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Doing Bayesian Data Analysis Chapter 11. Null Hypothesis Significance Testing

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Doing Bayesian Data Analysis Chapter 11. Null Hypothesis Significance Testing

  1. 1. CHAPTER 11 NULL HYPOTHESIS SIGNIFICANCE TESTING Hiroki Takanashi (takanashi@r.recruit.co.jp)
  2. 2. 本章のサマリ • NHST(帰無仮説検定)とベイジアン分析との対比を説明 • 新しい手法の提示はでなく、帰無仮説検定の問題点の提示と、 ベイジアン分析が優れている理由を述べている章 ★帰無仮説検定の問題点 データの解釈が実験者の「意図 (内心)」でに依存するた め、対象とする可能性空間の設定方法次第で、検定結果が変わ る 実験者がデータを逐次みながら検定を考えることで、本来 の検定結果よりも有意度が高く出てしまう(false alarm) ★ベイジアン分析が優れている点 事後確率(posterior)の分析が全てなので、実験者の意図によっ てデータの解釈が変わることがない。 観測対象に対する知識などを事前確率(priterior)に含める、明 らかな議論となるので、実験者の「内心」には関係しない
  3. 3. 【導入】帰無仮説検定とベイジアン 分析 ベイジアン分析は、伝統的な帰無仮説検定 (NHST)と対応させることができる。具体的 には以下の問題を例として2つを比較す る。 問題 “26回コインを投げて8回表が出 た。このコインは偏っているか?”
  4. 4. 【導入】帰無仮説検定の問題 • NHSTの結果は、実験者の意図(内心)に 左右される。 • 観測結果は同じN=26、z=8でも • ①N=26となるように投げた(つもり) • ②z=8となるように投げた(つもり) • ③1分間投げ続けた(つもり) によって、NHSTの際に設定する可能性空 間が変わるため、検定(コインの公正さ)の 結論が変わってしまう
  5. 5. 11.1 コインの偏りの帰無仮説検定 • 「コインが偏っている」ことの帰無仮説検 定 コインが偏っていることに対する帰無仮説 “コインは偏っていない(θ=0.5)” を一定の有意水準(ex. 5%)で棄却できれ ば、 「コインは偏っている(だろう」と言える。
  6. 6. 11.1.1 N=26固定として投げた場合 N回コインを投げて、z回表になる確 率 θ=0.5としたときの、確率分布
  7. 7. 11.1.1 N=26固定として投げた場合 2.5% 2.5% サンプルのzが、確率分布の両端5%に含まれている ならば帰無仮説を否定できる 95% 今回(z=8)は両端に含まれないので、帰無仮説は否 定されない(偏っているとは言えない)
  8. 8. 11.1.2 z=8固定として投げた場合 z回表がでるまでにN回コインを投げる確 率 θ=0.5としたときの、確率分布
  9. 9. 11.1.2 z=8固定として投げた場合 2.5% 2.5% サンプルのNが、確率分布の両端5%に含まれている ならば帰無仮説を否定できる 95% 今回(N=26)は両端に含まれるので、帰無仮説は否定 される(偏っていると言える)
  10. 10. 11.1.3 “内心”の詮索 • 観測結果は同じN=26、z=8でも • ①N=26となるように投げた(つもり) • →帰無仮説が否定されなかった(コイ ンが偏ってるとは言えない) • ②z=8となるように投げた(つもり) • →帰無仮説が否定された(コインが 偏っていると言える) • NHSTの結果は、実験者の意図(内心) に左右されてしまっている。(よろしく ない)
  11. 11. 11.1.3 “内心”の詮索 • 実際の環境では実験者は”予備的な”データ 収集を行って、データを観察する • ①現在集まっているデータに対して帰無仮説検 定を実施 • ②有意な結果が得られたら終了、有意でなけれ ばデータをさらに集めて①を繰り返す ⇒このような操作を行うと、有意水準を5% としても、誤って有意だと判定する(false alarm)可能性はそれ以上に上がる
  12. 12. 11.1.3 “内心”の詮索 試行回数 false alarmとなる検定結果を 生み出せる確率 10 5.5% 20 10.7% 30 14.9% 40 15.4% 50 17.1% 【例】本当は偏りのないコインを毎回投げ る。 毎回ごとに有意水準5%でNHSTを行い、有 意な結果(帰無仮説を否定)が出たら終了する。
  13. 13. 11.1.4 ベイジアン分析 • ベイジアン分析では、観測されたデータの みを扱う。NHSTのように(未観測の)”可能 性の空間”を仮定することはない。 • よって、ベイジアン分析では、データの解 釈が実験者の主観に依存することはない。 • N回コインを投げた時z回表がでる尤度 (likelihood)は常に
  14. 14. 11.2 観測対象に対する事前知識 【例】コインではなく釘を投げる場合 •釘が表(立った状態)になりづらい、 という事前知識を実験者は持っている •「釘が公正か?」を検定したい 釘が「立ったら」表
  15. 15. 11.2.1 帰無仮説検定 • 帰無仮説検定では、コインの性質(表が出 やすいなど)に対する事前知識を含められ ない • 釘を26回投げて8回表が出た場合も、「釘 が偏っていない(θ=0.5)と言えなかった」と いう検定結果しか主張できない。
  16. 16. 11.2.2 ベイジアン分析 • ベイジアン分析であれば、「釘は表になり にくい」という事前知識を事前確率(prior) に含めることができる • Ex) 20回投げて2回しか表が出そうにない • ⇒ beta(θ | 2, 20) を事前確率として用い る この事前確率を、N=26、z=8で更新 する。
  17. 17. 11.2.2 ベイジアン分析 事前知識を、事前確率に盛り込 む 事後確率として、結果が得られ る N=26, z=8で更新
  18. 18. 11.2.2.1 事前確率は明確に影響する 帰無仮説検定 観測事実 結論可能性空間 実験者の内心 (暗黙的) ベイジアン分析 事前確率 事前知識 (明示的) 観測事実 事後確率 (結論)
  19. 19. 11.3 信頼区間とHDI • 信頼区間=変数(θ)が、一定の有意水準に おける帰無仮説で棄却されない区間 • 帰無仮説検定における信頼区間 (confidence interval)と、ベイジアン分析 のHDI(highest density interval)が対応す る。 • 帰無仮説検定では、前節と同様に実験者 の意図(内心)によって、信頼区間の値 (結論)が変わってしまう。
  20. 20. 11.3.1 NHSTの信頼区間 •N=26固定としてzを確率変数と考えた 時。 •θに対する5%有意水準での信頼区間は θ∈ [0.144, 0.517] 0.144 0.517 棄却される 棄却される 帰無仮説検定で棄却され ない区間 θ
  21. 21. 11.3.1 NHSTの信頼区間 N=26固定でzを確率変数と見た時。 θ∈ [0.144, 0.517]
  22. 22. 11.3.1 NHSTの信頼区間 z=9固定としてNを確率変数と考えた時。 θ∈ [0.144, 0.493]
  23. 23. 11.3.1 NHSTの信頼区間 • 同じN=26、z=8の観測結果に対して • ①N=26固定としてzを確率変数と考えた 時。 • ⇒信頼区間はθ∈ [0.144, 0.517] • ②z=8固定としてNを確率変数と考えた 時。 • ⇒信頼区間はθ∈ [0.144, 0.493] • 実験者の意図(内心)によって、同じ変数
  24. 24. 11.3.2 ベイジアンHDI • 設定した事前確率beta(θ | 11, 11)に対して、 N=26、z=8の観測結果を得た後の事後確率 が必ず1つ定まる。 • ここから95% HDI • θ∈ [0.261, 0.533]が求まる。 • 実験者の意図(内心)は影響しない
  25. 25. 11.3.2 ベイジアンHDI
  26. 26. 11.3.2 ベイジアンHDI •HDIの信頼区間に対する利点 •①HDIはθの分布p(θ | D)を直接表現でき る(NHSTの信頼区間は、θの分布には 直接関係がない) •②HDIは事前確率と観測事実のみに基 づき、実験者の意図(内心)に対して 一切依存しない •③HDIには事前知識が計算に反映され る
  27. 27. 11.4 複数の比較 • 複数のグループ(条件)を比較する場合におい ても、帰無仮説検定とベイジアン分析を対応 させられる。 • NHSTでは、グループ間の比較回数を増やす ほど結論が誤り(false alarm)である確率(誤り 率)が上がる。 • NHSTで誤り率を一定以下に抑えるために は、試行回数を制限することになるため、結 論が実験者の意図によって影響を受ける。 • ベイジアン分析では、パラメータに対する1 つの事後確率しか持たないので、そのような 実験者の意図の影響を受けない。
  28. 28. 11.4.1 NHSTでの実験ごとの誤りの修正 • 例えば4つのグループがある場合、6通りの 組み合わせでNHSTを行うことができる。(全 てのグループでμが同じ、など) • 1回の検定での誤り率αPC=5%とすると、試行 回数c=6回検定を行った時の全体の誤り率αEW は • 仮に帰無仮説が正しかったとしても、26% 誤って棄却してしまう。
  29. 29. 11.4.1 NHSTでの実験ごとの誤りの修正 • 検定の回数cが増えるほど、全体の全体の 誤り率αEWは大きく増加する。 • ※)ただし、現実のケースでは全ての検定が独立ではな い。この場合αEWの増加はcに対して抑えられる • 全体としての誤り率を抑えるためには、 1 回の検定での誤り率αPCを制約しなければ ならない。 • 例)Bonferonni Correction
  30. 30. 11.4.1 NHSTでの実験ごとの誤りの修正 • 行うべき検定を実験者がデータを見る前に定 めていた(planned)か、データを見た後に決め た(post hoc)かによって誤り率が変わる。 • Post hocの場合、実験者がデータが有意であ るケースのみ検定することで、誤って有意と 言ってしまう確率が増幅される。 • ※NHSTでの複数グループに対する検定で は、試行回数cの数で全体の誤り率が修正され るため、試行する検定をデータを見た後に選 ぶことは、誤り率の操作になる。 • データを注意深く見て、仮説を定めること自 体に対してペナルティが働いてしまう矛盾
  31. 31. 11.4.2 ベイジアン分析の場合 • ベイジアン分析の場合、事前確率と観測事 実のみによって計算されるため、事後確率 は一意に定まる。 • 観測者の意図によって、データの解釈が影 響される余地がない。 • 複数グループの比較する場合は、各パラ メータの和差(ex. μi - μj )についての事後 確率の分布を求めることになる。
  32. 32. 11.4.2 ベイジアン分析の場合 • ベイジアン分析による、複数グループに対 する比較の例
  33. 33. 11.4.3 ベイジアン分析における誤りの緩 和 • どのような分析方法であっても、誤りの可 能性を含むことになる • ベイジアン分析においては、事前知識を事 前確率に含めることで誤り率を緩和できる と考える • グループ全体に対して、何らかの共通性な どがあれば、それを事前確率の分布のモデ ルにあらかじめ含めておくことができる。
  34. 34. 11.5 標本分布の有効性 • 帰無仮説検定で用いる標本分布は、ベイジ アン分析の事後確率分布ほど役には立たな い(※筆者の主張) • なぜなら、標本分布で用いる、可能性の空 間は特定の仮説に依存し、複数の仮説の可 能性を考慮できないため。 • ただし、標本分布を利用することが適切な ケースもある。
  35. 35. 11.5.1 実験の計画 • 実際のデータを集める前に、ベイジアン分 析で必要な精度のHDIを得るためのサンプ ルサイズを計算する。 • 例えば、θ=0.60であるという仮説をベイジ アン分析を用いて検証するうえで、z=100 のサンプルサイズで十分か、仮の標本集合 を作ってあてはめてみて検証する。
  36. 36. 11.5.2 モデルの予測性の検討 (事後確率の予測性のチェック) • 事後確率はパラメータが悪くない範囲のみ を示す(もっとも“悪くない”パラメータの 値が、実際に適切か、までは言えない) • 【例】99%裏表モデル • ①θ=0.99、②θ=0.01、の2つのモデルがを考え る。 • N=40、z=30の観測事実に対して事後確率を計 算することで①のほうが望ましいとわかる。 • ①に従った事後確率分布がN=40、z=30の観測 事実について本当に適切かは別の問題。
  37. 37. 11.5.2 モデルの予測性の検討 (事後確率の予測性のチェック) • 実際に事後確率パラメータが有効かをチェッ クするために、事後確率予測性チェック (posterior predictive check)を行う。 • 事後確率パラメータから予測された結果が、 実データに”似ていた”場合、そのパラメータ (モデル)が適切だと判断できる。 • パラメータを使って、結果の予測と実データ との比較を繰り返すことはNHSTとよく似て いる。 • モデルの標本空間のどこに実データが入るか をみることになる。(誤り率に対する許容値 を定められば直接NHSTになる)

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