Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Secuencias, un número detrás de otro
Domingo Gómez Pérez
Facultad de Ciencias
Universidad de Cantabria
Universidad Complut...
¿Qué es la aleatoriedad?
Idea de la definición
Una secuencia de números es aleatoria con una cierta distribución si
cada el...
El sorteo del servicio militar obligatorio de 1997
El proceso para determinar quienes formaban excedente era el
siguiente:...
El sorteo del servicio militar obligatorio de 1997
El proceso para determinar quienes formaban excedente era el
siguiente:...
El sorteo del servicio militar obligatorio de 1997
El proceso para determinar quienes formaban excedente era el
siguiente:...
Secuencias y Criptografía
Se necesitan muchos números aleatorios:
Generación de parámetros aleatorios.
Transport Layer Sec...
¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias?
. . . 101 . . .
Semilla
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 5 / ...
¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias?
. . . 101 . . .
f
. . . 000 . . .
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid,...
¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias?
. . . 101 . . .
f
. . . 000 . . .
g
salida0
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuenci...
¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias?
. . . 101 . . .
f
. . . 000 . . .
g
salida0
f . . . . . . . . .
Domingo Gómez...
¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias?
. . . 101 . . .
f
. . . 000 . . .
g
salida0
f . . . . . . . . .
g
salida1
Dom...
¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias?
. . . 101 . . .
f
. . . 000 . . .
g
salida0
f . . . . . . . . .
g
salida1
f ....
El k-generador de números pseudoaleatorios
Generador de números aleatorios que contiene:
Saltos condicionales dependiendo ...
El k-generador de números pseudoaleatorios
Generador de números aleatorios que contiene:
Saltos condicionales dependiendo ...
Generadores de números pseudoaleatorios
(usados en Criptografía)
Teóricos (basados en la máquina Turing Universal, BBS,. ....
El generador Dual EC
Basado en curvas elípticas.
Estandarizado por el NIST, ANSI y ISO.
Diseñado para ser seguro para “muc...
El generador Dual EC
Basado en curvas elípticas.
Estandarizado por el NIST, ANSI y ISO.
Diseñado para ser seguro para “muc...
Kleptography
La kleptography trata de:
Esconder información en textos cifrados.
Permitir puertas traseras a criptosistemas...
Esteganografía
La Esteganografía trata de:
Esconder información a la vista de todo el mundo.
Utilizar canales inseguros pa...
Marcas de agua
Las marcas de agua tratan de:
Permitir la recuperación de información en medios digitales.
No degradar la i...
Marcas de agua
Usos:
Monitorizar obras con derechos de autor.
Medir audiencias.
Demostrar modificación.
Domingo Gómez Pérez...
Modelización
Las imágenes se modelan como arrays multidimensionales, a las que
se embebe una marca de agua:
I : Nn
→ {0, 1...
Características de las marcas de agua
Deben ser posibles generar eficientemente.
Deben de ser difíciles de predecir.
Deben ...
Generación usando registros de desplazamiento
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 20 / 46
Moreno-Tirkel Multidimensional Watermarks
Esta familia de arrays tiene las siguientes características:
Baja autocorrelació...
¿Cuantas personas hay?
https://www.flickr.com/photos/francediplomatie/6886290153/in/photostream/
Domingo Gómez Pérez (UC) S...
Algoritmo Monte Carlo
Los algoritmos (o métodos) Monte Carlo son algoritmos que
devuelven un resultado basado en muestreos...
Algoritmo Monte Carlo
Problema
Dada la medición, hallar una fórmula para la desviación esperada sin
ninguna suposición adi...
Algoritmo Monte Carlo
Cruz, Gomez, Cruz-Orive. Efficient and Unbiased Estimation of Population Size.
Dividir una rejilla co...
¿Cuantas personas hay? (T= 500, t=50)
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 26 / 46
Algoritmo Monte Carlo
Cruz, Gomez, Cruz-Orive. Efficient and Unbiased Estimation of Population Size.
Nuestra contribución:
...
Algoritmos probabilistas para estimación de longitudes
Muchas veces, necesitamos saber propiedades geométricas de
curvas, ...
Moléculas de DNA
Podestà et al. Atomic force microscopy study of DNA deposited on poly L-ornithine
mica
Domingo Gómez Pére...
Algoritmo probabilista
El siguiente algoritmo aproxima la longitud de la curva:
Dibujar una rejilla con separación T,
pone...
Algoritmo probabilista
T = 37nm (Longitud real de la curva 416nm)
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 31 / 46
Matemáticas financieras
Hecho
80% de las operaciones bursátiles son automáticas.
Hecho
No existe un modelo suficientemente s...
Matemáticas financieras
Precios en derivados financieros
Bono: paga un interés especificado.
Acción: participación en una emp...
Matemáticas financieras
Precios en derivados financieros
Ofertamos un contingente financiero, ¿cuál es el precio justo?
Hipót...
Matemáticas financieras
Precios en derivados financieros
Ofertamos una European Call Option, ¿cuál es el precio justo?
Una a...
Arbitraje
Vendemos 4 European Call Options a 1/2 y compramos tres
acciones.
Si las acciones bajan, ganamos 1/2.
Si las acc...
Arbitraje
Vendemos 4 European Call Options a 1/2 y compramos tres
acciones.
Si las acciones bajan, ganamos 1/2.
Si las acc...
Arbitraje
Vendemos 4 European Call Options a 1/2 y compramos tres
acciones.
Si las acciones bajan, ganamos 1/2.
Si las acc...
Precio justo
Existe una fórmula para hallar el precio bajo ciertas restricciones.
[0,1)s
f(x)dP.
una primera aproximación ...
Métodos quasi Montecarlo
Los métodos quasi Montecarlo se basan en buscar buenos puntos
para evaluar la integral.
Son unifo...
Métodos quasi Montecarlo
Hemos propuesto nuevas secuencias de puntos:
Secuencias basadas en polinomios sobre cuerpos finito...
Radar
La idea para detectar objetos es la siguiente:
Emitir señales.
Recibir la señal emitida.
Calcular el retardo.
Doming...
Radar
1 1 −1 1 . . .
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 41 / 46
Radar
1 1 −1 1 . . .
1 −1 1 1 . . .
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 42 / 46
Radar
El producto escalar
1 1 −1 1
1 −1 −1
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 43 / 46
Radar
El producto escalar
1 1 −1 1
1 −1
Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 44 / 46
Barker sequences
Una secuencia de Baker (Baker sequence) es una secuencia para la
cuál las correlaciones son todas a lo su...
Secuencias y otras áreas
Secuencias utilizadas en criptografía tienen malas propiedades.
Pero arryas utilizados en estegan...
Secuencias y otras áreas
Secuencias utilizadas en criptografía tienen malas propiedades.
Pero arryas utilizados en estegan...
Secuencias y otras áreas
Secuencias utilizadas en criptografía tienen malas propiedades.
Pero arryas utilizados en estegan...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Secuencias, un número detrás de otro - Dr. Domingo Gómez Pérez

277 views

Published on

as secuencias de elementos son utilizadas en diversas áreas con diferentes usos. Son fundamentales para la aproximación numérica de integrales, en criptografía, para la localización de objetos en radar.... Dada la multitud de usos, muchas veces se requieren propiedades muy diversas e incluso contradictorias. Por ello, existen múltiples construcciones, adaptadas a resolver cada uno de los diferentes problemas. El objetivo de esta charla es dar una visión general de los usos de las secuencias. Esta charla estará dividida en tres bloques: En el primer bloque, se introducirá el estudio de secuencias desde el punto de vista de sus propiedades pseudo aleatorias con aplicaciones a la seguridad de la información. Esto incluye la generación de claves seguras eficientemente. Se discutirá la definición de pseudo aleatoriedad en múltiples dimensiones y la generación eficiente. En el segundo bloque se hablará de las secuencias para la aproximación numérica, utilizando muestreo automático. Esto es de especial aplicación en métodos quasi- Monte Carlo con aplicación a la matemática financiera y en la predicción de varianza de estimadores sistemáticos. En el último bloque se hablará de las secuencias utilizadas en la localización de objetos mediante la técnica radar.

Published in: Engineering
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Secuencias, un número detrás de otro - Dr. Domingo Gómez Pérez

  1. 1. Secuencias, un número detrás de otro Domingo Gómez Pérez Facultad de Ciencias Universidad de Cantabria Universidad Complutense de Madrid, 2016 Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 1 / 46
  2. 2. ¿Qué es la aleatoriedad? Idea de la definición Una secuencia de números es aleatoria con una cierta distribución si cada elemento es obtenido al azar, independientemente del resto y tiene una cierta probabilidad de estar en un cierto rango. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 2 / 46
  3. 3. El sorteo del servicio militar obligatorio de 1997 El proceso para determinar quienes formaban excedente era el siguiente: Cada aspirante recibía un número entre 1 y 165.342. Se extraían bolas de seis bombos diferentes. Si alguna extracción daba un número fuera de rango, se repetía la extracción. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 3 / 46
  4. 4. El sorteo del servicio militar obligatorio de 1997 El proceso para determinar quienes formaban excedente era el siguiente: Cada aspirante recibía un número entre 1 y 165.342. Se extraían bolas de seis bombos diferentes. Si alguna extracción daba un número fuera de rango, se repetía la extracción. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 3 / 46
  5. 5. El sorteo del servicio militar obligatorio de 1997 El proceso para determinar quienes formaban excedente era el siguiente: Cada aspirante recibía un número entre 1 y 165.342. Se extraían bolas de seis bombos diferentes. Si alguna extracción daba un número fuera de rango, se repetía la extracción. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 3 / 46
  6. 6. Secuencias y Criptografía Se necesitan muchos números aleatorios: Generación de parámetros aleatorios. Transport Layer Security. Firmas digitales. DSA. ElGamal. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 4 / 46
  7. 7. ¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias? . . . 101 . . . Semilla Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 5 / 46
  8. 8. ¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias? . . . 101 . . . f . . . 000 . . . Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 6 / 46
  9. 9. ¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias? . . . 101 . . . f . . . 000 . . . g salida0 Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 7 / 46
  10. 10. ¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias? . . . 101 . . . f . . . 000 . . . g salida0 f . . . . . . . . . Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 8 / 46
  11. 11. ¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias? . . . 101 . . . f . . . 000 . . . g salida0 f . . . . . . . . . g salida1 Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 9 / 46
  12. 12. ¿Cómo podemos generar secuencias aleatorias? . . . 101 . . . f . . . 000 . . . g salida0 f . . . . . . . . . g salida1 f . . . . . . . . . g salida2 Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 10 / 46
  13. 13. El k-generador de números pseudoaleatorios Generador de números aleatorios que contiene: Saltos condicionales dependiendo del valor de ciertos registros. Sumas, restas, complemento base 10. Selección de cifras. ¡Las secuencias convergían al número 6065038420! Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 11 / 46
  14. 14. El k-generador de números pseudoaleatorios Generador de números aleatorios que contiene: Saltos condicionales dependiendo del valor de ciertos registros. Sumas, restas, complemento base 10. Selección de cifras. ¡Las secuencias convergían al número 6065038420! Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 11 / 46
  15. 15. Generadores de números pseudoaleatorios (usados en Criptografía) Teóricos (basados en la máquina Turing Universal, BBS,. . .). Basados en registros de desplazamiento (LFSR). RC4. Generador Dual EC. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 12 / 46
  16. 16. El generador Dual EC Basado en curvas elípticas. Estandarizado por el NIST, ANSI y ISO. Diseñado para ser seguro para “muchos”, no todos. La vulnerabilidad fue patentada antes de ser pública. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 13 / 46
  17. 17. El generador Dual EC Basado en curvas elípticas. Estandarizado por el NIST, ANSI y ISO. Diseñado para ser seguro para “muchos”, no todos. La vulnerabilidad fue patentada antes de ser pública. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 13 / 46
  18. 18. Kleptography La kleptography trata de: Esconder información en textos cifrados. Permitir puertas traseras a criptosistemas seguros para usos legítimos. No debilitar los criptosistemas que implementan esto. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 14 / 46
  19. 19. Esteganografía La Esteganografía trata de: Esconder información a la vista de todo el mundo. Utilizar canales inseguros para transmitir información de forma segura. Promover comunicación anónima. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 15 / 46
  20. 20. Marcas de agua Las marcas de agua tratan de: Permitir la recuperación de información en medios digitales. No degradar la información que se transmite. Ser resistentes a ataques. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 16 / 46
  21. 21. Marcas de agua Usos: Monitorizar obras con derechos de autor. Medir audiencias. Demostrar modificación. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 17 / 46
  22. 22. Modelización Las imágenes se modelan como arrays multidimensionales, a las que se embebe una marca de agua: I : Nn → {0, 1} i → . . . . s : Nn → {0, 1} i → . . . . Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 18 / 46
  23. 23. Características de las marcas de agua Deben ser posibles generar eficientemente. Deben de ser difíciles de predecir. Deben poder ser detectadas en presencia de “ruido”. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 19 / 46
  24. 24. Generación usando registros de desplazamiento Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 20 / 46
  25. 25. Moreno-Tirkel Multidimensional Watermarks Esta familia de arrays tiene las siguientes características: Baja autocorrelación. Tienen buena complejidad lineal. Resistencia al ruido. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 21 / 46
  26. 26. ¿Cuantas personas hay? https://www.flickr.com/photos/francediplomatie/6886290153/in/photostream/ Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 22 / 46
  27. 27. Algoritmo Monte Carlo Los algoritmos (o métodos) Monte Carlo son algoritmos que devuelven un resultado basado en muestreos aleatorios. No se devuelve siempre el mismo resultado. No se tiene certeza del resultado. Si no tienen sesgo, puede hallarse aproximaciones tan buenas como queramos. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 23 / 46
  28. 28. Algoritmo Monte Carlo Problema Dada la medición, hallar una fórmula para la desviación esperada sin ninguna suposición adicional. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 24 / 46
  29. 29. Algoritmo Monte Carlo Cruz, Gomez, Cruz-Orive. Efficient and Unbiased Estimation of Population Size. Dividir una rejilla con cuadrados de lado T. Dentro de ese cuadrado, tomar un cuadrado pequeño de lado t. Lanzarlo sobre la figura y contar el número de personas dentro de cuadrados. Multiplicar ese número de personas por (T/t)2. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 25 / 46
  30. 30. ¿Cuantas personas hay? (T= 500, t=50) Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 26 / 46
  31. 31. Algoritmo Monte Carlo Cruz, Gomez, Cruz-Orive. Efficient and Unbiased Estimation of Population Size. Nuestra contribución: Proponer una regla de conteo sin sesgo. Dar una estimación del error en base a la sucesión de personas en cada cuadrado. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 27 / 46
  32. 32. Algoritmos probabilistas para estimación de longitudes Muchas veces, necesitamos saber propiedades geométricas de curvas, como por ejemplo, la longitud. En este caso, el problema es mucho más difícil: ¿Donde empieza y acaba la curva? ¿Qué forma parte de la curva? Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 28 / 46
  33. 33. Moléculas de DNA Podestà et al. Atomic force microscopy study of DNA deposited on poly L-ornithine mica Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 29 / 46
  34. 34. Algoritmo probabilista El siguiente algoritmo aproxima la longitud de la curva: Dibujar una rejilla con separación T, poner la curva encima de la rejilla con orientación arbitraria, calcular el número total de intersecciones I, la estimación es L = π/4TI. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 30 / 46
  35. 35. Algoritmo probabilista T = 37nm (Longitud real de la curva 416nm) Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 31 / 46
  36. 36. Matemáticas financieras Hecho 80% de las operaciones bursátiles son automáticas. Hecho No existe un modelo suficientemente simple que determine las subidas y bajadas en la bolsa. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 32 / 46
  37. 37. Matemáticas financieras Precios en derivados financieros Bono: paga un interés especificado. Acción: participación en una empresa. Contingente financiero: instrumento cuyo valor es determinado por otros instrumentos. European Call Option (premium). Asian Call Option. Cash-or-Nothing Option. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 33 / 46
  38. 38. Matemáticas financieras Precios en derivados financieros Ofertamos un contingente financiero, ¿cuál es el precio justo? Hipótesis del mercado eficiente. Las acciones no tienen dividendos. Las transacciones son inocuas. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 34 / 46
  39. 39. Matemáticas financieras Precios en derivados financieros Ofertamos una European Call Option, ¿cuál es el precio justo? Una acción que vale 1, y en un año puede valer 2 o 1/2. Queremos poner un premium de 1 euro. El precio justo parece ser 1/2 euro. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 35 / 46
  40. 40. Arbitraje Vendemos 4 European Call Options a 1/2 y compramos tres acciones. Si las acciones bajan, ganamos 1/2. Si las acciones suben, ganamos 1 euro. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 36 / 46
  41. 41. Arbitraje Vendemos 4 European Call Options a 1/2 y compramos tres acciones. Si las acciones bajan, ganamos 1/2. Si las acciones suben, ganamos 1 euro. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 36 / 46
  42. 42. Arbitraje Vendemos 4 European Call Options a 1/2 y compramos tres acciones. Si las acciones bajan, ganamos 1/2. Si las acciones suben, ganamos 1 euro. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 36 / 46
  43. 43. Precio justo Existe una fórmula para hallar el precio bajo ciertas restricciones. [0,1)s f(x)dP. una primera aproximación es: [0,1)s f(x)dP ≈ 1 N N i=1 f(xi). Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 37 / 46
  44. 44. Métodos quasi Montecarlo Los métodos quasi Montecarlo se basan en buscar buenos puntos para evaluar la integral. Son uniformemente distribuidos. Pueden ser generados eficientemente. Deben ajustarse a diferentes hipótesis sobre las funciones a evaluar. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 38 / 46
  45. 45. Métodos quasi Montecarlo Hemos propuesto nuevas secuencias de puntos: Secuencias basadas en polinomios sobre cuerpos finitos. Secuencias de puntos híbridas. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 39 / 46
  46. 46. Radar La idea para detectar objetos es la siguiente: Emitir señales. Recibir la señal emitida. Calcular el retardo. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 40 / 46
  47. 47. Radar 1 1 −1 1 . . . Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 41 / 46
  48. 48. Radar 1 1 −1 1 . . . 1 −1 1 1 . . . Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 42 / 46
  49. 49. Radar El producto escalar 1 1 −1 1 1 −1 −1 Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 43 / 46
  50. 50. Radar El producto escalar 1 1 −1 1 1 −1 Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 44 / 46
  51. 51. Barker sequences Una secuencia de Baker (Baker sequence) es una secuencia para la cuál las correlaciones son todas a lo sumo 1. Existen hasta longitud 13. No existen para longitudes menores que 1012. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 45 / 46
  52. 52. Secuencias y otras áreas Secuencias utilizadas en criptografía tienen malas propiedades. Pero arryas utilizados en esteganografía se pueden utilizar. Aunque búsquedas por ordenador muestran que son lejos de ser óptimas. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 46 / 46
  53. 53. Secuencias y otras áreas Secuencias utilizadas en criptografía tienen malas propiedades. Pero arryas utilizados en esteganografía se pueden utilizar. Aunque búsquedas por ordenador muestran que son lejos de ser óptimas. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 46 / 46
  54. 54. Secuencias y otras áreas Secuencias utilizadas en criptografía tienen malas propiedades. Pero arryas utilizados en esteganografía se pueden utilizar. Aunque búsquedas por ordenador muestran que son lejos de ser óptimas. Domingo Gómez Pérez (UC) Secuencias Madrid, 2016 46 / 46

×