE FRONTERA PARA EN LA SUPERFICIE LIMITE ENTRE DOS DIELÉCTRICOS ......................... 204 4.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS SITUADAS EN UN MEDIO DIELÉCTRICO ................................................................... 206 4.7. CONDENSADORES CON MATERIALES DIELÉCTRICOS ............................................................................................ 207 4.8. ENERGÍA ALMACENADA EN UN DIELÉCTRICO ....................................................................................................... 208 4.9. FUERZA SOBRE UNA LÁMINA DIELÉCTRICA INTRODUCIDA EN UN CONDENSADOR ............................................. 209 4.10. VARIACIONES DE ENERGÍA POR INTROMISION DE UN DIELÉCTRICO .................................................................... 210 4.11. OBJETIVOS, DESCRPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES ..................................................................................... 214 4.12. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 216 4.13. MODELO DE EVALUACIONES ................................................................................................................................ 236 4.13.1. MODELO DE EVALUACIÓN No 1 (2 P) ......................................................................................................... 236 4.13.2. MODELO DE EVALUACIÓN No 2 (2 P) ......................................................................................................... 240 4.13.2 MODELO DE EVALUCIÓN No 3 (2 P) ............................................................................................................ 244 4.13.3 MODELO DE EVALUACIÓN No 4 (2 P) ......................................................................................................... 251 CAPÍTULO 5. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA ............................................................... 256 V. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA .......................................................................... 257 5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 257 5.2 CORRIENTE ELÉCTRICA:......................................................................................................................................... 257 5.2.1 CORRIENTE ELECTRÓNICA Y CORRIENTE CONVENCIONAL:......................................................................... 257 5.3 DENSIDAD DE CORRIENTE ..................................................................................................................................... 258 5.4 LEY DE OHM .......................................................................................................................................................... 258 5.5 COMBINACIÓN DE RESISTENCIAS: ........................................................................................................................ 265 5.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ........................................................................................................................... 265 5.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ................................................................................................................................... 266 5.5.3 TRANSFORMACIÓN Δ – Y y Y – Δ: ............................................................................................................. 267 5.5.4 PUENTE DE WHEATSTONE .......................................................................................................................... 268 5.6 LEY DE JOULE ........................................................................................................................................................ 269
  8. 8. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 5.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIA INTERNA .............................................................................................. 269 5.8 LEYES DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................................ 270 5.8.1 LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE (LKV): ...................................................................................................... 270 5.8.2 LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: ........................................................................................................ 271 5.8.3 SOLUCIÓN DE CIRCUITOS: ........................................................................................................................... 271 5.9 CIRCUITOS RC ........................................................................................................................................................ 274 5.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 277 5.11 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 279 5.11.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 288 5.11.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Circuitos de Corriente Continua) ......................................................... 297 5.12 MODELO DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................... 315 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO ................................................................................................................................... 323 VI. CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................................................. 324 6.1 DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO ............................................................................................................................ 324 6.2 LEY DE BIOT Y SAVART ........................................................................................................................................... 325 6.3 FUERZA ENTRE DOS ELEMENTOS DIFERENCIALES DE CORRIENTE ........................................................................ 327 6.4 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA POR LA QUE CIRCULA UNA CORRIENTTE I, SITUADA EN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME ..................................................................................................................................................... 327 6.5 RESUMEN DIPOLAR .............................................................................................................................................. 330 6.6 FLUJO MAGNETICO ............................................................................................................................................... 330 6.7 LEY DE AMPERE ..................................................................................................................................................... 331 6.7.1 PRUEBA DE LA LEY DE AMPERE................................................................................................................... 334 6.8 FUERZA SOBRE CARGA AISLADAS EN MOVIMIENTO ............................................................................................. 335 6.9 FUERZA DE LORENTZ ............................................................................................................................................. 339 6.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINOPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 340 6.11 PROBLEMAS DE CAMPO MAGNÉTICO .................................................................................................................. 342 6.11.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 366 CAPÍTULO 7: FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA ........................................................................................................... 389 VII. FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................................................. 390 7.1 FUERZA ELECTROMOTRIZ DEBIDA AL MOVIMIENTO ............................................................................................ 390 7.2 LEY DE INDUCCION DE FARADAY .......................................................................................................................... 391 7.3 LEY DE LENZ .......................................................................................................................................................... 393 7.4 EJEMPLOS ............................................................................................................................................................. 395 7.4.1 GENERADOR AMBIENTAL ........................................................................................................................... 395 7.4.2 MOTOR ELECTRICO ..................................................................................................................................... 396 7.4.3 DISCO FARADAY: ......................................................................................................................................... 397 7.4.4 VARILLA QUE ROTA EN UN CAMPO ....................................................................................................... 398 7.4.5 CAMPO ELECTRICO INDUCIDO POR UN INCREMENTO DE ..................................................................... 399 7.4.6 TRABAJO MECANICO REALIZADO PARA MOVER UNA BOBINA ................................................................... 399 7.5 INDUCTANCIA MUTUA Y AUTOINDUCTANCIA ...................................................................................................... 401 7.5.1 INDUCTANCIA MUTUA ................................................................................................................................ 401 7.5.2 AUTOINDUCCION ........................................................................................................................................ 404 7.6 CONVINACIÓN DE INDUCTANCIAS ....................................................................................................................... 406
  9. 9. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 7.6.1 EN SERIE SIN INTERACCIÓN ......................................................................................................................... 406 7.6.2 EN SERIE CON INTERACCIÓN ....................................................................................................................... 406 7.6.3 EN PARALELO SIN INTERACCIÓN ................................................................................................................. 407 7.6.4 INDUCTANCIA MUTUA EN CIRCUITOS ACOPLADOS .................................................................................... 408 7.7 CIRCUITOS RL ........................................................................................................................................................ 410 7.8 ENERGIA ALMACENADA Y DENSIDAD DE ENERGIA MAGNETICA .......................................................................... 412 7.9 OBJETIVOS DESCIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ....................................................................................... 414 7.10 PROBLEMAS SOBRE FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................... 416 7.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 421 7.10.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Inductancia) ........................................................................................ 424 7.10.3 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Inductancia) ........................................................................................ 427 7.11 MODELOS DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................. 435 7.11.1 MODELO DE EVALUACION No 1 (3P) ......................................................................................................... 435 7.11.2 MODELO DE EVALUACION No 2 (3P) .......................................................................................................... 440 7.11.3 MODELO DE EVALUACION # 3 (3P) ............................................................................................................. 443 CAPÍTULO 8: PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA .............................................................................................. 447 VIII. PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA ..................................................................................................... 448 8.1 MAGNETIZACION DE LA MATERIA ........................................................................................................................ 448 8.2 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................. 451 8.3 MATERIALES MEGNETICOS. .................................................................................................................................. 452 8.4 PARAMETROS MAGNÉTICOS ................................................................................................................................ 453 8.5 CONDICIONES DE FRONTERA ................................................................................................................................ 454 8.6 ENERGIA MAGNETICA ALMACENADA ................................................................................................................... 456 8.7 PARAMAGNÉTISMO.............................................................................................................................................. 458 8.8 DIAMAGNETISMO:................................................................................................................................................ 461 8.9 FERROMAGNETISMO ............................................................................................................................................ 468 8.10 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 476 8.11 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 478 CAPÍTULO9: CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................................... 484 IX. CORRIENTE ALTERNA .............................................................................................................................................. 485 9.1. INTRODUCCION .................................................................................................................................................... 485 9.2. GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................. 485 9.3. RELACIONES ENTRE TENSION E INTENSIDAD: ....................................................................................................... 486 9.3.1. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA RESITENCIA....................................................... 486 9.3.2. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA AUTOINDUCCION: ............................................ 487 9.3.3. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD DE UN CONDENSADOR: ................................................. 488 9.4. CIRCUITO RLC EN SERIE: ........................................................................................................................................ 490 9.5. CIRCUITO RLC EN PARALELO: ................................................................................................................................ 493 9.6. RESONANCIA: ....................................................................................................................................................... 495 9.7. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA: ....................................................................................... 497 9.8. ENERGIA Y COMPONENTE ACTIVA DE L A CORRIENTE: ........................................................................................ 500 9.9. OBJETIVOS, DESCRIPTIVOS SINOPTICA Y OBSERVACIONES: .................................................................................. 501 9.10. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 504
  10. 10. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 CAPÍTULO10: ECUACIONES DE MAXWELL ........................................................................................................................ 516 X. ECUACIONES DE MAXWELL ..................................................................................................................................... 517 10.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 517 10.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ........................................................................................................................ 517 10.3 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL:............................................................................................... 519 - LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO: ............................................................................................... 519 - LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO: ............................................................................................ 519 - LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY: ............................................................................................................... 519 - LEY DE AMPERE GENERALIZADA POR MAXWELL: ....................................................................................... 520 1 LA PRIMERA HIPÓTESIS: LA CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ............................................................................... 520 10.4 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL: .......................................................................................... 521 - LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO: ............................................................................................... 521 - LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO: ............................................................................................ 521 - LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY: ............................................................................................................... 521 - LEY DE AMPERE GENERALIZADA POR MAXWELL: ....................................................................................... 521 10.5 ECUACION DE ONDA: ............................................................................................................................................ 523 10.6 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES: ................................................................................... 526 10.7 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 528 10.8 MODELOS DE EVALUACIONES............................................................................................................................... 532 9.8.1 MODELO DE EVALUACION No 1 ( 4P ) ......................................................................................................... 532 2 OBSERVACIÓN ........................................................................................................................................................ 533 9.8.2 MODELO DE EVALUACION No 2( 4P ) ......................................................................................................... 536 9.8.3 MODELO DE EVALUACION No 3 ( 4P ) ......................................................................................................... 540 ANEXOS ........................................................................................................................................................................... 544 MODELOS DE EVALUACIÓN DEL PRIMER PARCIAL: .......................................................................................................................... 545 MODELO No.1 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 546 MODELO No.2 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 551 MODELO No.3 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 557 MODELO No.4 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 560 MODELOS DE EVALUACIÓN DEL SEGUNDO PARCIAL: ....................................................................................................................... 567 MODELO No.1 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 569 MODELO No.2 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 576 MODELO No.3 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 583 MODELO No.4 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 587 MODELOS DE EVALUACIÓN DEL TERCER PARCIAL: .......................................................................................................................... 591 MODELO No.1 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 592 MODELO No.2 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 596 MODELO No.3 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 601 MODELO No.4 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 604 MODELO No.5 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 608 MODELO No.6 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 610
  11. 11. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................................. 612 PRIMER PARCIAL: .................................................................................................................................................................... 612 SEGUNDO PARCIAL: ................................................................................................................................................................. 613 TERCER PARCIAL: ..................................................................................................................................................................... 614
  12. 12. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 INTRODUCCION El propósito de este libro consiste primordialmente, en facilitar la comprensión de las leyes, conceptos y fórmulas que describen los procesos físicos relacionados con la parte del ELECTROMAGNETISMO que trata sobre carga, fuerza, campo, energía potencial, capacitancia, dieléctricos, circuitos de corriente continua, campo magnético, fuerza electromotriz inducida, propiedades magnéticas de la materia, circuitos de corriente alterna y ecuaciones de Maxwell. Comprende el desarrollo completo del programa ELECTROMAGNETISMO 13-22, expuesto en forma clara, concisa y llamativa. Problemas importantes, propuestos en los textos clásicos, que se utilizan en el desarrollo de la asignatura ELECTROMAGNETISMO 13-22, que se ofrece en la Universidad Industrial de Santander, como materia básica de servicio para las distintas Ingenierías, han sido solucionados didácticamente con el fin de mostrar la correcta aplicación de las fórmulas, mecanizar su empleo, adiestrar al estudiante en el manejo de las mismas y aumentar su capacidad de razonamiento, para que adquiera una base sólida que le permita solucionar problemas similares a los enun- ciados, los cuales incluyen interacciones entre sistemas discretos y continuos con cargas puntuales, como también diferentes clases de sistemas físicos que requieren el cálculo de capacidades, diferencias de potencial, energías potenciales, campos magnéticos, fuerzas electromotrices inducidas, parámetros magnéticos, solución de circuitos eléctricos y determinación de otras magnitudes pertinentes. Además, se incluyen novedosos resúmenes junto con algunas observaciones, que son útiles para resaltar los tópicos de mayor interés, reforzar los conceptos y facilitar el aprendizaje. Al final se presentan algunos modelos de evaluación que constituyen una guía ejemplar para la preparación de los exámenes parciales, los cuales contribuirán al mejoramiento del rendimiento académico.
  13. 13. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 0 Capítulo 1. Universidad Industrial de Santander Escuela de Física lfragar@gmail.com malliwi88@hotmail.com Resumen: A lo largo de este primer capítulo se realizara un recorrido (esbozo) histórico a través de los acontecimientos que marcaron el inicio de la teoría del campo eléctrico. De igual forma, durante este capítulo se abordaran las concepciones que son la base de los siguientes capítulos, como es el caso de las leyes de coulomb entre cargas puntuales, distribuciones discretas de carga (superposición) y distribuciones continuas de carga (densidad de carga). Capítulo 1
  14. 14. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 1 Página en blanco Intencionalmente
  15. 15. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 2 Capítulo 1. Capítulo 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO CAPÍTULO 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ............................................................................................................. 2 I. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ........................................................................................................................ 3 1.1. ESBOZO HISTORICO: .................................................................................................................................................. 3 1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA: ................................................................................................................................. 4 1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA: .................................................................................................................................... 4 1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON ............................................................................ 4 1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: ........................................................................................................................ 4 1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA: ....................................................................................................................... 5 1.3.4. CLASES DE CARGA: .......................................................................................................................................... 5 1.4. UNIDADES DE CARGA: ............................................................................................................................................... 6 1.5. LEY DE COULOMB: ..................................................................................................................................................... 6 1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO: ........................................................................................ 7 1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL QJ. .......................... 8 1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA DQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL. ........................................................................................................................ 9 1.9. CAMPO ELÈCTRICO.................................................................................................................................................... 9 1.10. LINEAS DE FUERZA: ................................................................................................................................................. 10 1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: ............................................................................................ 11 1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES:............................................................... 12 1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: ............................................................. 12 1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS: ............................................................................................. 12 1.15. FLUJO ELÉCTRICO: ................................................................................................................................................... 13 1.16. LEY DE GAUSS: ......................................................................................................................................................... 15 1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ....................................................................................... 18 1.18. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 19 1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS: .................................................................................................... 19 1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS: ................................................................................. 25 1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................................ 47 1.18.4. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (ley de gauss) ......................................................................................... 62
  16. 16. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 3 I. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO 1.1. ESBOZO HISTORICO: La ciencia de la electricidad tiene sus orígenes alrededor del año 600 a. de C., cuando Tales de Mileto observó que cuando se frotaban pedazos de ámbar se podían atraer pedacitos de paja. CUADRO SINOPTICO SOBRE EL ESBOZO HISTORICO ELECTRICIDAD MAGNETISMO Se remonta a Tales de Mileto Se remonta a Plinio (800 A.C) (600 A.C) quien observo que el quien conocía las propiedades Ámbar frotado atraía pedacitos de la magnetita. de paja. ELECTROMAGNETISMO En 1819 Hans Christian Oersted observo que una corriente Eléctrica puede afectar la aguja de una brújula. CONTRIBUYERON AL DESARROLLO DEL ELECTROMAGNETISMO. JAMES CLERK MAXWELL Estableció las leyes del electromagnetismo. OLIVER HEAVESIDE hicieron aclaraciones sobre la teoría de H.A LORENTZ maxwell. GUILLERMO MARCONI realizo las primeras transmisiones
  17. 17. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 4 Capítulo 1. El magnetismo se remonta a la observación de piedras como la magnetita (mineral de hierro que consta primordialmente de FeO-Fe2O3), estas dos ciencias estuvieron separadas hasta 1819, cuando Hans Christian Oersted descubrió que un conductor por el que fluye una corriente eléctrica tiene propiedades similares a las de un imán. Poco después, Michael Faraday observó que si se desplaza un imán cerca de un lazo de alambre (una espira) circula por este último una corriente eléctrica. Posteriormente James Clerk Maxwell observó que estos y una gran variedad de hechos experimentales podían correlacionarse mediante las ecuaciones que ordinariamente se conocen como ecuaciones de Maxwell. Maxwell dedujo que si el flujo de la corriente en un alambre varía en el tiempo, se irradian ondas. Veinte años después Heinrich Hertz produjo experimentalmente esas ondas electromagnéticas, del tipo que hoy conocemos como ondas cortas de radio, pero correspondió al italiano Guillermo Marconi realizar las primeras transmisiones inalámbricas. Contribuyeron al desarrollo del electromagnetismo clásico: Oliver Heaveside, H.A. Lorentz y otros. El siguiente cuadro sinóptico ilustra lo expuesto en los párrafos anteriores. Estos cuadros facilitan el aprendizaje y la comprensión de los temas tratados. 1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA: La materia está compuesta por tres clases de partículas elementales: el protón, el neutrón y el electrón. Los átomos están compuestos por un núcleo positivo, rodeado por una nube de electrones. 1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA: 1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON Partícula Símbolo Carga Masa Protón + e Neutrón 0 Electrón -e 1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: Experimentalmente se demuestra que el fluido eléctrico no es continuo sino que está formado por un múltiplo de cierta cantidad mínima de carga, la cual se denomina carga fundamental y se le asigna el símbolo e. La carga fundamental es igual a 1.60210x10-19coul. La característica de la carga eléctrica de aparecer en múltiplos de una carga elemental indivisible, se conoce como cuantización de la carga, y se dice que la carga eléctrica está cuantizada en unidades iguales a la carga del electrón.
  18. 18. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 5 1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA: La hipótesis de la conservación de la carga ha sido comprobada experimentalmente en eventos a nivel nuclear y atómico, tanto en colisiones como en decaimientos radioactivos y en todas las reacciones nucleares. Ejemplo de colisión: La aniquilación del electrón y el positrón. Al colisionar las partículas, estas desaparecen dando origen a dos rayos gamma dirigidos opuestamente. Teniendo en cuenta que la carga de un fotón es cero. Del principio de conservación de la carga se sigue que: Carga antes de la colisión = -e + e = O Carga después de la colisión = 0 + 0 = O Ejemplo de decaimiento radioactivo: Carga antes del decaimiento = 92 e = 92 protones Carga después del decaimiento = 90e + 2 e = 92 e Ejemplo de reacción nuclear: Carga antes de la colisión = 7 e + 0 = 7 e Carga después de la colisión = 6 e + e = 7 e. 1.3.4. CLASES DE CARGA: Se demuestra que hay dos clases de carga, porque al frotar una barra de vidrio con un pedazo de seda se observa que la barra de vidrio queda cargada positivamente y la seda queda cargada negativamente. Al acercar dos barras de vidrio cargadas de la manera anteriormente indicada, se observa repulsión elec- trostática. Fig. 1.2.4 Dos barras de vidrio cargadas positivamente se repelen una de otra.
  19. 19. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 6 Capítulo 1. Similarmente al frotar una barra de caucho con cuero se observa que la barra queda cargada negativamente y el cuero queda cargado positivamente. Dos barras de caucho cargadas de la manera anterior experimentan re- pulsión electrostática. Al acercar una barra de vidrio cargada mediante el frotamiento con seda y una barra de caucho cargada me- diante el frotamiento con cuero se produce atracción. Benjamín Franklin denominó a la clase de electricidad que aparece sobre el vidrio positiva y la que aparece sobre el caucho negativa. Los experimentos anteriores se resumen diciendo: “Cargas contrarias se atraen y cargas iguales se repelen" 1.4. UNIDADES DE CARGA: En el sistema CGS electrostático, la unidad de carga es el statcoulomb, que se define como la cantidad de carga que a 1 cm de distancia de una carga igual, produce una fuerza eléctrica de repulsión de una dina. La unidad de carga en el sistema internacional (SI) es el Coulomb o también llamado culombio, que se abrevia Coul o C y se define como la cantidad de carga que se transporta en un segundo a lo largo de un alambre por el que circula una corriente de un amperio. El físico estadounidense Murray Gell-man recibió el premio Nobel en 1969, por haber postulado la existencia de ciertas partículas fundamentales, a las que denominó "quarks", cuyas cargas son múltiplos de ± 1/3e. De acuerdo a tales proporciones teóricas, existen seis quarks diferentes: tres ordinarios, de cargas 1/3e -1/3e y 2/3e y tres antiquarks, con cargas de signos opuestos. Además, existen diferentes variedades de quarks: se cree que hay como mínimo seis "sabores", que se denomi- nan "arriba", "abajo", "extraño", "encanto", "fondo" Y "cima". Cada sabor puede tener uno de los tres posibles "colores", rojo, verde y azul. Los quarks son mucho más pequeños que la longitud de onda de la luz visible y, por lo tanto, no poseen ningún color en el sentido normal de la palabra, simplemente son formas de llamar a las nuevas partículas. Un protón o un neutrón están constituidos por tres quarks, uno de cada color. En la colisión entre un protón de alta energía y un antiprotón se produjeron varios quarks casi libres, los cuales fueron detectados por las estelas o "chorros" observados en las fotografías tomadas por los científicos del CERN (Centro Europeo para la investigación nuclear). 1.5. LEY DE COULOMB: En 1784, el físico francés Charles Augustin de Coulomb, descubrió la ley cuantitativa entre las fuerzas entre dos cargas puntuales, midiendo las fuerzas de atracción y repulsión con un dispositivo llamado balanza de torsión, semejante al aparato utilizado por Cavendish para investigar la acción de las fuerzas gravitacionales La ley de Coulomb establece que la fuerza entre dos cargas puntuales q1 y q2 es directamente proporcional a la magnitud de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Los resultados obtenidos por Coulomb pueden resumirse diciendo: "La magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa"
  20. 20. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 7 Por lo tanto, tendremos: Entonces: Siendo: La constante de proporcionalidad expresada en el sistema SI, tiene el siguiente valor: Siendo: 0 1 0 1 1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO: Figura 1.6 Fuerza que q2 ejerce sobre ql . La ley de Coulomb para cargas puntuales, puede formularse concisamente en forma vectorial, mediante: ⃑ ⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑
  21. 21. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 8 Capítulo 1. En donde: ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ Siendo F12 la fuerza sobre la carga qL , r12 es el vector que va de ql a q2 , r12 es la magnitud de r12 y k es la constante de proporcionalidad. La expresión anterior suele escribirse en términos del vector unitario r12 de la siguiente manera: ⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ Si las partículas tienen carga del mismo signo, se repelarán y la fuerza P12 tendrá el sentido de r12. Si las cargas son de signo opuesto, la fuerza tendrá el sentido de r12 . Esto equivale a decir, que en la expresión de la fuerza se debe tener en cuenta el signo de las cargas. 1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL qj. La fuerza sobre la partícula j-ésima debida a un conjunto de N cargas puntuales, se halla mediante la Ley de Coulomb, haciendo uso de una suma vectorial de fuerzas, conocida como principio de superposición, así: Σ Σ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ Donde la sumatoria de la derecha se extiende a todas las cargas excepto la j-ésima. Esto es por supuesto, el principio de superposición de fuerzas, que dice que la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas individuales que actúan sobre él. El diagrama siguiente muestra la fuerza resultante sobre q. debida a un conjunto de dos cargas puntuales q1 y q2, como puede apreciarse la fuerza Fj es la suma de las fuerzas F1j y F2j debidas a q1 y q2 respectivamente. 1.7 Fuerzas que q1 y q2 ejercen sobre qj
  22. 22. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 9 1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA dQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL. Fig. 1.8 Fuerza que un diferencial de carga dQ ejerce sobre qj El diferencial de fuerza está dado por la expresión ⃑⃑⃑⃑ Σ Para obtener la fuerza total, que el sistema continuo ejerce sobre la carga puntual q., debe integrarse la expresión anterior teniendo en cuenta la simetría. En general: ⃑ ∫ En la expresión anterior el diferencial de carga dQ puede escribirse de acuerdo a la clase de distribución que se tenga, así: A dl, para una distribución lineal de carga a dA, para una distribución superficial de carga. P dv, para una distribución volumétrica de carga. Donde A es la densidad lineal de carga, o es la densidad superficial de carga y P es la densidad volumétrica de carga. r es un vector unitario de dirección variable, dirigido desde cada dQ hacia la posición de la carga q. 1.9. CAMPO ELÈCTRICO. La intensidad del campo eléctrico E en un punto dado del espacio se define como la fuerza eléctrica por unidad de carga, es decir: ⃑⃑ ⃑ Y se expresa en newtons por coulomb (N/C). La definición del campo eléctrico en un punto se escribe en la forma: ⃑
  23. 23. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 10 Capítulo 1. 12 En donde se incluye el límite para asegurar que la carga de prueba no afecte a la distribución de carga que pro- duce el campo. 1.10. LINEAS DE FUERZA: Es una línea imaginaria dibujada de tal manera que su dirección en cualquier punto es la dirección del campo eléctrico en dicho punto. Estas líneas también se denominan líneas de campo y fueron introducidas por Michael Faraday para visualizar el comportamiento de los campos eléctricos. Las líneas de fuerza asociadas a una carga puntual positiva q1 son líneas radiales que se dirigen hacia afuera de q1. De manera semejante las líneas de fuerza asociadas con una carga puntual negativa aislada son también radiales, pero esta vez se dirigen hacia la carga negativa. Las líneas de campo eléctrico se construyen de tal modo que tengan las siguientes propiedades:  En cada punto a lo largo de una línea, la tangente a la línea es paralela al campo eléctrico en ese punto.  El número de líneas del campo eléctrico en cualquier región del espacio es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en esa zona. No hay dos líneas de campo que se puedan cruzar la una con la otra, excepto en un punto en el que exista una partícula cargada.  Todas las líneas de campo son continuas en todas las regiones del espacio que no contengan cargas eléctricas. Por tanto, una línea de campo se debe originar en una partícula con carga positiva y terminar en otra de carga negativa; pero ninguna línea se puede originar o terminar en un punto en el que no haya una carga eléctrica. Las siguientes figuras muestran una vista plana de las líneas de campo asociadas a ciertas configuraciones de carga. Fig. 1.10-a Líneas de campo de una Fig. 1.10-b Líneas de campo de una Partícula cargada positivamente. Partícula cargada negativamente. Fig. 1.10-c Líneas de campo de dos cargas iguales y opuestas.
  24. 24. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 11 Fig. 1.10-d Líneas de campo de dos cargas positivas. Fig. 1.10-e Líneas de campo de un disco Fig. 1.10-f Líneas de campo de un plano no conductor. infinito de carga. La figura 1.10 (a) corresponde a las líneas de campo de una partícula cargada positivamente. La figura 1.10 (b) corresponde a las líneas de campo de una partícula cargada negativamente. La figura 1.10 (c) corresponde a la configuración de las líneas de campo de dos cargas iguales y opuestas. La figura 1.10 (d) muestra las líneas de campo de dos cargas positivas. La figura 1.10 (e) ilustra la configuración de las líneas de campo asociadas a una vista de canto de un disco no conductor. La figura 1.10 (f) señala la estructura de las líneas de campo de un plano infinito de carga. 1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: El campo eléctrico en el punto r debido a una carga puntual q está dado por la siguiente expresión: ⃑⃑ ⃑ r es un vector unitario dirigido de la carga al punto en consideración. La dirección de E es radial, saliendo cuando q es positiva y entrando cuando q es negativa.
  25. 25. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 12 Capítulo 1. 1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES: El campo eléctrico en un punto debido a un conjunto de N cargas puntuales, se obtiene sumando vectorialmente los campos debidos a cada una de las cargas, así: ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ Σ ⃑⃑ ⃑⃑ Σ ⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ Σ ⃑⃑⃑⃑ 1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: El campo eléctrico en un punto, debido a un sistema continuo de carga se obtiene mediante la suma (integración) de todas las contribuciones dE debidas a los diferenciales de carga dQ, por tanto: ⃑⃑ ∫ ⃑⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑⃑⃑⃑ Según el sistema, el diferencial de carga puede escribirse en términos de la densidad de carga, como: A dl, para una distribución lineal de carga. a dA, para una distribución superficial. P dv, para una distribución volumétrica. En cualquier caso debe tenerse muy en cuenta la simetría. Fig. 1.13 Campo eléctrico debido a un diferencial de carga dQ 1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS: La fuerza ejercida sobre una partícula de carga q, situada en un campo eléctrico g, está dada por: ⃑⃑ ⃑⃑ Esta fuerza produce una aceleración dada por: ⃑⃑ ⃑⃑ Donde m es la masa de la partícula. En el cálculo del movimiento de la partícula en un campo se ignora el campo debido a la misma partícula.
  26. 26. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 13 1.15. FLUJO ELÉCTRICO: Si una magnitud fluye en el espacio tridimensional, la rapidez a la cual fluye a través de una superficie fija, se denomina flujo. En un campo eléctrico no existe nada material, ni tampoco fluye nada. Sin embargo, la idea de un flujo eléctrico es muy sugestiva por las similitudes de las líneas de campo eléctrico y las líneas de corriente utilizadas para describir el flujo de fluidos. Para un campo eléctrico el flujo (I)se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie. Definimos el elemento de flujo eléctrico d 4) que sale a través del elemento de superficie dS, mediante: ⃑⃑ ⃑⃑ En el caso de una superficie finita S, el flujo total se obtiene integrando respecto a la superficie: ∫ ⃑⃑ ⃑⃑ Para superficies cerradas el flujo es positivo si las líneas de fuerza apuntan hacia afuera y es negativo si apuntan hacia adentro. Consideremos una superficie cerrada arbitraria inmersa en un campo eléctrico, como lo indica la fig. 1.15-a. Fig. 1.15-a Superficie hipotética inmersa en un campo eléctrico con tres elementos de área sobre su superficie. Dividamos la superficie en cuadrados elementales A 8, cada uno de los cuales es suficientemente pequeño que pueda considerarse plano, Tal Memento de área puede ser considerado como un vector A S, cuya magnitud es el área A S. La dirección de A S se toma perpendicular a la superficie. En estas condiciones, la definición aproximada de flujo eléctrico es: Σ ⃑⃑ ⃑⃑ La definición exacta de flujo se encuentra en el límite, reemplazando la suma por una integral sobre la superficie, obteniéndose la siguiente expresión: ∮ ⃑⃑ ⃑⃑ El círculo sobre la integral indica que la superficie de integración es una superficie cerrada. La unidad de flujo es el N-m2 /C.
  27. 27. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 14 Capítulo 1. Si tenemos un elemento de área ΔS asociado con una superficie dada S, en una región donde existe un campo el eléctrico E, definimos el flujo Φ como el producto escalar del campo eléctrico y el elemento de área ΔS, así: ⃑⃑ ⃑⃑ Si θ es el ángulo entre E y ΔS, una forma equivalente de expresar esta definición es la siguiente: | ⃑⃑ | | ⃑⃑ | ( ) El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o cero. Los siguientes dibujos ilustran los diferentes casos: Fig. 1.15-b Valores del flujo eléctrico según el ángulo entre t y AS Para calcular el flujo eléctrico que pasa a través de una superficie cerrada imaginaria que rodea una carga q, es particularmente fácil si tomamos como superficie una esfera centrada en la carga. En este caso E es paralelo a dg, por tanto tenemos: ⃑⃑ ⃑⃑ | ⃑⃑ | | ⃑⃑ | ( ) Entonces, ∮ ⃑⃑ ⃑⃑ Pero E puede sacarse de la integral por cuanto tiene el mismo valor en cualquier punto sobre la superficie centrada en la carga puntual, luego: | ⃑⃑ | ∮| ⃑⃑ | El valor de la integral es exactamente , o sea, el área total de la esfera. Por consiguiente tenemos: Utilizando ley de Coulomb evaluamos E para puntos sobre la superficie de la esfera, dando por resultado:
  28. 28. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 15 Obsérvese cómo el radio de la esfera se elimina en los cálculos y no aparece en la expresión que relaciona el flujo con el valor de la carga fuente q. Si se tiene un conjunto de n cargas puntuales: q1, q2 ,...,qn, todas dentro de la misma superficie cerrada, el flujo total que pasa por la superficie cerrada, se puede escribir como: Siendo, Téngase en cuenta que cuando q es positivo, el flujo eléctrico es positivo y las líneas de campo atraviesan la esfera que rodea la carga en sentido hacia afuera. Cuando q es negativo, el flujo eléctrico es negativo y las líneas de campo atraviesan la esfera en la dirección hacia adentro. El valor absoluto del flujo eléctrico es en ambos casos igual al número de líneas de campo. Cuando se trata de cargas positivas tal número es el número de líneas que comienzan en la carga, si la carga es negativa, corresponderá al número de líneas que terminan en la carga. 1.16. LEY DE GAUSS: La ley de Gauss, que se aplica a cualquier superficie hipotética cerrada, establece una conexión entre el flujo eléctrico que atraviesa la superficie y la carga neta encerrada por la superficie. Esto es ∮ ⃑⃑ ⃑⃑ En 1839 Karl Friedrich Gauss dedujo esta ley basado en el hecho de que la ley de Coulomb establece que la fuerza eléctrica es exactamente proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. La ley de Gauss se puede probar de la siguiente manera: Consideremos una partícula aislada de carga q situada en un punto O, e imaginémosla rodeada por una superficie cerrada de forma cualquiera, denominada superficie gaussiana. Imaginemos un cono infinitesimal de ángulo sólido dQ que tenga como vértice el punto O. Fig. 1.16-a Representación geométrica para la prueba de la ley de Gauss
  29. 29. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 16 Capítulo 1. El cono intercepta la superficie en un elemento de área dS. En el punto P, situado a una distancia r, la intensidad del campo eléctrico debido a la carga q es ⃑⃑ ⃑ Si ө es el ángulo existente entre E y ñ en el punto P, entonces ⃑⃑ ⃑⃑ ( ) Entonces ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ En donde la expresión final se obtiene utilizando la definición de ángulo sólido. Integrando la expresión anterior entre los límites y (el ángulo sólido que subtiende cualquier superficie cerrada vista desde un punto en su interior), el flujo total debido a q es ∮ ⃑⃑ ⃑⃑ ∫ Recordemos que la unidad utilizada para describir los ángulos sólidos es el estereorradián (sr) según la Fig. 1.16-b Diagrama geométrico para mostrar el ángulo sólido subtendido por los diferenciales de área dS1 y dS2 Cual una esfera subtiende un total de En la fig. 1.16-b un par de conos de áreas dS1 y dS2 subtienden el mismo ángulo sólido infinitesimal
  30. 30. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 17 En donde dS1cosθ y dS2cosθ son las proyecciones respectivas de dS1 y dS2 sobre el plano perpendicular al eje de los conos. La importancia del teorema de Gauss estriba en el hecho de que la integral de superficie cerrada de Eds. es igual al número de líneas de fuerza que salen cualquiera que sea la forma de la superficie cerrada. Si se tienen varias cargas, la integral debe realizarse sobre una superficie cerrada que incluya todas las cargas, entonces ∮ ⃑ ⃑⃑⃑ Σ La ley de Gauss se utiliza para determinar el campo eléctrico en problemas de elevado grado de simetría.
  31. 31. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 18 Capítulo 1. 1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES
  32. 32. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 19 1.18. PROBLEMAS 1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS: 1. ( 1.1 K ) Tres cargas +Q1, -Q2 y +Q3 están espaciadas igualmente a lo largo de una recta tal como se indica en la figura anexa. Si los valores de Q1 y Q2 son iguales, Cuál habrá de ser el valor de Q3 para que la fuerza neta sobre Q2 sea cero? Solución: La fuerza neta sobre Q1 debe ser cero, entonces: | | | | 2. ( 2.3 K ) En un cierto volumen entran mil líneas de fuerza y salen tres mil. Cuál es la carga total en culombios existente en el interior de dicho volumen? Solución: | | | | 3. ( 16.1 M ) Una gota de aceite esférica y cargada, con una masa de 10-4 gramos se halla estacionaria en un campo eléctrico vertical que tiene 200 N/C de intensidad. Determine la carga neta de la gota. Solución: Σ
  33. 33. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 20 Capítulo 1. 4. ( 16.3 M ) Un anillo circular delgado de 20 cm. De radio tiene una carga por unidad de longitud dada por A = 10-6 cosθ columbios por centímetro, como se ilustra en el diagrama. Calcule la carga total que tiene el anillo. Solución: ∫ ∫ ∫ ( ) 5. ( 16.5 M ) Un disco circular de 10 cm de radio contiene una carga total de 10-6C. La densidad de carga superficial Q es directamente proporcional a la distancia r desde el centro del disco. Si r se expresa en centímetros, obtenga el valor de la constante de proporcionalidad. ¿Cuánta carga está contenida en el círculo de 5 cm de radio? Solución: ( ) ( ) ∫ ( ) La carga contenida en un círculo de 5 cm. está dada por: ( )( )
  34. 34. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 21 6. ( 16.7 M ) Se coloca una placa metálica grande, delgada y con un área de 10 m2, en un campo uniforme perpendicular a su superficie. Si el campo es de 50.000 N/C, halle la carga inducida en su superficie. Solución: Usando el teorema de Gauss: ∮ ⃑⃑ ⃑⃑ ∮ . /( *( ) 7. ( 29.3 T ) Dos cargas ql y q2 cuando se combinan dan una carga total de 6 C. Cuando están separadas 3 m, la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8 x 10-3N. Hallar q y q si: a ) ambas son positivas de'modo2que se repelen entre sí. b ) Una es positiva y la otra es negativa de modo que se atraen entre sí. Solución: a) (1) (2) De (2) Reemplazando en (1): √( ) ( ) Por tanto:
  35. 35. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 22 Capítulo 1. b) (3) (4) De (4) Reemplazando en (3): √( ) √ Reemplazando este valor en (3): ( √ ) 8. ( 16.15 M ) El radio de una esfera conductora es de 1 cm. Determine cuánta carga puede recibir sin provocar la ruptura eléctrica del aire circundante. Solución: Entonces: ( )( ) 9. ( 26.3 H ) Dos bolas similares de masa m se cuelgan de hilos de seda, de longitud 9. y llevan cargas similares q, como se muestra en la figura anexa. Supóngase que es tan pequeña, que tan θ puede reemplazarse por seno, por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación demuestre que . / donde X es la separación entre las bolas. Si Q = 120 cm, m = 10 gr, y X = 5.0 cm, ¿cuál es q ?
  36. 36. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 23 Solución: a) Σ (1) Σ (2) ( ) ( ) ( ) . / b) . / ( )( )( )( )( ) 10. ( 16.35 M ) Se carga un conductor esférico aislado de radio r2 hasta que su superficie está al potencial Vo y entonces tiene una carga total ql. Luego se desea poner la carga q en un segundo conductor esférico de radio r2, también aislado e independiente del primero, tal que su potencial superficial alcance el mismo valor Vo. Demuestre que para que esto suceda, q1/q2 = r1/r2. Demuestre también que lo anterior implica que las densidades de carga superficial σ1 y σ2 están relacionadas por σ1/σ2 = r2/r1. Este resultado, que indica que la densidad de carga superficial para un potencial dado, y por tanto para el campo superficial varia inversamente con el radio de curvatura; explica por qué los campos eléctricos
  37. 37. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 24 Capítulo 1. son muy intensos en la proximidad de objetos conductores con curvas de radio muy pequeño, o sea agudos. Solución:
  38. 38. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 25 1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS: 11. ( 1.3 K ) a) Encontrar la fuerza neta sobre una carga puntual de 2Q culombios situada en el centro de un cua- drado de 20 cm de lado, si se sitúan cuatro cargas puntuales idénticas de Q culombios en las esquinas del cuadrado. b ) Encontrar la fuerza que actúa sobre la carga central cuando se quita una de las cargas de las esquinas. Solución: a) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ , por simetría b ) Supongamos que quitamos la carga del extremo superior derecho. Entonces la situación es la siguiente: √ ( ) √ Por simetría se anulan ⃑⃑⃑ y ⃑⃑⃑ ; Entonces: ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ( ) ( ⃑⃑ ⃑⃑ ) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ( ) . √ / . √ √ / ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ( )( √ ) ( ) . √ / ( ) ( ) | ⃑⃑⃑ | 12. (1.5 K) Un anillo circular delgado de 3 cm de radio tiene distribuida uniformemente sobre él una carga total de 10-3C. Cuál es la fuerza sobre una carga de 10-2C, situada en su centro? Cuál sería la fuerza
  39. 39. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 26 Capítulo 1. sobre esta carga si estuviera colocada sobre el eje del anillo, pero a una distancia de 4 cm del plano del mismo ? Solución: En el primer caso se tiene: Por simetría F = O En el segundo caso se tiene: ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ( )( )( ) ⃑ ( )( )( ) ∫ ⃑ ⃑ ⃑ 13. ( 1.7 K ) Calcular la relación entre la repulsión electrostática y la atracción gravitatoria entre dos electrones. La carga del electrón es -1,6 x 10-19 culombios y su masa 9,0 x 10-31 Kg. La constante de gravitación universal vale 6,670 x 10-11 N-m2/Kg2. Solución: Repulsión electrostática:| ⃑⃑⃑ | ( ) Atracción electrostática: | ⃑⃑⃑ | ( ) | ⃑⃑⃑ | | ⃑⃑⃑ | ( ) ( ) | ⃑⃑⃑ | | ⃑⃑⃑ | 14. ( 2.13 K ) Un dipolo de momento p = Qa está alineado paralelamente a lo largo del eje x. El campo no es uniforme y varia a lo largo del eje x, siendo dE/dx = K. Calcúlese la fuerza que actúa sobre el dipolo. Solución:
  40. 40. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 27 ⃑ ( ) ⃑ ( ) Como: ∫ ⃑ Luego: ⃑ ( ) y ⃑ ( ) ⃑⃑⃑ 15. ( 26.5 H ) Tres bolitas, cada una de masa igual a 10 gr. se cuelgan separadamente de un mismo punto, mediante hilos de seda, cada uno de 1,0 m. de largo. Las bolitas tienen exactamente la misma carga y quedan suspendidas en los vértices de un triángulo equilátero de 0,1 metro de largo cada lado. ¿ Cuál es la carga que tiene cada bola ? Solución: √ ( ) √ ( ) √ ( ( )) ( ) Pero:
  41. 41. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 28 Capítulo 1. ( ) ( ) Pero: √( ) ( ) ( )( )( ) √ Sin hacer la aproximación tan (θ) ≈ seno (θ) se tiene: ( ) √ √ 16. ( 26.10 H ) Una cierta carga Q se va a dividir en dos partes: Q-q y q. L Cuál es la relación de Q a q si las dos partes, separadas una distancia dada, deben producir una máxima repulsión culombiana.? Solución: ( ) 17. ( 29.1 T ) Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, según se ve en la figura anexa; a ) Hallar el valor y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga situada en el vértice inferior izquierdo por las otras cargas. b ) Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es:
  42. 42. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 29 Solución: √ a) [ ( )( ) ( ( ))] . √ / . √ / ( ) ( ) | | ( ) b) ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑
  43. 43. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 30 Capítulo 1. ⃑ ( ) ( ( )( ) ( )( ⃑⃑⃑⃑⃑ ) ) ( ) ( ( )( ) ( )( ⃑⃑⃑⃑⃑ ) ) ( ) ( ) ⃑ ( ) ( ( )( ⃑⃑⃑⃑⃑ ) ) ⃑ ( ) √ ( ) ⃑ . √( ) ( ) / ( ) ⃑ ( √ * ( ) 18. ( 30.10 T ) Un hilo delgado posee una densidad de carga lineal a y está doblado en forma de arco circunferencial que subtiende un ángulo 28°, como puede verse en la figura anexa. Demostrar que el campo eléctrico en el centro de curvatura del arco tiene el valor ( ) Solución: ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ⌈ ⌉ ( ) ⃑⃑⃑ ( ( ) ( )) ( ) 19. (30.3T) Una carga lineal de densidad A tiene la forma de un cuadrado de lado L, que está contenido en el plano yz y tiene su centro en el origen. Hallar el campo eléctrico en el eje x , a una distancia arbitraria x, y comparar el resultado con el campo en el eje de un anillo cargado del mismo tamaño aproximadamente y que lleva la misma carga total.
  44. 44. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 31 Solución: ⃑ √ ( ) ∫ √ ( ) ( ( ) ( )) √ ( ) ( ( ) ( )) √ ( ) ( ( )) √ ( ) √( ) ( ) ⃑ ( √ ( ) √ ( ) √ ( ) ) ⃑ [. ( * / . ( * / ] 20. ( 30.1 T ) Demostrar que E en el eje de una carga en forma de anillo tiene sus valores máximo v mínimo para √ √
  45. 45. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 32 Capítulo 1. Solución: ⃑ ⃑ ⃑ ∫ ( ) ̂ ⃑ ( ) ( ) ̂ ( ) ̂ ‖ ⃑ ‖ ( ) ( ( ) + ( ( ) + ( ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ 21. ( 16.13 M ) El átomo de hidrógeno en su más bajo estado de energía permitido tiene un electrón cuya distancia media al protón nuclear es de 0.5 x 10_ 8cm. Calcule el campo eléctrico que produce el protón en el sitio de localización del electrón. Si se supone que este último está en una órbita circular, obtenga su velocidad en Km/h.
  46. 46. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 33 Solución: El campo eléctrico que produce el protón en el sitio del electrón es: ⃑ ̂ ⃑ ( ) ̂ ⃑ ̂ La velocidad del electrón se obtiene así: √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) 22. ( 16.11 M ) Una semicircunferencia de radio R tiene una densidad de carga longitudinal uniforme A en toda su periferia. Demuestre que el campo eléctrico en el centro de la semicircunferencia es: Solución:
  47. 47. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 34 Capítulo 1. ⃑ ( ) ̂ ⃑⃑⃑ ∫ ( ) ̂ ⃑⃑⃑ ∫ ( ) ̂ ⃑⃑⃑ | ( )| ̂ ⃑⃑⃑ ( ) ̂ ̂ [ ] 23. ( 2.15 K ) Una sustancia aislante de forma hemisférica y radio R, lleva distribuida uniformemente sobre su superficie curva una carga Q. Calcular el campo eléctrico en el centro de la superficie plana que limita el hemisferio. Solución: ⃑ ( )( ̂ ) ⃑ ( ) ( ̂ ) Pero, en coordenadas esféricas ( ) ⃑ ( ) ( )( ̂ ) ∫∫ ( ) ( ) ( ̂ ) ⃑ ∫ ( ) ( ) ( ̂ ) . ( ) / ( ̂ ) ⃑ ( *( * . ( ) / ( ̂ ) ⃑ ( *( * ( ̂ ) [ ]
  48. 48. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 35 24. ( 2.9 K ) Una varilla en forma de semicircunferencia, como indica la figura anexa, está cargada uniformemente con una carga total de Q culombios. Calcular la intensidad del campo eléctrico en el centro de la curvatura. Solución: ⃑ ( )( ̂ ) ⃑ ( ) ( ̂ ) ⃑ ∫ ( ) ( ̂ ) ⃑ ∫ ( ) ( )( ̂ ) | ( )| ( ̂ ) ⃑ * ( ) ( )+( ̂ ) ( ̂ ) ⃑ ( ) ( ̂ ) ( *( ( ) *( ̂ ) [ ] 25. ( 2.5 K ) un anillo circunferencial delgado de 20 cm de radio está cargado con una densidad uniforme de 0 Culombios/m. Si se quita una pequeña parte del anillo de 1 cm de longitud, calcúlese la intensidad del campo eléctrico en el centro del anillo. Solución: Teniendo en cuenta la simetría, el campo producido por el arco AC es igual y opuesto al campo producido por el arco BD, entonces el problema se reduce al cálculo del campo producido por el arco AB, así:
  49. 49. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 36 Capítulo 1. ⃑ ( )( ̂ ) ⃑ ( )( ̂ ) ⃑ ∫ ( ) ( )( ̂ ) ( ) ( ̂ ) ( ) ( ̂ ) Pero: ( ) ⃑ ( )( ̂ ) [ ] ( ̂ ) 26. ( 2.7 B ) Se tiene un arco de circunferencia de carga Q que subtiende un ángulo Y , el resto del anillo tie- ne una carga -Q. Demuestre que si R es el radio del anillo, el campo eléctrico en el centro está dado por: ‖ ⃑⃑ ‖ ( ) ( ) Solución: De acuerdo a la simetría el sistema se reduce a: Las contribuciones a los campos de los arcos AB y CD se anulan, entonces: ⃑ ⃑ ⃑ Pero: ⃑ ∫ ( ) ̂ ∫ ( ) ̂
  50. 50. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 37 ⃑ ∫ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ̂ ) ⃑ * ( ) ( ) + ( ̂ ) ( ) ( ̂ ) ⃑ ( ) ( ̂ ) Además: ⃑ ∫ ( ) ̂ ∫ ( ) ( ) ̂ ⃑ ∫ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ̂ ) ⃑ ( ) ( ̂ ) ( ) ⃑ ( ) ( ) ( ̂ ) ⃑ ⃑ ⃑ ( ) ( ̂ ) ( ) ( ) ( ̂ ) ⃑ ( ) [ ( ) ] ‖ ⃑ ‖ ( ) ( ) 27. ( 27.3 H ) Una varilla delgada de vidrio está doblada en forma de una semicircunferencia de radio R. Una carga +Q está uniformemente distribuida a lo largo de la mitad superior y una carga -Q está distribuida uniformemente a lo largo de la mitad inferior, corlo se muestra en la figura anexa. Encuentre el campo eléctrico E en el punto P en el centro de la circunferencia. Solución:
  51. 51. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 38 Capítulo 1. ⃑ ∫ ( ) ( ( ) ̂ ( ) ̂) ⃑ ( ) * ( ( ) ̂ ( ) ̂)+ De manera análoga: ⃑ ( ) * ( )( ̂) ( )( ̂)+ ⃑ ⃑ ⃑ ( )( ( )) ( ̂) ⃑ ( ̂) ( ̂) 28. ( 30.2.15 T ) Un cilindro infinitamente largo de radio R, tiene una densidad de carga volúmica uniforme p . Demostrar que el campo eléctrico tiene el valor, E = Solución: Para : ∮ ⃑ ( ) ( ) ( ) Para : ∮ ⃑ ∫ ∫( ) ( ) . / ( ) 29. ( 30.7 T ) Una esfera de radio R, posee una densidad de carga volúmica proporcional a la distancia al centro; p = Ar para r < R, p = O para r > R, siendo A una constante. a ) Hallar la carga total sumando las cargas en cortezas de espesor dr y volumen 4irr2dr. b ) Hallar el campo eléctrico E tanto en el interior como en el exterior de la distribución de la carga. Solución:
  52. 52. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 39 a) ∫ ∫ ( ) ∫ b) r < R : ∮ ⃑ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) r < R : ∮ ⃑ ( ) 30. ( 2.7 K ) En el interior de una esfera de 20 cm. de radio, existe distribuida uniformemente una carga total de Q Culombios. Calcular la intensidad del campo eléctrico: a ) En el centro de la esfera. b ) En un punto a 10 cm del centro de la esfera. c ) En un punto de la superficie de la esfera. d ) En un punto a 50 cm del centro de la esfera. Solución: a) En el interior de la esfera el campo eléctrico se obtiene usando el teorema de Gauss, así: ∮ ⃑ ∫ ∫( ) ∫ ‖ ⃑ ‖ ( ) ‖ ⃑ ‖ ‖ ⃑ ‖ b) Para r =0,1 m ‖ ⃑ ‖ ( ) ( ) [ ] c) Para r= R m: ‖ ⃑ ‖ ‖ ⃑ ‖ [ ]
  53. 53. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 40 Capítulo 1. d) Para r = 0,5 m: ‖ ⃑ ‖ ( ) ‖ ⃑ ‖ [ ] 31. ( 16.17 M ) El electrodo conductor esférico de un generador de Van de Graff, está cargado hasta un potencial de 2 x 106 V. Halle el radio mínimo que debe tener el cascarón esférico para que no ocurra la ruptura eléctrica del aire. Solución: Pero la ruptura eléctrica de aire se produce cuando 32. ( 27.15 H ) Un trozo de varilla delgada no conductora de longitud finita tiene una carga q, distribuida - uniformemente a lo largo de ella. Demuestre que E en el punto P sobre la perpendicular que la bisecta, como lo muestra la figura anexa, está dada por: √ Demuestre además que cuando . Este resultado se aproxima a : , el cual aplica para una varilla de longitud infinita. Solución: ⃑ ( )( ̂ ) ⃑ ( )( ̂ ) ( ) √ ⃑ √ ( ̂ )
  54. 54. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 41 ⃑ ∫ ( ) ( ̂ ) ( ) . √ / ( ̂ ) ⃑ ( √( ) ( ) √( ) ) ( ̂ ) ⃑ √ ( ̂ ) Dividiendo por l: ⃑ √ ( ̂ ) ⃑ √ ( ̂ ) ( ̂ ) 33. ( 27.23 H ) Demuestre que para puntos distantes, las componentes del campo eléctrico E debido a un dipolo, están dadas por: donde x y y son las coordenadas del punto mostrado en la figura anexa . ⃑⃑⃑ ( ) ( ̂ ) ⃑ ( ) ( ) ( ̂ ) Solución: Hallamos primero el potencial así: ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) /
  55. 55. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 42 Capítulo 1. ( ( ) * ( ( ) , ( ) ⃑⃑⃑ ( ) ( ) ( ̂ ) ⃑ 4 ( ) 5 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 ⃑ 4 ( ) 5 ( ) ( ) ( ̂ ) 34. ( 29.19 H ) El potencial en un punto situado a una distancia r sobre el eje del disco cargado de radio a, está dado por: (√ ) A partir de este resultado demuestre que E para puntos sobre el eje está dado por: ( √ ) Solución: ( (√ )* ( ( ( ) ( ) )* ( √ ) 35. ( 29.5 T ) Dos cargas iguales q están en el eje y; una está en y = a y la otra en y = -a. a) Demostrar que el campo eléctrico en el eje x está dirigido a lo largo de dicho eje viniendo E, dada por: ( ) b) Demostrar que cercano al origen, cuando x es mucho menor que a, vale aproximadamente c) Demostrar que para x mucho mayor que a ( x »a ), es aproximadamente. Explicar por qué deberá esperarse este resultado incluso antes de ser calculado.
  56. 56. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 43 Solución: a) ⃑ ̂ ⃑ √ ̂ ⃑ ( ) ̂ b) Si x <<a ⃑⃑ ( ) ̂ ⃑⃑ ̂ c) Si x >> a ⃑⃑ ( ) ̂ ⃑⃑ ̂ Este resultado es equivalente al que se obtendría si se hallara el campo producido por dos cargas puntuales situadas a una distancia x. 36. ( 16.41 M ) En una región del espacio, hay un potencial dado por: ( ) en el que U es una constante. a ) Evalúe el campo eléctrico dentro de la región. b ) Obtenga la distribución de densidad de carga que da lugar a un potencial de esta forma: Sugerencia utilice: √
  57. 57. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 44 Capítulo 1. Solución: a) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) b) Usando la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial: ⃑ ⃑ [ ( )] 0 ( ) ( ) . /1 [ ( )] 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) /1 [ ( ) ( ) *] Tomando los términos hasta el orden , se tiene: ( ) 37. ( 16.43 M ) Una distribución de carga continua esférica simétrica, produce un potencial que varía proporcionalmente a Ln r ¿Cómo varia el campo eléctrico? L Qué clase de distribución de carga produciría este campo ? . Solución: Sea C la constante de proporcionalidad, entonces: ( ) Por tanto, E varia inversamente con r. Además: ∫ ∫ ∫ Luego ρ es inversamente proporcional a r2.
  58. 58. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 45 38. ( 16.39 M ) Una región del sacio está caracterizada por un potencial V(x) = -30-0.1 volts, en que x está en metros. El potencial es independiente de y y de x. Un protón se halla inicialmente en reposo en el punto x = 10 m, y = z = 0. Obtenga su velocidad cuando llegue al punto x = 1.0 m, y = z = 0 . Solución: √ √ ‖ ‖ Entonces: ( ) ( ( ))( ) ( )( ) ‖ ‖ ( )( ) √ ( )( )( ( ))( ) ( ) 39. ( 20.44 G ) La figura anexa, es una esfera de radio a, que contiene una densidad de carga uniforme Po de la que se corta un orificio esférico de radio c, cuyo centro está situado a la distancia vectorial b del centro de la esfera grande. Demuestre que si r es cualquier punto de la cavidad, entonces el campo eléctrico E de la cavidad es uniforme y tiene el valor, ⃑⃑ ⃑⃑ Solución: El campo en r se puede obtener mediante el principio de superposición así: ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ Donde E es el campo debido a una esfera cargada uniformemente de radio: ⃑ ⃑⃑ Situada en b y con densidad de carga -P0 . Entonces: ∮ ⃑ ⃑⃑ ( * ⃑ ( ) ( * ⃑ . ( ) /
  59. 59. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 46 Capítulo 1. Análogamente: ∮ ⃑ ⃑⃑ ( *( ) ⃑ ( ( ) ) ( ( ) * ⃑ ( ⃑ ) ⃑ ⃑ ⃑ ( ⃑ ) ⃑
  60. 60. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 47 1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Tres cargas puntuales están localizadas en los vértices de un triángulo equilátero. Calcule la fuerza neta sobre la carga de 7 C. SOLUCION: El campo eléctrico debido a la carga de 2 C , es: r m x N m C x C r r q E ke ˆ (0.5 ) (9 10 / )(2 10 ) ˆ 2 9 2 2 6 1 2      Pero: rˆ cos60 iˆ sen60 ˆj 0.5iˆ 0.86 ˆj 0 0     Luego: E (3.6x10 iˆ 6.19x10 ˆj)N /C 4 4 1    El campo eléctrico debido a la carga de  4 C,es: r m x N m C x C r r q E ke ˆ (0.5 ) (9 10 / )( 4 10 ) ˆ 2 9 2 2 6 1 2       donde rˆ cos60 iˆ sen60 ˆj 0.5iˆ 0.86 ˆj 0 0     Luego: E (7.2x10 iˆ 1.23x10 ˆj)N /C 4 5 2    El campo eléctrico resultante, está dado por: E E E (1.08x10 iˆ 6.11x10 ˆj)N /C 5 4 1 2        Luego la fuerza neta sobre la carga de 7 C, es: C N F qE (7.0 C)(1.08x10 iˆ 6.11x10 ˆj) 5 4       F qE (7.56x10 iˆ 4.2x10 ˆj)N 1 1      7.0  C 60º y x 2.0  C -4.0  C 0.5 m + + _
  61. 61. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 48 Capítulo 1. 2. Determine la fuerza eléctrica que una línea finita de carga de longitud l y densidad carga uniforme  , ejerce sobre una carga puntual q situada a una distancia y sobre su mediatriz, como se indica en la figura: SOLUCION: dF  dF(cos ˆj  sen iˆ)  (cos ˆ sen ˆ) 2 2 j i x y k q dx dF e        (cos ˆ sen ˆ) / 2 / 2 2 2 j i x y dx F dF k q l l e             Por simetría, la integral anterior se reduce a: (cos ˆ) / 2 / 2 2 2 j x y dx F dF k q l l e           Sustituyendo el valor de cos , se sigue que: j x y y x y dx F dF k q l l e ˆ ( ) / 2 / 2   2 2 2 2         Usando la fórmula de integración:     2 2 2 2 3 2 2 ( ) a x a x x a dx , se obtiene: j l l x y x y k q y F dF e ˆ / 2 / 2 2 2  2        j l y l l y l y k q F e ˆ ( / 2) ( / 2) ( / 2) / 2 2 2 2 2                j y l y k q l F e ˆ ( / 2) 1 2 2             3. Tres cargas de igual magnitud se encuentran en las esquinas de un triángulo equilátero de lado a. a) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P situado en medio de las dos cargas negativas, en términos de ke ,q y a. b) ¿Dónde debe situarse una carga de –4qde manera que cualquier carga localizada en P no experimentará fuerza eléctrica neta? En el inciso b) deje que la distancia entre la carga q y P sea 1 m. q dQ= dx  y x + a a +q -q -q p . a/2 a/2 y x
  62. 62. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA Capítulo 1. 49 SOLUCION: a) 1 2 3 E E E E P        Pero: 3 1 E E     Entonces: ( ˆ) 4 2 2 2 2 j a a q E E kP e               ( ˆ) 3 4 3 / 4 2 2 j a k q a q E k e P e     b) La suma de las fuerzas que actúan sobre la carga Q situada en P debe ser cero. Luego: 1 2 1 2 F F 0 F F         2 (4 ) r Q q QE kP e   3 3 (4 ) 3 4 2 2 2 2 r a r a r Q q ke a k q Q e          Como la distancia entre +q y P es 1m, entonces de acuerdo al teorema de Pitágoras: 3 2 1 3 4 4 2 2 2    a  a  a a Por consiguiente: 3 2 3 2 r   . 4. Dos esferas pequeñas de masa m están suspendidas de cuerdas de longitud l que están conectadas a un punto común. Una esfera tiene carga Q; la otra tiene carga 2Q. Suponga que los ángulos 1 2  y que forman las cuerdas con la vertical son pequeños. a) Cómo se relacionan 1 2  y ?. b) Demuestre que la distancia entre las esferas es: 1/ 3 2 4          mg k Q l r e
  63. 63. LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 50 Capítulo 1. SOLUCION: 2 2 2 1 2 2 mgr k Q mg r k Q tan e e    2 2 2 2 2 2 mgr k Q mg r k Q tan e e    De la figura: 1 2 1 2 r  x  x  l sen  l sen (sen sen ) ( ) 1 2 1 2 r  l     l tan  tan Pero : 2 2 1 2 4 ( ) mgr k Q tan tan e     Entonces:          2 2 4 mgr k Q r l e Luego: 3 1 2 2 3 4 4                    mg k Q l r mg k Q l r e e 5. Una barra delgada de longitud l y carga uniforme por unidad de longitud  está a lo largo del eje x. a) Demuestre que el campo eléctrico en el punto P, situado a una distancia y sobre la mediatriz, no tiene componente en x y está dado por E k y e 2 sen / 0    . b) Demuestre, utilizando el resultado del inciso a) que el campo eléctrico producido por una barra de longitud infinita es E k y e  2  / . SOLUCION: a) dE  dE(cos ˆj sen iˆ)   (cos ˆ sen ˆ) 2 2 j i x y k dx dE e        l l Q r 2Q x1 x2 m m  1  2 mg  2 2Q T 2 2 2 r k Q e p dQ= dx   y x  y O x l .

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