Zero de função

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Zero de função

  1. 1. Zero de função
  2. 2. Problema  O cálculo de raízes de funções encontra um grande emprego na obtenção da solução de uma vasta gama de problemas de engenharia.  Em geral, trata-se de determinar o(s) valores de x tal que f(x)=0, onde f é a função cujo raízes são a determinar.
  3. 3. Métodos matemáticos  A matemática fornece métodos formais que permite a determinação exata das raízes em diversos casos.  Os métodos mais conhecido permitem a determinação de raízes de polinômios ate grau 3, ou grau maior mais em certas condições.  Em muitas situações, a resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos resolvíveis.
  4. 4. Exemplos  Polinômios do primeiro e segundo grau ou transformáveis em polinômios do primeiro ou segundo grau:  Funções cuja a recíproca é conhecida: 2 2 2 3 0; 3 5 0 2sin 3 0;sin 3sin 5 0 x x x x x x + = + + = + = + + = 10log 5 0x − =
  5. 5. Determinação gráfica  A representação gráfica de uma função é uma fonte de informações úteis sobre o comportamento da função, particularmente para a determinação das raízes.  Além disso, o grafo permite de compreender o funcionamento dos métodos numéricos para determinar as raízes.
  6. 6. Raízes com gráfico Raízes são dadas pelos pontos de interseção do grafo com o eixo dos x.
  7. 7. Métodos numéricos  Mesmo com um método formal, o(s) valor(es) calculado(s) pelo computador é aproximado, a não seja usar um CAS.  Existem métodos numéricos que permite aproximar as raízes em casos gerais, inclusivo casos que a matemática não resolva de formalmente.
  8. 8. Métodos numéricos  Vamos estudar três métodos de determinação de raízes:  Bisseção  Secante  Newton-Raphson
  9. 9. Bisseção  Th: Se y=f(x) é uma função contínua e muda de sinal no intervalo [a,b] (isto é se f(a).f(b)<0), então existe pelo menos um ponto x0 ∈ [a,b] tal que f(x0)=0.  Além disso, se f’(x) não muda de sinal em [a,b], x0 é a única raiz de f(x) nesse intervalo.
  10. 10. Bisseção  Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do intervalo.  Considerando o intervalo [a,b]  Se , o novo intervalo e [a,(a+b)/2]  Se , o novo intervalo e [(a+b)/2,b] ( ). ( ) 0 2 a b f a f + < ( ). ( ) 0 2 a b f b f + <
  11. 11. Algoritmo  Raiz(f,a,b,tol)  Enquanto (|a-b|>tol)  x=(a+b)/2  Se f(x).f(a)<0  b=x  Senão  a=x  Resultado=(a+b)/2
  12. 12. Bisseção  Esse método, com um bom escolhe do intervalo inicial, é adaptado com a representação dos números do computador: a divisão por 2 a cada passo é uma operação simples.  A convergência do algoritmo é garantida, o algoritmo não saia do intervalo inicial, esse intervalo é cada vez dividido por dois,  A convergência é muito lenta: para ganhar uma decimal (base 10), preciso de 3 a 4 passos.
  13. 13. Secante  O método da secante funciona sobre o mesmo princípio que a bisseção e necessita da mesma condição inicial: continuidade da função.
  14. 14. Secante  Com esse método, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)). O candidato para ser raiz é o ponto de interseção desse segmento com o eixo x.
  15. 15. Secante  Determinação de XN: Temos a relação: De onde podemos extrair XN: ( ) ( ) D ND E E N X Xf X f X X X − = − ( ) ( ) ( ) ( ) D E E D N D E f X X f X X X f X f X − = −
  16. 16. Secante  O segmento (XN,f(XN)); (XD,f(XD)) é usado para determinar o valor do passo seguinte.
  17. 17. Algoritmo  Raiz(f,a,b,iter)  Repete iter vezes  b=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b))  Resultado=b
  18. 18. Falsa posição  O método da falsa posição aparece como uma combinação entre o método da secante e a bisseção. As condições iniciais são as mesma que no caso da bisseção (intervalo onde a função troca de sinal).
  19. 19. Falsa posição  Como no caso da secante, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)).  Temos: ( ) ( ) ( ) ( ) D E E D N D E f X X f X X X f X f X − = −
  20. 20. Falsa posição  No caso da falsa posição, o novo segmento é determinado em função dos sinais de f(XN)f(XD) e f(XN)f(XE).  Se f troca de sinal entre XE e XN, o novo intervalo é [XE, XN], senão o novo intervalo é [XN, XE].
  21. 21. Algoritmo  Raiz(f,a,b,iter)  Repete iter vezes  x=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b))  Se f(x).f(a)<0, b=x  Senão a=x  Resultado=x
  22. 22. Newton-Raphson  O método de Newton- Raphson não precisa de um intervalo inicial. Ela considera que a curva no ponto inicial pode ser aproximada com a reta tangente à curva nesse ponto.
  23. 23. Newton-Raphson  De forma equivalente, consista também a considerar a função como aproximada nesse ponto pela série de Taylor de 1° grau: f(x1)=f(x0)+(x1-x0).f’(x0)  Determinação de XN: XN=XD-f(XD)/f’(XD)
  24. 24. Newton-Raphson  Por um processo iterativo, a raiz pode ser aproximada: xi+1=xi-f(xi)/f’(xi)
  25. 25. Algoritmo  Raiz(f,x0,iter)  X=x0  Repete iter vezes  X=X-f(X)/f’(X)  Resultado=X
  26. 26. Newton-Raphson e Secante  Os dois métodos de secante e Newton- Raphson são próximos. O método da secante é o método de Newton-Raphson aonde a derivada no ponto inicial é substituída pela diferencia finita. A vantagem da secante é que não é necessário conhecer a função derivada.
  27. 27. Convergência  A convergência desses métodos é em geral mais rápida que no caso da bisseção. O método da bisseção usa sempre o mesmo algoritmo para qualquer função enquanto os outros métodos usam o comportamento da curva (diferencia finita ou derivada) para se aproximar da raiz.
  28. 28. Convergência  Se Newton-Raphson e Secante podem ser mais eficiente, elas podem ser também com dificuldade de convergência se a função tem variação do sinal da derivada próxima da raiz procurada.
  29. 29. Convergência  Vários critérios podem ser usados para decidir de para a aplicação do algoritmo:  um número dado de iterações,  quando a diferencia entre dois passo de uma iteração é menos que um erro |xi+1-xi|< ε,  quando o valor da função em xi é perto de 0 |f(xi)|<ε,  quando os dois últimos critérios não para o algoritmo, ele pode ser parado porque considerado como não convergente.

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