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Calcul des éléments de constructions métalliques selon l'Eurocode 3.
Book · December 2012
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Lahlou Dahmani
Université Mouloud Mammeri de Tizi Ouzou
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Solution de la série de TD N°3 : Calcul des pannes et des lisses
1
Faculté du Génie de la Construction
Département de Génie Civil
S1 M1 Professionnel (Option CM)
Série de TD : Calcul des pannes et des lisses de bardage
EXO N°1 :
Déterminer la section optimale de la panne intermédiaire de longueur 5.0 m entre axe
horizontal 2.0 m, supportant les charges suivantes :
Un complexe de bardage (bacs acier + accessoires de pose) : 17.0 kg/m2
.
Le poids propre estimé de la panne est de : 12.0 /
kg ml
Surcharge d’entretien (toiture inaccessible) : 60 kg/m2
.
Surcharge du vent : : 2
65.0 /
V daN m
  .( Zone H) (Perpendiculaire au versant)
Surcharge de la neige : 2
68.0 /
N daN m
 . (Par projection horizontale.)
EXO N°2 :
Faire un calcul de vérification à la sécurité de la lisse de bardage en IPE 120 de longueur 5.0
m., entre axe 2.0 m., supportant un complexe de bardage (bacs acier) de poids : 23.0 kg/m2
,
d’isolant de 5.0 kg/m2
, et d’accessoire de pose de 5.0 kg/m2
.
La pression engendrée par le vent est de : 2
55.3 /
V daN m
  . (Paroi D)

2
Légende pour l’EXO N°1 :
Légende pour l’EXO N°2 :
y
y
z
z
Sd
y
Q .
Sd
z
Q .
Sd
Q

V
l
Sd
z
Q .
Plan z-z
G
l
Sd
y
Q .
Plan y-y

3
Solution
EXO N°1 : Calcul des pannes
1. Charges et surcharges par mètre linéaire revenant à la panne intermédiaire :
1.1. charges permanentes G : (par m2
de la couverture).
ml
kg
G /
47
12
04
.
2
17 


 ↓
ml
daN
G /
47

1.2. surcharge climatique du vent V : (perpendiculaire au versant).
Voir Série n°1 :
Les pannes intermédiaires se trouvent dans les zones H et I.
Direction du vent V1 : 2
65 /
V daN m
  ↑ (vers le haut)
65 2.04 132.6 /
V daN ml
  
1.3. surcharge climatique de neige N : (par projection horizontale).
Voir Série n°1 :
68 2.0 136 /
N kg ml
   ↓

G
V


4
Surcharges d’entretien : E
Dans le cas des toitures inaccessibles (catégorie H), le règlement Eurocode 1 préconise une
charge d’entretien 2 2
0.6 / 60 /
E kN m daN m
  pour les toitures ayant la pente du versant :
30
 

60 2.04 122.4 /
E daN ml
  
2. Combinaisons de charge les plus défavorables :
Actions vers le bas : 
1 1.35 1.5 1.35 47 1.5 122.04 243.81 /
Sd
Q G E daN ml
      
ml
daN
N
G
QSd /
5
.
267
136
5
.
1
47
35
.
1
5
.
1
35
.
1
2 






Actions vers le haut:
. cos 1.5 47cos10.62 1.5 132.6 152.7 /
z Sd
Q G V daN ml

       
. 1.35 sin 1.35 47sin10.62 11.69 /
y Sd
Q G daN ml

    ←
daN
kgf 1
1 
Remarque :
D’après le nouveau règlement (DTR), les charges climatiques ne se combinent pas avec la
surcharge d’entretien.
Les combinaisons les plus défavorables à retenir pour les calcules :
N Cos 
N


5
Actions vers le bas :
ml
daN
QSd /
5
.
267
 
Action vers le haut:
. 152.7 /
z Sd
Q daN ml
  
. 11.69 /
y Sd
Q daN ml
 ←
3. Vérification à l’ELU
3.1- Vérification de la section à de la résistance :
3.1.1- Vérification à la flexion :
max 267.5 /
Sd
Q Q daN ml
 
Plan z-z
Sd
z
M .
Sd
y
Q .
l 2
/
l
Sd
z
Q .
2
/
l
Sd
y
M .
Plan y-y
Par tâtonnement on choisit le profilé suivant IPE 120
Classe de la section :
Classe de la semelle : (semelle comprimée)

10
2
/


f
f t
b
t
c
avec : 0
.
1
235
235
235



y
f

/ 2 64 / 2
5.07 10
6.3
f
b
t
    semelle de classe 1.
Classe de l’âme : (âme fléchie)

72


w
f t
d
t
c
93.4
21.22 72
4.4
w
d
t
    âme de classe 1.
La section est de classe 1

y
ySd
Q
zSd
Q
z
z
y

6
Remarque :
Les profilés laminés de calibres inférieurs ou égales à l’IPE 200, sont généralement d’une
section de classe 1.
Nature de la sollicitation : Flexion déviée
0
.
1
.
.
.
.




















Rd
plz
Sd
z
Rd
ply
Sd
y
M
M
M
M
où  et  sont des constantes qui placent en sécurité si elles sont prises égale à l’unité, mais
qui peuvent prendre les valeurs suivantes :
 sections en I et H : 2

 et 1
5 
 n
 ; avec : pl
N
N
n /

ml
daN
QSd /
5
.
267
 
ml
daN
Q
Q Sd
Sd
z /
263
cos
. 
 
ml
daN
Q
Q Sd
Sd
y /
3
.
49
sin
. 
 
2 2
.
.
263.0 5.0
822.0
8 8
z Sd
y Sd
Q l
M daNm

   (sur deux appuis)
2 2
.
.
( / 2) 49.3 2.5
38.5
8 8
y Sd
z Sd
Q l
M daNm

   (sur trois appuis)
Remarque :
Dans notre cas, l’effort normal ( 0

N )  1


Caractéristiques géométriques de la section : IPE 120
3
. 53cm
W y
el  ; 3
. 64
.
8 cm
W z
el  ; 3
. 7
.
60 cm
W y
pl  ; 3
. 6
.
13 cm
W z
pl 
0 1.1
M
  coefficient partiel de sécurité du matériau vis-à-vis de la résistance.
2
.
.
0
60.7 2350 10
1296.8
1.1
pl y y
ply Rd
M
W f
M daNm


 
  
2
.
.
0
13.6 2350 10
290.54
1.1
pl z y
plz Rd
M
W f
M daNm


 
  
0
.
1
53
.
0
54
.
290
5
.
38
8
.
1296
822
1
2
.
.
.
.



































Rd
plz
Sd
z
Rd
ply
Sd
y
M
M
M
M
………………vérifiée.

7
3.1.2- Vérification au cisaillement :
La vérification au cisaillement est donnée par les formules suivantes :
Rd
plz
Sd
z V
V .
.  ; Rd
ply
Sd
y V
V .
. 
0
.
)
3
/
.(
M
y
vz
Rd
plz
f
A
V

 ;
0
.
)
3
/
.(
M
y
vy
Rd
ply
f
A
V


IPE 120 : 2
3
.
6 cm
Avz  ; 2
6
.
8 cm
Avy 
  daN
f
A
V
M
y
vz
Rd
plz 7771
1
.
1
3
/
2350
3
.
6
)
3
/
.(
0
. 




8
 
.
0
8.6 2350 / 3
.( / 3)
10607
1.1
vy y
ply Rd
M
A f
V daN

  
.
. .
263 5.0
657.5 0.5
2 2
z Sd
z Sd plz Rd
Q l
V daN M

   
. . .
0.625 .( / 2) 0.625 49.3 2.5 77.1 0.5
y Sd y Sd ply Rd
V Q l daN M
     
Il n’ya pas d’interaction du moment de résistance plastique vis-à-vis de l’effort tranchant.
daN
V
daN
V Rd
plz
Sd
z 7771
5
.
657 .
. 
  ………………………..O.K.
daN
V
daN
V Rd
ply
Sd
y 10607
1
.
77 .
. 
  ………………………..O.K.
2
235 2350 /
y
f Mpa daN cm
  limite d’élasticité du matériau (S235)
La section en IPE 120 est vérifiée à la résistance.
Remarque :
Dans le cas des sections symétriques en (I et H) L’effort tranchant z
V est repris par la section
de l’âme ( vz
A ), et l’effort tranchant y
V est repris par la section des deux semelles ( vy
A ).
( vy
A et vz
A ) sont tirées directement des nouveaux tableaux des profilés.
3.2- Vérification de l’élément au déversement :
Déversement = Flambement latéral + Rotation de la section transversale.
Semelle supérieure :
La semelle supérieure qui est comprimée sous l’action des charges verticales descendantes est
susceptible de déverser. Vu qu’elle est fixée à la toiture il n’y a donc pas risque de
déversement.
Semelle inférieure :
La semelle inférieure qui est comprimée sous l’action du vent de soulèvement est susceptible
de déverser du moment quelle est libre tout au long de sa portée.
Vérification de la semelle inférieure comprimée au déversement :
Action vers le haut :
. 152.7 /
z Sd
Q daN ml
   ; . 11.69 /
y Sd
Q daN ml
 ←
2 2
.
.
152.7 5.0
477.2
8 8
z Sd
y Sd
Q l
M daNm

  
2 2
.
.
( / 2) 11.69 2.5
9.13
8 8
y Sd
z Sd
Q l
M daNm

  

9
2
.
.
1
60.7 2350 10
1296.8
1.1
pl y y
ply Rd
M
W f
M daNm


 
  
2
.
.
1
13.6 2350 10
290.54
1.1
pl z y
plz Rd
M
W f
M daNm


 
  
1 1.1
M
  coefficient partiel de sécurité du matériau vis-à-vis du déversement.
La formule de vérification au déversement est la suivante :
0
.
1
.
.
.
.


Rd
plz
Sd
z
Rd
b
Sd
y
M
M
M
M
Calcul du moment résistant au déversement : Rd
b
M .
.
1
.
.
y y
b Rd LT
M
W f
M 


y
W est le module de résistance approprié.
y ply
W W
 section de classe 1 et 2.
.
. .
1
.
.
pl y y
b Rd LT LT ply Rd
M
W f
M M
 

 
Calcul du coefficient de réduction pour le déversement : LT

Méthode graphique : (par les courbes de flambements)
LT
 est déterminé dans les tableaux de  en fonction l’élancement réduit LT
 est de la
courbe de flambement appropriée.
Calcul de l’élancement réduit LT
 :
.
y y
LT
cr
W f
M
 
Où :
cr
M est le moment critique de déversement élastique.
Calcul du moment critique du déversement élastique cr
M :
Afin de simplifier les calcules, on suppose que la charge est appliquée au centre de gravité de
la section.

10
2
2
1 2 2
w t
z
cr
z z
I L GI
EI
M C
L I EI


 
IPE 120 :
4
1.74
t
I cm
 moment d’inertie de torsion
3 6
0.89 10
w
I cm
  facteur de gauchissement
4
27.65
z
I cm
 moment d’inertie autour de l’axe z.
5.0
L m
 longueur de flambement latérale z
l
1
C : facteur sans dimension qui dépend de la nature du diagramme des moments.
1 1.132
C  charge uniformément répartie
0.5
2 4 2 3
2 2 4
2.1 10 27.65 890 500 8 10 1.74
1.132
500 27.65 2.1 10 27.65
cr
M


 
     
  
 
  
 
0.5
7
2
5730785.795 348 10
1.132 32.18 656.17 . 6.56
500 5730785.795
cr
M kN cm kNm
 

    
 
 
60.7 23.5
1.47
656.17
LT


 
Pour les sections en I et H on peut utiliser la formule suivante :
 
0.5
1
.
LT
LT w

 

 
  
 
avec 1.0
w
  section de classe 1 et 2.
avec : 
 9
.
93
1  et
y
f
235


0.25
2
0.5
1
/
/
1
1
20 /
z
LT
z
f
L i
L i
C
h t
 
 
 
 
  
 
 
 
 
IPE 120 : cm
iz 45
.
1
 ; cm
h 12
 ; 0.63
f
t cm

0.25
2
0.5
500 /1.45
158.7
1 500 /1.45
1.132 1
20 12 / 0.63
LT
  
 
 

 
 
 
 
 
;  
0.5
1
158.7
. 1.69
93.9
LT
LT w

 

 
  
 
 
Section laminée / 12 / 6.4 1.875 2
h b    courbe de flambement a. ( 0.21
LT
  )

11
2 2
0.5 1 ( 0.2) 0.5 1 0.21(1.47 0.2) 1.47 1.713
LT LT LT LT
   
   
        
   
0.5 0.5
2 2 2 2
1 1
0.3857
1.713 1.713 1.47
LT
LT LT LT

  
  
   
   
   
Calcul du coefficient de réduction pour le déversement LT
 :
Pour : 1.47
LT
  et pour la courbe de flambement a :
On lit dans le tableau de  (voir annexe) la valeur de : 0.3854
LT
 
. .
. 0.3857 1296.8 500.2
b Rd LT ply Rd
M M daNm

   
. .
. .
482 6.76
0.68 1.0
730 290.54
y Sd z Sd
b Rd plz Rd
M M
M M
     ……………..Vérifiée
Le profilé choisi IPE 120 est vérifié au déversement.
Conclusion :
Le profilé IPE 120 est vérifié à l’état limite ultime.
4- Vérification à la flèche :
Le calcul de la flèche se fait par la combinaison de charges et surcharges de services (non
pondérées).
1 47 136 183 /
Sd
Q G N kg ml
     
2 47 133.62 86.62 /
Sd
Q G V kg ml
      
1 2
( , ) 183 /
Sd Sd Sd
Q Max Q Q kg ml
 
. .cos 179.8 /
z Sd Sd
Q Q kg ml

 
. .sin 33.7 /
y Sd Sd
Q Q kg ml

 

12
Condition de vérification :
ad
f
f 
avec :
200
l
fad 
 Flèche verticale (suivant zz’): sur deux appuis ; cm
l
fad 5
.
2
200
500
200



y
Sd
z
z
I
E
l
Q
f
.
.
.
384
5 4
.

 
ad
z f
cm
f 
19
.
2
8
.
317
10
1
.
2
500
.
10
8
.
179
.
384
5
6
4
2






………………………………OK.
 Flèche latérale (suivant yy’): sur trois appuis ; cm
l
fad 25
.
1
200
250
200
2
/



z
Sd
y
y
I
E
l
Q
f
.
)
2
/
.(
.
384
05
.
2
4
.

 
ad
y f
cm
f 
12
.
0
65
.
27
10
1
.
2
250
.
10
7
.
33
.
384
05
.
2
6
4
2






……………………………..OK.
Le profilé en IPE 120 est vérifié à l’état limite de service.
Conclusion générale :
Le profilé en IPE 120 est vérifié aux états limites ultimes et de services donc vérifié à la
sécurité et convient comme panne de toiture.
y
y
z
z
Sd
y
Q .
Sd
z
Q .
Sd
Q


13
EXO N°2 : Calcul des lisses de bardage
1- Calcul des efforts pondérés agissants sur la lisse :
Charges permanentes : (perpendiculaire à l’âme)
Bardage :…………………………………………………………………….…..12.0 kg/m2
Accessoires de poses…………………………………………………………......5.0 kg/m2
Isolants :…………………………………………………………………….……5.0 kg/m2
Poids propre de la lisse : (IPE 120)…..………………………………………....10.4 kg/ml
ml
kg
G /
4
.
54
4
.
10
0
.
2
)
5
5
12
( 





Surcharges climatiques du vent: (suivant le plan de l’âme)
55.3 2.0 110.6 /
V daN ml
  
Combinaison de charges les plus défavorables :
1.35 1.5
G V

Poutre sur deux appuis :
2 2 2
.
.
(1.5 ) 1.5 110.6 5
518.44
8 8 8
z Sd
y Sd
Q l V l
M daNm
 
   
1 1
kgf daN

Poutre sur trois appuis :
2 2 2
.
.
(1.35 )( / 2) 1.35 54.4 (5 / 2)
57.4
8 8 8
y Sd
z Sd
Q l G l
M daNm
 
   
2- Vérification de la résistance en section :
2.1- Vérification à la flexion bi-axiale :
0
.
1
.
.
.
.




















Rd
plz
Sd
z
Rd
ply
Sd
y
M
M
M
M
où  et  sont des constantes qui placent en sécurité si elles sont prises égale à l’unité, mais
qui peuvent prendre les valeurs suivantes :
- sections en I et H : 2

 et 1
5 
 n

V
l
Sd
z
Q .
Plan z-z
/ 2
l
G
/ 2
l
Sd
y
Q .
Plan y-y

14
avec : /
Sd pl
n N N

Caractéristiques géométriques de l’IPE 120 :
3
. 53cm
W y
el  ; 3
. 64
.
8 cm
W z
el 
3
. 7
.
60 cm
W y
pl  ; 3
. 6
.
13 cm
W z
pl 
4
8
.
317 cm
Iy 
4
65
.
27 cm
Iz 
2
.
0
60.7 2350 10
1296.8
1.1
ply y
ply Rd
M
W f
M daNm


 
  
2
.
0
13.6 2350 10
290.54
1.1
plz y
plz Rd
M
W f
M daNm


 
  
Remarque :
Dans notre cas, l’effort normal ( 0
Sd
N  )  1


2 1
. .
. .
518.44 57.4
0.36 1.0
1296.8 290.6
y Sd z Sd
ply Rd plz Rd
M M
M M
 
       
   
       
       
   
 ………………….…OK.
2.2- Vérification au cisaillement :
La vérification au cisaillement est donnée par les formules suivantes :
Rd
plz
Sd
z V
V .
. 
0
.
)
3
/
.(
M
y
vz
Rd
plz
f
A
V

 ; Rd
ply
Sd
y V
V .
. 
0
.
)
3
/
.(
M
y
vy
Rd
ply
f
A
V


IPE 120 : 2
3
.
6 cm
Avz  ; 2
6
.
8 cm
Avy 
.
(1.5 ) 1.5 110.6 5.0
414.75
2 2
z Sd
V l
V daN
 
  
. 0.625(1.35 ).( / 2) 0.625 1.35 54.4 2.5 114.8
y Sd
V G l daN
     
.
0
.( / 3) 6.3(2350 / 3)
7771
1.1
vz y
plz Rd
M
A f
V daN

  

15
.
0
.( / 3) 8.6(2350 / 3)
10607
1.1
vy y
ply Rd
M
A f
V daN

  
. .
414.75 7771 ............................................
z Sd plz Rd
V kg V daN OK
 

. .
114.8 10607 ............................................
y Sd ply Rd
V kg V daN OK
 

3- Vérification de l’élément au déversement :
Déversement = Flambement latéral de la partie comprimée + Rotation de la section
transversale.
Semelle comprimée :
Il n y a pas de risque de déversement de la lisse du moment que la semelle comprimée est
soutenue latéralement sur toute sa longueur par le bardage.

16
4- Vérification à l’ELS :
4.1- Vérification à la flèche :
Le calcul de la flèche se fait par les combinaisons de charge et surcharge de service (non
pondérées).
V
G
Q 

Condition de vérification : ad
f
f  avec :
200
l
fad 
 Flèche verticale (suivant yy): (sur trois appuis)
cm
l
fad 25
.
1
200
250
200
2
/



z
y
I
E
l
G
f
.
)
2
/
.(
.
384
05
.
2 4

 
ad
y f
cm
f 
195
.
0
65
.
27
10
1
.
2
250
.
10
4
.
54
.
384
05
.
2
6
4
2






……………..OK.
 Flèche horizontale (suivant zz): (sur deux appuis)
cm
l
fad 5
.
2
200
500
200



y
z
I
E
l
V
f
.
.
.
384
5 4

 
4
2
6
110.54 10 . 500
5
. 1.35
384 2.1 10 317.8
z ad
f cm f


 
 
 …………………OK.
Conclusion :
La lisse de bardage en IPE 120 est vérifiée à la sécurité
G
l
Sd
y
Q .
Plan y-y
V
l
Sd
z
Q .
Plan z-z

17
ANNEXE
Valeurs du coefficient de réduction χ (ksi):
Courbe de flambement a :

18
ANNEXE (suite)
Courbe de flambement b :

19
ANNEXE (suite)
Courbe de flambement c :
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