Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Penerapan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari

tugas mata kuliah Konsep Dasar Matematika 1 semester I PGSD

  • Login to see the comments

Penerapan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari

  1. 1. 3 BAB II P E M B A H A S A N A. Persamaan Kuadrat 1. Pengertian Persamaan Kuadrat Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan. Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai dari a, b, dan c. Maka dikelompokkan menjadi: a. Persamaan kuadrat lengkap ( Jika b = 0 ) Bentuk : ax2 + bx + c = 0 ; a,b,c ≠ 0. Contoh : 2x2 -3x+6 =0 b. Persamaan kuadrat tak lengkap ( Jika c = 0 ) Bentuk : ax2 +bx = 0 ; a,b ≠ 0. Contoh : -2x2 -8x = 0 c. Persamaan kuadrat biasa ( Jika a = 1 ) Bentuk : ax2 = 0 ; a ≠ 0. Contoh : 5x2 = 0 d. Persamaan kuadrat asli (murni) Bentuk : ax2 +c = 0 ; a,c ≠ 0. Contoh : 4x2 -9 = 0 2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat a. Faktorisasi Dasar: Tentukan 2 bilangan yang jumlahnya = b dan hasil kalinya = ac.
  2. 2. 4 Contoh : Carilah akar-akar persamaan kuadrat : x2 - 3x - 4 = 0 Penyelesaian : Dua buah bilangan yang jumlahnya -3 dan hasil kalinya -4 adalah 1 dan -4. Sehingga : x2 - 3x - 4 = 0 ↔ x2 + x - 4x - 4 = 0 ↔ x(x + 1) - 4(x + 1) = 0 ↔ (x - 4)(x + 1) = 0 ↔ x1 = 4 dan x2 = -1 Jadi akar-akarnya adalah : -1dan 4. b. Melengkapi kuadrat sempurna Langkah Penyelesaian : 1) Pindahkan konstanta ke ruas kanan. 2) Bagi kedua ruas dengan koefisien x2 (atau dibagi dengan a). 3) Tambah kedua ruas dengan kuadrat dari ( ½ koefisien x ) atau kuadrat dari ½b. 4) Ubahlah ruas kiri ke bentuk ( ax ± b ) 2. Contoh : Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat : 2x2 - 5x + 3 = 0 Penyelesaian : 2x2 - 5x + 3 = 0 → 2x2 - 5x = - 3 langkah 1 x2 - 5 2 x = - 3 2 langkah 2 x2 - 5 2 x + { 1 2 (- 5 2 )}2 = - 3 2 + { 1 2 (- 5 2 )}2 langkah 3 x2 - 5 2 x + (- 5 4 ) 2 = - 3 2 + (- 5 4 ) 2 (x - 5 4 )2 = −24+25 16 langkah 4 (x - 5 4 )2 = 1 16 (x - 5 4 ) = ± 1 4 Maka x1 = x - 5 4 = 1 4 = 1 4 + 5 4 = 6 4 = 3 2 x2 = x - 5 4 = - 1 4 = - 1 4 + 5 4 = 1
  3. 3. 5 Jadi akar-akarnya adalah : 1 dan 3 2 c. Rumus ABC Bentuk Umum : ax2 + bx + c = 0 ; a,b,c ∈ R, a ≠ 0. x1.2 = −b±√b2 −4ac 2a atau x1.2 = −b±√D 2a dimana D = b2 – 4ac Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 2x - 1 = 0 Penyelesaian : x1.2 = −(−2)±√(−2)2 −4.2.(−1) 2.2 = 2±√12 4 = 2±2√3 4 Jadi akar-akarnya x1 = 1 2 + 1 2 √3 dan x2 = 1 2 - 1 2 √3 3. Diskriminan Persamaan Kuadrat. Jenis akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, ditunjukkan oleh diskriminan yang dirumuskan D = b2 – 4ac, yaitu: a. D ˃ 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real) yang berbeda. Untuk D ˃ 0 , maka terdapat dua kemungkinan yaitu: 1) Jika D merupakan kuadrat sempurna maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda dan rasional. 2) Jika D bukan kuadrat sempurna, maka kedua akar nyata berbeda dan irasional. b. D = 0, persamaan kuadrat sempurna mempunyai dua akar real yang sama (kembar). c. D ˂ 0, persamaan kuadrat sempurna akarnya tidak nyata (khayal).
  4. 4. 6 B. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat peubah (variabel) dengan pangkat tertinggi 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat: ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ∈ R 2. MenyelesaikanPertidaksamaan Kuadrat a. Dengan Garis Bilangan Cara menyelesaikan: 1) Tentukan lebih dahulu akar-akar persamaan kuadrat. 2) Tentukan nilai-nilai nol, sehingga membagi garis bilangan menjadi 3 interval. 3) Tentukan tanda interval. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari x2- x- 6 > 0 Jawab: x2- x- 6 > 0 nilai-nilai nol: x2- x- 6 = 0 (x + 2)(x – 3) = 0 Nilai nol dan tanda intervalnya: --- -2 0 3 Jadi HP = {x|x < -2 atau x > 3} +++ +++
  5. 5. 7 b. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat. Cara penyelesaiannya: 1) Sketsa y = f (x) = ax2 + bx + c, tentukan titik potong dengan sumbu x jika ada. 2) Tetapkan interval yang memenuhi y > 0, berarti grafik terletak di atas sumbu x, y < 0 berarti grafik terletak di bawah sumbu x.
  6. 6. 8 C. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari 1. Penerapan Persamaan Kuadrat Contoh: a. Sebidang tanah akan dibangun kolam renang dengan ukuran 10 m x 8 m. Jika luas tanah tersebut 168 m2. Tentukan lebar sisa tanah di sekeliling kolam renang tersebut! Jawab: L = p x l 168 = (10 + 2x)(8+2x) 168 = 80 + 20x + 16x + 4x2 168 = 4x2 + 36x + 80 4x2 + 36x + 80 – 168 = 0 x2 + 9x – 22 = 0 (x - 2)(x +11) = 0 x = 2 atau x = -11 ( tidak memenuhi ) Jadi lebar sisa tanah di sekeliling kolam renang adalah 2 m. b. Dalam waktu x jam, kendaraan yang berjalan dengan kecepatan rata- rata (x+15) km/jam dapat menempuh jarak 100 km. 1) Bentuklah persamaan kuadrat dalam bentuk x! 2) Selesaikan persamaan kuadrat tersebut! Jawab: 1) x(x + 15) = 100 2) x2+15 = 100 x2+15-100 = 0 (x+20)(x-5)= 0 x+20 = 0 x1 = -20 x-5 = 0 x2 = 5 x = 5 jam
  7. 7. 9 Kita harus memakai x2 karena bilangan tersebut adalah bilangan bulat positif, waktu tidak pernah menggunakan bilangan negatif. c. Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut? Jawab : Misalnya panjang tanah x meter dan lebar y meter maka Y = ( x- 12) meter Luas tanah = x . y 4.320 = x . y <=> 4.320 = x . (x-12) <=> x2 – 12x – 4320 = 0 <=> (x- 72) (x + 60) = 0 <=> x - 72 = 0 atau x + 60 = 0 <=> x = 72 atau x = - 60 karena panjang tanah harus positif, nilai yang memenuhi adalah x = 72. Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60 Jadi, panjang tanah adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter. d. Pak Budi mempunyai mempunyai tanah dengan keliling 68 m dan luasnya 340 m2. Carilah panjang pagar Pak Budi bila ia ingin memagari depan tanah tersebut! Jawab: p.l = 340 p = 340/l p+l = 34 (p disubtitusi dengan 340/l) p + (340/p) = 34 p2 + 340 = 34p p2 - 34p + 340 = 0
  8. 8. 10 (cari faktor dari persamaan kuadrat) (p - 17)(p - 20) = 0 p - 17 = 0 p1 = 17 p - 20 = 0 p2 = 20 Karena panjang harus lebih panjang dari lebar, p adalah 20. Jadi panjang pagar depan tanah Pak Budi adalah 20 m 2. Penerapan Pertidaksamaan Kuadrat Contoh: a. Sepotong kawat yang panjangnya x cm, hendak dibentuk kerangka berbentuk persegi. Agar luasnya lebih besar daripada kelilingnya. Tentukanlah nilai x yang memenuhi! Jawab: Luas persegi > Keliling persegi 𝑥2 > 4𝑥 𝑥2 − 4𝑥 > 0 𝑥(𝑥 − 4) > 0 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 4 + + + - - - + + + 0 4 Hs = {x| x˂0 ˅ x > 4, x ∈ R} Jadi nilai x yang memenuhi adalah lebih dari 4 cm. b. Sebuah batu dilemparkan tegak lurus ke atas dengan kecepatan 20 m/detik; sedangkan tinggi batu itu adalah h setelah t detik ditentukan oleh rumus h= 20t - 5t2 .Tentukan selang t, jika h > 15! Jawab:
  9. 9. 11 Untuk menentukan selang t, sehingga h >15, kita selesaikan pertidaksamaan berikut: h >15 ↔ 20t - 5t2 > 15 ↔ 20t - 5t2 – 15> 0 ↔ -4t + t2 + 3 < 0 ↔ t2 – 4t + 3 < 0 ↔ (t – 1)(t – 3) < 0 ↔ t=1 atau t=3 _ _ _ +++ +++ 1 3 Jadi, selang t sehingga h > 15 adalah 1 < t < 3. c. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 cm. jika luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 cm2, tentukan batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut. Jawab: Misalkan panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-turut adalah x cm dan y cm. Keliling K= 2(x+y) = 20  x + y = 10  y = 10 – x Luas persegi panjang L = x . y  L = x (10 – x)  L = 10x – x2 Luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 cm2, ini berarti L ≥ 21 10x – x2 ≥ 21  x2 – 10x + 21 ≤ 0  (x – 3)(x – 7) ≤ 0
  10. 10. 12 + + + - - - + + + 3 7 Hs = {x|3 ≤ x ≤ 7, x ∈ R} Jadi, batas-batas nilai panjang dari persegi panjang itu adalah dari 3 cm sampai dengan 7 cm d. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Ketinggian peluru yang dicapai (dinyatakan dalam meter) diberikan sebagai h(t) = 30t – t2. Berapa lamakah peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter? Jawab: Ketinggian peluru tidak kurang dari 221 meter, sehingga diperoleh hubungan h ≥ 221 30t – t2 ≥ 221 Pertidaksamaan kuadrat diatas diselesaikan sebagai berikut: 30t – t2 ≥ 221  t2 – 30t + 221 ≤ 0  (t – 13)(t – 17) ≤ 0 + + + - - - + + + 13 17 13 ≤ t ≤ 17 Jadi, peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter dari detik ke 13 sampai dengan detik ke 17 atau dalam selang waktu (17 – 13) detik = 4 detik.
  11. 11. 13 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Dalam kehidupan sehari-hari hampir semua masalah dapat diformulasikan ke dalam bahasa matematika yang berbentuk persamaan atau pertidaksamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan soal-soal persamaan kuadrat yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dapat menggunakan cara faktorisai, melengkapi kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc. Sedangkan untuk menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan kuadrat yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dapat menggunakan cara membuat garis bilangan dan sketsa grafik fungsi kuadrat. B. Saran Dengan adanya penerapan persamaan dan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari – hari diharapkan pengaplikasian dapat digunakan dengan baik sehingga bermanfaat. Penerapan persamaan dan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari – hari dapat mempermudah penghitungan – penghitungan tertentu yang memang membutuhkan cara penghitungan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
  12. 12. 14 DAFTAR PUSTAKA Kanginan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika. Bandung: Grafindo Media Pratama. Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Jilid 1 untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga. Yos. 2013. Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari. Diakses dari http://yos3prens.wordpress.com/2013/11/07/penerapan-persamaan- kuadrat-dalam-kehidupan-sehari-hari/ pada tanggal 17 Desember 2013.

×