Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Longitud de una curva

239 views

Published on

longitud de una curva

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Longitud de una curva

  1. 1. Longitud De Una Curva La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendouna familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el valor obtenido como aproximación de la longitud de C. EJEMPLO GRAFICO Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
  2. 2. EJEMPLO GRAFICO Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2. Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es: Ejercicio. Vamos a determinar la longitud s del arco de una curva con ecuación y=f(x), comprendida entre los puntos A(a,f(a)), B(b,f(b)).
  3. 3. Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco AB en n partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos. Por ejemplo, el segmento DE tendrá como longitud Luego, tendremos una aproximación de la longitud de la curva AB, mediante la suma: Si aumentamos indefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que: Nos da el arco , siempre que el límite exista. Para expresar el límite como una integral tenemos lo siguiente: supongamos que la función con ecuación es continua y posee derivada continua en cada punto de la curva, donde hasta . Luego, por el teorema del valor medio para derivadas, existe un punto entre los puntos y de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda , esto es: Luego
  4. 4. Que por definición corresponde a la integral: (Hemos expresado como ). Como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si puede expresarse como función de , entonces la longitud del arco está dada por

×