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Tema 1, Estadistica, Ingenieria Telemática, UPCT

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Are you sure you want to Yes No Are you sure you want to  Yes  No

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2. 2. Introducci´on Concepto presente en la vida cotidiana. EJEMPLOS Es probable que llueva. Es muy poco probable que pase la prueba. Es casi imposible que la estructura resista. OBJECTIVO Objectivo: Cuantiﬁcar la veracidad (verosimilitud) de hechos (sucesos) inciertos. Probabilidad Matem´atica: Cuantiﬁcar num´ericamente la verosimilitud de sucesos inciertos. Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
3. 3. Incertidumbre? Cressie, N. Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
4. 4. Incertidumbre? Cressie, N. Uncertainty is everywhere; as the famous quote by Benjamin Franklin (Sparks, 1840) says “ In this world the only certainties are death and taxes. ”Not only our world is un- certain, but also our attempts to explain it are (i.e. science). And our measures of our world (uncertain) are uncertain.” Statistics is the science of uncertainty and it oﬀers a coherent approach to dealing with all the above sources of uncertainty. Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
5. 5. INTRODUCCION INCERTIDUMBRE C´omo llegar a resultados concluyentes? incorporando la incertidumbre. T´eor´ıa de la Probabilidad Teor´ıa Matem´atica que puede modelizar experimentos cuyo resultado es imposible de predecir exactamente (Experimentos aleatorios). Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
6. 6. Incertidumbre Teor´ıa de colas Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
7. 7. Razonamiento bayesiano y aprendizaje m´aquina Conferencia:Dr. Figueiras Titulo: Inferencia M´aquina y Aprendizaje Profundo (una concisa introduccin) El Aprendizaje Profundo (Deep Learning) se puede considerar una de las t´ecnicas de aprendizaje artiﬁcial m´as potentes desarrolladas de esta ´ultima d´ecada. Es considerada como una tecnolog´ıa clave en el futuro de la inteligencia artiﬁcial y actualmente es utilizada en casi todos los campos de la ciencia: procesado de datos, voz, imagen, visi´on artiﬁcial, etc. En esta charla, el Dr. Figueiras realizar´a una breve introducci´on al aprendizaje profundo desde el punto de vista del aprendizaje m´aquina, abordando aspectos tan relevantes como la diversidad y el Big Data. Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
8. 8. INTRODUCCION INCERTIDUMBRE C´omo llegar a resultados concluyentes? incorporando la incertidumbre. T´eor´ıa de la Probabilidad Teor´ıa Matem´atica que puede modelizar experimentos cuyo resultado es imposible de predecir exactamente (Experimentos aleatorios). Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
9. 9. Contenidos 1 Conceptos b´asicos relacionados con un experiemnto. 1 Deﬁniciones. 2 Operaciones elementales con sucesos. 2 El concepto de Probabilidad. 1 Deﬁnici´on Axiom´atica de la Probabilidad. 2 espacios muestrales ﬁnitos. 3 Probabilidad Condicionada. 1 Deﬁnici´on. 2 Formula de la probabilidad Total. Teorema de Bayes. 4 Independencia. Fiabilidad. Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
12. 12. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento La union de dos sucesos A y B,A ∪ B, es el suceso consistente en todos los resultados que est´an en A o B. A ∪ B = {s|s ∈ Ao s ∈ B} la intersecci´on de dos sucesos A y B, A ∩ B, es el suceso pformado por todos los resultados que estan en A y B. A ∩ B = {s|s ∈ A y s ∈ B} El suceso complementario de A, Ac (A), es el conjunto de resultados de S que no pertenecen a A. Ac = {s|s /∈ A} Suceso disjuntoss: cuando no tienen elementos en com´un A ∩ B = ∅ Leyes de Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc A ⊆ B ∀s ∈ A −→ s ∈ B Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
13. 13. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento Propiedad conmutativa de la uni´on y la intersecci´on: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Propiedad asociativa de la uni´on y la intersecci´on: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ C) ∪ B (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ C) ∩ B Propiedad Distributiva : (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
14. 14. Conceptos b´asicos relacionados con un experimento Espacio de Sucesos ( tambi´en partici´on de S) {Ei }i∈I , es una colecci´on de sucesos colectivamente exhaustiva, mutuamente exclusiva. mutuamente exclusiva. Ei ∪ Ej = ∅ i = j colectivamente exhaustiva i∈I Ei = S Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
15. 15. Concepto de probabilidad. Interpretaciones de la probabilidad Cl´asica: desarrollado originalmente en relaci´on con los juegos de azar. Los sucesos inciertos relevantes se describen como colecciones de resultados elementales que se consideran igualmente ”creibles”. P(A) = casos favorables a A casos posibles Frecuentista: aparece en el contexto de experimentos reproducibles, como los de laboratorio.Los sucesos inciertos relevantes se deﬁnen en situaciones experimentales controladas cuyas condiciones de realizaci´on se pueden repetir una y otra vez, indeﬁnidamente. P(A) = ocurrencias de A ensayos realizados l´ımite en la serie de repeticiones del experimento. Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
16. 16. Interpretations of probability. Probability Concept SUBJECTIVA: Nuestro conocimiento sobre la ocurrencia de un suceso A, a priori antes de realizar el experimento P(A) . (prior) a objetivo com´un: medir la verosimilitud de la ocurrencia de sucesos inciertos. Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
17. 17. Concepto de Probabilidad Deﬁnici´on axiom´atica Una distribuci´on de probabilidad P[.] es una funci´on que asigna n´umeros reales a sucesos del espacio muestral de forma que se cumplen los siguientes axiomas: Axiom 1 para cada suceso A de inter´es , P(A) ≥ 0 Axiom 2 P(S) = 1 Axiom 3 para cada colecci´on numerable {Ai }i∈I de sucesos mutuamente excluyentes (Ai ∩ Aj = ∅ ∀i = j), P( i Ai ) = i P(Ai ) Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
18. 18. Propiedades Como consecuencia del Axiom 3 se cumple P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) A1 and A2 mutually exclusive. Como consecuencia del Axiom 3 lse cumple el caso particular I = {1, 2, . . ., n} B = {s1, . . . , sm} P(B) = m i=1 P({si }) Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
19. 19. Espacios muestrales ﬁnitos Consideramos experimentos para los cuales hay un conjunto ﬁnito de resultados posibles |S| = n. S = {s1, . . . , sn} pi = P({si }). Una distribuci´on sobre S queda completamente especiﬁcada por {pi }n i=1, cumpliendo: 1 0 ≤ pi ≤ 1 ∀i 2 i pi = 1 Se cumple ∀A: P(A) = si ∈A pi Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
20. 20. resultados equiprobables (Espacios Muestrales Simples) |S| = n p = P({si }). En este caso: p = 1/|S| Se cumple : P(A) = casos favorables a A casos posibles = |A| |S| (1) Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad
21. 21. Propiedades la medida de probabilidad cumple: P(∅) = 0. P(Ac ) = 1 − P(A) Para cada A y B (no necesariamente disjuntos) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A ⊂ B P(A) ≤ P(B). Pilar Sanmart´ın. Fundamentos de la Teor´ıa de la probabilidad