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los equiláteros y de sus “hermanos
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Ejemplos de las bases para demostraciones matemáticas, usando unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros

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¿Cómo se desarrollan las fórmulas para áreas, etc? Y ¿cómo podemos saber que son correctas? Dudas muy intelligentes y razonables, éstas, a las que intento responder en este documento.

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Ejemplos de las bases para demostraciones matemáticas, usando unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros

  1. 1. Unas cuantas propiedades de triángu- los equiláteros y de sus “hermanos mayores”, los tetraedros regulares (Con una breve introducción a las técnicas comunes en la demostraciones matemáticas) En la clase anterior, varias de Uds. hicieron preguntas sobre si es posible desarrollar, por medio de la “trig”, fórmulas para áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos geométricos. Se me preguntó también, cómo se pue- de saber si una fórmula tal, por ejemplo una para el área de un triángulo equilátero, se verifica para todo triángulo del mismo tipo. La verdad es que la segunda pregunta es excelente. Va al grano de la naturaleza de las matemáticas, y de la realidad misma. A este tipo de pre- gunta se dedica una rama entera de la filosofía, que se llama la epistemolog- ía. Por supuesto que no hay tiempo para responderla satisfactoriamente aquí. Sin embargo, sí se puede trazar las líneas generales del tema, y con provecho. ¿Por qué no hacerlo en el curso de desarrollar fórmulas para triángulos equiláteros y para tetraedros? Sobre las suposiciones comunes en las demostraciones No es posible razonar sin hacer suposiciones, aunque no nos demos cuenta de éstas. Al menos, al razonar uno supone su propia existencia. Para desarrollar fórmulas para áreas y volúmenes de formas y figuras geométricas, es necesario suponer mucho más. Primero, que estos objetos “existen”. Además, que sus características (longitudes, áreas, etc.) pueden ser expresadas por medio de números reales. También, se supone que las operaciones aritméticas pueden, realmente, expresar una característica tal, en función de las otras. Por ejemplo, la relación entre el área de un rectán- gulo y las medidas de sus lados. En ocasiones previas, notamos que la aritmética es basada en su propio conjunto de suposiciones; a saber, los llamados “postulados” y “axiomas”. La geometría euclidiana que usaremos para desarrollar nuestras fórmulas de- pende de sus famosos postulados y “nociones comunes”. Nuestras expe- riencias diarias demuestran que la aritmética y la geometría predicen, con un alto grado de precisión, lo que pasa en el mundo real de cosas físicas, pero este logro queda lejos de demostrar que sus postulados son “ciertos”. Por no mencionar que la existencia misma de un mundo real de cosas físicas, es una suposición en sí. (Véase el cuadro en el margen.) La lógica opera con base en varias suposiciones también. Para facilitar la comunicación, los matemáticos las enumeran, y las ponen nombres. En la demostración de teoremas en las matemáticas, son importantes dos suposi- ciones que se llaman Dos Doctrinas Relevantes de la Filosofía El realismo defiende la existen- cia de objetos reales indepen- dientes de la conciencia, y acce- sibles a la capacidad de conoci- miento. O, en otras palabras, sostiene la existencia de un “mundo real” de cosas que exis- ten independiente de que exis- tan, o no, personas que las ob- servan. La mayoría de los científicos toman por cierto el realismo, sin reconocer que están involucra- das, cuestiones primordiales. En cambio, el idealismo sostie- ne que la idea es el principio de ser, y que el mundo es, en cierto sentido, una creación mental.
  2. 2. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares 2 de 6 La regla de la especificación universal Para nuestros fines, ésta declara que si todos los objetos de una clase tienen ciertas características, entonces cada objeto de la clase las tiene. Esto parece obvio, pero sí, es necesario declararlo abiertamente. La regla de la generalización universal Si se demuestra que una fórmula es cierta para un objeto elegido en forma arbitraria de una clase, entonces la fórmula se verifica para todo objeto de la clase. A continuación, veremos cómo se emplean estas reglas en la demostración de fórmulas sobre triángulos equiláteros y tetraedros. ¿Qué queremos? Queremos, luego o temprano, encontrar fórmulas para, entre otras cosas, el volumen de un tetraedro regular. Es decir, un tetraedro cuyas aristas son iguales. Entonces, examinemos un diagrama de la bestia: Parece que nos serviría saber su altura, por lo que dibujamos un seg- mento entre el ápice y el fondo: Pero, ¡éste no sirve! Tiene que ser un segmento perpendicular al fondo: La palabra “perpendicular” nos recuerda del Teorema de Pitágoras, por lo que buscamos los elementos necesarios para emplearlo. A saber, algún triángulo rectángulo conveniente. De esta forma, identificamos el siguiente:
  3. 3. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares 3 de 6 Entonces, la arista del tetraedro es la hipotenusa de un triángulo rectán- gulo cuyos catetos son la altura que buscamos, el segmento verde. Por eso, queremos identificar cuál es el punto azul, y su distancia desde el ápice al otro extremo del segmento verde. Espero que no sea necesario explicar con extensión que el punto verde es el centro del triángulo equilátero que forma el fondo: y el segmento verde es uno de los tres segmentos idénticos entre los vérti- ces y el centro del triángulo: Pensamos encontrar la altura del tetraedro a partir de la longitud común del segmento verde y sus semejantes. Entonces, buscamos los elementos necesarios para encontrar su longitud. Una observación es que estos seg- mentos bisecan los ángulos del triángulo equilátero. Ya que éstos miden 60°, sabemos que los ángulos entre los lados y los segmentos como el verde miden 30°. Es más, sabemos que los ángulos “centrales” miden 120°, porque los tres suman a 360°. En este momento, bien puede ser que los alumnos que han cursado la trigonometría quieran aplicarla a uno de los tres triángulos menores en los
  4. 4. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares 4 de 6 que dividen el segmento verde y sus semejantes. Y con razón. Entonces, analicemos el triángulo inferior: Para encontrar la longitud del segmento verde y su semejante, nos va- lemos otra vez de dos preguntas útiles en la resolución de cualquier proble- ma: 1. ¿Qué queremos? 2. ¿Qué sabemos? Bueno, 1. Queremos encontrar la longitud del segmento verde. 2. Sabemos … Pues, ¿QUÉ sabemos, exactamente? Resulta que por todo este tiempo, hemos empleado, de forma incons- ciente, las arriba mencionadas reglas de la especificación universal y de la generalización universal. Concretamente, hemos razonado sobre algún te- traedro regular, con la idea que lo que de ello deducimos, se verificaría para todo tetraedro regular. Resulta que nuestra demostración tendrá más co- herencia, y avanzará mejor, si empleamos las dos reglas de una forma más directa. Por ejemplo, por valernos de la regla de la especificación universal al comienzo, diciendo algo por el estilo de los siguientes dos declaraciones: Sea T un tetraedro regular, arbitrario (es decir, elegido de forma arbitraria), y Sea a, un número real positivo, cuántas unidades (por ejemplo, metros) miden sus aristas. Partiendo de estas declaraciones explícitas, sin suponer nada más so- bre el tetraedro T, podemos seguir la misma lógica que usamos para llegar al triángulo T a T Par la conveniencia del lector, aquí se presentan de nuevo La regla de la especificación universal Si todos los objetos de una clase tienen ciertas características, entonces cada objeto de la clase las tiene. Esto parece obvio, pero sí, es necesario declararlo abiertamente. y La regla de la generalización universal Si se demuestra que una fórmula es cierta para un objeto elegido en forma arbitraria de una cla- se, entonces la fórmula se verifi- ca para todo objeto de la clase. Se emplea la regla de la especi- ficación universal al comienzo.
  5. 5. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares 5 de 6 Pero esta vez, podemos ponerle la longitud de su base: Ahora, con base en la Ley de los Senos, escribimos ° ° . Pero sen 30° , sen 120° √ , por lo que ° ° √ √ . ¿Qué tal si usamos el símbolo r para esta longitud? Además, las costumbres de los matemáticos no permiten, por lo general, que haya una raíz en el de- nominador de una fracción. Por eso se emplea la siguiente maniobra: √ √ · √ √ √ √ ·√ √ . Con esto, hemos demostrado que en el tetraedro regular T, se verifica la siguiente relación entre la longitud de las aristas, y del segmento que une cualquier ápice con el punto céntrico de cualquier de las tres caras a las que el ápice pertenece: Por fin, empleamos la regla de la generalización universal para justificar que esta fórmula aplica a todo tetraedro regular. Solo es necesario decir algo por el estilo de Esta fórmula se verifica para T, el cual es un tetraedro regular arbi- trario. Por lo tanto, se verifica para todo tetraedro regular. Y por lo tanto, se puede emplear esta fórmula en el desarrollo de cualquier otra fórmula que trata tetraedros regulares. Por ejemplo, para encontrar la altura de éstos, como lo veremos a continuación. √3 3 Definición de r. ¿Cómo sabemos que sen 30° , y sen 120° √ ? Por la geometría clásica. La verdad es que se puede hacer esta demostración empleando los conceptos de la geometría clásica exclusivamente. Para mí, dicha demostración es más ele- gante, pero en este documento empleo la trigonometría, ya que esto es lo que se me pidió que hiciera. Se emplea la regla de la genera- lización universal al final.
  6. 6. Unas cuantas propiedades de triángulos equiláteros y los tetraedros regulares 6 de 6 Una fórmula para la altura de un tetraedro regular Ya conocimos el uso de las reglas de la especificación y la generalización universal, por lo que podemos avanzar más rápidamente en esta demostra- ción. Primero, decimos Sea T un tetraedro regular, arbitrario. Sea a, un número real positivo, cuántas unidades (por ejemplo, metros) mi- den sus aristas. Ahora, definimos la altura como la longitud de un segmento perpendicular a la base, que une la base con el ápice. Aunque no lo demostraremos, este segmento es perpendicular a la base. Entonces, la altura es la longitud del segmento rojo. Los segmentos verde y rojo son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es una arista. La longitud del verde es √ . Por el Teorema de Pitágoras, √ . La altura se encuentra por medio de un despeje: √ √ . Esta fórmula se verifica para T, el cual es un tetraedro regular arbitrario. Por lo tanto, se verifica para todo tetraedro regular. T a T

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