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  1. 1. w w w w Soluciones DESCRIPCION MACROSCOPICA DE UN GAS IDEAL (Serway, Cap 19, vol I) 1. Demuestre que 1 mol de cualquier gas a presión atmosférica de 101 kPa y temperatura de 0ºC ocupa un volumen de 22,4 L. Datos: n=1 5 P0 = 101 kPa = 1,01x10 Pa T = 0° = 273 K C -3 3 V = 22,4 L = 22,4x10 m R = 8,31 J/molK 5 3 PV = nRT V = nRT/P = 1x8,31x273/1,01x10 = 0,02246 m = 22,46 L l l l l 2. Un gas ideal se mantiene en un recipiente a volumen constante. Al principio, su .c .c .c .c temperatura es de 10ºC y su presión de 2,5 atm. ¿Cuál es la presión cuando la o o o o temperatura es de 80ºC? g g g g u u u u rd rd rd rd Datos: e e e e T1 = 10° = 283 K C v v v v P1 = 2,5 atm.h .h .h .h T2 = 80° = 353 K Cw w w w w w w A volumen constante, se aplica ley de Charles w w w w P1 / T1 = P2 / T2 P2 = P1 T2 / T1 = 2,5 atm x 353 K / 283 K = 3,12 atm 3 3. Un globo lleno de helio tiene un volumen de 1 m . A medida que asciende por la atmósfera de la Tierra su volumen se expande. ¿Cuál es su nuevo volumen si su temperatura y presión originales son 20ºC y 1 atm, y su temperatura y presión finales son –40ºC y 0,1 atm? Datos: 3 V1 = 1 m T1 = 20° = 293 K C P1 = 1 atm T2 = – 40° = 233 K C P2 = 0,1 atm Como la cantidad de moles no varía, de la ecuación de estado se tiene: 3 P1V1 / T1 = P2V2 / T2 V2 = P1V1T2 / T1P2 = 1 x 1 x 233 / 293 x 0,1 = 7,95 m 4. Un salón tiene dimensiones de 10 m x 20 m x 30 m. ¿Cuántas moléculas de aire se necesitan para llenar el salón a 20ºC y 101 kPa de presión? l l l l .c .c .c .c Datos: o o o o 3 V = 10 m x 20 m x 30 m = 6.000 m g g g g T = 20° = C u u u u 5 P = 101 kPa = 1,01x10 Pa rd rd rd rd R = 8,31 J/molK e e e e v v v v.h .h .h .h De la ecuación de estado, PV = nRT, se tiene:w w w w 5 n = PV / RT = 1,01x10 x 6.000 / 8,31 x 293 = 248.888 mol w w w w w w w 23 Y, como el número de moléculas es N = nNA, con NA = 6,022x10 moléculas/mol (número de Avogadro), se tiene 23 29 N = 248.888 x 6,022x10 = 1,5x10 moléculas Hernán Verdugo Fabiani 1 Profesor de Matemática y Física www.hverdugo.cl l l l l .c .c .c .c o o o o g g g g u u u u rd rd rd rd e e e e v v v v.h .h .h .hw w w w w w w w w w w
  2. 2. w w w w 5. Un tanque lleno de oxígeno contiene 12 kg de oxígeno bajo una presión de 40 atm. Determine la masa de oxígeno que se ha extraído del tanque cuando la lectura de presión es de 25 atm. Suponga que la temperatura del tanque permanece constante. Datos: m1 = 12 kg P1’ = 40 atm P2’ = 25 atm Esas presiones son manométricas, por lo tanto, las presiones absolutas son: P1 = 41 atm P2 = 26 atm Y, como el volumen del tanque no se modifica, se tiene l l l l V1 = V2 .c .c .c .c o o o o Como la temperatura permanece constante, se utiliza la Ley de Avogadro g g g g u u u u rd rd rd rd P1 / n1 = P2 / n2 e e e e v v v v Y, como la cantidad de moles es directamente proporcional con la masa de un gas, se tiene.h .h .h .hw w w w n1 / n2 = m1 / m2 w w w w w w w Se obtiene P1 / m1 = P2 / m2 m2 = P2 m1 / P1 = 26 x 12 / 41 = 7,61 kg Pero, la masa m2 es la masa de oxígeno que queda al interior del tanque, por lo que la cantidad que se extrajo fue m = 12 – 7,61 = 4,39 kg 6. Con un medidor de presión de las llantas de un automóvil se llena una llanta a una 2 -4 2 5 presión manométrica de 32 lb/pulg (1 Pa = 1,45x10 lb/pulg ; 1 atm = 1,013x10 Pa) en una mañana fría, cuando la temperatura es de –10ºC. ¿Cuál sería la lectura de presión de la llanta cuando ésta se caliente a 35ºC? Datos: 2 5 P1’ = 32 lb/pulg = 2,2x10 Pa 5 P1 = 3,22x10 Pa (es la presión absoluta) T1 = - 10° = 283 K C T2 = 35° = 308 K C Como el volumen permanece constante, se utiliza la ley de Gay Lussac l l l l .c .c .c .c 5 5 P1 / T1 = P2 / T2 P2 = P1 T2 / T1 = 3,22x10 x 308 / 283 = 3,5x10 Pa o o o o g g g g Esa presión es absoluta, entonces, la presión manométrica en la llanta es u u u u rd rd rd rd 5 5 5 2 P2’ = 3,5x10 – 1,01x10 = 2,49x10 Pa = 36,1 lb/pulg e e e e v v v v.h .h .h .h 7. La masa de un globo aerostático y su cargamento (sin incluir el aire B en su interior) es de 200 kg. El aire exterior está a 10ºC y 101kPa. Elw w w w 3 volumen del globo es de 400 m , ¿a qué temperatura debe w w w calentarse el aire en el globo antes de que éste empiece a w w w w 3 ascender? (La densidad del aire a 10ºC es de 1,25 kg/m ) mintg = ρintVg (472ºK) Datos: M = 200 kg T1 = 10° = 283 K C 5 P1 = 101 kPa = 1,01x10 Pa 3 V = 400 m Mg 3 ρext = 1,25 kg/m (densidad del aire al exterior del globo) Hernán Verdugo Fabiani 2 Profesor de Matemática y Física www.hverdugo.cl l l l l .c .c .c .c o o o o g g g g u u u u rd rd rd rd e e e e v v v v.h .h .h .hw w w w w w w w w w w
  3. 3. w w w w Al momento de empezar a ascender el globo aerostático se cumple que la fuerza de empuje, B, es mayor o igual a la suma de las fuerzas que empujan al globo hacia abajo, el peso del globo más el cargamento y el peso del aire encerrado en el globo. B = ρintVg + Mg Si reemplazamos B = ρextVg, se tiene ρextVg = ρintVg + Mg De lo anterior se obtiene ρext - ρint = M / V (*) Pero, la densidad es ρ = m / V, por lo tanto se tiene que la densidad del aire desplazado por el globo es l l l l .c .c .c .c o o o o ρext = mext / V g g g g u u u u Y, la masa de aire al interior del globo es rd rd rd rd e e e e v ρint = mint / V v v v.h .h .h .hw w w w Si se despeja V en cada igualdad, se tiene w w w w w w w mext / ρext = mint / ρint Y, como ya se planteó antes, se cumple que n1 / n2 = m1 / m2 Entonces, se tiene next / ρext = nint / ρint Y, de la ecuación de estado, el número de moles es n = PV / RT, por lo tanto (Pext V / RText) / ρext = (Pint V / RTint) / ρint Y, al considerar que Pext = Pint por ser presiones atmosféricas (el interior del globo se conecta con el exterior), se tiene que ρint Tint = ρext Text Entonces, ρint = ρext Text / Tint Ahora, si se reemplaza en (*) l l l l ρext - ρext Text / Tint = M / V .c .c .c .c o o o o Por lo tanto: Tint = ρextText / (ρext – M/V) = 1,25 x 283 / (1,25 – 200 / 400) = 471,67°C g g g g u u u u rd rd rd rd 3 8. Un tanque que tiene un volumen de 0,1 m contiene gas helio a una presión absoluta e e e de 150 atm. ¿Cuántos globos puede inflar el tanque si cada globo lleno es una esfera e v v v v de 0,3 m de diámetro a una presión absoluta de 1,2 atm? (Presión absoluta = P = P0 +.h .h .h .h ρgh; P0 presión atmosférica, ρ densidad del gas; ρgh presión manométrica)w w w w w w w Datos: w w w w 3 V1 = 0,1 m P1 = 150 atm 3 3 3 rg = 0,15 m Vg = 4πrg / 3 = 4 x 3,14 x 0,15 / 3 = 0,01413 m Pg = 1,2 atm Considerando que el gas se distribuye en N globos, se tiene P1V1 = NPgVg N = P1V1 / PgVg = 150 x 0,1 / 1,2 x 0,01413 = 884,6 N = 884 globos Hernán Verdugo Fabiani 3 Profesor de Matemática y Física www.hverdugo.cl l l l l .c .c .c .c o o o o g g g g u u u u rd rd rd rd e e e e v v v v.h .h .h .hw w w w w w w w w w w
  4. 4. w w w w 3 9. Un cuarto de 80 m de volumen contiene aire cuya masa molar promedio es de 29 g/mol. Si la temperatura del cuarto se eleva de 18ºC a 25ºC, ¿qué masa de aire, en kg, saldrá del cuarto? Suponga que la presión del aire en el cuarto se mantiene a 101 kPa. Datos: 3 V1 = 80 m M = 29 g/mol T1 = 18° = 291 K C T2 = 25° = 298 K C 5 P1 = P2 = 101 kPa = 1,01x10 Pa Como la presión y el volumen permanecen constantes, se tiene PV = n1RT1 y P = n2RT2V Entonces l l l l .c .c .c .c n1T1 = n2T2 o o o o g g g g u u u u Como n = m / M, siendo m la masa del gas de n moles y M su masa molar, se tiene rd rd rd rd e e e e m1T1 / M = m2T2 / M m1T1 = m2T2 v v v v.h .h .h .h 5 De la expresión PV = nRT, se obtiene n1 = P1V1 / RT1 = 1,01x10 x 80 / 8,31 x 291 = 3.341,3w w w w w w w Entonces m1 = n1 M = 3.341,3 x 29 = 96.898 g w w w w Y, se tiene m2 = m1T1 / T2 = 96.898 x 291 / 298 = 94.622 g Entonces, salieron de la sala m = m1 – m2 = 96.898 – 94.622 = 2.276 g ≈ 2,28 kg de aire 3 10. A 25 m de bajo de la superficie del mar (ρ = 1025 kg/m ), donde la temperatura es 5ºC, 3 un buzo exhala una burbuja de aire que tiene un volumen de 1 cm . Si la temperatura de la superficie del mar es igual a 20ºC, ¿cuál es el volumen de la burbuja justo antes de que se rompa en la superficie? Datos: h = 25 m 3 ρ = 1.025 kg/m T1 = 5° = 278 K C 3 V1 = 1 cm T2 = 20° = 293 K C 5 l l l l P2 = P0 = 1,01x10 Pa .c .c .c .c o o o o La presión a 25 m de profundidad, es g g g g u u u u 5 5 rd rd rd rd P1 = P0 + ρgh = 1,01x10 + 1.025 x 9,8 x 25 = 3,52x10 Pa e e e e v v v v Como el número de moles de aire en la burbuja de aire no se modifica, se tiene.h .h .h .hw w w w P1V1 / T1 = P2V2 / T2 w w w Entonces w w w w 5 5 3 V2 = P1V1T2 / T1P2 = 3,52x10 x 1 x 293 / 278 x 1,01x10 = 3,67 cm Hernán Verdugo Fabiani 4 Profesor de Matemática y Física www.hverdugo.cl l l l l .c .c .c .c o o o o g g g g u u u u rd rd rd rd e e e e v v v v.h .h .h .hw w w w w w w w w w w
  5. 5. w w w w 11. Si 9 g de agua se ponen dentro de una olla de presión de 2 L y se calienta hasta 500ºC, ¿cuál es la presión dentro del recipiente? Datos: m = 9 g = 0,009 kg -3 3 V = 2 L = 2x10 m T = 500° = 773 K C Como n = m/M, y la masa molar del agua es 18 g/mol, se tiene n = 9 / 18 = 0,5 mol De la expresión PV = nRT, se tiene -3 P = nRT / V = 0,5 x 8,31 x 773 / 2x10 = 1.605.908 Pa = 15,9 atm 12. En sistemas de vacío con la tecnología más avanzada se logran presiones tan bajas -9 3 como 10 Pa. Calcule el número de moléculas en un recipiente de 1 m a esta presión l l l l si la temperatura es de 27ºC. .c .c .c .c o o o o Datos: g g g g -9 u u u u P = 10 Pa rd rd rd rd 3 V=1m e e e e T = 27° = 300 K C v v v v.h .h .h .h De PV = nRT, se tienew w w w -13 w w w n = PV / RT = 4,01x10 mol w w w w Y, como el número de moles es n = N/NA, donde N es el número de moléculas y NA es el número de Avogadro, se tiene -13 23 11 N = nNA = 4,01x10 x 6,022x10 = 2,41x10 moléculas 13. La llanta de una bicicleta se llena con aire a una presión manométrica de 550 kPa y 20ºC. ¿Cuál es la presión manométrica de la llanta después de un paseo en un día caluroso cuando la temperatura del aire de la llanta es 40ºC? Suponga volumen constante y presión atmosférica constante de 101 kPa. Datos: 5 P1’ = 550 kPa = 5,5x10 Pa T1 = 20° = 293 K C T2 = 40° = 313 K C 5 5 5 Como P = P0 + P’, se tiene: P1 = 1,01x10 + 5,5x10 = 6,51x10 Pa Y, al ser un proceso con el volumen constante, se tiene P1 / T1 = P2 / T2 l l l l .c .c .c .c De donde se obtiene o o o o g g g g 5 5 P2 = P1T2 / T1 P2 = 6,51x10 x 313 / 293 = 695.437 Pa = 6,95x10 Pa u u u u rd rd rd rd Luego, la presión manométrica a 40° sería: C e e e e v v v v 5 5 5.h .h .h .h P2’ = P2 – P0 = 6,95x10 – 1,01x10 = 5,94x10 Pa = 594 kPaw w w w 14. A una profundidad h de debajo de la superficie del mar (densidad ρ), donde la w w w temperatura es T1 un buzo exhala una burbuja de aire que tiene un volumen V0. Si la w w w w temperatura de la superficie del mar es T2, ¿Cuál es el volumen de la burbuja justo antes de que se rompa en la superficie? Este problema tiene un razonamiento idéntico al propuesto en el ejercicio 10, por lo tanto. V2 = = P1V1T2 / T1P2 Hernán Verdugo Fabiani 5 Profesor de Matemática y Física www.hverdugo.cl l l l l .c .c .c .c o o o o g g g g u u u u rd rd rd rd e e e e v v v v.h .h .h .hw w w w w w w w w w w
  6. 6. w w w w 15. La llanta de un automóvil se infla usando aire originalmente a 10ºC y presión atmosférica normal. Durante el proceso, el aire se comprime hasta 28% de su volumen original y la temperatura aumenta a 40ºC. ¿Cuál es la presión de la llanta? Después de que la llanta se maneja a alta velocidad, la temperatura del aire dentro de la misma se eleva a 85ºC y su volumen interior aumenta 2%. ¿Cuál es la nueva presión (absoluta) de la llanta? Datos: primera pregunta. T1 = 10° = 283 K C 5 P1 = 1,01x10 Pa V1 = V V2 = 28% de V1 = 0,28V T2 = 40° = 313 K C Como el número de moles no se modifica, se tiene l l l l P1V1 / T1 = P2V2 / T2 .c .c .c .c o o o o 5 5 P2 = P1V1T2 / T1V2 = 1,01x10 x V x 313 / 283 x 0,28V = 398.953 Pa = 3,99x10 Pa g g g g u u u u rd rd rd rd Para la segunda pregunta e e e e v v v v T3 = 85° = 358 K C.h .h .h .h V3 = 102% de V2 = 1,02V2w w w w w w w Con el mismo razonamiento anterior w w w w P3V3 / T3 = P2V2 / T2 5 5 P3 = P2V2T3 / T2V3 = 3,99x10 x V2 x 358 / 313 x 1,02V2 = 447.416 Pa = 4,47x10 Pa 16. Una campana de buzo en forma de cilindro, con una altura de 2,5 m, está cerrada en el extremo superior y abierta en el extremo inferior. La campana desciende del aire al 3 interior del agua (ρ =1,025 g/cm ). Al principio el aire en la campana está a 20ºC. La campana baja a una profundidad (medida hasta el fondo de la campana) de 82,3 m. A esta profundidad la temperatura del agua es 4ºC, y la campana está en equilibrio térmico con el agua. A) ¿A qué altura el agua de mar asciende en la campana?, b) ¿A qué presión mínima debe elevarse el aire en la campana para expulsar el agua que ha entrado? Datos: h = 2,5 m 3 3 ρ = 1,025 g/cm = 1.025 kg/m T1 = 20° = 293 K C h P1 = P0 H = 82,3 m T2 = 4° = 277 K C l l l l .c .c .c .c Antes de sumergirse la campana, se satisface la ecuación o o o o g g g g P1V = nRT1 P0 ( Ah ) = nRT1 (1) H u u u u rd rd rd rd Cuando está a una profundidad H, en el aire al interior de la campana e e e e la presión es v v v v.h .h .h .h x P2V2 = nRT2w w w w w w w Y como V2 = A(h – x), y P2 es la presión a una profundidad tiene H – x, se tiene w w w w P2A(h – x) = nRT2 La presión en el agua, a una profundidad H – x, aproximando H – x a H, ya que x es menor a 2,5 m P2 = P0 + ρgH Entonces, reemplazando en la ecuación anterior Hernán Verdugo Fabiani 6 Profesor de Matemática y Física www.hverdugo.cl l l l l .c .c .c .c o o o o g g g g u u u u rd rd rd rd e e e e v v v v.h .h .h .hw w w w w w w w w w w

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