Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

16580568 trigonometri

  • Login to see the comments

16580568 trigonometri

  1. 1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B. C Pada segitiga tersebut didefinisikan perbandingan- perbandingan trigonometri dasar untuk sudut A sbb : 1. Sinus A. 4. Sekan A a b 1 b sin A  sec A   b c cos A a 2. Cosinus A 5. Cosecan A c b 1 cos A  csc A   b a sin A 3. Tangen A 6. Cotangen A a c 1 tan A  cot A   A c B c a tan A 1 CONTOH Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika sin A = , 3 tentukan perbandingan trigonometri dari sudut A yang lainnya ! JAWAB Perhatikan gambar ! Diperoleh : C 2 2 cos A  csc A  3 3 3 1 tan A  1  2 cot A  2 2 2 2 4 3 3 2 A B sec A   2 2 4 1Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  2. 2. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 LATIHAN 1 1 . Diketahui tan B = , tentukan nilai dari cos B , sin B, sec B, cosec B, dan cotan B ! 2 . Perhatikan gambar A . Misal DB = x , lengkapi isian berikut : C AD = AB - … = ….. - …. B . Pada segitiga ACD, CD2 = AC2 – AD2 4 8 Lengkapi isian berikut : CD2 = …………… - …………….. = …………………………….. ….. 1) Pada segitiga BCD, CD2 = BC2 – BD2 Lengkapi isian berikut : A D B CD2 = …………… - …………….. 10 = …………………………….. ….. 2) Karena 1) = 2), tentukan nilai x dengan menggunakan kesamaan tersebut !. Kemudian tentukan juga panjang AD dan panjang BD ! C . Tentukan nilai dari sin B, cos B, dan tan B. D . Tentukan nilai dari sin A, cos A, dan tan A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA Berikut ini adalah tabel perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa :  sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 Info Kita dapat memanfaatkan jari-jari tangan untuk menghafalkan nilai perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa. Perhatikan diagram berikut : Kosinus 2Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  3. 3. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika panjang AB = 6 cm, CONTOH dan  A = 30°, hitunglah panjang sisi BC, dan AC ! JAWAB Panjang sisi BC dapat dihitung dengan menggunakan C perbandingan trigonometri berikut : BC BC tan A   tan 30  AB 6 1 Jadi : BC  6  tan 30  6  3  2 3 cm 3 30° Untuk menghitung panjang AC dapat menggunakan B 6 cm A perbandingan trigonometri sin A , cos A, atau menggunakan teorema Pytagoras. Jika digunakan teorema Pytagoras, maka diperoleh :   AC 2  62  2 3 2  AC 2  48  AC  4 3 cm LATIHAN 2 2 1 1. Jika diketahui sin   dan tan  3 . Hitunglah : 3 2 a. cos  d. cos  b. tan  sin   cos  e. c. sin  tan   cos  2 Tentukan nilai dari : Sin 2 30  Sin 2 60 Sin 60 a. Sin 2 60  Cos 2 60 b. c. Cos 2 30  Cos 2 60 1  Cos 60 3. Perhatikan gambar ! C Hitunglah : a. Panjang AC. b. Panjang CD. c. Besar sudut ABC. d. Panjang BD. 60° e. Panjang BC. A 8 cm D B 3Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  4. 4. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN Pengertian Kuadran. y Sistem koordinat bidang dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu yang membagi Kuadran II Kuadran I bidang menjadi empat bagian. Tiap bagian bidang tersebut dinamakan kuadran. x O Kuadran III Kuadran IV PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SECARA UMUM. Jika diketahui sudut XOP = α , dengan titik P ( x , y ) adalah sembarang titik pada bidang, maka perbandingan trigonometri berikut berlaku secara umum : 1. Sinus . 2 . Cosinus. 3 . Tangen . Sudut α terletak di kuadran pertama, jika : Sudut di Kuadran Pertama 0° ≤ α ≤ 90°. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran y pertama : ( bernilai positif ) P(x,y ) ( bernilai positif ) x ( bernilai positif ) O O Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Pertama. y P(x,y) y r x x 4Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  5. 5. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 Sudut di Kuadran Kedua y Sudut α terletak di kuadran kedua, jika : 90° ≤ α ≤ 180°. P ( -x , y ) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua : x ( bernilai positif ) O ( bernilai negatif ) ( bernilai negatif ) Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Kedua. y Jika α sudut di kuadran pertama, maka : P ( -x , y ) r x O Isilah tabel berikut :  120o 135o 150o 180o Sin  ……………… ……………… ……………… ……………… cos  ……………… ……………… ……………… ……………… Tan  ……………… ……………… ……………… ……………… 5Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  6. 6. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 Sudut di Kuadran Ketiga Sudut di Kuadran Ketiga y Sudut α terletak di kuadran ketiga, jika : 180° ≤ α ≤ 270°. O x Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga : ( bernilai negatif ) P ( –x , –y ) ( bernilai negatif ) ( bernilai positif ) Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Ketiga. y Jika α sudut di kuadran ketiga, maka : O x r P ( –x , –y ) Isilah tabel berikut :  210o 225o 240o 270o Sin  ……………… ……………… ……………… ……………… cos  ……………… ……………… ……………… ……………… Tan  ……………… ……………… ……………… ……………… 6Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  7. 7. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 Sudut di Kuadran Keempat y Sudut α terletak di kuadran keempat, jika : 270° < α ≤ 360°. x Perbandingan trigonometri sudut di O kuadran keempat : ( bernilai negatif ) P ( x , –y ) ( bernilai positif ) ( bernilai negatif ) Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Berelasi di Kuadran Keempat. y Jika α sudut di kuadran keempat, maka : x O r P ( x , –y ) Sudut Negatif y Sudut α bernilai negatif jika arah perputarannya searah dengan arah perputaran jarum jam. x O y x O Untuk Sudut Negatif Berlaku : r Jika α sudut di kuadran pertama, maka : P ( x , –y ) 7Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  8. 8. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 Isilah tabel berikut :  300o 315o 330o 360o Sin  ……………… ……………… ……………… ……………… cos  ……………… ……………… ……………… ……………… Tan  ……………… ……………… ……………… ……………… Sudut α > 360° Untuk sudut α > 360° , berlaku : Pengembangan Perbandingan Trigonometri Antara α° dan ( 90 + α )° Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 – α )° Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 + α )° 2 CONTOH  tan 225  sin 2 60  1 . Hitunglah :     sec 315  1 1 2 . Diketahui sin  = dengan  sudut tumpul, dan cos  = dengan  sudut di kuadran 3 6 tan  . tan  keempat. Tentukan nilai dari cos  JAWAB  2 2  2 2 2  tan 180  45   1 3      tan 45   1 3      tan 225  sin 2 60   2    2   1.        sec 315  1 1        cos 360  315   cos 45       3 2  1  2 2   4    7  2    7 2   98  49      2  4 2   8  64 32        2  8Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  9. 9. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 1 2. Diketahui : sin  = dengan  sudut tumpul, berarti  sudut di kuadran kedua. 4 1 Dan cos  = dengan  sudut di kuadran keempat 6 2 2 Maka : cos  =  3 1 1 5 1 3 tan  =   2 2 2 4 2 6  sin  =   5 tan  =  2 6 tan  . tan   1 4  2 . 2 6 3 6 Jadi,   cos  2 2 4  3 LATIHAN 3 1. Hitunglah nilai dari : sin 135 . cos 225 tan 840 . sec 300 a. b. cot  330  sin 2 240 2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini. sin (90 -  ) sin (90 -  ) tan (90 - p) cot 99 cos 378 a. b. c. d.  cos (90 -  ) sec (180 -  ) cosec (180  p) cos 198 cos 81 3. Diketahui sin    4 dan cos    12 ,   dan   dikuadran I. Hitunglah : 5 13 a. cos  e. sin  cos   cos  sin  b. tan  f. sin  sin   cos  cos  c. sin  tan   tan  g. d. tan  1  tan  . tan  2 3 4. Jika tan  = dengan  sudut di kuadran ketiga, dan sin  =  dengan  sudut di 5 7 kuadran keempat, hitunglah sin  . tan   2 cos  . 5. Jika A, B , dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa : 1 1 a . cos B  C    cos A b . sin B  C   cos A 2 2 9Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  10. 10. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 SISTEM KOORDINAT BIDANG 1 . SISTEM KOORDINAT KARTESIUS. y Sistem koordinat kartesius terbentuk dari dua buah garis sumbu yang saling tegaklurus. P(a,b) Kedua sumbu tersebut diberi nama sumbu x yang arahnya mendatar, dan sumbu y yang arahnya tegaklurus. x Setiap titik P pada bidang kartesius dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( a , b ) , dengan a ( O disebut absis ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu y, dan b ( disebut ordinat ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu x . Bentuk ( a , b ) dinamakan koordinat. 2 . SISTEM KOORDINAT KUTUB ( POLAR ). P ( r , α° ) Setiap titik P pada koordinat kutub dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( r , b ) , dengan r menyatakan jarak antara r titik P dengan titik O, dan α menyatakan sudut yang dibentuk oleh OX dan OP. x O HUBUNGAN ANTARA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DAN SISTEM KOORDINAT KUTUB. Sebuah titik yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesius dapat diubah ke dalam koordinat kutub, dengan menggunakan hubungan berikut : y r  x 2  y 2 , dan tan   y x P(x,y) Untuk menentukan nilai α perlu diperhatikan letak kuadran dari titik P. r Untuk mengubah titik dari sistem koordinat kutub ke sistem koordinat kartesius, dapat digunakan hubungan berikut : x x  r cos  dan y  r sin  O 10Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  11. 11. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 CONTOH 1. Ubahlah titik (  3 , 3 ) dari bentuk koordinat kartesius menjadi bentuk koordinat kutub ! 2. Ubahlah titik ( 6 , 330° ) ke bentuk koordinat kutub menjadi bentuk koordinat kartesius ! JAWAB 1. r  x2  y2   32  3 2 2 3 y 3 tan     1 x 3   135 ( α di kuadran kedua ) Jadi koordinat kutubnya adalah ( 2 3 , 135 ). 1  2. x  r cos   x  6 cos 330  x  6 .  3  x  3 3  2   1 y  r sin   y  6 . sin 330  y  6 .     y  3  2 Jadi koordinat kartesiusnya adalah ( 3 3 ,  3 ). LATIHAN 4 1. Ubahlah ke dalam koordinat kutub : a. 5 , 5 3  c.  4, 4  b.  2 , 2  d.  3 ,1  2. Ubahlah ke dalam koordinat kartesius : a .  8 , 30  c.  6 , 240  b.  4 , 135  d.  12 , 330  11Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  12. 12. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 PENGUKURAN SUDUT Besar/nilai suatu sudut dapat ditentukan dengan menggunakan ukuran-ukuran sudut sbb : 1 . Ukuran Derajat. Satu derajat didefinisikan sebagai besar sudut sudut pusat satu lingkaran penuh 2 . Ukuran Radian. Perhatikan juring OAB, OA’B’, dan OA’’B’’. Ketiga juring tersebut sebangun, jadi : B’ B B AB = A’B’ = A’’B’’ O A A A’ OA O’A’ O’’A’’ Nilai dari perbandingan tersebut hanya ditentukan oleh besar sudut AOB. Nilai perbandingan tersebut adalah nilai ukuran sudut AOB dalam satuan radian. r Satu radian adalah besar sudut pusat yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran r Hubungan Antara Ukuran Derajat dan Ukuran Radian. Perhatikan gambar di samping. Besar sudut AOB : B r A O Dalam satuan derajat :  AOB = 180° …………………….. 1) Dalam satuan radian : AB …………………….. 2) AOB = = = radian OA Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh : 180   radian , jadi : dan 1. Ubahlah ke dalam ukuran radian : 3. Hitunglah : CONTOH a . 15 b . 60     Cos - 1  6  Sin 4  3   2 2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat :   Sin 5   Cot 5  1 3  6 4  a.  radian b.  radian 9 2 12Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  13. 13. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 JAWAB 15 1 1 1 1. a. 15   radian =  radian 2. a.  radian = 180 = 20 180 12 9 9 60 1 3 3 b. 60   radian =  radian b.  radian = 180  270 180 3 2 2     Cos - 1  Sin 4    2 1  3  1 2 3 2    1 3  3 3.  6  3   2  2    Sin 5 Cot 5    1 1  2  4  6 4     2  LATIHAN 5 1. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran radian : a . 40. d . 75. g. 210. b . 30. e . 120. h. 250. c . 80. f . 134. i. 315. 2. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran derajat : 2 7 7 a.  radian. c.  radian. e.   radian. 3 4 6 1 3 4 b .   radian. d.  radian. f.  radian. 5 10 9 3. Sederhanakan : sec    A  1  a. b. tan      . cos      cot    A  2  4. Hitunglah :  1 1  2 7    2 a .  sin   sec   tan   cos   1 1  sec  csc    3 6  3 6   4  3  c. 7 4  7 1  b. 2 cot   tan 2   tan  sin   4 3  6 6  13Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  14. 14. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 HUBUNGAN ANTAR PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Diketahui : r y x 1. Hubungan Antara Sinus dan Kosinus. y2 x2 Diketahui : sin 2   dan cos 2   , jadi : r2 r2 y2 x2 r2 sin 2   cos 2     1 r2 r2 r2 2. Hubungan Antara Sinus , Kosinus , dan Tangen. y sin  y  r   tan  cos  x x r 3. Hubungan Antara Tangen, dan Secan. y 2 x2 r 2 tan 2 x  1  2  2  2  sec2 x x x x 4. Hubungan Antara Tangen, dan Secan. x2 y2 r2 cot 2 x  1     csc 2 x y2 y2 y2 14Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  15. 15. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang bernilai benar untuk semua nilai variabel. Ada dua cara untuk membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri, yaitu : 1 . Ambil salah satu ruas kemudian dibuktikan sama dengan ruas yang lain. 2 . Ambil kedua ruas, masing-masing ruas disederhanakan, dan dibuktikan bahwa kedua ruas hasilnya sama. Buktikan identitas trigonometri berikut : CONTOH 1  2 cos 2 A 1 1 2 1.  tan A  cot A 2.   sin A . cos A 1  sin A 1  sin A cos 2 A JAWAB 1. Rkanan = tan A  cot A 1 1 2. Rkiri =  sin A cos A 1  sin A 1  sin A =  cos A sin A 1  sin A  1  sin A = sin 2 A  cos 2 A  1  sin A  1  sin A  = cos A . sin A 2 = (1  cos 2 A)  cos 2 A 1  sin 2 A = 2 sin A . cos A 1  2 cos 2 A =  1  1  cos 2 A  = 2 sin A . cos A = = Rkiri cos 2 A = Rkanan LATIHAN 6 Buktikan identitas trigonometri berikut : 1. sin 2 x  1  cos x 7.  sec 2 x  1 cot x   sin x 1  cos x tan x . sin x  cos x 2 . tan   cot   csc  . sec  sec A  csc A sin A  cos A 8.  3. 2 sin x . csc x  sin x  cos x 2 sec A  csc A sin A  cos A 4.  cot 2 x1 1  cos x   1 2 9. 1  1  2 sec2 x 1 1  sin x 1  sin x 5.   sec   tan  sec  1  sin  2 cos 2   1 10 . cot   tan   6. cos   sin  . tan   sec  sin  . cos  15Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  16. 16. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI 1 . GRAFIK FUNGSI Y = SIN X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = sin x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° y 0 1 0 Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° y 1 0 Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = sin x° , sebagai berikut : y x 0° 30° 45° 60° 90° 120°135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° Nilai maksimum dari fungsi y = sin x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan 1. Info Fungsi trigonometri termasuk fungsi yang periodik, maksudnya nilai-nilai dari fungsi tersebut akan berulang dalam suatu interval tertentu yang dinamakan periode. Periode dari fungsi y = sin x dan y = cos x samadengan 360 atau 2 radian . 16Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  17. 17. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 2 . GRAFIK FUNGSI Y = COS X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = cos x °, terlebih dahulu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° y 0 1 0 Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° y 1 0 Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = cos x° , sebagai berikut : y x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° Nilai maksimum dari fungsi y = cos x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan 1. 17Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  18. 18. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 3 . GRAFIK FUNGSI Y = TAN X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = tan x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° y 0 1 ∞ 1 0 Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° y 1 ∞ 1 0 Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = tan x° , sebagai berikut : y x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° asimtot asimtot Nilai maksimum dari fungsi y = tan x° samadengan  dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan . Periode dari fungsi ini samadengan 180 atau  radian. LATIHAN 7 1 . Isilah tabel berikut : x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. 2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. 2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = 2 sin x° b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut ! 18Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  19. 19. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 2 . Isilah tabel berikut : x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = cos 2x° b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut ! PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA Bentuk umum dari persamaan trigonometri sederhana adalah : 1. Persamaan sinus : 2. Persamaan cosinus 3. Persamaan tangen sin x  sin   cos x  cos   tan x  tan   Penyelesaian : Penyelesaian : x     k.360 x     k.360 Penyelesaian : atau atau x     k.180 x  180     k.360 x      k.360 Dengan k bilangan bulat . Catatan : jika tanda derajat ( “ ° ” ) tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah ukuran radian. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut : 1 CONTOH 1 . sin x   , untuk 0  x  360 2 2. 2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360  1  3. 3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2  4  JAWAB 1 1. sin x   , untuk 0  x  360 2 Sin x° berharga negatif di kuadran ketiga atau keempat, misal diambil pada kuadran ketiga ( jika diambil pada kuadran keempat akan diperoleh hasil akhir yang sama ). Jadi : Sin x° = sin ( 180 + 30 )°  Sin x° = sin 210° Penyelesaian : x  210  k.360 Untuk k = 0 diperoleh : x  210  0.360  210 atau x  180  210  k.360  30  k.360 Untuk k = 1 diperoleh : x  30  1.360  330 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 210° , 330° } 19Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  20. 20. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 2. 2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360 Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk umum, sbb : 3 cos 3x  , diperoleh : 2 cos 3x  cos 30 Penyelesaian : 3x  30  k.360  x  10  k.120 3x   30  k.360  x   10  k.120 Untuk k = 0 , diperoleh x  10 Untuk k = 1 , diperoleh x  110 atau Untuk k = 1 , diperoleh x  130 Untuk k = 2 , diperoleh x  230 Untuk k = 2 , diperoleh x  250 Untuk k = 3 , diperoleh x  350 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 10° , 110°, 130°, 230°, 250°, 350° }  1  3. 3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2  4  Bentuk umum dari persamaan tersebut, adalah :  1  1 tan  x      3.  4  3 Karena lambang derajat tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah radian, sehingga diperoleh :  1  5 tan  x     tan   4  6 Penyelesaian : 1 5 5 1 13 x      k.  x      k.  x    k. 4 6 6 4 12 1 Untuk k = 1 , diperoleh x  12 13 Untuk k = 0 , diperoleh x  12 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : 1 13 HP = { , } 12 12 LATIHAN 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut : 1 1 . sin x  =  3 , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 2 2 . 2 cos 2x  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 3 . tan ( 15  x )  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 4. 2 sin 3x  1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 5. sin ( 3x  30 )  = sin 2 x , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 1 6 . cos x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 2 1 7 . 1+ 3 tan ( x   ) = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 3 8 . sin 3x  = cos( x – 45 ) , untuk 0 ≤ x ≤ 360 ( Petunjuk : ingat cos x = sin ( 90 – x ) ). 2 9 . cos (  x ) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 3 10 . cot 4 x + 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 20Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  21. 21. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 RUMUS-RUMUS SEGITIGA ATURAN SINUS C Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus sbb : b a a b c   sin A sin B sin C A c B Info Aturan sinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui : 1 . sisi  sudut  sudut 2 . sudut  sisi  sudut 3 . sisi  sisi  sudut 1. Diketahui segitiga ABC dengan  A = 45° ,  B = 60° , dan a = 12 cm. CONTOH Hitunglah panjang b ! 2. Diketahui segitiga KLM, dengan panjang sisi KL = 4 cm, panjang sisi LM = 3 cm, dan  M = 30°. Hitunglah cosinus  K . JAWAB 1. Panjang b adalah : b a a . sin B   b C sin B sin A sin A Jadi : b a = 12 cm 12 . sin 60 b sin 45 45° 60° 1 12 . 3 A B  b 2  6 6 cm 1 2 2 L 2. Nilai sinus dari  K adalah : k m k . sin M   sin K  sin K sin M m 4 cm 3 cm 1 3. 3 . sin 30 2 3 sin K   4 4 8 30 K M Untuk menentukan nilai cosinus dari sudut K , digambar sketsa berikut : 21Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  22. 22. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 8 Jadi : 3 55 cos K  K 8 LATIHAN 9 2 1 . Diketahui segitiga ABC, dengan panjang sisi AC = 3 5 cm ,  C = 60. Jika sin B = 3 hitunglah panjang sisi AB ! . 1 2 . Diketahui segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ = 3 cm, QR = 4 6 cm, dan  R = 2 30. Hitunglah cosinus  P ! 3 . Pada segitiga KLM, diketahui m = 12 cm ,  K = 45, dan  C = 30. Hitunglah panjang l ! 4 . Pada segitiga RST, panjang sisi RT = 5 C cm, panjang sisi ST = 5 2 cm. a . Hitunglah besar  S b . Hitunglah besar  T 5 . Dua orang pada saat yang sama berangkat menuju titik C. Salah seorang berangkat dari titik B dengan kecepatan 2 km/jam. Temannya berangkat dari 120 titik A. Jika mereka sampai di titik C 30 dalam waktu yang sama, hitunglah A B kecepatan temannya tersebut ! ATURAN KOSINUS C Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus sbb : b a 2  b 2  c 2  2bc cos A a b 2  a 2  c 2  2ac cos B c 2  a 2  b 2  2ab cos C A c B Bentuk lain dari aturan kosinus adalah : b2  c2  a2 a2  c2  b2 a2  b2  c2 cos A  cos B  cos C  2bc 2ac 2ab 22Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  23. 23. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 Info Aturan cosinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui : 1 . sisi  sudut  sisi 2 . sisi  sisi  sisi 1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 4 cm, CONTOH panjang BC= 6 cm , dan sudut C = 120. Hitunglah panjang sisi AB ! 2. Segitiga PQR mempunyai panjang sisi PQ = 5 cm , PR = 7 cm, dan QR = 9 cm. Hitunglah cosinus sudut QPR ! JAWAB 1. Panjang sisi AB, adalah : B AB 2  AC 2  BC 2  2 . AC . BC . cos C  AB 2  4 2  6 2  2 . 4 . 6 . cos 120  AB 2  16  36  24  76 6 cm 120 Jadi : AB  76  2 19 cm A 4 cm C 2. Cosinus sudut QPR adalah : P PQ  PR  QR 2 2 2 cos QPR  2 . PQ . PR 5 cm 7 cm 52  7 2  92 7 1  cos QPR    2.5.7 70 10 Cosinus sudut QPR bernilai negatif, Q R berarti sudut QPR merupakan sudut 9 cm tumpul. Info Dalam navigasi, ukuran dan arah suatu sudut dinyatakan dalam bentuk jurusan tiga angka U Hal-hal yang perlu diketahui : 1 . Sebagai arah patokan adalah arah utara. 2 . Sudut berputar searah jarum jam. 060 3 . Ukuran sudut dinyatakan dengan menggunakan tiga angka . Sebagai contoh adalah jurusan 060 pada gambar di samping. 23Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  24. 24. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 LATIHAN 10 1. Diketahui segitiga ABC , dengan panjang AB = 2 3 cm, panjang BC = 5 2 cm, dan  B = 135 . Hitung panjang sisi AC ! 2. Diketahui segitiga PQR , dengan panjang PQ = 4 cm, panjang QR = 3 cm, dan panjang PR = 3 cm. Hitung nilai cosinus dari  P,  Q, dan  R ! 3. Sebuah kapal berlayar dari kota A ke kota B dengan jurusan 045 sejauh 60 km dari kota A, kemudian kembali berlayar dengan jurusan 135 menuju ke kota C sejauh 120 km dari kota B .Hitunglah jarak dari kota A ke kota C. 4. Dua buah kapal berangkat bersama dari tempat yang sama dan membentuk sudut 60. Kapal pertama berkecepatan 12 km/jam, dan kapal kedua berkecepatan 15 km/jam. Hitunglah jarak 60 kedua kapal sesudah bergerak selama 2 jam ! 5. Sebuah pesawat terbang dari kota A ke kota B sejauh 14 km dengan jurusan 045, kemudian terbang ke kota C dengan jurusan 135 sejauh 48 km. Hitunglah besar ABC,  ACB, dan jarak AC. Kemudian tentukan jurusan A dari C !. LUAS SEGITIGA Luas dari segitiga ABC dapat dihitung dengan menggunakan C rumus : b a 1 1 1 L = a b sin C , atau L = a c sin B , atau L = b c sin A 2 2 2 A c B Info 1 . Jika sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya beserta sisi yang diapit kedua sudut tersebut, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut : C Jika segitiga ABC diketahui besar  B ,  C, dan sisi a , maka luasnya samadengan : a L= Besar  A = ( 180 -  B -  C )° A B 2 . Jika segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya, maka luas dari segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus : L= C Dengan . b a Rumus ini dikenal dengan nama Rumus Heron. A c B 24Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  25. 25. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 Hitunglah luas segitiga berikut : CONTOH 1 . Segitiga ABC, panjang AB = 16 cm, AC = 12 cm, dan  A = 150. 2 . Segitiga PQR, panjang QR = 8 cm,  Q = 30 , dan  R = 120. 3 . Segitiga KLM, panjang k = 10 cm , l = 6 cm , dan m = 12 cm. JAWAB 1 . Luas segitiga ABC adalah : 1 B L = AC . AB . sin 150 2 1 1 = 12 . 16 .  48 cm 2 16 cm 2 2 150 C A 12 cm 2 . Besar sudut P = ( 180  120  30 ) = 30 P Jadi luas segitiga PQR, adalah : QR 2 . sin Q . sin R L = 2 sin P 8 2 . sin 30 . sin 120 = 2 sin 30 120 30 1 Q R 64 . 3 2 8 cm = = 16 3 cm 2 2 3. Karena diketahui panjang ketiga sisinya, K maka dapat dipakai rumus Heron, sbb : 12 cm 6  10  12 s  14 2 6 cm Jadi : L = 14 . 14  6 . 14  8 . 14  12 L M = 14 . 8 . 6 . 2  1344 10 cm = 64 21  8 21 cm2. 25Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  26. 26. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 LATIHAN 11 Hitunglah luas segitiga berikut : 1 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 10 cm, b = 2 7 cm, dan  C = 60 2 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 8 3 cm ,  B = 45, dan  C = 150. 3 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 6 cm , b = 7 cm, dan c = 4 cm. 4 . Hitunglah luas segienam beraturan yang panjang sisi- sisinya 20 cm ! 5 . Diketahui segitiga ABC samakaki, dengan AB = BC. Jika AC = 6 cm, dan C luas segitiga 20 cm tersebut 3 7 cm², 6 cm hitunglah panjang AB ! A B 26Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  27. 27. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 I . PILIHAN GANDA 1. Jika A dan B sudut lancip dengan tan 4. Suatu segitiga ABC diketahui A = 150, 7 1 sisi a = 12 cm dan sisi c = 5 cm, maka A = dan sin B = , nilai dari luas segitiga AMC = … 3 3 ( cos A . tan B ) ² sama dengan … A. 12 cm² 1 B. 13 cm² A. 2 C. 14 cm² 4 D. 15 cm² 3 B. 2 E. 16 cm² 16 5. Ditentukan segitiga ABC dengan 128 panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8 C. 9 cm dan BC = 7 cm. Nilai sin A adalah 9 … D. 128 2 3 A. E. 3 4 1 2 7 B. 5 sec   sin  3 2. Nilai dari 3 6  ... 2 1 5 C. 5 cot   cos  5 3 6 1 1 A. D. 5 2 2 1 3 B. 2 E. 5 2 5 1 ( Ebtanas 1997 ) C. 3 6. Diketahui segitiga KLM siku-siku di L. 2 15 cos K  sin K D. 3 Jika cot K = , nilai  ... 8 sin L  cos L E.  3 7 A. 17 15 B. 3. Perhatikan gambar ! 17 7 C. R 23 23 D. 17 cm 17 13 cm 23 E. 7 7. Ditentukan segitiga ABC dengan Q panjang sisi BC = 3 cm,sisi AC = 4 cm P 27 cm 1 Nilai cot Q = … dan sin A = . Nilai cos B = … 2 5 A. 2 7 A. 5 5 1 B. 1 3 B. 5 3 5 C. 1 13 C. 3 5 2 D. 2 12 D. 27 3 E. 1 13 E. 2 27Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com
  28. 28. Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2 8 . Diketahui segitiga ABC dengan B. 3 cm panjang AB = 6 cm, besar A = 30dan C. 2 cm C = 120. Luas segitiga ABCadalah … 3 A. 18 cm² D. 3 cm 2 B. 9 cm² C. 6√3 cm² E. 2 3 cm D. 3√3 cm² ( Ebtanas 2002 ) E. 2√3 cm² 13 . Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga ( Ebtanas 1998 ) yang sisinya 5cm, 6 cm dan √21 cm 9 . Pada segitiga ABC, diketahui panjang adalah … sisi AB = 15 cm, BC = 14 cm, dan AC = 1 A. 21 13 cm. Nilai tan C = … 5 5 1 A. B. 21 13 6 5 1 B. C. 5 12 5 12 1 C. D. 5 13 6 2 1 D. E. 5 3 3 13 ( Ebtanas 2003 ) E. 5 14 . Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = ( Ebtanas 1999 ) 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60. 3 Panjang sisi BC = … 10 . Jika sin A = , dengan 90 ≤ A ≤ 5 A. 2√19 cm 180, maka nilai cos A = … B. 3√19 cm 3 C. 4√19 cm A.  D. 2√29 cm 5 E. 3√29 cm 3 B. ( UAN 2004 ) 5 15 . Diketahui segitiga ABC dengan AB = 4 4 C.  cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm dan  ABC 5 = α. Nilai cos α = … 4 D. A.  1 5 4 3 E.  B. 11 4 24 11 11 . Diketahui Δ PQR dengan PQ = 3 cm, C. 18 PR = 5 cm dan QPR = 60. Jika PS garis bagi QPR, panjang PS = … 18 D. 20 24 A. 3 21 9 E. 24 20 B. ( UN 2005 ) 9 3 16 . Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 45 C. 3 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai 4 20 sin BAC = .... D. 3 3 5 20 A. E. 3 7 6 2 ( Ebtanas 2001 ) B. 6 7 12 . Diketahui Δ ABC dengan panjang sisi 24 AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60. C. CD adalah tinggi Δ ABC. Panjang CD = 49 … D. 2 2 7 A. 3 cm 3 1 E. 6 ( UN 2005 ) 7 28Tri Rusdiyono, S.Pd.http://berbagimedia.wordpress.com

×