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Medidas de dispersion

Cálculo de medidas de dispersión mas comunes.

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Medidas de dispersion

  1. 1. Estadística y Probabilidad I Medidas de Dispersión Ciclo escolar 2013-2014
  2. 2. Dispersión o Variación • La dispersión o variación de los datos intenta dar una idea de cuan esparcidos se encuentran estos. Hay varias medidas de tal dispersión, siendo las mas comunes: – El Rango. – La Desviación Media. – El rango semi-intercuartil. – El rango percentil 10-90. – La desviación típica.
  3. 3. El Rango • El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos. • Ejemplo: el rango del conjunto 12, 3, 5, 8, 5, 2, 10, 3, 5 es
  4. 4. Desviación Media • La desviación media o desviación promedio, de un conjunto de N números X1, X2, … , XN es abreviada por MD y se define como N MD  X j 1 j N X  X X • Donde las barras | | denotan el valor absoluto del interior (El valor absoluto de un numero, es el numero sin signo; así |-4|=4, |3|=3, |6|=6, |-0.84|=0.84). Es decir, la desviación media es el promedio de las desviaciones absolutas.
  5. 5. Ejemplos • Calcule el rango y la desviación media de los siguientes datos • 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4 Rango= 6-2=4 MD= 1.3469 Promedios • 1.1, 1.2, 2.4, 5.5, 2.4, 1.2 – Rango= 5.5-1.1=4.4 – MD= 1.1333 Promedios Xj 2 4 6 2 5 2 4 3.5714 Xj-X̅ -1.5714 0.4286 2.4286 -1.5714 1.4286 -1.5714 0.4286 |Xj-X̅| 1.5714 0.4286 2.4286 1.5714 1.4286 1.5714 0.4286 1.3469 Xj 1.1 1.2 2.4 5.5 2.4 1.2 2.3 Xj-X̅ -1.2 -1.1 0.1 3.2 0.1 -1.1 |Xj-X̅| 1.2 1.1 0.1 3.2 0.1 1.1 1.1333
  6. 6. Desviación Típica y Varianza • La desviación típica (o desviación standard )de un conjunto de N números X1, X2, … , XN se denota por “s” y se define como  X N s j 1 X 2 j N  X  X  2 • Es decir, la desviación típica es la media cuadrática de las desviaciones. • La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación típica y viene dada en consecuencia por s2.
  7. 7. Ejemplos • Calcule la varianza y desviación típica de los siguientes datos 2 Xj • 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4 s2= 2.2449 s= 1.4983 Promedios • 1.1, 1.2, 2.4, 5.5, 2.4, 1.2 s2= 2.3533 s= 1.5340 Promedios Xj-X̅ (Xj-X̅) 2 4 6 2 5 2 4 3.5714 -1.5714 0.4286 2.4286 -1.5714 1.4286 -1.5714 0.4286 2.4693 0.1837 5.8981 2.4693 2.0409 2.4693 0.1837 2.2449 Xj 1.1 1.2 2.4 5.5 2.4 1.2 2,3 Xj-X̅ -1.2 -1.1 0.1 3.2 0.1 -1.1 (Xj-X̅)2 1.44 1.21 0.01 10.24 0.01 1.21 2.3533 2
  8. 8. Métodos Cortos para calcular la Desviación Típica • La formula anterior de la desviación típica puede reescribirse como  X Xj j 1  j 1 s  N N    N N 2 j 2     X 2   X 2     • Esta formula es muy útil cuando los valores de X no son muy grandes. • Si los valores de X son grandes, es preferible calcularlo a partir de la definición, o con la formula siguiente.
  9. 9. Métodos Cortos para calcular la Desviación Típica • Si dj=Xj-A son las desviaciones de Xj respecto de alguna constante arbitraria A, la expresión anterior  d  dj s  j 1   j 1  N N    N N 2 j 2     d 2  d 2     • Esta formula es muy útil, si los valores de X son muy grandes, encontramos un valor de A que haga cero la mayoría de las desviaciones, o para no trabajar con tantos números decimales.
  10. 10. Ejemplos • Calcule la desviación típica de los siguientes datos • 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4 s2= 15-3.57142=2.2451 s= 1.4984 Promedios Xj 2 4 6 2 5 2 4 3.5714 2 Xj2 4 16 36 4 25 4 16 15 Xj 2 4 6 2 5 2 4 A= 4 s  X  X  2 2 s  X  X  2 2 (Xj-A)2 4 0 4 4 1 4 0 2.4286 Xj-A -2 0 2 -2 1 -2 0 -0.4286 s  d  d  2 2 s2=2.4286-(-0.4286)2=2.2449 2 2 2 s  d  d  2 2 dj  X j  A
  11. 11. Propiedades de la desviación típica • En la mayoría de los problemas sociales se cumple que – 68.27% de los casos están entre X̅ -s y X̅+s (o sea, una desviación típica a cada lado de la media). – 95.45% de los casos están entre X̅-2s y X̅+2s (o sea, dos desviaciones típicas a cada lado de la media). – 99.73% de los casos están entre X̅ -3s y X̅+3s (o sea, tres desviaciones típicas a cada lado de la media).
  12. 12. Propiedades de la desviación típica • Supongamos que dos conjuntos de N1 y N2 números tienen varianzas dadas por s12 y s22 respectivamente, y tienen la misma media aritmética. Entonces la varianza combinada de ambos conjuntos vendrá dada por 2 N1s12  N 2 s2 2 s  N1  N 2 • Nótese que esto es una media aritmética ponderada de las varianzas. El resultado admite generalización a mas conjuntos

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  • Lpina27

    Mar. 11, 2015

Cálculo de medidas de dispersión mas comunes.

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