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テイラー展開
2015年6月
微分積分学
ある反転授業の試み
廣瀬英雄
広島工業大学環境学部環境デザイン学科
最近、大学初年で習う基礎数学は教えるのが段々難しくなっています。
授業形態と教える内容が陳腐になってきているからです。
情報やメディアが身のまわりではあまり手に入りにくかった頃、
大学では知的好奇心にあふれる学生を相手に知的な刺激を与えれてさえ...
学生に:
「課題を与えます。Taylorについて自分で調べて来週発表して下さい」
1週目の授業は2人の学生のプレゼンテーションから始まりました。
1人目はTaylorの人となりを話してTaylorの定理を説明しました。
2人目は、前回数値計算の講義ノートを与えていたためか、近似計算につ
いて話そうと必死でした。彼はsinxの...
1: sinxのTaylor近似について調べなさい
 x=20のときにnがいくつまで必要か調べていました
 大成功!
2: exp(-x2)を0から5まで積分した値を求めなさい
 実は、これは「反面教師」の例題になっています。
 そういう意味で...
学生への説明を始めます。
学生へのスライドには枠を入れています。
Taylor展開とは何だろう
無限回微分可能な関数 f(x) は多項式
Taylor展開
による級数で表される。ただし、剰余項 Rn(x)
は 0 に収束するという条件のもとで。
何を言いたいんや
わからん
何がおもしろいんや
=
無限回微分可能な関数
        f(x)
多項式
左辺 右辺
ぴったり等しい
ある近傍の話じゃない
すげえ
€
e−x2
0
5
∫ dx
€
ex
= 1+ x +
x2
2!
+
x3
3!
+
e−x2
= 1− x2
+
x4
2!
−
x6
3!
+
e−x2
dx∫ = x −
x3
3
+
x5
5× 2!
−
x7
7× 3!
+...
e−x
dx∫ = −e−x
+const.
e−x2
dx∫ = ?
最初に
xをx2に変えると
しかし、原始関数が解析的に表せない
簡単そう
e−x
dx∫ = −e−x
+const.
e−x2
dx∫ = ?
e−x2
−∞
∞
∫ dx
最初に
xをx2に変えると
しかし、原始関数が解析的に表せない
は求められる。ただし、2重積分の知識が必要
簡単そう
後で説明する
e−x
dx∫ = −e−x
+const.
e−x2
dx∫ = ?
F(x) = e−t2
−∞
x
∫ dt
最初に
xをx2に変えると
しかし、原始関数が解析的に表せない
をどのように求めよう。
数値計算法を使う
どんな方法がある?
簡...
ここでおおざっぱな計算をしておおよその見当をつけておきます。
€
e−x2
0
5
∫ dx
€
ex
= 1+ x +
x2
2!
+
x3
3!
+
e−x2
= 1− x2
+
x4
2!
−
x6
3!
+
e−x2
dx∫ = x −
x3
3
+
x5
5× 2!
−
x7
7× 3!
+...
Taylor展開を使ってみよう
は、すべての x において成立しているから、使えるはず!
そうすると、項別積分もできるから右辺の多項式で計算
e−x2
∫ dt = (1−
x2
1!
+
x4
2!
−
x6
3!
+∫ )dx
= x −...
€
e−x2
0
5
∫ dx
€
ex
= 1+ x +
x2
2!
+
x3
3!
+
e−x2
= 1− x2
+
x4
2!
−
x6
3!
+
e−x2
dx∫ = x −
x3
3
+
x5
5× 2!
−
x7
7× 3!
+...
€
e−x2
0
5
∫ dx
€
ex
= 1+ x +
x2
2!
+
x3
3!
+
e−x2
= 1− x2
+
x4
2!
−
x6
3!
+
e−x2
dx∫ = x −
x3
3
+
x5
5× 2!
−
x7
7× 3!
+...
€
e−x2
0
5
∫ dx
€
ex
= 1+ x +
x2
2!
+
x3
3!
+
e−x2
= 1− x2
+
x4
2!
−
x6
3!
+
e−x2
dx∫ = x −
x3
3
+
x5
5× 2!
−
x7
7× 3!
+...
€
e−x2
0
5
∫ dx
€
ex
= 1+ x +
x2
2!
+
x3
3!
+
e−x2
= 1− x2
+
x4
2!
−
x6
3!
+
e−x2
dx∫ = x −
x3
3
+
x5
5× 2!
−
x7
7× 3!
+...
f(x)と有限項までのTaylor展開の関係は?
もう分かりましたね。これが今回のテーマです。
「数学」で教えるTaylorの話と、実際に使うTaylor展開の違いです
f(x)と有限項までのTaylor展開を比較する
11次の項まで
22次の項まで
33次の項まで
44次の項まで
|x|<0.6くらいの領域でしか近似できていないように見える
x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか
n
Taylor展開の第n項
x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか
n
Taylor近似
x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか
誤差
もっと項数を多くしないと
x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか
誤差
多項式
左辺 右辺
x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか
無限回微分可能な関数
        f(x)
m
10!=3.6x107
20!=2.4x1018
50!=3.0x1064
100!=9.3x10157
多項式
左辺 右辺
x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか
無限回微分可能な関数
        f(x)
m
10!=3.6x107
20!=2.4x1018
50!=3.0x1064
100!=9.3x10157
200...
20の階乗はもう忘れないでしょう
このスライドを流したとき、ギャグをと思って 200系を言いますが
無反応
別の授業でこれを紹介したら、学生がぶつぶつ独り言を言っている
聞き耳を立てると にしこりけい
さらに別の授業で にしこりけい を出すと
...
十  じゅう 10
百  ひゃく 100(102
)
千  せん 1000(103
)
万  まん 10000(104
)
億  おく 108
兆  ちょう 1012
京  けい 1016
垓  がい 1020
じょ 1024
穣  じょう 1...
ここで、線形方程式の解法に話を変えます。
�線形方程式�
Ax = b
a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2

an1x1 + an 2x2 + + annxn = bn
Analyticall...
�線形方程式の解法1�
Cramer’s Rule!
xi =
det
a11 a12 b1 a1n
a21 a22 b2 a2n
an1 an2 bn ann
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
det
a11 a12 a1i a...
Cost比較�
Gaussian Elimination!
O(
n3
3
)
Cramer’s Rule!
n ⋅ n!
n = 50
n ⋅ n!= 1.5 ×1057
= 4.8 × 1043
n3
3
= 4.2 × 10
−5
(as...
太陽と土星の距離 1429400000km!
n ⋅ n!= 1.5 ×1057
= 4.8 × 1043
この間を厚さ0.1mmの紙で重ねて埋めても!
0.14294×1017枚にしかかならない!
!
紙の代わりに陽子(半径1.2 ×10-1...
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5
x
必要項数n
近似精度をある程度保つには
Taylor近似では必要項数nはどれくらいになるか
( )
1
10
100
1 2 3 4 5
x
必要項数n
近似精度をある程度保つには
Taylor近似では必要項数nはどれくらいになるか
( )
このグラフ、いい加減ですよ。つっこまないで下さい。
関数 f(x)とTaylor近似P(x)との誤差評価
Mn = max
a≤x≤b
| f (x)− Pn (x)|
Pn (x)
f (x)
Δn (x) =| f (x)− Pn (x) |
xa b
f(x)Pn(x)
Mn = max
...
誤差の考え方についてもちょっと背伸びしてみました
Hastingによる正規分布近似式
ここで、この例が、冒頭に述べた
「反面教師」の例題であることがお分かりになったと思います。
Taylor展開は強力です
しかし、いつでも最強とは限りません
オチはこれでした
Stirlingの公式
を使えばもっと早く見当がつきます
を調べてみると
先ほどと同じ結果が出ています
I = exp(−x2
0
∞
∫ )dx
I2
= exp(−x2
0
∞
∫ )dx⋅ exp(−y2
0
∞
∫ )dy
= exp{−(x2
0
∞
∫ + y2
)}dx
0
∞
∫ dy
x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|...
I = exp(−x2
0
∞
∫ )dx
I2
= exp(−x2
0
∞
∫ )dx⋅ exp(−y2
0
∞
∫ )dy
= exp{−(x2
0
∞
∫ + y2
)}dx
0
∞
∫ dy
x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|...
定番の正規分布の確率計算の補足をつけたりとしてしておきます。
I = exp(−x2
0
∞
∫ )dx
I2
= exp(−x2
0
∞
∫ )dx⋅ exp(−y2
0
∞
∫ )dy
= exp{−(x2
0
∞
∫ + y2
)}dx
0
∞
∫ dy
x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|...
I = exp(−x2
0
∞
∫ )dx
I2
= exp(−x2
0
∞
∫ )dx⋅ exp(−y2
0
∞
∫ )dy
= exp{−(x2
0
∞
∫ + y2
)}dx
0
∞
∫ dy
x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|...
I = exp(−x2
0
∞
∫ )dx
I2
= exp(−x2
0
∞
∫ )dx⋅ exp(−y2
0
∞
∫ )dy
= exp{−(x2
0
∞
∫ + y2
)}dx
0
∞
∫ dy
x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|...
I = exp(−x2
0
∞
∫ )dx
I2
= exp(−x2
0
∞
∫ )dx⋅ exp(−y2
0
∞
∫ )dy
= exp{−(x2
0
∞
∫ + y2
)}dx
0
∞
∫ dy
x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|...
標準偏差の何倍か
u=1.25
補足
では、次に f(x)=sinx でも試してみましょう。
sin(x)と有限項までのTaylor展開では
33次の項まで
55次の項まで
77次の項まで
99次の項まで
補足
計算にはWlofram Alphaを用いました。感謝!
学生にもWlofram Alphaを教えると早速使いこなしています。
テイラー展開
2015年6月
微分積分学
廣瀬英雄
広島工業大学環境学部環境デザイン学科
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ある反転授業の試み:正規分布のTaylor展開をとおして

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最近、大学初年で習う基礎数学は教えるのが段々難しくなっています。
授業形態と教える内容が陳腐になってきているからです。
情報やメディアが身のまわりではあまり手に入りにくかった頃、大学では知的好奇心にあふれる学生を相手に知的な刺激を与えれてさえいればよかったと思います。
しかし、あらゆる情報が即座にほぼ無制限に得られる現在、学生が知識に飢えていた時代とは異なった授業の展開が求められます。
即座に得られる知識ではなく、学生の頭をひっかきまわすことで学生自身が自分の考え方が変わったことを自覚させられるような授業が今おもしろいではないか。
インターネット、ICT利用環境、良質のコンテンツを駆使して、学生と教員とがぶつかりあいながらお互いを刺激していく、そんな授業の展開を考えたい。
これは、その実験授業の一つです。

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ある反転授業の試み:正規分布のTaylor展開をとおして

  1. 1. テイラー展開 2015年6月 微分積分学 ある反転授業の試み 廣瀬英雄 広島工業大学環境学部環境デザイン学科
  2. 2. 最近、大学初年で習う基礎数学は教えるのが段々難しくなっています。 授業形態と教える内容が陳腐になってきているからです。 情報やメディアが身のまわりではあまり手に入りにくかった頃、 大学では知的好奇心にあふれる学生を相手に知的な刺激を与えれてさえいれ ばよかったと思います。 しかし、あらゆる情報が即座にほぼ無制限に得られる現在、 学生が知識に飢えていた時代とは異なった授業の展開が求められます。 即座に得られる知識ではなく、学生の頭をひっかきまわすことで学生自身 が自分の考え方が変わったことを自覚させられるような授業 が今おもしろいではないか。 インターネット、ICT利用環境、良質のコンテンツを駆使して、学生と教員 とがぶつかりあいながらお互いを刺激していく、 そんな授業の展開を考えたい。 これは、その実験授業の一つです。
  3. 3. 学生に: 「課題を与えます。Taylorについて自分で調べて来週発表して下さい」
  4. 4. 1週目の授業は2人の学生のプレゼンテーションから始まりました。 1人目はTaylorの人となりを話してTaylorの定理を説明しました。 2人目は、前回数値計算の講義ノートを与えていたためか、近似計算につ いて話そうと必死でした。彼はsinxのTaylor展開をとりあげました。 ハプニングはこの後起こりました。 フロアの学生の質問:nをどの程度とればいい近似ができますか。 主催者としては大喜びです。目論見通りの質問が出たからです。すかさず、 次回のテーマ 1: sinxのTaylor近似についてxとnの関係について調べなさい 2: exp(-x2)を0から5まで積分した値を求めなさい
  5. 5. 1: sinxのTaylor近似について調べなさい  x=20のときにnがいくつまで必要か調べていました  大成功! 2: exp(-x2)を0から5まで積分した値を求めなさい  実は、これは「反面教師」の例題になっています。  そういう意味では、こちらはテーマがちょっと難しかったので  議論の後、解説を与えました。
  6. 6. 学生への説明を始めます。 学生へのスライドには枠を入れています。
  7. 7. Taylor展開とは何だろう
  8. 8. 無限回微分可能な関数 f(x) は多項式 Taylor展開 による級数で表される。ただし、剰余項 Rn(x) は 0 に収束するという条件のもとで。 何を言いたいんや わからん 何がおもしろいんや
  9. 9. = 無限回微分可能な関数         f(x) 多項式 左辺 右辺 ぴったり等しい ある近傍の話じゃない すげえ
  10. 10. € e−x2 0 5 ∫ dx € ex = 1+ x + x2 2! + x3 3! + e−x2 = 1− x2 + x4 2! − x6 3! + e−x2 dx∫ = x − x3 3 + x5 5× 2! − x7 7× 3! + 5− 53 3 + 55 5× 2! − 57 7 × 3! = −1584.29 € 5− 53 3 = −36.6667 € 5− 53 3 + 55 5× 2! = 275.833 課題:
  11. 11. e−x dx∫ = −e−x +const. e−x2 dx∫ = ? 最初に xをx2に変えると しかし、原始関数が解析的に表せない 簡単そう
  12. 12. e−x dx∫ = −e−x +const. e−x2 dx∫ = ? e−x2 −∞ ∞ ∫ dx 最初に xをx2に変えると しかし、原始関数が解析的に表せない は求められる。ただし、2重積分の知識が必要 簡単そう 後で説明する
  13. 13. e−x dx∫ = −e−x +const. e−x2 dx∫ = ? F(x) = e−t2 −∞ x ∫ dt 最初に xをx2に変えると しかし、原始関数が解析的に表せない をどのように求めよう。 数値計算法を使う どんな方法がある? 簡単そう
  14. 14. ここでおおざっぱな計算をしておおよその見当をつけておきます。
  15. 15. € e−x2 0 5 ∫ dx € ex = 1+ x + x2 2! + x3 3! + e−x2 = 1− x2 + x4 2! − x6 3! + e−x2 dx∫ = x − x3 3 + x5 5× 2! − x7 7× 3! + 5− 53 3 + 55 5× 2! − 57 7 × 3! = −1584.29 € 5− 53 3 = −36.6667 € 5− 53 3 + 55 5× 2! = 275.833 課題: e−x2 三角形の面積で近似すると 0.9くらいだな こっち
  16. 16. Taylor展開を使ってみよう は、すべての x において成立しているから、使えるはず! そうすると、項別積分もできるから右辺の多項式で計算 e−x2 ∫ dt = (1− x2 1! + x4 2! − x6 3! +∫ )dx = x − x3 3⋅1! + x5 5⋅2! − x7 7⋅3! + 発想1
  17. 17. € e−x2 0 5 ∫ dx € ex = 1+ x + x2 2! + x3 3! + e−x2 = 1− x2 + x4 2! − x6 3! + e−x2 dx∫ = x − x3 3 + x5 5× 2! − x7 7× 3! + 5− 53 3 + 55 5× 2! − 57 7 × 3! = −1584.29 € 5− 53 3 = −36.6667 € 5− 53 3 + 55 5× 2! = 275.833 指数関数のTTaayylloorr展開 課題:
  18. 18. € e−x2 0 5 ∫ dx € ex = 1+ x + x2 2! + x3 3! + e−x2 = 1− x2 + x4 2! − x6 3! + e−x2 dx∫ = x − x3 3 + x5 5× 2! − x7 7× 3! + 5− 53 3 + 55 5× 2! − 57 7 × 3! = −1584.29 € 5− 53 3 = −36.6667 € 5− 53 3 + 55 5× 2! = 275.833 被積分関数の関数 のTTaayylloorr展開 課題:
  19. 19. € e−x2 0 5 ∫ dx € ex = 1+ x + x2 2! + x3 3! + e−x2 = 1− x2 + x4 2! − x6 3! + e−x2 dx∫ = x − x3 3 + x5 5× 2! − x7 7× 3! + 5− 53 3 + 55 5× 2! − 57 7 × 3! = −1584.29 € 5− 53 3 = −36.6667 € 5− 53 3 + 55 5× 2! = 275.833 項別積分すると 課題:
  20. 20. € e−x2 0 5 ∫ dx € ex = 1+ x + x2 2! + x3 3! + e−x2 = 1− x2 + x4 2! − x6 3! + e−x2 dx∫ = x − x3 3 + x5 5× 2! − x7 7× 3! + 5− 53 3 + 55 5× 2! − 57 7 × 3! = −1584.29 € 5− 53 3 = −36.6667 € 5− 53 3 + 55 5× 2! = 275.833 あれっ、収束しそうにない! 課題:
  21. 21. f(x)と有限項までのTaylor展開の関係は?
  22. 22. もう分かりましたね。これが今回のテーマです。 「数学」で教えるTaylorの話と、実際に使うTaylor展開の違いです
  23. 23. f(x)と有限項までのTaylor展開を比較する 11次の項まで 22次の項まで 33次の項まで 44次の項まで |x|<0.6くらいの領域でしか近似できていないように見える
  24. 24. x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか n Taylor展開の第n項
  25. 25. x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか n Taylor近似
  26. 26. x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか 誤差 もっと項数を多くしないと
  27. 27. x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか 誤差
  28. 28. 多項式 左辺 右辺 x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか 無限回微分可能な関数         f(x) m 10!=3.6x107 20!=2.4x1018 50!=3.0x1064 100!=9.3x10157
  29. 29. 多項式 左辺 右辺 x=5のときTaylor近似ではnをどこまでとればいいのか 無限回微分可能な関数         f(x) m 10!=3.6x107 20!=2.4x1018 50!=3.0x1064 100!=9.3x10157 200けい にしこりけい 1016:京 200系
  30. 30. 20の階乗はもう忘れないでしょう このスライドを流したとき、ギャグをと思って 200系を言いますが 無反応 別の授業でこれを紹介したら、学生がぶつぶつ独り言を言っている 聞き耳を立てると にしこりけい さらに別の授業で にしこりけい を出すと  「今日の授業で一番おもしろかったのは にしこりけい」
  31. 31. 十  じゅう 10 百  ひゃく 100(102 ) 千  せん 1000(103 ) 万  まん 10000(104 ) 億  おく 108 兆  ちょう 1012 京  けい 1016 垓  がい 1020 じょ 1024 穣  じょう 1028 溝  こう 1032 澗  かん 1036 正  せい 1040 載  さい 1044 極  ごく 1048 恒河沙  こうがしゃ 1052 阿僧   あそうぎ 1056 那由他  なゆた 1060 不可思議  ふかしぎ 1064 無量大数    むりょうたいすう 1068 ビッグデータ高速分析 構造化、非構造化データからの洞察 業 務上の意思決定・プロセス改善を支援 十  じゅう 10 百  ひゃく 100(102 ) 千  せん 1000(103 ) 万  まん 10000(104 ) 億  おく 108 兆  ちょう 1012 京  けい 1016 垓  がい 1020 じょ 1024 穣  じょう 1028 溝  こう 1032 澗  かん 1036 正  せい 1040 載  さい 1044 極  ごく 1048 恒河沙  こうがしゃ 1052 阿僧   あそうぎ 1056 那由他  なゆた 1060 不可思議  ふかしぎ 1064 無量大数    むりょうたいすう 1068 ビッグデータ高速分析 構造化、非構造化データからの洞察 業 務上の意思決定・プロセス改善を支援 15/06/29 11:03大きな数の数え方 大きな数の数え方(億、兆、京、垓、…) 一  いち 1 十  じゅう 10 百  ひゃく 100(102 ) 千  せん 1000(103 ) 万  まん 10000(104 ) 億  おく 108 兆  ちょう 1012 京  けい 1016 垓  がい 1020 じょ 1024 穣  じょう 1028 溝  こう 1032 澗  かん 1036 正  せい 1040 載  さい 1044 極  ごく 1048 恒河沙  こうがしゃ 1052 阿僧   あそうぎ 1056 那由他  なゆた 1060 不可思議  ふかしぎ 1064 無量大数    むりょうたいすう 1068 ビッグデータ高速分析 構造化、非構造化データからの洞察 業 務上の意思決定・プロセス改善を支援
  32. 32. ここで、線形方程式の解法に話を変えます。
  33. 33. �線形方程式� Ax = b a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2  an1x1 + an 2x2 + + annxn = bn Analytically! det A ≠ 0 → x = A −1 b
  34. 34. �線形方程式の解法1� Cramer’s Rule! xi = det a11 a12 b1 a1n a21 a22 b2 a2n an1 an2 bn ann ! " # # # # $ % & & & & det a11 a12 a1i a1n a21 a22 a2i a2n an1 an2 ani ann ! " # # # # $ % & & & & det A = sgnσ σ∈S n ∑ ⋅ a1,σ(1) ⋅⋅an,σ( n) Cost of det A ! n ⋅ n!
  35. 35. Cost比較� Gaussian Elimination! O( n3 3 ) Cramer’s Rule! n ⋅ n! n = 50 n ⋅ n!= 1.5 ×1057 = 4.8 × 1043 n3 3 = 4.2 × 10 −5 (assumption: 1 flop 1 nanosecond)!
  36. 36. 太陽と土星の距離 1429400000km! n ⋅ n!= 1.5 ×1057 = 4.8 × 1043 この間を厚さ0.1mmの紙で重ねて埋めても! 0.14294×1017枚にしかかならない! ! 紙の代わりに陽子(半径1.2 ×10-15m)で埋めても! 0.596×1027にしかかならない! ! !
  37. 37. 0 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 5 x 必要項数n 近似精度をある程度保つには Taylor近似では必要項数nはどれくらいになるか ( )
  38. 38. 1 10 100 1 2 3 4 5 x 必要項数n 近似精度をある程度保つには Taylor近似では必要項数nはどれくらいになるか ( )
  39. 39. このグラフ、いい加減ですよ。つっこまないで下さい。
  40. 40. 関数 f(x)とTaylor近似P(x)との誤差評価 Mn = max a≤x≤b | f (x)− Pn (x)| Pn (x) f (x) Δn (x) =| f (x)− Pn (x) | xa b f(x)Pn(x) Mn = max i | f (xi )− Pn (xi )| l1ノルム l2ノルム Sn = f (xi )− Pn (xi )( ) 2 i=0 n ∑
  41. 41. 誤差の考え方についてもちょっと背伸びしてみました
  42. 42. Hastingによる正規分布近似式
  43. 43. ここで、この例が、冒頭に述べた 「反面教師」の例題であることがお分かりになったと思います。
  44. 44. Taylor展開は強力です しかし、いつでも最強とは限りません
  45. 45. オチはこれでした
  46. 46. Stirlingの公式 を使えばもっと早く見当がつきます を調べてみると 先ほどと同じ結果が出ています
  47. 47. I = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx I2 = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx⋅ exp(−y2 0 ∞ ∫ )dy = exp{−(x2 0 ∞ ∫ + y2 )}dx 0 ∞ ∫ dy x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|J |=|∂(x,y) /∂(r,θ) |= r = rexp(−r2 0 ∞ ∫ )dr0 π /2 ∫ dθ r2 = t ⇒ rdr = dt /2 = π 2 1 2 exp(−t 0 ∞ ∫ )dt = π /4 I = π /2 exp(−x2 −∞ ∞ ∫ )dx = π J = 1 2π exp(− x2 2−∞ ∞ ∫ )dx x / 2 = s ⇒ dx = 2ds = 1 2π 2 exp(−s2 −∞ ∞ ∫ )ds = 1 2π 2 π =1 x y 補足
  48. 48. I = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx I2 = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx⋅ exp(−y2 0 ∞ ∫ )dy = exp{−(x2 0 ∞ ∫ + y2 )}dx 0 ∞ ∫ dy x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|J |=|∂(x,y) /∂(r,θ) |= r = rexp(−r2 0 ∞ ∫ )dr0 π /2 ∫ dθ r2 = t ⇒ rdr = dt /2 = π 2 1 2 exp(−t 0 ∞ ∫ )dt = π /4 I = π /2 exp(−x2 −∞ ∞ ∫ )dx = π J = 1 2π exp(− x2 2−∞ ∞ ∫ )dx x / 2 = s ⇒ dx = 2ds = 1 2π 2 exp(−s2 −∞ ∞ ∫ )ds = 1 2π 2 π =1 x y 補足
  49. 49. 定番の正規分布の確率計算の補足をつけたりとしてしておきます。
  50. 50. I = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx I2 = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx⋅ exp(−y2 0 ∞ ∫ )dy = exp{−(x2 0 ∞ ∫ + y2 )}dx 0 ∞ ∫ dy x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|J |=|∂(x,y) /∂(r,θ) |= r = rexp(−r2 0 ∞ ∫ )dr0 π /2 ∫ dθ r2 = t ⇒ rdr = dt /2 = π 2 1 2 exp(−t 0 ∞ ∫ )dt = π /4 I = π /2 exp(−x2 −∞ ∞ ∫ )dx = π J = 1 2π exp(− x2 2−∞ ∞ ∫ )dx x / 2 = s ⇒ dx = 2ds = 1 2π 2 exp(−s2 −∞ ∞ ∫ )ds = 1 2π 2 π =1 x y 補足
  51. 51. I = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx I2 = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx⋅ exp(−y2 0 ∞ ∫ )dy = exp{−(x2 0 ∞ ∫ + y2 )}dx 0 ∞ ∫ dy x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|J |=|∂(x,y) /∂(r,θ) |= r = rexp(−r2 0 ∞ ∫ )dr0 π /2 ∫ dθ r2 = t ⇒ rdr = dt /2 = π 2 1 2 exp(−t 0 ∞ ∫ )dt = π /4 I = π /2 exp(−x2 −∞ ∞ ∫ )dx = π J = 1 2π exp(− x2 2−∞ ∞ ∫ )dx x / 2 = s ⇒ dx = 2ds = 1 2π 2 exp(−s2 −∞ ∞ ∫ )ds = 1 2π 2 π =1 x y 補足
  52. 52. I = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx I2 = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx⋅ exp(−y2 0 ∞ ∫ )dy = exp{−(x2 0 ∞ ∫ + y2 )}dx 0 ∞ ∫ dy x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|J |=|∂(x,y) /∂(r,θ) |= r = rexp(−r2 0 ∞ ∫ )dr0 π /2 ∫ dθ r2 = t ⇒ rdr = dt /2 = π 2 1 2 exp(−t 0 ∞ ∫ )dt = π /4 I = π /2 exp(−x2 −∞ ∞ ∫ )dx = π J = 1 2π exp(− x2 2−∞ ∞ ∫ )dx x / 2 = s ⇒ dx = 2ds = 1 2π 2 exp(−s2 −∞ ∞ ∫ )ds = 1 2π 2 π =1 x y 補足
  53. 53. I = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx I2 = exp(−x2 0 ∞ ∫ )dx⋅ exp(−y2 0 ∞ ∫ )dy = exp{−(x2 0 ∞ ∫ + y2 )}dx 0 ∞ ∫ dy x = rcosθ,y = rsinθ ⇒|J |=|∂(x,y) /∂(r,θ) |= r = rexp(−r2 0 ∞ ∫ )dr0 π /2 ∫ dθ r2 = t ⇒ rdr = dt /2 = π 2 1 2 exp(−t 0 ∞ ∫ )dt = π /4 I = π /2 exp(−x2 −∞ ∞ ∫ )dx = π J = 1 2π exp(− x2 2−∞ ∞ ∫ )dx x / 2 = s ⇒ dx = 2ds = 1 2π 2 exp(−s2 −∞ ∞ ∫ )ds = 1 2π 2 π =1 x y 補足
  54. 54. 標準偏差の何倍か u=1.25 補足
  55. 55. では、次に f(x)=sinx でも試してみましょう。
  56. 56. sin(x)と有限項までのTaylor展開では 33次の項まで 55次の項まで 77次の項まで 99次の項まで 補足
  57. 57. 計算にはWlofram Alphaを用いました。感謝! 学生にもWlofram Alphaを教えると早速使いこなしています。
  58. 58. テイラー展開 2015年6月 微分積分学 廣瀬英雄 広島工業大学環境学部環境デザイン学科 thank you

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