Operaciones financieras complejas rentas

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Resumen de valor final de rentas

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Operaciones financieras complejas rentas

  1. 1. Operaciones financieras complejas: Rentas Definiremos para nuestra materia a la RENTA como &quot;Una sucesión de cantidades disponibles según una determinada sucesión de tiempo&quot;.   <ul><li>De la definición resulta que las rentas forman parte del grupo de operaciones COMPLEJAS, es decir si el pago al que está obligado a hacer una parte (por lo menos) a la otra no es único, sino resultado de una sucesión de pagos parciales. </li></ul><ul><li>Dicho en otras palabras, será compleja si lo que estudiamos es la transformación de una sucesión de capitales en otro u otros, por desplazamiento, en el tiempo, de sus elementos. </li></ul>
  2. 2. Ejemplos de rentas Constituyen una renta , concordando con la definición dada:        los alquileres a percibir por un bien durante la vigencia de un contrato de locación;      las utilidades anuales de una empresa y los dividendos distribuidos a los accionistas;       los sueldos a percibir por los empleados durante su vida de trabajo;      las cuotas a pagar por la compra de un bien; la jubilación a percibir por una persona hasta su muerte;          el impuesto semestral inmobiliario a percibir por un Estado provincia¡; etc.
  3. 3. Elementos de las rentas Término : Cada cantidad disponible, cada suma a pagar o percibir. En algunos casos de denomina “Cuota” Período de la renta : Es el tiempo que media entre dos términos consecutivos de la renta. No es necesario que estos períodos sean iguales. Momentos de la renta : 1) Momento o época inicial: al instante en que comienza el primer período de la renta (EI); 2) Momento o época final: al instante en que termina el último período de la renta (EF); 3) Momento o época de valuación (EV): al instante convenido para establecer el valor de la misma, principal objeto de nuestro estudio.-
  4. 4. Clasificación de las rentas a) Según el cálculo que se utilice para conocer su valor: a INTERÉS SIMPLE y a INTERÉS COMPUESTO si el cálculo se realiza con estos métodos ya conocidos. b) Por la naturaleza de los términos: CONSTANTES o VARIABLES. Son CONSTANTES aquellas rentas que tiene todos sus términos iguales, y VARIABLES cuando resultan diferentes.   c) A cada período de la renta corresponde un pago, el que puede efectuarse al final o al principio del mismo. Desde este punto de vista las rentas pueden ser VENCIDAS o ADELANTADAS, respectivamente.
  5. 5. Clasificación de las rentas (continuación) d)   Por la certeza de su duración las rentas pueden ser CIERTAS o INCIERTAS. Son CIERTAS aquellas rentas cuya duración esta prevista y debe cumplirse. Por ejemplo: el pago de las cuotas por la compra de un automóvil, en la forma usual en el comercio. Son INCIERTAS O CONTINGENTES aquellas en que el comienzo o la finalización de la serie de pagos depende de un acontecimiento externo. Por Ejemplo: las jubilaciones que se abonan a condición de que el beneficiario esté vivo.- e)    De acuerdo al número de términos, las rentas pueden ser TEMPORARIAS o PERPETUAS . Son rentas TEMPORARIAS aquéllas que constan de un número finito de términos. Son PERPETUAS (llamadas también perpetuidades) aquellas rentas que tienen un numero indefinido de términos, que podemos suponer infinitamente grande.
  6. 6. Representación de los términos de la renta Graficaremos las rentas en una recta representativa del tiempo, dividido en los períodos de la renta. En la parte superior indicaremos el número de términos y en la inferior el importe de cada suma disponible, en el momento que corresponda C C C C C C C C El gráfico representa una renta cierta, constante, temporaria, vencida, de “n” términos, que debe ser valuada al principio del primer período (valor actual). ........... E.V. E.I. E.F. n términos
  7. 7. Problemas que plantean las rentas Todo problema de renta cierta requiere una definición previa: el método de cálculo de los intereses , que surge de la convención entre acreedor y deudor. Cuando se trate de rentas inciertas, debe conocerse, además, la probabilidad que afecta al suceso condición de pago de cada término.   Definido el método de cálculo, surgirá una ecuación matemática que ha de vincular estos cuatro valores: a)      el valor de la renta en un instante dado; b)      el valor de los términos de la renta; c)      la tasa de interés d)      el número de términos de la renta.
  8. 8. Problemas que plantean las rentas a.- Se denomina valor de la renta en un instante dado, al capital que en un pago único realizado en ese instante, resulte equivalente al pago de todos los términos de la renta. b.- El valor de los términos de la renta , o sea, el segundo problema es más complejo: dado el valor de la renta, la tasa de interés y la duración, es posible encontrar infinitas sucesiones de términos que resulten equivalentes al dado valor de la renta. Depende de si esos términos son constantes, variables en progresión aritmética o geométrico y dentro de éstas, de los valores de la razón, o, variables en forma irregular . c.- El cálculo de la tasa de interés resulta de solución técnica, pero en la generalidad de los casos sólo es posible determinarla mediante aproximaciones numéricas sucesivas.
  9. 9. Problemas que plantean las rentas d.- La determinación de la duración de la renta no ofrece por la, general dificultades teóricas. Esta duración tiene dos significados: tiempo y número de términos de la renta . El tiempo puede expresarse en forma fraccionaria y ajustar el resultado al numero de días, unidad mínima de tiempo utilizada en nuestra materia. En cuanto al número de términos, debe ser necesariamente entero . Si la respuesta teórica es fraccionaria, se acude a soluciones prácticas mediante ajustes que mantengan la equivalencia de capitales.-
  10. 10. Imposiciones constantes Por razones metodológicas, al estudiar las rentas ciertas, temporarias, constantes, se clasificaran en dos grupos: Imposiciones y Amortizaciones . Cuando las rentas se destinan a construir un capital al término de su duración, se denominan imposiciones , y el problema principal consisten en calcular el valor final o monto. Llamaremos “C” a los términos de renta, que por ser constante son todos iguales, “n” al número de términos e “i” a la tasa de interés referida al período de la renta. En este tipo de operaciones los términos de renta se depositan al final de cada período. Podemos graficar:
  11. 11. Valor final de rentas en capitalización compuesta de términos constantes. Vencidas Dado el carácter de imposiciones, el momento de valuación está referido al momento final de la renta E.I. C C C .... C C C C.(1+i) n-1 C.(1+i) n-2 C.(1+i) n-3 ......... C(1+i) 2 C(1+i) 1 C(1+i) 0 E.F. E.V.
  12. 12. Valor final de rentas en capitalización compuesta de términos constantes. Vencidas La expresión contenida en el corchete constituye una progresión geométrica de razón ( 1 + i) y cuyo primer termino es 1. Aplicando la fórmula de la suma de sus términos, donde: “ a ” es el primer término, “ q ” es la razón y “ n ” el número de términos. Luego. (I) <ul><li>Dado el carácter de imposiciones, el momento de valuación esta referido al momento final de la renta. El monto de la renta estará dado por la suma de los montos parciales de cada una de las cuotas o términos </li></ul>
  13. 13. Fórmulas derivadas Despejando de la fórmula (I) Valor de la cuota Cálculo del tiempo <ul><li>Recordando la relación entre capitalización continua y discontinua tenemos: (1 + i) n = e  .n => (1 + i) = e  </li></ul>La formula de la tasa en las imposiciones, así como en otro tipos de rentas, no puede ser hallada algebraicamente. Para dar solución al problema, acudiremos más adelante a la interpolación tabular
  14. 14. Valor final de una renta ,capitalización compuesta ,términos constantes. Adelantadas.   <ul><li>Por ser imposiciones, el momento de valuación esta referido al momento final. El monto de la renta estará dado por la suma de los montos parciales de cada una de las cuotas o términos. Aplicando los factores de capitalización a cada cuota según el tiempo que devengarán intereses, y llamando Sn al monto de la renta, y ordenando la sumatoria tendremos: </li></ul><ul><li>Sacando factor común C, el primer término de la serie geométrica es (1+i), la razón es (1+i), su suma es: </li></ul>
  15. 15. Fórmulas derivadas <ul><li>Despejando de la fórmula del valor final </li></ul>Valor de la cuota o término Cálculo del tiempo <ul><li>Recordando la relación entre capitalización continua y discontinua tenemos: (1 + i) n = e  .n => (1 + i) = e  </li></ul>
  16. 16. Problemas 1.-¿Qué monto se habrá reunido al cabo de 3 años, si depositamos $ 1 000 al final de cada trimestre al 3% trimestral? R. 14 192,03 2.- Se necesita formar un capital de $ 1 000 000 en el término de 10 años. ¿Qué cantidad puedo colocar al principio de cada semestre en un banco que paga 10% anual y capitaliza semestralmente? R. 2920,04(calculando tasa semestral i 6 ) ó 2880,25(con tasa periódica) 3.- Si invertimos $ 400 000 al comienzo de cada año, durante 10 años, al 8% anual, con capitalización semestral, ¿Qué monto tendremos al cabo de ese tiempo? R 12 280 146,08
  17. 17. Diversas situaciones que podemos encontrar 1.- Rentas vencidas o adelantadas capitalizadas con diferentes tasas de interés: Transcurrido cierto tiempo, cambia la tasa de interés. La operación se concerta a n períodos, y durante los p primeros lo hace a la tasa i 1 y los n-p restantes a la tasa i 2 2.- Casos en que el valor de &quot;n” no resulte entero : Se presentan tres casos, según se pueda o no, modificar la cuota 3.- Determinación de la tasa utilizando la formula de Baylí: Dado el carácter de las rentas, es imposible despejar la tasa de las otras fórmulas. Una manera de hallarla es por aproximación y la fórmula más directa, en el caso de rentas vencidas y adelantadas, es la de Baylí
  18. 18. Rentas vencidas calculadas con diferentes tasas de interés C(1+i 1 ) p-1 (1+i 2 ) n-p C(1+i 1 ) p-2 (1+i 2 ) n-p .......... C(1+i 1 )2 (1 +i 2 ) n-p C(1+i 1 ) 1 (1+i 2 ) n-p C(1+i 1 )0( 1+i 2 ) n-p n términos p términos; i 1 n-p términos; i 2
  19. 19. Rentas vencidas calculadas con diferentes tasas de interés <ul><li>El monto de la renta estará dado por la suma de los montos parciales al momento p y los montos parciales al momento n-p. Aplicando los factores de capitalización, a cada cuota, según el tiempo que devengarán intereses, y llamando S p al monto de la renta al período p y S n-p , al monto para el segmento n-p, se tiene: </li></ul>El monto final S n , será la suma de S p y S n-p
  20. 20. Rentas adelantadas calculadas con diferentes tasas de interés <ul><li>Para las rentas adelantadas, se le agrega a la fórmula de las vencidas, un factor de capitalización, correspondiente a cada período. </li></ul>Casos en que el período n de la renta no resulte un número entero <ul><li>Ejemplo: Determinar la cantidad de cuotas mensuales necesarias para cancelar una deuda que arroja un valor final de $ 5000,00, depositando $ 150,00 en forma vencida al 4 % mensual. </li></ul><ul><li>Resulta que n = 21,6033, como el resultado es fraccionario hay que ajustar. </li></ul>
  21. 21. n no es entero – 1º caso <ul><li>Si conviene en la operación financiera la posibilidad de modificar la cuota, en ese caso se podrá recalcular el valor de la misma considerando dos posibilidades, viendo en esquema temporal siguiente, calcular el valor de la cuota al momento &quot;p&quot; entero o al momento &quot;p+1&quot; también entero. Todas las cuotas resultan iguales </li></ul>Pago 21 cuotas de 156,40 Reemplazando en S p Pago 22 cuotas de 145,99 p n p+1
  22. 22. n no es entero – 2º caso <ul><li>Puede ser que no es posible modificar el importe de la cuota, salvo la última en ese caso, también se puede trabajar con dos valores, uno determinado para ”p” períodos y otro para “p+1” períodos . Trabajando con “p” períodos, se debería calcular Sp y luego calcular la diferencia entre Sn y Sp, el resultado será: </li></ul><ul><li>pago de “p-1” cantidad de cuotas de $ C </li></ul><ul><li>pago de una cuota de $ C + (Sn-Sp) </li></ul>20 cuotas de 150 1 cuota de 354,62 En resumen:
  23. 23. n no es entero- 2º caso <ul><li>Trabajando con “p + 1” períodos enteros, sería calcular el valor de S p+1 desconocido y calcular la diferencia entre S p+1 y S n , resultarán: </li></ul><ul><li>pago de &quot;n&quot; cantidad de cuotas de $ C </li></ul><ul><li>pago de una cuota de $ C - (Sp+1 - Sn) </li></ul>En resumen: pago de 21 cuotas de $ 150   pago de una cuota de $ 12,8  
  24. 24. n no es entero- 3º caso <ul><li>Supongamos que no se quiera cambiar la duración por lo tanto aceptar el resultado del tiempo fraccionario, el problema es calcular el importe de la cuota en el período fraccionario . </li></ul>El valor de la cuota final será: El monto de la renta será: <ul><li>Haciendo el desarrollo, queda en función de la última cuota </li></ul>
  25. 25. n no es entero – 3º caso Resumen: pago de 21 cuotas de $ 150 pago de una cuota en periodo fraccionario de $ 89,79 Comprobación
  26. 26. Determinación de la tasa utilizando la formula de Baylí.   <ul><li>Por las características del modelo de las operaciones financieras, no es posible deducir la tasa de interés. Es necesario aplicar el sistema de aproximaciones. Dentro de este sistema, una de las formas más directas para solucionar el problema, es utilizar la formula de Baylí. </li></ul><ul><li>Es necesario calcular el factor h , para cada caso, y recién calcular la tasa i </li></ul>Para el caso de rentas vencidas   Para el caso rentas adelantadas.
  27. 27. Problemas 1.- Calcular la tasa anual de interés , si una persona depositó $ 10 000 anuales vencidos durante 12 años, logrando un capital de $ 159 171,26. R 5% 2.-Se depositaron $ 10 000 al principio de cada período durante 15 años, habiéndose reunido al cabo de 15º año la suma de $ 226 574,92. Calcular la tasa de interés que abonaba la institución financiera. R 5% 3.- Calcular el capital que ha de lograr el Sr. Chía depositando al final de cada mes, durante 5 años, $ 200, si los dos primeros años devengarán un interés del 1,2% mensual y los tres últimos años un 1,5% mensual. R $ 18 897,41
  28. 28. Valor final de las rentas ciertas, vencidas, con cuotas variables, en progresión aritmética <ul><li>Sea C el primer término de la renta, r la razón de la progresión aritmética, n el número de términos e i la tasa de interés, los términos de la renta serán: </li></ul>El monto de la renta estará dado por la suma de los montos parciales C C+r C+2r C+(n-2)r C+(n-1)r C(1+i) n-1 (C+r)(1+i) n-2 (C+2r)(1+i) n-3 ........... [C+(n-2)r](1+i) 1 [C+(n-1)r](1+i) 0
  29. 29. V.F. de rentas vencidas con cuotas variables en progresión aritmética <ul><li>Aplicando propiedad distributiva </li></ul><ul><li>Sacando factor común C y r, quedan dos series. Aplicando propiedades de la suma de series geométricas, el monto de las rentas vencidas con cuotas variables en progresión aritmética es: </li></ul>
  30. 30. Valor final de las rentas ciertas, vencidas, con cuotas variables, en progresión geométrica Dado como C al primer término de la renta, q la razón de la progresión geométrica en que se hallan los términos de la renta, n el número de términos e i la tasa de interés correspondiente al período de la renta. Si las cuotas son variables en progresión geométrica, cada una de ellas se obtendrá multiplicando la anterior con un factor q Las cuotas serán: C, C.q, C.q 2 , C.q 3 , ...., C.q n-2 , C.q n-1 En un esquema gráfico, quedará:
  31. 31. V.F. rentas ciertas, vencidas, cuotas variables, progresión geométrica C C.q C.q 2 C.q n-3 C.q n-2 C.q n-1 C(1+i) n-1 Cq(1+i) n-2 Cq 2 (1+i) n-3 ...... Cq n-3 (1+i) 2 Cq n-2 (1+i) 1 Cq n-1 (1+i) 0 El monto de la renta será la suma de los montos parciales, referidos al mismo momento de valuación E.I E.V 0 1 2 3 ....... n-2 n-1 n
  32. 32. V.F. rentas ciertas, vencidas, cuotas variables, progresión geométrica Aplicando los factores de capitalización a cada cuota según el tiempo que devengara intereses, como puede apreciarse en el gráfico, y llamando S (v) al monto de la renta, tendremos: Sacando factor común C(1+i) n-1 Aplicando propiedad de la suma geométrica, nos queda:
  33. 33. V.F. rentas ciertas, vencidas, cuotas variables, progresión geométrica Si q = (1 + i)  indeterminación (0/0) q  (1 + i)  positivo q  (1 + i)  positivo Para resolver la indeterminación, volver a la fórmula (I), y reemplazar q por (1 +i), entonces S v resulta:
  34. 34. Problemas 1.- Calcular el monto que se logrará reunir depositando durante 14 meses vencidos la suma se $ 200, que se irá incrementando en $ 20 todos los meses, al 1,75% mensual, con capitalización mensual. R: $ 5 095,70 2.- La Sra. Farisa, propietaria de una vivienda, firma un contrato de locación por el término de 2 años, fijando un alquiler de $ 300 mensuales vencidos con un incremento del 3% en relación con la del mes anterior. Decide invertir el producido de dicho contrato, libre de gastos, al 2% mensual, capitalizable mensualmente. Determinar el monto que logrará reunir al cabo de 24 meses. R:$ 12 730, 71 3.- El Sr. Acevedo depositó en un banco $ 300 000 al 12% anual con capitalización semestral.Desea retirar cada año vencido una cuota creciente en un 20% con respecto a la inmediata anterior, de manera que al cabo de 5 años queden los $ 300 000 en su cuenta. Calcular el importe del primer retiro y comprobar. R: $25 988, 46
  35. 35. Problemas 4.- Se pacta un alquiler de $ 200 mensuales vencidos durante un año, el que se incrementará cada 3 meses en un 5% (el primer incremento al 4º mes, el 2º incremento al 7º mes, etc.). Calcular el capital que se obtendrá la final del contrato, si se logra una tasa proporcional del 12% anual con capitalización mensual. R: $ 2 728,19 5.- Se conoce que con el depósito de 10 cuotas mensuales vencidas se cancela un crédito obtenido en las siguientes condiciones: Importes $ 10 000, tasa efectiva mensual 2%, cada cuota supera en $ 65 a la inmediata anterior. Calcular el importe de la primera y última cuota. R: C 1 = $ 631, 38; C 10 = $ 1 216, 38

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