Este documento discute três problemas geométricos da antiguidade: (1) a quadratura do círculo, que envolvia construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado; (2) a trissecção do ângulo, que envolvia dividir um ângulo em três partes iguais; e (3) a duplicação do cubo, que envolvia construir um cubo com o dobro do volume de um cubo dado. Esses problemas foram resolvidos por matemáticos gregos usando equações cúbicas que não pod

1. A GEOMETRIA E OS PROBLEMAS DA ANTIGUIDADE Prof: Renato Aquino Alunos: Hugo, Thaiana, Fernanda e Priscila

2. Nosso objetivo no presente trabalho é apresentar três problemas da antiguidade envolvendo geometria. Discorreremos ainda sobre sua história e apresentaremos suas soluções.

3. Problema 1: Quadratura do círculo

4. Este problema é considerado o mais famoso dos três problemas clássicos aqui mencionados. Por volta do século V a.C., o surgimento de uma figura não delimitada por segmentos de retas causou estranheza para os matemáticos em geral. Assim, eles passaram a tentar compreender o que significava esta área circular comparando-a com o quadrado, que era uma figura conhecida. Assim, surge a tentativa de quadrar o círculo.

5. Mas, o que seria quadrar o círculo? Este problema consistia em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo. Suponhamos que este círculo tenha raio r . Logo, sua área será igual a x². Suponha, agora, que o quadrado a ser construído tenha lado x . Logo, sua área é Assim, teremos que, ou seja,

6. O problema da quadratura do círculo foi resolvido por Dinóstrato. A quadratura tornou-se uma questão simples quando foi observada uma notável propriedade da extremidade Q da trissectriz de Hípias. Se a equação da trissectriz é onde a é o lado do quadrado ABCD associado a curva, então o limite de r, quando  tende a zero, é

7. PROBLEMA 2:TRISECCÇÃO DO ÂNGULO

8. Durante esta mesma época, séculos V e IV aC, um outro problema circulava em Atenas: “dado um ângulo arbitrário, construir com régua e compasso apenas um ângulo igual à terça parte do ângulo dado”. Ao contrário dos outros dois problemas clássicos, a trissecção do ângulo é possível para determinadas amplitudes. Este problema perturbou os gregos pois, apesar de parecer-lhes simples, tornou-se uma tarefa difícil de ser solucionada, já que a equação usada para resolver este problema é cúbica e, como sabemos, as raízes cúbicas não são construtíveis utilizando-se régua não graduada e compasso.

9. Conforme Eduardo Wagner (1998), “um ângulo será construtível com régua e compasso, no sentido óbvio do termo, se e somente se, seu cosseno (ou seu seno) for construtível”. Para sabermos se determinado ângulo pode ser trisseccionado, basta substitui-lo na equação trigonométrica Se a equação resultante for do terceiro grau, a trissecção do dado ângulo será impossível. Mas, considerando-se obtemos que seu cosseno é ½ e, portanto, como ½ é racional, temos que o ângulo de 60 o é trisseccionável.

10. PROBLEMA 3: DUPLICAÇÃO DO CUBO

11. Conta a lenda que, por volta de 427 a.C., uma terrível peste dizimou aproximadamente ¼ da população de Atenas. Nessa catástrofe, é que surge o terceiro problema da Antiguidade. Conta-se que um grupo de pessoas fora enviada ao oráculo de Apolo, em Délus, para perguntar de que forma eles poderiam combater tal peste. O oráculo, então, respondeu que o seu altar cúbico deveria ser duplicado. Os atenienses, de imediato, dobraram todas as dimensões do altar e, mesmo assim, a peste continuou a atacar. Segundo Platão, a verdadeira intenção do deus era a de envergonhar os gregos por seu total desprezo com a matemática e com a geometria em particular.

12. Note que, para este segundo cubo, o volume passa a ser 8x³. Ou seja, ao dobrarmos as dimensões do cubo de lado x, multiplicando por 8 o seu volume e não por 2, como pensavam os atenienses. Essa história, diz a lenda, foi a origem do problema da duplicação do cubo ou problema Deliano.

13. Podemos concluir que, para duplicar um cubo de aresta a, precisamos construir um outro cubo de aresta x cujo volume seja 2a³. Desta forma, chegamos a uma equação do terceiro grau, que não pode ser construída apenas com compasso e régua não graduada.

14. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ARTIGO “ Problemas Clássicos da Antigüidade” DE Eliane Maria Bossle e Luciane Gobbi