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  1. 1. FUNDAMENTOS DE ´ CONTROL AUTOMATICODE SISTEMAS CONTINUOS Y MUESTREADOS Dr. Jorge Juan Gil Nobajas ´ Dr. Angel Rubio D´ ıaz-Cordov´s e San Sebasti´n, 15 de agosto de 2010 a
  2. 2. Fundamentos de Control Autom´tico de Sistemas Continuos y Muestreados a ´ c 2009 Jorge Juan Gil Nobajas y Angel Rubio D´ ıaz-Cordov´s eISBN 978-84-613-4618-9Dep´sito Legal SS-1094-2009 oReservados todos los derechos.Queda prohibida la reproducci´n total o parcial sin autorizaci´n previa. o oImpreso en Espa˜a nImprime: Unicopia, C.B.Paseo Manuel Lardiz´bal, 13 a a u ˜20018 San Sebasti´n (Guip´zcoa) ESPANA 2
  3. 3. ´Indice generalI Control de sistemas continuos 91. Introducci´n o 11 1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Tipos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. La transformada de Laplace 15 2.1. Definici´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Transformada de Laplace de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4. Resoluci´n de ecuaciones diferenciales . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183. Representaci´n de los sistemas o 21 3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Funci´n de transferencia de un sistema . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Modelos de sistemas f´ ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1. Sistemas mec´nicos . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.2. Sistemas el´ctricos . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.3. Sistemas electromec´nicos . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.4. Sistemas hidr´ulicos . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.5. Sistemas t´rmicos . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. Diagrama de bloques de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.1. Reglas para la simplificaci´n de diagramas o de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.2. Ejemplo de circuito con dos mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.3. Ejemplo de motor de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5. Sistema de realimentaci´n negativa no unitaria . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6. Sistema de realimentaci´n negativa unitaria . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364. Respuesta temporal 39 4.1. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1. Respuesta ante entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.2. Respuesta ante entrada escal´n . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.3. Respuesta ante entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.4. Ejemplos de sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1. Respuesta subamortiguada ante entrada escal´n . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.2. Respuesta sobreamortiguada ante entrada escal´n . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.3. Respuesta cr´ıticamente amortiguada ante entrada escal´n o . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.4. Respuesta oscilatoria ante entrada escal´n . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.5. Respuesta ante entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3. Sistemas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4. Influencia de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3
  4. 4. 5. Error en r´gimen permanente e 51 5.1. Definici´n de error en r´gimen permanente . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2. Error en sistemas con realimentaci´n negativa unitaria o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.1. Error de posici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.2. Error de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.3. Error de aceleraci´n . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.4. Resumen de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3. Magnitud y unidades del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4. Error en sistemas con realimentaci´n no unitaria . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5. Error en sistemas con varias entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566. Estabilidad 61 6.1. Definici´n de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2. Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2.1. Estabilidad de los sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.2.2. Estabilidad de los sistemas de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.3. Ejemplo num´rico de sistema de cuarto orden e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3. Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3.1. Se anula el primer coeficiente de una fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3.2. Se anula toda una fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667. Lugar de las ra´ ıces 67 7.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.2. Generalidades del m´todo . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.3. M´todo para dibujar el lugar de las ra´ e ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.3.1. Polos y ceros en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.3.2. As´ ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.3.3. Puntos del eje real que pertenecen al lugar de las ıces ra´ . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.3.4. Puntos de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.3.5. Puntos de corte con el eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ´ 7.3.6. Angulos de salida y llegada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4. C´lculo de la ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.5. Ejemplos de lugares de las ra´ ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.5.1. Sistema de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.5.2. Sistema de segundo orden con un cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.6. Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.6.1. Margen de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.6.2. Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.7. Lugar de las ra´ıces en funci´n de otros par´metros . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768. Respuesta en frecuencia 79 8.1. Respuesta a una entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.2. El diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.3. Diagramas de Bode de sistemas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.3.1. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.3.2. Retraso en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.3.3. Integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3.4. Derivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3.5. Polo simple estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.3.6. Cero simple con parte real negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.3.7. Polos estables complejos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.3.8. Ceros complejo conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.3.9. Polo simple con parte real positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.3.10. Cero simple con parte real positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4
  5. 5. 8.4. Diagrama de Bode de cualquier funci´n de transferencia o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.5. Diagrama de Bode de un sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.5.1. Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.5.2. Margen de fase y margen de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899. Compensadores de adelanto y de retraso de fase 91 9.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.1.1. Especificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.1.2. Tipos de compensaci´n . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.1.3. M´todo de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.2. Compensador de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.2.1. Ajuste por el lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.2.2. Ajuste por el diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.3. Compensador de retraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.3.1. Ajuste por el diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.3.2. Ajuste por el lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.4. Compensador de adelanto-retraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.Controladores PID 111 10.1. Expresi´n general . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1.1. Forma est´ndar . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1.2. Forma paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.1.3. Forma serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.2. Sentido f´ısico de la actuaci´n de un PID . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.2.1. Actuaci´n proporcional . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.2.2. Actuaci´n proporcional-derivativa . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.2.3. Actuaci´n proporcional-integral . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.3. Ajuste experimental de PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.3.1. Ajuste de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.3.2. Otros ajustes experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.3.3. Ejemplo comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.4. Ajuste anal´ ıtico de PIDs por asignaci´n de polos o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.5. Control con dos grados libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.6. Modificaciones del PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.6.1. Supresi´n del efecto kick-off . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.6.2. Set-point weighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.6.3. Filtro de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.6.4. Prevenci´n del efecto windup integral . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.Control en espacio de estado 127 11.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.2. Tipos de variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 11.2.1. Variables de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 11.2.2. Variables can´nicas o normales . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.2.3. Variables f´ ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 11.3. Controlabilidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.4. Realimentaci´n completa de estados . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.4.1. Asignaci´n de polos . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.4.2. M´todo de Ackermann . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.4.3. Controlador optimo cuadr´tico . . . . . ´ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11.5. Realimentaci´n parcial de estados . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 11.6. Observadores de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 11.7. Realimentaci´n completa de estados observados o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 11.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5
  6. 6. II Control de sistemas muestreados 13712.Introducci´no 139 12.1. Ejemplo de implementaci´n anal´gica o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 12.2. Ejemplo de implementaci´n digital . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 12.3. Concepto de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 12.4. Concepto de cuantizaci´n . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 12.5. Clasificaci´n de los sistemas . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14113.Tratamiento matem´tico de la se˜ al muestreada a n 143 13.1. Definici´n de muestreo peri´dico . . . . . . . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 13.1.1. Funci´n portadora . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 13.1.2. Funci´n temporal muestreada . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13.2. Transformada de Fourier de la funci´n muestreada . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13.3. El problema del aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 13.3.1. Teorema de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 13.3.2. Aliasing y reconstrucci´n de la se˜al original o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 13.3.3. Aliasing y ruido en la medida de la se˜al . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14814.El muestreo ideal 149 14.1. Definici´n de muestreo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 14.1.1. Funci´n portadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 14.1.2. Funci´n temporal muestreada . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 14.2. Transformada de Fourier de la funci´n muestreada . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 14.3. Transformada de Laplace de la funci´n muestreada . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 14.3.1. Forma cerrada y regi´n de convergencia . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 14.3.2. Forma alternativa para la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 14.3.3. Periodicidad de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 14.3.4. Franjas primaria y complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15215.Reconstrucci´n de la funci´n continua original o o 153 15.1. Filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.1.1. Caracter´ısticas del filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.1.2. Imposibilidad f´ısica de construcci´n del filtro ideal . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 153 15.1.3. Reconstrucci´n de la se˜ al con el filtro ideal . . . . . . o n . . . . . . . . . . . . . . . . 154 15.2. Retenedor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 15.2.1. Caracter´ısticas del retenedor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 15.2.2. Expresi´n de Laplace del retenedor de orden cero . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 156 15.2.3. Respuesta en frecuencia del retenedor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 15.3. Retenedor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 15.3.1. Caracter´ısticas del retenedor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 15.3.2. Expresi´n de Laplace del retenedor de primer orden . o . . . . . . . . . . . . . . . . 158 15.3.3. Respuesta en frecuencia del retenedor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 158 15.4. Retenedor polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 15.4.1. Caracter´ısticas del retenedor polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 15.4.2. Expresi´n de Laplace del retenedor polinomial . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 15916.La transformada Zeta 161 16.1. C´lculo de la transformada Zeta . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 16.2. Tabla de la transformada Zeta de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 16.3. Teoremas de la transformada Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 16.4. C´lculo de la transformada inversa de Zeta . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 16.4.1. M´todo directo o de la expansi´n de potencia . . e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 16.4.2. M´todo de la expansi´n en fracciones . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 16.5. Funci´n de transferencia Zeta . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 16.6. Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6
  7. 7. 17.Diagramas de bloques en Zeta 167 17.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 17.2. Bloques en cascada con muestreadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 17.2.1. Un unico bloque continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ . . . 167 17.2.2. Bloques continuos con muestreador intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 17.2.3. Bloques continuos sin muestreador intermedio: el problema de la convoluci´n o . . . 169 17.2.4. Sistemas en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 17.3. M´todo de simplificaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o . . . 171 17.4. Sistemas con bloques continuos y discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17218.Correspondencia entre el plano S y el plano Z 173 18.1. Franja primaria y c´ırculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 18.2. L´ ıneas de par´metros constantes . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 18.3. Variaci´n de la posici´n de los polos y ceros con T o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 18.4. C´lculo del n´mero de muestras por ciclo . . . . . a u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17619.An´lisis de estabilidad a 179 19.1. Criterio general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 19.2. Criterio de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 19.3. Transformaci´n bilineal y criterio o de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 19.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18120.Respuesta transitoria y r´gimen e permanente 183 20.1. Respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 20.2. R´gimen permanente . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 20.3. Error en r´gimen permanente . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 20.4. Tipo de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18621.Lugar de las ra´ ıces 187 21.1. Definici´n . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 21.2. Punto de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 21.3. M´todo gr´fico . . . . . . . e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 21.4. Dise˜ o de compensadores de n adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 21.5. Ejemplo de dise˜o . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 21.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19422.M´todos de digitalizaci´n e o 197 22.1. Generalidades de los m´todos de digitalizaci´n . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . . . 197 22.2. Integraci´n num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 197 22.2.1. M´todo trapezoidal o de Tustin . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 198 22.2.2. M´todo de Euler impl´ e ıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 22.2.3. M´todo de Euler expl´ e ıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 22.2.4. Otros m´todos num´ricos de integraci´n . . . . . . . . e e o . . . . . . . . . . . . . . . . 200 22.2.5. Ejemplo de digitalizaci´n usando integraci´n num´rica o o e . . . . . . . . . . . . . . . . 200 22.3. Derivaci´n num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 201 22.3.1. M´todo de backwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 201 22.3.2. Otros m´todos de derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . . . 202 22.3.3. Ejemplos de digitalizaci´n de PID . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 203 22.3.4. Ejemplos de digitalizaci´n de filtros . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 203 22.4. M´todo de equiparaci´n de polos y ceros . . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . . . 204 22.4.1. Caso particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 22.4.2. M´todo de equiparaci´n modificado . . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . . . 205 22.4.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 22.5. M´todo de la equivalencia del retenedor . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 20623.Respuesta en frecuencia 207 23.1. Aproximaci´n de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 o 23.2. Ejemplo num´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 e 23.3. Respuesta en frecuencia exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7
  8. 8. 24.Espacio de estado muestreado 211 24.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 o 24.2. Ejemplo de modelizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 o 24.3. Control mediante realimentaci´n completa de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 oA. Ampliaci´n de espacio de estado o 215 A.1. Matriz de transici´n de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 o 8
  9. 9. Parte IControl de sistemas continuos 9
  10. 10. Cap´ ıtulo 1Introducci´n o La ingenier´ de control formula leyes matem´ticas para el gobierno de sistemas f´ ıa a ısicos conforme auna serie de requerimientos o especificaciones. La aplicaci´n de estas leyes convierte al sistema f´ o ısico en unsistema controlado que, o bien posee una din´mica mejorada, o bien se ha convertido en un automatismo, aes decir, un sistema que es capaz de “auto-conducirse” siguiendo una consigna de referencia. Esta disciplina es esencial para la automatizaci´n de procesos industriales y brinda los medios ade- ocuados para lograr el funcionamiento optimo de cualquier sistema din´mico. Resulta muy conveniente ´ aque los ingenieros posean un amplio conocimiento de esta materia. La Parte I del presente libro describe las herramientas cl´sicas para el control de sistemas continuos en ael tiempo, es decir, aquellos sistemas en los que se puede medir y actuar en todo instante. En electr´nica, oeste tipo de sistemas se llaman anal´gicos. La Parte II estudiar´ los discretos o digitales, utilizando o amuchas de las herramientas que se describieron en la primera parte.1.1. Definiciones En esta disciplina se emplea mucho la palabra sistema, que se puede definir como una combinaci´n de oelementos que act´ an conjuntamente y cumplen un determinado objetivo. A veces se usar´ la expresi´n u a osistema din´mico, es decir, que evoluciona a lo largo del tiempo. a Sistema es un t´rmino muy general, que puede aplicarse casi a cualquier realidad f´ e ısica. As´ un veh´ ı, ıculoimpulsado por un motor de combusti´n interna es un sistema. Pero tambi´n el conjunto de elementos o eque regulan la temperatura de un edificio es un sistema. El primer ejemplo (el veh´ ıculo) ser´ un sistema ıaque goza de una cierta unidad. En cambio el segundo ejemplo (el sistema de calefacci´n de un edificio) oes un sistema distribuido, es decir, sus elementos est´n repartidos en distintos lugares (los sensores de atemperatura, la caldera, los radiadores e incluso el volumen de aire que se pretende calentar forman partedel sistema). Por otro lado, todos y cada uno de los elementos que componen un sistema pueden ser considerados,en s´ mismos, como sistemas. El veh´ ı ıculo antes citado es un sistema de locomoci´n, pero el motor de ocombusti´n interna que lo impulsa puede ser considerado, en s´ mismo, como un sistema al margen del o ıveh´ ıculo. Para evitar equ´ıvocos, se reservar´ el t´rmino planta para el designar el sistema que se desea controlar. a eDesde el punto de vista del control autom´tico, es muy importante identificar la planta, es decir, el sistema af´ ısico que se pretende controlar. As´ y siguiendo con el ejemplo del veh´ ı, ıculo, es muy distinto pretendercontrolar la velocidad del veh´ ıculo para que sea 120 km/h constante (cualquiera que sea la pendiente de lacarretera), que controlar la temperatura interior del autom´vil para que sea 22◦ C constante (cualquiera oque sea la temperatura exterior). De alguna forma, previamente a abordar el problema de control, hayque formular matem´ticamente las ecuaciones diferenciales que describen la din´mica de la planta. El a aapartado 3.3 se dedica precisamente a la formulaci´n de ecuaciones diferenciales de algunos sistemas of´ ısicos elementales. El concepto de perturbaci´n est´ incluido tambi´n en los ejemplos de control apuntados anterior- o a emente. La pendiente de la carretera para el control de la velocidad y la temperatura exterior para elcontrol de la temperatura interior son perturbaciones de dichos sistemas, es decir, agentes f´ ısicos que elingeniero no puede controlar o modificar pero s´ influyen en la variable f´ ı ısica que se quiere gobernar. Lapropia planta podr´ contener elementos variables que modifiquen la respuesta del sistema. En este caso, ıaen lugar de perturbaciones se denominar´n incertidumbres. Por ejemplo, la masa del veh´ a ıculo dismi- 11
  11. 11. nuye conforme se consume el combustible, influyendo en la velocidad del veh´ ıculo. Es una incertidumbrede la planta, no una perturbaci´n exterior. o Tambi´n se han mencionado en los ejemplos una referencia para el sistema controlado (los 120 km/h epara la velocidad o los 22◦ C para la temperatura). Evidentemente se trata de una se˜al o magnitud f´ n ısicaque se desea para el sistema controlado. Un sistema bien controlado seguir´ con fidelidad la consigna de ala referencia. Un sistema mal controlado no ser´ capaz de alcanzar la referencia o la seguir´ con un error a aconsiderable. El error que existe entre la referencia deseada y la respuesta real del sistema tambi´n es un elemento ede inter´s en los sistemas controlados. De hecho, el error puede ser objeto de especificaci´n. Por ejemplo, e oel ingeniero puede dar como satisfactorio un sistema controlado que sea capaz de alcanzar la referenciacon un error menor que un determinado umbral. El elemento central del sistema de control es lo que denomina controlador. A veces se le llamacompensador o regulador. Este elemento es el encargado de actuar en la planta en funci´n de la referencia oo del error, para conseguir que dicha planta se comporte de acuerdo con las especificaciones de dise˜o. nEn el ejemplo del climatizador del veh´ ıculo, en funci´n de la temperatura interior y la referencia deseada, oel controlador introducir´ aire fr´ o caliente en el habit´culo. En el ejemplo del control de la velocidad a ıo ade crucero, en funci´n de la velocidad actual del veh´ o ıculo y de la referencia deseada, el controladorinyectar´ en el carburador m´s o menos caudal de gasolina o incluso puede activar el sistema de frenado. a aHablando impropiamente, el controlador es el elemento “inteligente” del sistema. La existencia de esteelemento de gobierno es lo que hace que un sistema sea autom´tico y no manual. Cuando un controlador aconsigue su objetivo a pesar de las incertidumbres de la planta, se dice que el controlador es robusto.1.2. Tipos de sistemas de control Con los elementos enunciados en el apartado anterior, es posible dibujar —de forma cualitativa—c´mo funciona un sistema de control. De momento, los distintos elementos del sistema se representar´n o acon nubes o “cajas negras” y las se˜ ales con flechas. n Un sistema controlado en lazo abierto es aquel cuyo controlador act´a s´lo en funci´n de la referencia u o odeseada para la respuesta del sistema (Fig. 1.1). Este tipo de control se puede emplear si las perturbacionessobre el sistema son peque˜ as y se tiene un buen modelo de planta. Tambi´n se utiliza este tipo de control n esi la se˜ al de salida del sistema es imposible o muy dif´ de medir. n ıcil _‚„ Z„As{$Bt ? i‚P‚„‚t{$s V{ Zs{$Bt ? i‚R}Z‚R s ]Bt „BjsIB„ _jst s Figura 1.1: Sistema controlado en lazo abierto En los sistemas controlados en lazo cerrado la variable controlada se mide y se utiliza para modificarla actuaci´n sobre la planta. Evidentemente, para realizar esta medida se necesita un sensor. A priori, un osistema controlado en lazo cerrado es m´s complejo y caro que un sistema controlado en lazo abierto. La aforma m´s habitual de “cerrar el lazo” en los sistemas de control es calcular el error entre la referencia y ala respuesta actual del sistema. El controlador act´a entonces en funci´n del error (Fig. 1.2). El concepto u ode realimentaci´n (feedback ) es uno de los principios b´sicos del control autom´tico. o a a _‚„ Z„As{$Bt ? i‚P‚„‚t{$s e„„B„ V{ Zs{$Bt ? i‚R}Z‚R s ]Bt „BjsIB„ _jst s ± 7‚tRB„ Figura 1.2: Sistema controlado en lazo cerrado Al margen de la arquitectura que tenga la ley de control, el sistema de control en el que se hace especialhincapi´ a la capacidad del sistema de seguir los cambios de la referencia se le denomina servosistema. eEn cambio, el sistema de control en el que se hace especial hincapi´ a la capacidad del sistema de rechazar elas perturbaciones exteriores y mantener una referencia constante, o que cambia muy lentamente, se ledenomina regulador. 12
  12. 12. Sin pretender realizar una clasificaci´n exhaustiva de los tipos de sistemas de control, merece la pena ose˜ alar algunos de ellos, y especificar cu´les se tratar´n en este libro. As´ por ejemplo, si se atiende a la n a a ıvariaci´n en el tiempo de la ley de control se puede distinguir entre: o - Control fijo o est´ndar: La ley de control no var´ en el tiempo. Es interesante la planta es fija. a ıa Como ya se ha apuntado en el apartado anterior, se llama control robusto a aquel que funciona correctamente ante errores en la modelizaci´n o incertidumbres de la planta. o - Control adaptable (gain scheduling): La ley de la planta cambia, y se puede decidir para cada ley un controlador distinto. Aqu´ se selecciona una ley de control como se ve en la Fig. 1.3. ı - Control adaptativo (adaptive control ): El controlador cambia gradualmente en funci´n de una o estimaci´n de la planta que se actualiza en todo momento. Este tipo de estrategia es adecuada para o aquellos sistemas en los que el modelo de la planta var´ mucho a lo largo del tiempo. ıa _‚„ Z„As{$Bt ? ]Bt „BjS1 ? V{ Zs{$Bt i‚R}Z‚R s _jst s i‚P‚„‚t{$s e„„B„ ]Bt „BjSd ± 7‚tRB„ Figura 1.3: Sistema de control adaptable Si se atiende al n´mero de entradas y de salidas que posee el sistema, se denominan sistemas SISO u(single input, single output) los que poseen una unica entrada y una salida, y sistemas MIMO (multiple ´input, multiple output) si poseen varias entradas y varias salidas. Si las ecuaciones en diferenciales que describen el sistema, tanto la planta como el controlador, sonlineales entonces todo el sistema de control se denomina lineal. En cambio, si falta la propiedad de lalinealidad en la planta o el controlador, todo el sistema ser´ no lineal. a Por otro lado, la divisi´n de este libro en dos grandes partes alude a otra posible clasificaci´n de los o osistemas de control: los sistemas continuos, en los que la ley de control posee informaci´n de la planta y oact´a en todo instante de tiempo. Y los sistemas muestreados o discretos en los que la ley de control urecibe informaci´n y act´a en determinados instantes que suele imponer un reloj. La Parte II del presente o umanual se dedica al estudio de este ultimo tipo de sistemas. ´ Finalmente, si el sistema est´ descrito por ecuaciones diferenciales ordinarias se llama sistema de apar´metros concentrados, pero si est´ descrito por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas a aparciales se llama de par´metros distribuidos. Un ejemplo de este ultimo tipo de sistemas puede ser a ´el control de la transmisi´n de calor a trav´s de una superficie, o el control de la vibraci´n de un punto o e ode una membrana. 13
  13. 13. 14
  14. 14. Cap´ ıtulo 2La transformada de Laplace En el a˜o 1782 Pierre Simon Laplace estudi´ la transformaci´n integral que lleva su nombre. Sin n o oembargo, no es hasta el periodo de 1880-1887 cuando Oliver Heaviside la aplica para la resoluci´n de oecuaciones diferenciales. Dado que en ingenier´ de control se usa mucho esta herramienta matem´tica, ıa ael presente cap´ ıtulo resume sus principales propiedades.2.1. Definici´n y propiedades o Se define la transformada de Laplace F (s) de una determinada funci´n temporal f (t) como: o ∞ F (s) = L [f (t)] = f (t)e−ts dt (2.1) 0 Donde f (t) es una funci´n real de variable real, generalmente el tiempo, y su transformada de La- oplace F (s) es una funci´n compleja de variable compleja. Para que exista la transformada de Laplace es osuficiente que la integral exista para alg´n valor s complejo. Se reservar´n las letras min´sculas para las u a ufunciones temporales y las may´sculas para sus transformadas de Laplace. u L f (t) − F (s) → (2.2) La transformada de Laplace no existe para cualquier funci´n temporal f (t). Una condici´n suficiente o o—pero no necesaria— de existencia, es que f (t) sea seccionalmente continua en [0, T ], ∀T > 0, y que seade orden exponencial cuando t → ∞, es decir, que ∃ M, T > 0 y α ∈ R / |f (t)| < M eαt ∀t > T . Lasfunciones que cumplen esta condici´n suficiente se suelen decir que pertenecen al conjunto A, es decir, of (t) ∈ A. Como la integral (2.1) se extiende desde cero hasta infinito, dos funciones cualesquiera que difieranunicamente en valores de tiempo negativos, poseen la misma transformada de Laplace. Es decir, los´valores de f (t) para t negativos, no influyen en la transformada de Laplace. Para que la relaci´n entre ouna funci´n y su transformada de Laplace sea biun´ o ıvoca, a partir de ahora s´lo se considerar´n funciones o acausales, es decir, aquellas que son nulas para tiempos negativos, f (t) = 0 ∀t < 0, y toman valores finitosen tiempos positivos. Para funciones f (t) causales y continuas1 para t > 0, entonces la relaci´n entre f (t) oy F (s) es biun´ıvoca, es decir, que para toda f (t) existe una unica F (s) y viceversa. ´ La variable compleja s tiene en m´dulo unidades de rad/s. Pero si el n´mero complejo lo dividimos o uen parte real y parte imaginaria, se puede considerar que tiene unidades de rad/s sobre el eje imaginarioy de s−1 sobre el eje real. Se observa en la definici´n de la transformada de Laplace, o e−ts = e−t(a+bj) = e−ta |−tb (2.3)que el exponente del m´dulo del n´mero complejo es adimensional si consideramos que a, que es la parte o ureal de la variable compleja s, tiene unidades de s−1 . El argumento tendr´ unidades de radianes si b, que aes la parte imaginaria de la variable compleja s, tiene unidades de rad/s. En la Tabla 2.1 se resumen las principales propiedades de la transformada de Laplace. La propiedadde la linealidad existe si f (t) y g(t) poseen transformada de Laplace. La propiedad de la derivaci´n real o 1 Para Laplace no ser´ estrictamente necesario que fueran continuas, porque afirma que dos funciones que difieran en un ıanumero finito o infinito de puntos aislados deben considerarse iguales. 15
  15. 15. se da si f (t) es continua en el intervalo (0, ∞), f (t) es de orden exponencial cuando t → ∞ y la f (t) esseccionalmente continua en [0, T ], ∀T > 0. El resto de propiedades se dan simplemente si f (t) ∈ A. Porlo general, estas condiciones rara vez se tienen en cuenta ya que las variables f´ ısicas que se manejan eningenier´ de control son casi siempre funciones causales. ıa Tabla 2.1: Propiedades de la transformada de Laplace Propiedad Expresi´n o Linealidad L [αf (t) + βg(t)] = αF (s) + βG(s) t Integraci´n real o L[ 0 f (τ ) dτ ] = F (s) s df (t) Derivaci´n real o L dt = sF (s) − f (0+ ) Valor final l´ f (t) = l´ sF (s) ım ım t→∞ s→0 Valor inicial l´ f (t) = l´ sF (s) ım ım t→0+ s→∞ Traslaci´n en el tiempo o L [f (t − a)] = e−as F (s) Traslaci´n en Laplace o L [e−as f (t)] = F (s + a) Convoluci´n o L [f (t) ⊗ g(t)] = F (s)G(s) Escalado en el tiempo L [f ( α )] = αF (αs) t Conviene se˜alar que la traslaci´n de una funci´n en el tiempo hace que aparezcan los valores nulos de n o ola funci´n causal en tiempos positivos (ver Fig. 2.1). Este hecho se suele olvidar y es fuente de importantes oerrores. Ww0D Ww0 u yD 0 y Figura 2.1: Funci´n trasladada en el tiempo o2.2. Transformada de Laplace de funciones elementales En este apartado se calculan las transformadas de Laplace de algunas funciones elementales. La funci´n oescal´n unidad u(t) se define como: o 1 para t ≥ 0 u(t) = (2.4) 0 para t < 0 Su transformada de Laplace se obtiene por definici´n: o ∞ ∞ e−ts 1 U (s) = L [u(t)] = e−ts dt = = (2.5) 0 −s 0 s Para el caso de la funci´n pulso de area unidad p(t), tambi´n por definici´n: o ´ e o 1 α para 0 ≤ t < α p(t) = (2.6) 0 resto α α 1 −ts 1 e−ts 1 − e−αs P (s) = L [p(t)] = e dt = = (2.7) 0 α α −s 0 αs La funci´n impulso unidad δ(t) se define como: o ∞ ∞ para t = 0 δ(t) = , siendo δ(t) dt = 1 (2.8) 0 resto −∞ 16
  16. 16. En este caso, su transformada de Laplace se puede obtener como l´ ımite de la funci´n pulso de area o ´unidad, cuando el par´metro α tiende a cero, es decir, a 1 − e−αs Δ(s) = L [δ(t)] = l´ ım = 1, (2.9) α→0 αsdonde se ha empleado el teorema de l’Hˆpital para el c´lculo del l´ o a ımite. Otra forma de obtener este mismoresultado es considerar funci´n escal´n unidad se obtiene integrando la funci´n impulso unidad: o o o t 1 Δ(s) U (s) = L [u(t)] = =L δ(τ ) dτ = =⇒ Δ(s) = 1 (2.10) s 0 s En cualquier caso, la funci´n impulso unidad δ(t) es un poco especial, y el camino inverso al que se oha usado en la demostraci´n anterior no funciona: o du(t) 1 Δ(s) = L [δ(t)] = L = s − u(0+ ) = 1 − 1 = 0 ¡falso! (2.11) dt s Este hecho no puede sorprender ya que la funci´n impulso es la derivada de la funci´n escal´n en un o o osentido impropio. Por otro lado, no se cumplen las condiciones se˜aladas para poder aplicar la propiedad nde la derivaci´n real. o Tabla 2.2: Transformadas de las entradas habituales en los sistemas Funci´n o f (t) F (s) Impulso unidad δ(t) 1 1 Escal´n unidad o u(t) = 1, para t > 0 s 1 Rampa unidad r(t) = t, para t > 0 s2 Aceleraci´n unidad o a(t) = 1 t2 , para t > 0 2 1 s3 Se˜aladas estas advertencias matem´ticas, las funciones que m´s se emplean como entradas en los n a asistemas controlados son precisamente aquellas que se obtienen al ir integrando sucesivamente la funci´n oimpulso unidad, como se observa en la Tabla 2.2. En la Tabla 2.3 se muestran las transformadas de otrasfunciones, definidas para tiempos positivos. Tabla 2.3: Transformadas de Laplace de diversas funciones f (t) F (s) f (t) F (s) e−at 1 s+a tk−1 (k−1)! sk te−at 1 (s+a)2 e−at − e−bt b−a (s+a)(s+b) tk−1 e−at (k−1)! (s+a)k sin at a s2 +a2 1 − e−at a s(s+a) cos at s s2 +a2 1−e−at t− a a s2 (s+a) e−at sin bt b (s+a)2 +b2 a2 1 − (1 + at)e−at s(s+a)2 e−at cos bt s+a (s+a)2 +b22.3. Transformada inversa de Laplace El proceso matem´tico de pasar de la expresi´n matem´tica en el dominio de Laplace a la expresi´n a o a oen el dominio del tiempo se denomina transformada inversa de Laplace. Su expresi´n es: o c+jω 1 f (t) = L −1 [F (s)] = l´ ım F (s)ets ds , (2.12) ω→∞ 2πj c−jωdonde c es cualquier constante real mayor que la parte real de cualquier polo de F (s). 17
  17. 17. Evaluar la integral (2.12) puede ser bastante complicado por lo que se suele calcular acudiendo a laTabla 2.3. Si en la tabla no se encuentra una determinada funci´n F (s), se recomienda descomponerla oen funciones simples en s, de las cuales s´ se conozcan sus transformadas inversas. Como las funciones de ıLaplace que se van a utilizar suelen ser fracciones de polinomios en s, el c´lculo de transformadas inversas ase reduce a dividir estas expresiones en fracciones simples. s2 + 2s + 3 F (s) = (2.13) (s + 1)3 Como ejemplo, se va a calcular la funci´n temporal de la funci´n de Laplace F (s) de la ecuaci´n o o o(2.13). Lo primero que se hace es dividir la unica fracci´n en tres simples: ´ o A B C A + B(s + 1) + C(s + 1)2 F (s) = + + = (2.14) (s + 1)3 (s + 1)2 s+1 (s + 1)3 Las constantes A, B y C se calculan igualando coeficientes de los polinomios del numerador. Tambi´n ees posible obtenerlos igualando los numeradores despu´s de dar un valor num´rico a la variable s. Los e evalores num´ricos m´s adecuados son las ra´ de distintos monomios. De esta forma es posible determinar e a ıcesm´s r´pidamente las constantes. Para el caso anterior los valores de A, B y C son respectivamente 2, 0 a ay 1. Entonces: 2 1 F (s) = 3 + (2.15) (s + 1) s+1 f (t) = t2 e−t + e−t = e−t (1 + t2 ), para t > 0 (2.16)2.4. Resoluci´n de ecuaciones diferenciales o En este apartado se utiliza la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales.Sea la siguiente ecuaci´n diferencial o df (t) d2 f (t) dr(t) a0 f (t) + a1 + a2 2 = b0 r(t) + b1 , (2.17) dt dt dtdonde las condiciones iniciales son: df (0+ ) f (0+ ) = c0 , = c1 , r(0+ ) = d0 (2.18) dt Se aplica la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuaci´n: o a0 F (s) + a1 [sF (s) − c0 ] + a2 s2 F (s) − c0 s − c1 = b0 R(s) + b1 [sR(s) − d0 ] (2.19) b0 + b 1 s a1 c0 + a2 c1 − b1 d0 + a2 c0 s F (s) = R(s) + (2.20) a0 + a1 s + a2 s2 a0 + a1 s + a2 s2 La ecuaci´n diferencial (2.17) se convierte en una ecuaci´n algebraica en el dominio de Laplace. De o oesta forma es muy sencillo obtener la soluci´n (2.20) a la ecuaci´n diferencial, tambi´n en el dominio de o o eLaplace. La soluci´n en el dominio del tiempo se puede obtener calculando la transformada inversa de oLaplace de F (s), conocida la funci´n r(t). o2.5. Ejercicios resueltos - Ejercicio 1: Obtener la funci´n x(t) que cumple la ecuaci´n diferencial con condiciones iniciales o o no nulas: d2 x(t) dx(t) x(0+ ) = a 2 +3 + 2x(t) = 0, dx(0+ ) (2.21) dt dt dt =b Aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´n diferencial, o s2 X(s) − sa − b + 3 [sX(s) − a] + 2X(s) = 0, (2.22) 18
  18. 18. la soluci´n en el dominio de Laplace es: o sa + 3a + b X(s) = . (2.23) s2 + 3s + 2 La soluci´n en el dominio del tiempo es: o sa + 3a + b 2a + b a + b x(t) = L −1 = L −1 − (2.24) s2 + 3s + 2 s+1 s+2 x(t) = (2a + b)e−t − (a + b)e−2t , para t > 0 (2.25)- Ejercicio 2: Obtener la funci´n x(t) que cumple la ecuaci´n diferencial con condiciones iniciales o o nulas: d2 x(t) dx(t) +2 + 5x(t) = 3u(t) (2.26) dt2 dt Aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´n diferencial, o 3 s2 X(s) + 2sX(s) + 5X(s) = , (2.27) s la soluci´n en el dominio de Laplace es: o 3 X(s) = . (2.28) s(s2 + 2s + 5) La soluci´n en el dominio del tiempo es: o 3 A Bs + C x(t) = L −1 = L −1 + 2 (2.29) s(s2 + 2s + 5) s s + 2s + 5 3 1 3 s+1 1 2 x(t) = L −1 + L −1 + (2.30) 5 s 5 (s + 1)2 + 22 2 (s + 1)2 + 22 3 1 x(t) = 1 − e−t cos 2t − e−t sin 2t , para t > 0 (2.31) 5 2 19
  19. 19. 20
  20. 20. Cap´ ıtulo 3Representaci´n de los sistemas o Los sistemas de control se pueden representar gr´ficamente de diversas formas, por ejemplo, mediante adiagramas de flujo o diagramas de Bond-Graph. Sin embargo, en este libro s´lo se emplear´n los diagramas o ade bloques. Previamente, se definir´ el concepto de funci´n de transferencia y se aplicar´ a distintos tipos a o ade sistemas f´ ısicos.3.1. Generalidades En la Fig. 3.1 se muestra la forma gr´fica m´s elemental de representar un sistema. En dicha figura a aaparecen tres elementos: 1) la variable f´ ısica de la entrada, que se representa con una flecha apuntandoal sistema, 2) la variable f´ ısica de la salida, que es la flecha dirigida del sistema al exterior, y 3) el propiosistema, representado aqu´ como una nube o “caja negra” del que se desconoce a priori su funcionamiento ıinterno. et „sIs 7sj$Is 7$R ‚8s Figura 3.1: Diagrama de un sistema cualquiera Esta forma tan elemental de representar un sistema permite al ingeniero establecer una primeradescripci´n del mismo, sus posibles partes, as´ como las diferentes l´ o ı ıneas de causalidad que se dan.Por ejemplo, en la Fig. 3.2 se muestra esquem´ticamente el sistema “central hidroel´ctrica”, que tiene a ecomo entrada el caudal de agua y como salida la tensi´n el´ctrica. Este sistema se puede dividir en dos o esubsistemas: 1) la turbina que trasforma el caudal de agua entrante en una velocidad de giro en su eje,y 2) la dinamo o alternador que convierte el giro mec´nico en tensi´n el´ctrica. a o e ]sZIsj q‚tR$Bt ? ]‚t „sj ]sZIsj z‚jB{$IsI q‚tR$Bt ? qZ„A$ts *$ts8B Figura 3.2: Diagramas equivalentes de una central hidroel´ctrica e Evidentemente se podr´ haber dividido el sistema completo en muchas otras partes, conservando todas ıalas representaciones igual validez. Tambi´n se podr´ haber encontrado otras variables intermedias entre e ıanla entrada y la salida, que unieran los distintos subsistemas, y que har´an referencia a otras realidades ıf´ ısicas o incluso sin sentido f´ısico, pero coherentes desde el punto de vista matem´tico. a El ingeniero evitar´ por todos los medios cambiar el orden natural de la causalidad. En el ejemplo aanterior, no debe definir la tensi´n como entrada y el caudal de agua como salida. Y esto aunque se opueda encontrar la relaci´n matem´tica inversa que deduce la segunda variable a partir de la primera. o aPor otro lado, existen infinitas formas de representar gr´ficamente un sistema cualquiera. Sin embargo, ahay formas m´s adecuadas que otras (por ejemplo, porque muestren las variables f´ a ısicas m´s importantes aque intervienen en el sistema). Encontrar el esquema o modelo m´s adecuado para un sistema f´ a ısico es uno de los principales retosa los que se enfrenta el ingeniero, pero no es el cometido de esta asignatura. Adem´s, cada ejemplo a 21

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