Ejercicios resueltos de proporcionalidad-y-porcentajes

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problemas resueltos de proporcionalidad y porcentajes

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  • Realmente estupendo. Muy bien pensados y muy didácticos. Enhorabuena. Me gustaría saber si tiene más puiblicaciones.
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Ejercicios resueltos de proporcionalidad-y-porcentajes

  1. 1. EJERCICIOS PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 4º opción A PROPORCIONALIDAD - Proporcionalidad directa 1. ¿Son proporcionales los lados de un triángulo que miden 14 cm, 16 cm y 20 cm con otro triángulo cuyos lados miden 21 cm, 24 cm y 30 cm respectivamente? En caso afirmativo, indica en qué proporción es más grande el segundo triángulo. Solución: 20 cm 24 cm 24 cm 30 cm 14 cm 21 cm Si son proporcionales, ya que: 5,1 20 30 16 24 14 21 === Por tanto el segundo triángulo es un 50% más grande que el primero. 2. Una fuente arroja 250 litros de agua cada minuto y medio. ¿Cuántos litros arrojará en una hora? Solución: Relación de proporcionalidad: litros10000 5,1 60250 x 60 x 5,1 250 = ⋅ =⇒= 3. Se sabe que la altura y la sombra de un edificio son proporcionales. Si la sombra de un edificio de 30 m es 8 m, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 m? Solución: Sea x la altura del edificio: m45 8 12·30 x 12 x 8 30 ==⇒= El edificio mide 45 m 4. En un bizcocho para 10 personas se tenían que emplear 5 huevos, 2 vasos y medio de leche, 75 gramos de mantequilla y 8 cucharadas de azúcar. ¿Qué cantidad de cada ingrediente habrá que emplear para 8 personas?
  2. 2. Solución: - Huevos: 4x 8 x 10 5 =⇒= huevos - Leche: 2x 8 x 10 5,2 =⇒= vasos - Mantequilla: 60x 8 x 10 75 =⇒= gramos - Azúcar: 4,6x 8 x 10 8 =⇒= cucharadas 5. La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 6/5 y el mayor es 12. ¿Cuál es el menor? Solución: menoreles10 6 512 x 5 6 x 12 = ⋅ =⇒= 6. Una excursión tiene una relación chicos-chicas de 5 a 3. Se añaden 3 chicos más y la relación pasa a ser 2 a 1. ¿Cuántas personas hay en la excursión? Solución: El número de chicos antes de añadir 3 más es 5x y después, 5x + 3. El número de chicas en los dos casos es 3x 3xx63x5 1 2 x3 3x5 3 5 x3 x5 =⇒=+⇒= + ⇒= El número de chicos que va a la excursión es: 5 · 3 + 3 = 18 Y el número de chicas: 3 · 3 = 9 En total van: 18 + 9 = 27 personas - Repartos directamente proporcionales 1. Reparte 600 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 3. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: A 1 le corresponde: k A 2 le corresponde: 2 k A 3 le corresponde: 3 k Por tanto: 100k 600k6 600k3k2k = = =++ Luego a 1 le corresponde 1001001 =⋅ a 2 le corresponde 2001002 =⋅ a 3 le corresponde 3001003 =⋅ _____ 600 2. En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno. ¿Cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?
  3. 3. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: En el primer mueble se colocarán: 40 k En el segundo mueble se colocarán: 50 k Por tanto: 29k 2610k90 2610k50k40 = = =+ Luego en el primer mueble se colocarán 11602940 =⋅ libros en el segundo mueble se colocarán 14502950 =⋅ libros _____ 2610 3. El monitor de senderismo de los cursos A, B y C de 3º de Secundaria les ha dado a los alumnos una bolsa de etiquetas para identificar las plantas. Si la bolsa tiene 624 etiquetas y los cursos tienen 11, 13 y 15 alumnos, respectivamente, ¿cuántas le tocan a cada uno si cada alumno debe recibir la misma cantidad? ¿Y a cada grupo? Solución: Cantidad de reparto: 11 + 13 + 15 = 39. Número de repartos iguales: 16 39 624 = A cada uno le tocan 16 etiquetas. A 3º A le corresponden: 16 · 11 = 176 A 3º B le corresponden: 16 · 13 = 208 A 3º C le corresponden: 16 · 15 = 240 4 Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿cómo se repartirán el dinero? Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: Al primer jugador le corresponde: 12 k Al segundo jugador le corresponde: 15 k Al tercer jugador le corresponde: 18 k Por tanto: 800k 36000k45 36000k18k15k12 = = =++ Luego al primer jugador le corresponde 9600800·12 = euros al segundo jugador le corresponde 1200800·15 = euros al tercer jugador le corresponde 14400800·18 = euros ________ 2 475 000 5. Reparte 246000 en partes directamente proporcionales a 1500, 2000 y 2500. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa:
  4. 4. A 1500 le corresponde: 1500 k A 2000 le corresponde: 2000 k A 2500 le corresponde: 2500 k Por tanto: 41k 246000k6000 246000k2500k2000k1500 = = =++ Luego a 1500 le corresponde 61500411500 =⋅ a 2000 le corresponde 82000412000 =⋅ a 2500 le corresponde 102500412500 =⋅ _______ 246000 6. Se quieren repartir 396 m2 de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del terreno recibirá cada una? Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: A la primera familia le corresponde: 2 k A la segunda familia le corresponde: 4 k A la tercera familia le corresponde: 5 k Por tanto: 36k 396k11 396k5k4k2 = = =++ Luego a la primera familia le corresponde 2 m72362 =⋅ a la segunda familia le corresponde 2 m144364 =⋅ a la tercera familia le corresponde 2 m180365 =⋅ _____ 396 7. El número de alumnos de un colegio que están en 1º, 2º, 3º y 4º de la ESO es proporcional a 2, 2 ´5, 3 y 3´5 respectivamente. Si en total hay 484 alumnos, ¿cuántos hay en cada curso? Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: El número de alumnos en 1º ESO es: 2 k El número de alumnos en 2º ESO es: 2,5 k El número de alumnos en 3º ESO es: 3 k El número de alumnos en 4º ESO es: 3,5 k Por tanto: 44k 484k11 484k5,3k3k2,5k2 = = =+++ Luego en 1º ESO hay 88442 =⋅ alumnos en 2º ESO hay 110445,2 =⋅ alumnos en 3º ESO hay 132443 =⋅ alumnos en 4º ESO hay 154445,3 =⋅ alumnos _____ 484 - Proporcionalidad inversa
  5. 5. 1. Comprueba si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales y en caso afirmativo señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa: a) Mag. A 2 4 Mag. B 8 4 b) Mag. A 10 20 Mag. B 3 6 c) Mag. A 6 10 Mag. B 2,5 1,5 Solución: a) Sí son inversamente proporcionales, ya que, 164482 =⋅=⋅ , que es la constante de proporcionalidad inversa b) No son inversamente proporcionales, ya que, 620310 ⋅≠⋅ c) Sí son inversamente proporcionales, ya que, 155,1105,26 =⋅=⋅ , que es la constante de proporcionalidad inversa. 2. Si al repartir cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros. ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa? Solución: Buscamos la constante de proporcionalidad inversa: euros8 15 120 xx·1512020·6 12020·6 ==⇒== = 3. Con el agua de un depósito se llenan 630 botellas de 3/4 de litro, ¿cuántas botellas de 3/2 se necesitarán para almacenar la misma cantidad de agua? Solución: La constante de proporcionalidad inversa es medioylitrodebotellas315 5,1 5,472 x5,1x5,47275,0630 5,47275,0630 ==⇒⋅==⋅ =⋅ El tiempo que tarda un vehículo en recorrer una distancia depende de la velocidad empleada. Completa la siguiente tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre ambas magnitudes? ¿Cuántos kilómetros tiene el recorrido?
  6. 6. Velocidad (km/h) 90 120 Tiempo (horas) 5 3 2,5 Solución: Las magnitudes son inversamente proporcionales, puesto que, a mayor velocidad menos tiempo tardará el vehículo en recorrer la distancia. Velocidad (km/h) 54 90 108 120 Tiempo (horas) 5 3 2,5 2,25 Si tarda 5 horas la velocidad empleada es: 54 5 270 x5x270390 ==⇒⋅==⋅ km/h Si tarda 2 horas y media la velocidad es: 108 5,2 270 x5,2x270390 ==⇒⋅==⋅ km/h Si la velocidad es 120 km/h tardará: 25,2 120 270 xx120270390 ==⇒⋅==⋅ h.⇒ 2 horas y cuarto El recorrido tiene 270 kilómetros, que es la constante de proporcionalidad inversa. 4. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podrá durar el campamento si fuesen 15 alumnos más? Solución: Si fueran 60 alumnos el campamento podría durar: buscamos la constante de proporcionalidad inversa: días12xx607201645 7201645 =⇒⋅==⋅ =⋅ 5. María tarda 42 días en preparar un examen estudiando 4 temas y medio diarios, ¿cuántos temas debería estudiar cada día si solamente dispone de 35 días para preparar el examen? Solución: La constante de proporcionalidad inversa es: diariostemas4,5 35 189 xx351895,442 1895,442 ==⇒⋅==⋅ =⋅ - Repartos inversamente proporcionales 1. Reparte 78 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad inversa: A 2 le corresponde: 2 k A 3 le corresponde: 3 k
  7. 7. A 4 le corresponde: 4 k Por tanto: 72k 78 12 k13 78 4 k 3 k 2 k = = =++ Luego a 2 le corresponde 36 2 72 = a 3 le corresponde 24 3 72 = a 4 le corresponde 18 4 72 = _____ 78 2. Reparte 518 en partes inversamente proporcionales a 8, 10 y 12. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad inversa: A 8 le corresponde: 8 k A 10 le corresponde: 10 k A 12 le corresponde: 12 k Por tanto: 1680k 518 120 k37 518 12 k 10 k 8 k = = =++ Luego a 8 le corresponde 210 8 1680 = a 10 le corresponde 168 10 1680 = a 12 le corresponde 140 12 1680 = _____ 518 3. Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad inversa: A 5 le corresponde: 5 k A 10 le corresponde: 10 k Por tanto:
  8. 8. 1100k 330 10 k3 330 10 k 5 k = = =+ Luego a 5 le corresponde 220 5 1100 = a 10 le corresponde 110 10 1100 = _____ 330 PORCENTAJES - Aumentos y disminuciones porcentuales 1. El precio de la habitación de un hotel es 55 euros por día, si sube los fines de semana un 30%, ¿cuál es el valor de la subida? Solución: El 30 % de 55 es: 50,16 100 30·55 x 55 x 100 30 ==⇒= El hotel sube 16,50 euros los fines de semana. 2. Un apartamento está valorado en 80 000 euros. Está previsto que se revalorice su precio un 5% por año. ¿Cuánto valdrá dentro de 3 años? Solución: Año Valor inicial Valor final 1 80 000 80 000 · 1,05 = 84 000 2 84 000 84 000 · 1,05 = 88 200 3 88 200 88 200 · 1,05 = 92 610 - Porcentaje que representa una cantidad 1. Luis hace una limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje de zumo de limón que hay en la limonada? Solución: Líquido total: 12 + 8 = 20 Proporción de zumo de limón: 40,0 20 8 = El tanto por uno es de 0,40. El porcentaje es: 0,40 · 100 = 40% 2. Unas zapatillas deportivas están etiquetadas con 50 euros y tienen un descuento del 30%. a) ¿Cuántos euros se descuentan? b) ¿Cuánto hay que pagar?
  9. 9. Solución: a) Descuento: 50 · 0,3 = 15 euros b) Tiene que pagar: 50 − 15 = 35 euros 3. Un cultivo de bacterias de un laboratorio tiene 120 000 bacterias y adquiere una enfermedad que produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con un producto muy eficaz se consigue aumentar la población en un 14%. ¿Cuántas bacterias forman la población finalmente? Solución: 120 000 · 0,16 = 19 200 bacterias mueren. Quedan: 120 000 − 19 200 = 100 800 100 800 · 0,14 = 14 112 nacen. Luego forman la población: 100 800 + 14 112 = 114 912 bacterias 4. En la clase de 3º A, 15 de los 20 alumnos estudian francés como segunda lengua, y en la clase de 3º B 18 de los 25 alumnos. proporcionalmente, ¿dónde estudian francés más alumnos? Solución: Clase de 3º A: %75 20 100·15 x 100 x 20 15 ==⇒= Clase de 3º B: %72 25 100·18 y 100 y 25 18 ==⇒= El porcentaje es mayor en 3º A. En un anuncio de rebajas dice: Pijamas: Antes 15,75, ahora, 11,95. Zapatos: Antes 39,90, ahora 29,95. Se quiere saber: a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente? b) Si no es así, ¿cuál lo está más? Solución: Rebaja pijamas: 15,75 − 11,95 = 3,80 ⇒ Tanto por ciento de la rebaja: %126,24100· 75,15 80,3 = Rebaja zapatos: 39,90 − 29,95 = 9,95 ⇒ Tanto por ciento de la rebaja: %937,24100· 90,39 95,9 = Las rebajas son prácticamente las mismas, pero no están rebajados proporcionalmente pues: 90,39 95,9 75,15 80,3 = 5. Durante la primera cuarta parte de la liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40% de los puntos posibles. ¿Qué porcentaje de puntos debe ganar en las tres cuartas partes restantes para que al finalizar la liga tenga el 70% de los puntos posibles? Solución: Total de puntos: T 1ª cuarta parte: 4 T . En las otras 4 3 partes: 4 T3
  10. 10. 80 3 240 x 280x340 100 70 400 x340 100 70 ·T 400 x3 400 40 ·T 100 T70 400 Tx3 400 T40 100 T70 T· 100 70 )deT%70 400 Tx3 4 T3 · 100 x 4 T3 de%x 400 T40 T· 100 40 4 T de%40 == =+ = + =      + =+⇒         = == == Luego debe hacer el 80% de los puntos ¿Qué porcentaje de rectángulo ocupa cada una de las partes indicadas? Solución: Si B es la base del rectángulo y H, la altura, su área es: B · H Parte 1 = Parte 4 = 6 H·B 2 H· 3 B = ⇒ El porcentaje de cada parte es: %67,16100· 6 H·B = Parte 2 = Parte 3 = 3 H·B H· 3 B = ⇒ El porcentaje de cada parte es: %33,33100· 3 H·B = -Porcentajes encadenados 1. Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes? Solución: Subida: 120 · 1,20 = 144 euros Rebaja: 144 · 0,8 = 115,20 euros Vale menos que antes de la subida. 2. ¿Quién es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 250% del 5% de 50? Solución: 840· 100 20 80· 100 50 · 100 20 ==      25,65,2· 100 250 50· 100 5 · 100 250 ==      3. Una moto está etiquetada, sin IVA (16%),en 800 euros. El vendedor le dice que puede hacerle una rebaja del 20%. Calcula su coste final con porcentajes encadenados.
  11. 11. Solución: Coste: 800 · 0,8 · 1,16 = 742,40 euros

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