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Guía                      Del estudiante                    Modalidad a distancia                            Modulo     MA...
BIENVENIDAEL curso de Matemática Fundamental permite indicar un proceso de formación de Ingenierosde Sistemas que apropien...
Un a e c ua c i ó n e s u n a ig ua l d ad q ue se cu mp l e p ar a  a l g un o s val or e s d e la s l e t r a s.        ...
2 · ( −5 ) − 3 = 3 · ( −5) + 2          − 1 0 −3 = −1 5 + 2                 −1 3 = −1 3           G ra d o          El g r...
5x + 10 = 15          (5x + 10) : 5 = 15 : 5           x + 2 = 3           x + 2 −2 = 3 −2          x = 1Cl a s e s de e c...
1 . 1 . 2 Ec ua c i o ne s d e s eg und o g ra do o c ua d rá t i ca s         So n e cu a ci o n e s d el ti p o ax 2 + b...
1 . 2 . Ec ua c i o ne s po l i nó mi c a s ra c io na l e s         L a s e cu a cio n e s p oli n ó mi ca s so n d e la ...
2 . 2 Ec ua c i o ne s l og a rí t mi c a s          So n e cu a ci o n e s en l a q u e la in có g ni ta a p a r e ce a f...
2 º Q u i ta r d en o mi n a d o r e s.          3 º Ag r u p a r l o s t ér mi n o s e n x e n u n mi e mb r o y l o s   ...
De sp e ja mo s l a in có g ni t a :       Q u i ta mo s d e n o mi n a d o r e s, p a r a ello e n p ri me r l ug a rh a ...
Q u i ta mo s co r ch e t e :          Q u i ta mo s p a r é n t e si s:          Q u i ta mo s d e n o mi n a d o re s:  ...
2.3.4.     12
5.6.     13
7.8.     14
9.         Pa r a r e ali zar u n p rob l e ma s d e e c ua c i o ne s e n p ri me r  l u g ar l o t e n e mo s q u e e xp...
Do s n ú me r o s c o ns e c ut i vo s : x y x + 1 .         Do s n ú me r o s c o ns e c ut i vo s p a re s : 2x y 2 x + ...
Do s ci u d ad e s A y B d i st a n 3 0 0 km e n t r e sí . A l a s 9 d e l a  ma ñ a n a p a r t e d e l a ci u da d A u ...
9 0 t − 6 0 t = 1 80       30t = 180          t = 6 ho ra s         2 L a h or a d el en cu e n tr o .         Se e n co n...
Pro b l e ma s d e g ri f o s          En u n a h o ra el p ri me r g ri f o ll e na 1 / t 1 d e l d e p ó si t o.        ...
7x = 12                 x = 1 2 / 7 ho ra sPro b l e ma s d e me zc la s          C1            1 ª can ti d a d . C 1 = x...
C1 · P1 + C2 · P2 = (C 1 + C2) · Pm           Un co me r ci a n t e ti e ne d o s cl a se s d e ca f é , l a pri me r a a ...
Se r e su e l ven d e l mi smo mo d o q u e l o s p r o bl e ma s d e   me zcl a s, t e ni e n d o e n cu e n ta q ue la l...
Pa r a       re s o l ve r   e c ua c i o ne s   de   s e g und o   g ra d ou t ili za mo s l a si g ui en t e f ór mu l a...
ax2 = 0L a s ol uc i ó n e s x = 0 .     ax2 + bx = 0Ext r a e mo s f a ct o r co mú n x:     ax2 + c = 0De sp e ja mo s: ...
So l uc i o ne s d e la e c ua c i ó n c ua d rá tic a                 a x 2 +b x +c = 0         b 2 − 4 a c se l la ma d ...
b2 − 4ac = 0          L a e c ua c ió n t i e ne una s o l uc i ó n d obl e .              b2 − 4ac < 0          L a e c u...
Ec ua c i ó n c ua d rá t i c a a p a rt i r d e s us s o l uc i o ne s         Si     c o no c e mo s       la s     ra í...
Pa r a r e sol ver e c ua c io ne s f ra c c io na ri a s o ra c io na l e sse mu l ti pli ca n a mb o s mi e mb r o s d e...
L a sol u ci ó n e s:      L a s e c ua c i o ne s b i c ua d ra da s so n d el t i po :      ax4 + bx2 + c = 0      Pa r ...
El mi s mo p r o ce di mi e n t o po d e mo s u t ili za r p a ra r e so l ve rl a s e cu a ci o n e s d el ti p o :      ...
Ej e rc i c i o s de e c ua c io ne s b i c ua d rada s         1 x4 − 61 x2 + 900 = 0         2 x4 − 25 x2 + 144 = 0     ...
3 x4 − 16 x2 − 225 = 0Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineal...
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, almenos, una de las incógnitas es 1.    IgualaciónEjemp...
5)6)7)SoluciónLe resolvemos por reducción doble.Multiplicamos la 2ª ecuación por –Sumando las dos ecuaciones obtenemos una...
=EjerciciosResuelve los siguientes sistemas:1)2)3)Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases[1]:1ª. Co...
Ejemplo 21.. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen....
- Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parteguarda silencio, y además hay tres mujeres.¿Cuán...
x -15        2x –152x –15=3(x –15) =3x – 45x =30En un envase había 30 litros y en el otro 60 litros7. El hermano mayor de ...
Aunque da dos soluciones, sólo la primera x =6 es válida, x =-4 no nos valepues las edades no pueden ser negativas.Por tan...
6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de losparticipantes. En la segunda queda eliminado el 40% ...
6. La sombra de un lápiz de10cm en un determinado momento es de 25cm.¿Cuál será en ese momento la sombra de una torre de 4...
Por lo tanto:          ,            ;11. Calcula, de dos formas diferentes, el seno de                B12. Sabiendo que se...
y2 =x2+ h2                        y = 10,62        A =(15.7,07)/2=53,25 u.s.17. Hallar el área y los ángulos del triángulo...
22. La distancia de un barco a un faro es de 137 m , y a la orilla 211m. El  ángulo bajo el cual se ve desde el barco el s...
incógnitas          Inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas.          Sistemas de dos inecuaciones de 1er grado con...
aparecen letras.                                         x-3 ≥ yINECUACIONES: Sondesigualdades en las que aparecen        ...
miembro       s de una       desiguald       ad,       resulta       otra del       mismo       sentido.       Si       mu...
x+7           Restar 7 >8                             4x            Dividir < 12           entre 4                        ...
Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que   responden a las siguientes formas básicas:                  ...
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORESAl igual que en lasecuaciones, también puedenpresentársenos inecuacionescon ...
ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve las siguientes inecuaciones de 1 er grado con denominadores:a) 6x –3 > 5x – 7              ...
Resolución: Se hace la gráfica de la función cuadrática y = Ax 2+Bx+C, y seobserva donde y = Ax 2+Bx+C tiene el signo que ...
Resuelve las siguientes inecuaciones. Utiliza la escena anteriorpara ver las gráficas de las funciones correspondientes en...
expresión cuando el punto P está en la                                     zona superior de la recta?¿ y en la            ...
Por tanto la zona es "la que                                  contiene al (0,0)".                                        E...
Resolver un sistema de dos o más inecuaciones de 1er gradocon dos incógnitas consiste simplemente en resolver cada una dee...
Autor: Xosé Eixo B.        ACTIVIDADES PROPUESTAS        Pl a n t e ar u n mo d e l o g e n e r al p ar a so l u ci on a r...
Quien acredite un nivel mínimo en el manejo conceptual, operativo y gráfico deestos componentes, avanzará positivamente en...
estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudiopor si mismo (autodisciplina), teniendo en c...
Rol del Tutor:El propósito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes,facilitando su proceso de apre...
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje, que lo lleva        a ser mas activo y propositivo, por consi...
Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisiseconómico; Prentice – Hall, 1996.                       ...
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Ecuaciones e inecuaciones guia nº 3 i. sistemas

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Ecuaciones e inecuaciones guia nº 3 i. sistemas

  1. 1. Guía Del estudiante Modalidad a distancia Modulo MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIERÍA DE SISTEMAS I SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono 435 29 52 – CEL. 310 768 90 67 BIENVENIDA E-mail leav70@gmail.com http://guias-uniminuto.wikispaces.com Lugar Madrid CundinamarcaCorporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca 1
  2. 2. BIENVENIDAEL curso de Matemática Fundamental permite indicar un proceso de formación de Ingenierosde Sistemas que apropien competencias interpretativas, argumentativas y propositivas ycompetencias ciudadanas como líderes integrales en sus desempeños el curso pretendefortalecer procesos. UNIDAD DE TRABAJO No.3 ¿Cómo aplicar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos a la Ingeniería de Sistemas? ¿A través los sistemas lineales y de las inecuaciones cómo se puede diseñar un modelo de programación lineal ¿Contenidos 1. Ecuaciones de primero y segundo grado. 2. Bicuadradas e irracionales 3. Sistemas de ecuaciones. 4. Aplicaciones a la resolución de problemas 5. Inecuaciones.Indicadores Resolver ecuaciones de una sola variable de primero y segundo grado. Factorizar expresiones bicuadradas, utilizando los métodos de factorización estudiados. Aplicar los determinantes y los demás métodos de solución de sistemas lineales. Resolver inecuaciones y trazar las gráficas. Aplicar los sistemas lineales a la solución de problemas. 2
  3. 3. Un a e c ua c i ó n e s u n a ig ua l d ad q ue se cu mp l e p ar a a l g un o s val or e s d e la s l e t r a s. x + 1 = 2 x = 1El e me nt o s d e una e c ua c i ó n M i e mb ro s L o s mi e mb ro s de u na e c ua c ió n son ca d a u n a d e l a s e xp r e si o n e s q u e ap a r e ce n a a mb o s l ad o s d el si g n o ig u al . T é rmi n o s L o s t é rmi no s d e un a e c ua c ió n so n l o s s uma nd o s q u e f o r ma n l o s mi e mb ro s d e u n a ec ua c i ón. In c ó g n it a s L a i nc ó g ni t a d e u n a e c ua c ió n e s e l va l o r d e sco n o ci d o q u e se pr e t e n de d e t er mi n a r . L a i nc ó g ni t a de u n a ec ua c i ó n se sue l e e xp r e sar co n l a l e tr a x . So l u c i on e s Las S O L U C IO N E S de u n a e c ua c ió n so n l o s va l o re s q u e d e b e n t o ma r la s l e t ra s p a r a q u e l a igua l d a d se a c i e rt a . 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 3
  4. 4. 2 · ( −5 ) − 3 = 3 · ( −5) + 2 − 1 0 −3 = −1 5 + 2 −1 3 = −1 3 G ra d o El g ra do d e u n a e c ua c i ó n e s el ma yo r d e l o s g ra do s d e lo s mo no mi o s q ue f o r ma n su s mi e mb ro s .Ec ua c i o ne s e q ui va l e nt e s Do s e c ua c io ne s s o n eq ui va l e nt e s s i t i e ne n l a mi s ma s o l uc i ó n. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 x + 3 = −2 x = −5Cri t e ri o s d e e q ui va l e nc i a d e ec ua c i o ne s 1 . Si a l os do s mi e mb ro s d e una e c ua c i ó n s e le s s uma o s e l es re s t a una mi s ma c a nt i d a d , l a e c ua c ió n e s e q ui va l e nt e a l a d ad a . x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5 2 . Si a l os do s mi e mb ro s d e una e c ua c i ó n s e le s mul t i p l i c a o se les d i vi d e una mi s ma c a nt i d a d , la e c ua c i ó n e s eq ui va l e nt e a l a d ad a . 4
  5. 5. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = 3 x + 2 −2 = 3 −2 x = 1Cl a s e s de e c ua c io ne s1 . Ec ua c i o ne s po l i nó mi c a s1 . 1 Ec ua c i o ne s po l i nó mi c a s e nt e ra s L a s e cu a ci o ne s p oli n ó mi ca s so n d e la f o r ma P( x ) = 0 , d o n d e P( x) e s u n p oli n o mi o .1 . 1 . 1 Ec ua c i o ne s d e p ri me r g ra do o l i ne a l e s So n d e l ti p o a x + b = 0 , co n a ≠ 0 , ó cu al q ui e r ot r a e cu a ció n en la qu e al o p er a r , t r a sp o n er t é r mi n o s y si mp l i fi car a do p t a n e sa e xp r e si ó n . (x + 1) 2 = x2 - 2 x2 + 2x + 1 = x2 - 2 2x + 1 = -2 2x + 3 = 0 5
  6. 6. 1 . 1 . 2 Ec ua c i o ne s d e s eg und o g ra do o c ua d rá t i ca s So n e cu a ci o n e s d el ti p o ax 2 + b x + c = 0 , co n a ≠ 0 . Ec u a c i on e s d e s eg un do g rad o in c omp l e t a s ax2 = 0 ax2 + b = 0 ax2 + bx = 01 . 1 . 3 Ec ua c i o ne s d e te rc e r g ra d o So n e cu a ci o ne s d el ti p o a x 3 + b x 2 + c x + d = 0, co n a ≠ 0.1 . 1 . 4 Ec ua c i o ne s d e c ua rt o g ra d o So n e cu a ci o n e s d el tip o a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0, co n a ≠ 0 . Ec u a c i on e s b i c ua d ra da s So n e cu a ci o n e s d e cu a r to g ra d o qu e n o ti e ne t ér mi n o s d e g r a do i mp a r . a x 4 + b x 2 + c = 0 , co n a ≠ 0 .1 . 1 . 5 Ec ua c i o ne s d e g rad o n En g e n e r al , la s e cu a ci on e s d e g r a d o n so n d e l a f o r ma : a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0 6
  7. 7. 1 . 2 . Ec ua c i o ne s po l i nó mi c a s ra c io na l e s L a s e cu a cio n e s p oli n ó mi ca s so n d e la f o r ma , d o n d e P( x) y Q ( x) so n po lin o mi o s.1 . 3 . Ec ua c i o ne s po l i nó mi c a s i rra c i ona l e s L a s e cu a ci on e s i rr a ci o na le s so n a q ue ll a s q u e ti e n e n al me n o s u n p o li n o mi o b a jo e l sig n o ra di cal .2 . Ec ua c i o ne s no po l i nó mi c a s2 . 1 Ec ua c i o ne s e xp o ne nc i a l e s So n e c ua c i o ne s e n l a q ue l a i nc ó g ni t a a p a re c e e n e l e x p o ne nt e . 7
  8. 8. 2 . 2 Ec ua c i o ne s l og a rí t mi c a s So n e cu a ci o n e s en l a q u e la in có g ni ta a p a r e ce a f e ct ad a p o r u n l og a ri t mo .2 . 3 Ec ua c i o ne s t ri go no mé t ri c a s So n las e cu a ci o n e s en las que la i n cóg ni t a e stá a f e ct a d a p or u n a f u n ci ó n t ri g o no mé t r i ca . Co mo é st a s so n p e ri ó di ca s, h a b rá p o r lo g e n er al i n fi nit a s sol u ci o n e s. L a s e c ua c i o ne s l i ne a l e s o d e p ri me r g ra d o so n d el t i p o a x + b = 0 , co n a ≠ 0 , ó cual qu i er o tr a e cu a ci ó n e n l a q u e al o pe r a r, t r a sp o n er t é r mi n o s y si mp l i fi car a do p t e n e sa e xp r e si ó n .Re s o l uc i ó n d e e c ua c i o ne s l i ne a le s En g e n e r al pa r a re so l ve r una e c u a c i ó n l i ne a l o d e p ri me r g ra d o d e be mo s se g u i r l o s si gu i e nt e s pa s o s: 1 º Q u i ta r p ar é n t e si s. 8
  9. 9. 2 º Q u i ta r d en o mi n a d o r e s. 3 º Ag r u p a r l o s t ér mi n o s e n x e n u n mi e mb r o y l o s t é r mi n o s in d e p en di e n t e s e n el o tr o . 4 º Re d u cir l o s t ér mi n o s se me ja n t e s. 5 º De sp e ja r l a i n có g ni t a .Ej e mp l o s de e c ua c i o ne s l i ne a l e s De sp e ja mo s l a in có g ni t a : Ag r u p a mo s los té r mi n o s se me ja n t e s y lo s i n d ep e n di en t e s, y su ma mo s: Q u i ta mo s p a r é n t e si s: Ag r u p a mo s t é r mi n o s y su ma mo s: 9
  10. 10. De sp e ja mo s l a in có g ni t a : Q u i ta mo s d e n o mi n a d o r e s, p a r a ello e n p ri me r l ug a rh a ll a mo s e l mí n i mo c o mú n mú l t i pl o . Q u i ta mo s p a r é n t e si s, a g ru p a mo s y su ma mo s lost é r mi n o s se me ja n t e s: De sp e ja mo s l a in có g ni t a : Q u i ta mo s p a r é n t e si s y si mp l i fi ca mo s: Q u i ta mo s d e n o mi n a d o r e s, ag r u pa mo s y su ma mo s l o st é r mi n o s se me ja n t e s: 10
  11. 11. Q u i ta mo s co r ch e t e : Q u i ta mo s p a r é n t e si s: Q u i ta mo s d e n o mi n a d o re s: Q u i ta mo s p a r é n t e si s: Ag r u p a mo s t é r mi n o s: Su ma mo s: Di vi di mo s l o s d o s mi e mb r o s p o r : −9Ej e rc i c i o s de e c ua c io ne s l i ne a l e s 1. 11
  12. 12. 2.3.4. 12
  13. 13. 5.6. 13
  14. 14. 7.8. 14
  15. 15. 9. Pa r a r e ali zar u n p rob l e ma s d e e c ua c i o ne s e n p ri me r l u g ar l o t e n e mo s q u e e xp r e sa r e n l e ng ua j e a lg e b ra i co y p o st e ri or me n t e r e so l ve r l a e cu a ci ó n re su l ta n t e .Ex p re s i o ne s a lg e b ra i c as c o mune s El do b l e o d up l o de u n nú me r o : 2 x El t ri p l e d e u n n ú me r o : 3 x El c uá d rup l o de u n nú me r o : 4 x L a mi t a d de u n n ú me r o : x / 2 . Un t e rc i o de u n nú me r o : x / 3 . Un c ua rt o d e u n n ú me r o : x / 4 . Un n ú me r o e s p ro po rc i o na l a 2 , 3 , 4 , . . . : 2 x , 3x , 4 x ,. . Un n ú me r o a l c ua d rad o : x 2 Un n ú me r o a l c ubo : x 3 15
  16. 16. Do s n ú me r o s c o ns e c ut i vo s : x y x + 1 . Do s n ú me r o s c o ns e c ut i vo s p a re s : 2x y 2 x + 2 . Do s n ú me r o s c o ns e c ut i vo s i mp a re s : 2 x + 1 y 2 x + 3 . De s c o mp o ne r 2 4 e n do s p a rt e s : x y 2 4 − x . L a s uma d e d o s n ú me r o s e s 2 4 : x y 24 − x . L a d i fe re nc i a d e d o s n ú me r o s e s 2 4 : x y 2 4 + x . El p rod uc t o de d o s nú me r o s e s 2 4 : x y 2 4 / x . El c oc i e nt e d e d o s n ú me r o s e s 2 4 ; x y 2 4 · x .Pro b l e ma s d e mó vi l e s Pa r a p l a nt e a r p ro bl e ma s so b r e mó vil e s que ll e va n ve l o ci da d con st a n t e se ut ili zan l a s fó r mu l a s d el mo vi mi e n t o r e cti lí n e o uni f o r me : e s p a c io = ve l o c id a d × t i e mp o1er caso L o s mó vi l e s va n e n s e nt i d o co nt ra ri o . eAC + e BC = e AB 16
  17. 17. Do s ci u d ad e s A y B d i st a n 3 0 0 km e n t r e sí . A l a s 9 d e l a ma ñ a n a p a r t e d e l a ci u da d A u n co ch e h a ci a l a ciu d a d B co n u n a vel o ci da d de 9 0 km/ h , y d e l a ciu d a d B pa r t e o t ro h a ci a l a ci u da d A co n un a vel o ci da d d e 6 0 k m/ h . Se p i d e : 1 El ti e mp o q u e t a rd a r án e n en co n t rar se . 9 0 t + 6 0 t = 3 00 1 5 0 t = 3 00 t = 2 ho ra s 2 L a h or a d el en cu e n tr o . Se e n co n t r ar a n a la s 1 1 d e l a ma ñ a n a . 3 L a di st a n cia r e cor ri d a p o r ca d a u no. e AB = 90 · 2 = 180 km e BC = 60 · 2 = 120 km2o caso L o s mó vi l e s va n e n e l mi s mo s e nt i do . e AC − e BC = e AB Do s ci u d ad e s A y B d i st a n 1 8 0 km e n t r e sí . A l a s 9 d e l a ma ñ a n a sa l e d e u n co ch e d e ca da ci u d ad y l o s d o s co ch e s va n e n e l mi smo se n t i d o . El q u e sal e d e A ci r cul a a 9 0 km/ h , y e l q u e sal e d e B va a 6 0 km/ h . Se p i d e : 1 El ti e mp o q u e t a rd a r án e n en co n t rar se . 17
  18. 18. 9 0 t − 6 0 t = 1 80 30t = 180 t = 6 ho ra s 2 L a h or a d el en cu e n tr o . Se e n co n t r ar a n a la s 3 d e l a t a rd e . 3 L a di st a n cia r e cor ri d a p o r ca d a u no. e AB = 90 · 6 = 540 km e BC = 60 · 6 = 360 km3er caso L o s mó vi l e s p a rt e n d e l mi s mo p unt o y c o n e l mi s mo s e nt i d o . e 1 = e 2 Un co ch e sal e d e l a ci u da d A a l a ve lo ci d ad d e 9 0 km/ h . T r e s ho r a s má s t a r d e sal e d e l a mi sma ci u d a d o t r o co ch e en p e r se cu ci ó n d el p ri me r o co n u n a ve lo ci d ad d e 1 2 0 km/ h . Se p i d e: 1 El ti e mp o q u e t a rd a r á e n al ca n za rl o. 9 0 t = 1 2 0 · ( t − 3) 9 0 t = 1 2 0 t − 36 0 −3 0 t = −3 6 0 t = 1 2 ho ra s 2 L a di st a n cia a l a qu e se pr o d u ce el e n cu e n t ro . e 1 = 90 · 12 = 1080 km 18
  19. 19. Pro b l e ma s d e g ri f o s En u n a h o ra el p ri me r g ri f o ll e na 1 / t 1 d e l d e p ó si t o. En u n a h o ra el se gu n d o gri f o ll e n a 1 /t 2 d e l d e p ó si t o . Si e xi st e un d e sa gü e En u n a h o ra el d e sa g ü e va cia 1 / t 3 d el d e p ó si t o . En u n a h o ra l o s d o s g ri f o s ju n t o s h abr á n ll e n a do : Si n d e sag ü e Co n d e sa g üe Un g r i fo t a r da e n lle n a r un d e p ó si t o t r e s h o r a s y o tr o g r if o t a r d a e n ll e n arl o cu a t ro h o r a s. ¿Cu á n t o t ie mp o t a r d a r á n e n ll en a r l o s d o s gri f o s ju n t o s el d e pósi t o ? En u n a h o ra el p ri me r g ri f o ll e na 1 / 3 d e l d e p ó si t o. En u n a h o ra el se gu n d o gri f o ll e n a 1 /4 d el d e pó sit o . En u n a h o ra l o s d o s g ri f o s ju n t o s h abr á n ll e n a do : 19
  20. 20. 7x = 12 x = 1 2 / 7 ho ra sPro b l e ma s d e me zc la s C1 1 ª can ti d a d . C 1 = x C2 2 ª can ti d a d . C 2 = C m - x Cm Ca n ti d a d d e l a me zcl a C m = C 1 + C 2 P1 Pr e cio d e l a 1 ª can ti d a d P2 Pr e cio d e l a 2 ª can ti d a d Pm Pr e ci o d e l a me zcl a C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm T a mb i é n p o d e mo s p o n e r l o s d a t o s e n u n a t a bl a Ca nt i d a d Pre c i o Co s t e1ª C1 P1 C1 · P1s us t a nc i a2ª C2 P2 C2 · P2s us t a nc i a C1 · P1+ C2 ·Me zc l a C1 + C2 P P2 20
  21. 21. C1 · P1 + C2 · P2 = (C 1 + C2) · Pm Un co me r ci a n t e ti e ne d o s cl a se s d e ca f é , l a pri me r a a 4 0 € el kg y la se g u nd a a 60 € el kg. ¿ Cu a n t o s kil o gr a mo s h a y q u e p o n er d e ca d a cl a se de ca f é p a ra o b t en e r 60 kil o s d e me zcl a a 5 0 € el kg ? 1 ª c l as e 2 ª c l as e T o t alNº d e k g x 60 − x 60Va l o r 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50 4 0 x + 6 0 · ( 6 0 − x) = 6 0 · 5 0 40x + 3600 − 60x = 3000; − 6 0x + 4 0 x = 3 0 0 0 − 3600; 20 x = 6 0 0 x = 30; 60 − 30 = 30 T e ne mo s q ue me zc l a r 3 0 k g d e l a 1ª c l a se y o t ro s 30 d e l a 2ª c la s e .Pro b l e ma s d e al e a c io ne s L a l e y d e l a a l e a c i ó n e s l a re l a c i ó n e nt re e l p e s o d e l me t a l f i no , e s d e ci r , má s va li o so , y e l p e so t ot a l . 21
  22. 22. Se r e su e l ven d e l mi smo mo d o q u e l o s p r o bl e ma s d e me zcl a s, t e ni e n d o e n cu e n ta q ue la l e y d e l a a l e a c ió n e q ui va l e a l p re c i o d e la me zc l a . C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C 2) · La Se t ie n e n d o s lin g o t e s d e pl a t a , u n o d e l e y 0 . 7 5 0 y o t r o d e l e y 0 . 95 0 . ¿ Q u é p e so h a y q u e t o ma r d e ca d a li ng o t e p ar a o b t e n e r 1 8 0 0 g d e pla t a d e le y 0 . 9 00? 1ª ley 2ª ley T o t alNº d e g x 1800 − x 1800Pl a t a 0.750 · x 0 . 9 5 0 · ( 1 8 0 0 −x) 0 . 9 0 0 · 18 0 0 0 . 7 5 0 · x + 0 . 9 5 0 · ( 1 80 0 −x) = 0 . 9 · 18 0 0 0 . 7 5 0 x + 1 7 1 0 − 0 . 95 0 x = 1 6 2 0 0 . 7 5 0 x − 0 . 9 5 0 x = 1 6 2 0 − 1 71 0 −0 . 2 x = − 9 0 x = 450 1ª ley 450 g 2ª ley 1350 g L a s e c ua c io ne s c ua d rát i c a s o d e se g und o g rad o so n l a s e xp r e si o ne s d e l a f o r ma : a x 2 + b x +c = 0 co n a ≠ 0 . 22
  23. 23. Pa r a re s o l ve r e c ua c i o ne s de s e g und o g ra d ou t ili za mo s l a si g ui en t e f ór mu l a : Si e s a <0 , m ul t i p l i c a mo s l o s do s mi e mb ro s p o r ( −1 ) .Ec ua c i o ne s c ua d rá t i c a s i nc o mp l e tas Un a e c ua c i ó n c ua d rá t i c a o de s eg und o g ra d o e s i nc o mp l e t a si al g u no d e l o s coe fi cien t e s, b o c, o a mb o s, so n ig u al e s a ce r o . 23
  24. 24. ax2 = 0L a s ol uc i ó n e s x = 0 . ax2 + bx = 0Ext r a e mo s f a ct o r co mú n x: ax2 + c = 0De sp e ja mo s: 24
  25. 25. So l uc i o ne s d e la e c ua c i ó n c ua d rá tic a a x 2 +b x +c = 0 b 2 − 4 a c se l la ma d i s c ri mi na nt e d e l a e cu a ci ó n y p e r mi t e a ve ri g ua r en ca d a e cuaci ó n el n ú me r o de so l u ci on e s. Po d e mo s d i sti n gui r t re s ca so s: b2 − 4ac > 0 La e c ua c i ó n t i e ne dos so l uc i one s , q ue son nú me ro s re a l e s d i st i nt o s . 25
  26. 26. b2 − 4ac = 0 L a e c ua c ió n t i e ne una s o l uc i ó n d obl e . b2 − 4ac < 0 L a e c ua c ió n no t i e ne s o l uc io ne s re a l e s .Pro p i e d ad e s de l as s o l uc i o nes de la e c ua c i o ne sc ua d rá t i c a s L a s uma d e l a s s o l uc i o ne s d e un a e cu a ci ón d e se g u n d o g r a d o e s i g u al a : El p ro d uc t o d e la s so l uc i o ne s d e u n a e cu a ci ón d e se g u n d o g r a d o e s i g u al a : 26
  27. 27. Ec ua c i ó n c ua d rá t i c a a p a rt i r d e s us s o l uc i o ne s Si c o no c e mo s la s ra í c e s de una e c ua c i ó n, p o de mo s e sc ri b i r é s t a c o mo : Si e nd o S = x 1 + x 2 y P = x 1 · x 2 Escr i b e una e cu a ci ó n de se g un do grado cu ya s so l u ci on e s so n : 3 y −2 . S= 3 − 2 = 1 P = 3 · 2 = 6 x2 − x + 6 = 0F a c to ri za c i ó n de l a e c ua c io ne s c uad rá t i c a s a x 2 + b x +c = 0 a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0 27
  28. 28. Pa r a r e sol ver e c ua c io ne s f ra c c io na ri a s o ra c io na l e sse mu l ti pli ca n a mb o s mi e mb r o s d e l a e cu a ció n p or el mí n i moco mú n mú l t i pl o d e lo s d e n o mi n a d or e s. De b e mo s co mp ro ba r l a s so l uc i one s , p ar a re ch a za rp o si ble s so lu ci o n e s e xt r a ñ a s p ro ven i e nt e s d e l a e cu a ci ó nt r a n sf or ma d a ( l a r e sul t a n t e d e mu l t i pli car p or el mí n i moco mú n mú l t i pl o ) , p e r o q u e no l o so n de l a e cu a ci ó n o ri gi n al . Co mp ro b a mo s la s ol uc i ó n: L a ec ua c i ó n no t i e ne so l uc i ó n p o r q ue p a ra x = 1 sea nul a n l o s d e no mi na d o re s . 28
  29. 29. L a sol u ci ó n e s: L a s e c ua c i o ne s b i c ua d ra da s so n d el t i po : ax4 + bx2 + c = 0 Pa r a re s o l ve r e c ua c i o ne s b i c ua d rad a s , e f e ctu a mo s e lca mb i o x 2 = t , x 4 = t 2 ; co n l o q u e ge n e r a u n a e cu a ci ó n d ese g u n d o g r a d o co n l a i n có g ni t a t: at2 + bt + c = 0 Po r c a d a va l o r po s i t i vo d e t ha b rá d o s va l o re s d e x: 29
  30. 30. El mi s mo p r o ce di mi e n t o po d e mo s u t ili za r p a ra r e so l ve rl a s e cu a ci o n e s d el ti p o : a x6 + b x 3 + c = 0 a x8 + b x 4 + c = 0 a x1 0 + b x5 + c = 0 30
  31. 31. Ej e rc i c i o s de e c ua c io ne s b i c ua d rada s 1 x4 − 61 x2 + 900 = 0 2 x4 − 25 x2 + 144 = 0 31
  32. 32. 3 x4 − 16 x2 − 225 = 0Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.Ejemplo 16: es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitasResolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todasellas, o concluir que el sistema no tiene solución.Hay tres métodos para resolverlos: SustituciónEjemplo 17.En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuacióny =3x; 11x =1 x =1/11Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye (y =3x) paraencontrar el valor de la otra incógnita: y =3/11 32
  33. 33. Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, almenos, una de las incógnitas es 1. IgualaciónEjemplo 18. Resuelve el sistema:Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones ; y =3x.Igualando 1-2x =9x x =1/11Ahora para obtener el valor de la y se procede como en el caso anterior, esdecir se sustituye el valor hallado en la ecuación que más convengaEn este caso en y =3x, nos queda y =3/11Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una delas incógnitas es igual en las dos ecuaciones. ReducciónEjemplo 19.Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 3. (De esta forma el coeficiente dey en las dos ecuaciones es el mismo, el m.c.m.Resulta:Sumando obtenemos 13 x =2Sustituyendo el valor encontrado de x en la segunda ecuación: y =3/13Observación. Este método es muy adecuado en todos los casos.Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar elvalor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto)EjerciciosResuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:1)2)3)4) 33
  34. 34. 5)6)7)SoluciónLe resolvemos por reducción doble.Multiplicamos la 2ª ecuación por –Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: -3y = - y =4Para encontrar el valor de x, eliminamos la y, para ello multiplicando la 1ª por -2 sumando –3x= - x =48)Problemas de aplicación1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble delmenor es 1. Halla dichos números.Sistemas de ecuaciones de 2º gradoSon aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremoscon un ejemplo como proceder para obtener las solucionesEjemplo 20. Sea el sistemaEn la 2ª ecuación despejamos la y, y la sustituimos en la 1ªy = 2x- 2x2+(2x –4)2=222x +4x –16x +16=22; 6x2-16x-6=0, 2 2Simplificando por 2 obtenemos:3x2-8x-3=0, que es una ecuación de 2º gradocompleta: 34
  35. 35. =EjerciciosResuelve los siguientes sistemas:1)2)3)Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases[1]:1ª. Comprender el problema.Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar,sin dudar, a las siguientes preguntas:¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son lascondiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes?...2ª Concebir un plan.Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemasauxiliares.¿Conoces problemas relacionados con éste?¿Podrías plantear el problema de forma diferente?¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de talforma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?.................Obtener finalmente un plan de solución.Para nuestro caso:Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizarel sistema que forman.3ª. Ejecutar el plan.Resuelve el sistema por los métodos estudiados.4ª. Examinar la solución obtenida.Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder enconsecuencia. 35
  36. 36. Ejemplo 21.. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cadauna?Solución. Sólo en este problema indicaremos con detalle las 4 fases1º. Comprender el problema.Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes parapoder determinarlas.Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.Ordenamos los elementos del problema: Hoy dentro de 8 años La madre x x+8 La hija y y+82º. Concebir un plan.Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:x = 27 + yx + 8 = 2(y +8)Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremospor el método de sustitución.3º Ejecutar el plan.x = 27 + yEntonces:27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 - y = 19, x = 464º Examinar la solución obtenida .La solución obtenida es factible por ser entera.El método empleado se puede usar en problemas “similares”.Problemas resueltos1. La edad de una madre es siete veces la de su hija. La diferencia entre susedades es de 24 años. ¿qué edad tienen?.SoluciónLlamamos x a la edad de la hija, luego 7x será la edad de la madre.7x – x =4Luego edad de la hija 4 años y edad de la madre 28 años2. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual alnúmero pedido.SoluciónLlamamos x al número que buscamos, la mitad del número es x/2 y su cuartaparte x/4Entonces:Multiplicamos por el m.c.m. que es 4. Nos queda:2x +x + 4 = 4xx =43. Se atribuye a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de susdiscípulos: 36
  37. 37. - Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parteguarda silencio, y además hay tres mujeres.¿Cuántos discípulos tenía?SoluciónLlamamos x al número de sus discípulos.Traduciendo a lenguaje algebraico las condiciones, se tiene:Multiplicando por 20, que es el m.c.m. , quitamos todos los denominadores10x +5x +4x +60 =20xEs decir, x = 60 discípulos4. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a unavelocidad de 4km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h.Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.Solución A B25kmEl espacio que recorre el peatón que sale de A es: E = v A t =4.tEl espacio que recorre el peatón que sale de B es: E = v B t = 6tCuando se encuentran habrán recorrido entre ambos los 25kmPor lo tanto: 4t +6t =25Tardan en encontrarse 2 horas y media5. En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?.SoluciónLlamamos x al número de conejos, y al número de palomas habrá entoncesx +y =35Lo conejos tienen 4 patas, hay 4x patas de conejosLas palomas 2 patas, luego tendremos 2y patas de palomasEl número de patas en total es 94 4x + 2y= 94Es decir lo resolvemos por sustitución = y = 35 -x4x +2(35 –x) = 944x + 70 –2x =94 x =12 y =35 –12 =23Hay 12 conejos y 23 palomas6. Había doble de leche en un envase que en otro. Cuando se extrajeron 15litros de leche de ambos envases, entonces había tres veces mas leche en elprimer envase que en el segundo. ¿Cuánta leche había originariamente encada envase.Solución.Llamamos x al nº de litros de un envase.En el otro envase habrá 2x litros.Al extraer 20 litros de cada envase nos quedan 37
  38. 38. x -15 2x –152x –15=3(x –15) =3x – 45x =30En un envase había 30 litros y en el otro 60 litros7. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que elsegundo y éste 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padreque tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?SoluciónLlamamos x = edad del hermano menor. Entonces según las condiciones delproblema:x + 3 es la edad del hermano medianox +3 + 4 = x + 7 es la edad del hermano mayorComo la suma de las edades de los hermanos es 40: –10 =30x =10Por lo tanto: edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.8. ¿ A qué hora forman por primera vez un ángulo rcto las agujas de un reloj, apartir del mediodía.SoluciónEs un caso particular de problemas de móviles.La velocidad del minutero es doce veces mayor que la del horario. Podemospues representar por 12 y 1 las velocidades respectivas de las dos saetas.Si x es el nº de divisiones que ha recorrido la aguja horaria, la minutaríaformará con ella ángulo recto cuando haya recorrido x +15 divisiones Al igualar los tiempos empleados por ambas,se obtiene:21segundos Se encuentran a las 12 horas 16 minutos 21segundos9. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años laedad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cadauno?SoluciónLlamamos x a la edad del hijo. La del padre será x2Dentro de 24 años el hijo tendrá x +24Dentro de 24 años el padre tendrá x2 +24 2Por lo tanto x +24 = 2(x +24) = 2x +48La ecuación que resulta es de 2º grado.x2- 2x –24=0Por ser completa aplicamos la fórmula general: 38
  39. 39. Aunque da dos soluciones, sólo la primera x =6 es válida, x =-4 no nos valepues las edades no pueden ser negativas.Por tanto el hijo tiene 6 años y el padre 36 años10. Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca.Calcular las dimensiones de la cerca.SoluciónLlamamos x a la base del rectángulo, e y la altura.Como la superficie es el producto de la base por la altura, entonces x .y =750El perímetro es la suma de los 4 lados:2x +2y =110Es decir tenemos el sistema De la primera ecuación se tieney =750/xSustituyendo en la segunda: 2x2+1500 =110 x 2x2-110x +1500=0De dondeNos da dos soluciones:Si la base es x =3 y = 750/30 =25Si la base es x = 22,5 y =750/22,5=100/3= 33,333..Ambas válidas.Problemas propuestos1. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas.Pero una de ellas lo saca de su error:- No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como lasque somos, más la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las quesomos, en es caso, contigo, gavilán, seríamos cien.¿Cuántas palomas había en la bandada?2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados250.4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otroen su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán enalcanzarse?5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual alnúmero pedido. 39
  40. 40. 6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de losparticipantes. En la segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si elnúmero de personas que aprobaron los dos exámenes fue 36 ¿cuántaspersonas se presentaron a la oposición?7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igualal cuádruplo del menor.8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide600m2. Calcular las dimensiones del rectángulo.9. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otroen su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán enalcanzarse?10. El área de una lámina de plata es 48cm2, y su longitud es 4/3 de suanchura. Halla su longitud y su anchura.11. Halla dos números cuya suma sea 24 y su producto 135.12. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado delmayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.13. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es22 y la suma de los números es 34. ¿Cuáles son los números.14. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Suvolumen es 1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.15. La diagonal de un rectángulo mide 26cm y el perímetro 68cm. Hallar loslados del rectángulo.Los lados de un triángulo A’B’C’ miden el doble que los de ABC. Si la superficiedel primero es 18 dm2, ¿cuál será la superficie del segundo?2. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es 25/49. ¿Cuál es larazón de sus lados?SoluciónLa razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza de los lados,por tanto, le de los lados e 5/7.3. Dos ciudades que en la realidad están a 900km, aparecen en el mapaseparadas 6cm. ¿A qué escala se ha dibujado el mapa?4. Calcula la distancia a que se encuentran 2 ciudades si en el plano están a13 cm.Datos: escala 1: 1800000.5. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que la sombra que proyecta es de18 m y que la sombra que proyecta Tales es de 0,5m. Nota. Tales mide 1,70 m. Por la semejanza de los triángulos 40
  41. 41. 6. La sombra de un lápiz de10cm en un determinado momento es de 25cm.¿Cuál será en ese momento la sombra de una torre de 40m?7. Calcula la profundidad de un pozo de diámetro 2 metros, sabiendo quealejándose 0,7m del borde, desde una altura de 1,70m vemos que la visual uneel borde del pozo con la línea del fondo.8. Cálculo de la altura del árbol de las figuras. Datos: a) longitud de la estaca(ab) 1,3 metros. b) Altura del hombre 1,80m.a) 1m 3mb)5 19. Dibuja un ángulo de 40º y calcula sus razones trigonométricas. 10. Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 60º.SoluciónDibujamos un triángulo equilátero, de lado 1,La altura, h, por el teorema de Pitágoras, vale 41
  42. 42. Por lo tanto: , ;11. Calcula, de dos formas diferentes, el seno de B12. Sabiendo que sen 30º =1/2 calcula, razonadamente, lo que vale el cos 60º.13. Sabiendo que tg 60º = calcula tg 30º.14. Sabiendo que , y agudo calcula las restantes razonestrigonométricas.SoluciónSustituyendo el valor del coseno en la fórmula fundamental de laTrigonometría: , de donde15. Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo conociendo:a) ; b) ; c) ; 16. Calcula la altura, el lado desconocido y elárea .SoluciónSe tiene 10 h =7,07 y x 15-x7,07= 15- , Por T. Pitágoras: 15 42
  43. 43. y2 =x2+ h2 y = 10,62 A =(15.7,07)/2=53,25 u.s.17. Hallar el área y los ángulos del triángulo de lados 5, 7 y 10.18[1].Calcula la altura del árbol sabiendo que el ángulo ADC es de 30º , el ACB45º y la distancia CD =2m (problema de las tangentes) Llamamos AB =h Como BD = BC +2 se tiene 0,57(BC +2) = BC y despejando BC = 2,65 m19. Epi y Blas ven pasar un avión con ángulos respectivos de 30º y 45ª. Si ladistancia que les separa es de 2km, calcula la altura a que vuela el avión entodos los casos posibles.20. Calcula la altura de un semáforo, sabiendo que desde un cierto punto A, seve bajo un ángulo de 60º y si nos alejamos 40 metros se ve bajo un ángulo de30º. 21. Una antena de radio está sujeta alsuelo con dos cables de acero tirantes, como se indica en la figura. Calcula:a) La altura de la torre.b) La longitud de los cables. 43
  44. 44. 22. La distancia de un barco a un faro es de 137 m , y a la orilla 211m. El ángulo bajo el cual se ve desde el barco el segmento cuyos extremos son el faro y la orilla es de 43º. ¿Qué distancia hay entre el faro y la orilla? 137 m sen 43º =h/137 43º h = 137.sen 43º=93,43 m h x cos 43º = x/137 y 211 m x = 137.cos 43º =100,20 211-100,20=110,80m Aplicando el T. Pitágoras y2= 93,432 +110,802 = 21005,18 y = 144,93m 23. Dos barcos salen de un puerto con rumbos distintos formando un ángulo de 54º, y con velocidades de 21 y 24 millas/h, respectivamente. ¿A qué distancia se encontrarán al cabo de una hora? DESIGUALDADES E INECUACIONES. CLASIFICACIÓNEn este tema trataremos los siguientes aspectos:  Concepto de desigualdad y de inecuación.  Repaso de la función afín er  Resolución de inecuaciones de 1 grado con una incógnita.  Repaso de la función cuadrática  Resolución de inecuaciones de 2º grado con una incógnita.  Repaso de la resolución gráfica de las ecuaciones con dos 44
  45. 45. incógnitas  Inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas.  Sistemas de dos inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas.Se requieren los siguientes conocimientos previos Resolver ecuaciones de 1er y 2º grado con una incógnita Representar intervalos en la recta real Conocer el plano cartesiano Manejar la representación de funciones afines y cuadráticas OBJETIVOS Reconocer las inecuaciones. Clasificar las inecuaciones atendiendo a su grado y el número de incógnitas. Relacionar las inecuaciones de 1er grado con una incógnita con las gráficas de funciones afines. Resolver inecuaciones de 1er con una incógnita. Relacionar las inecuaciones de 2º grado con una incógnita con las gráficas de las funciones cuadráticas. Resolver inecuaciones de 2º grado con una incógnita. Resolver gráficamente inecuaciones de 1 er grado con dos incógnitas Resolver gráficamente sistemas de dos inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD < > ≤ ≥DESIGUALDADES: Expresiones enlas que aparece un signo dedesigualdad. Ejemplos de desigualdades:Vemos que hay desigualdades en 3<7las que solamente aparecen -2 > -5números y otras en las que además x≤2 45
  46. 46. aparecen letras. x-3 ≥ yINECUACIONES: Sondesigualdades en las que aparecen Ejemplos de inecuaciones:letras y números con las x ≤ 2,operaciones usuales. Las letras son x-3 ≥ ylas variables o incógnitas de las x2-5x ≤ 4inecuaciones. xy-3 > 0CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican atendiendo alnúmero de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas. INECUACIÓN TIPO 2x-3 > x-5 1º grado; 1 incóg. x-3 ≥ y 1º grado; 2 incóg x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incóg. xy-3 > 0 2º grado; 2 incóg.ACTIVIDADES PROPUESTAS1Copia en tu cuaderno las siguientes desigualdades, y di cuáles son inecuaciones indicandosu grado y número de incógnitas: a) 2x ≤ -2 b) -3 ≥ 2 c) x2y > 1 d) x2-5y ≤ 0 e) 2x-2y ≥ 2(x-y) f) 4(x-3) -2 <2(x-1) g) x-y2 < 2x-y h) 3x3+2y ≥ x2 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si sumamo so restamos Ejemplos un mismo número a los dos 46
  47. 47. miembro s de una desiguald ad, resulta otra del mismo sentido. Si multiplica mos o dividimos los dos miembro s de una desiguald ad por un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido. Si multiplica mos o dividimos los dos miembro s de una desiguald ad por un mismo número negativo, resulta otra de sentido contrario.ACTIVIDADES PROPUESTAS Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala escribiendo en la columna derecha el resultado de aplicarle a los dos miembros de la desigualdad de la 1ª columna la operación indicada en la segunda: x-3 Sumar 3 >5 47
  48. 48. x+7 Restar 7 >8 4x Dividir < 12 entre 4 -2x Dividir ≥ 8 entre (-2) x-9 Sumar 9 > -2 -3x Dividir ≤ 9 entre -3 o Completa la escena siguiente con las respuestas correctas en cada caso: RESOLVER UNA INECUACIÓN Consiste en buscar el valor Ejemplo: Inecuación: x-3 > 2 o valores de la(s) Sumando 3 a ambos miembros, obtenemos: incógnita(s) o x>5 para que la desigualdad sea verdadera. SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN Soluciones: Todos los números reales mayores que 5, es decir: Valores de la (s) variable (s) x ∈ (5, ∞) para los que se cumple la desigualdad.o INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 48
  49. 49. Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 Resolución: Se representa la función afín y = ax + b, y se observa donde ax+b tiene el signo que se pide en cada caso. Ejemplo: Resolvamos la inecuación: 2x - 3 ≤ 0 Representamos la función y = 2x - 3 Dibújala también en tu cuaderno Contesta en tu cuaderno: o ¿Para qué valor de “x” resulta 2x - 3 = 0?. Expresa el resultado en forma decimal y en forma de fracción. o ¿Para qué valores de “x” resulta 2x - 3 < 0? Respondiendo correctamente a las cuestiones planteadas tendremos las soluciones de la inecuación: o x ≤ 1,5 en forma de intervalo: x ∈ [−∞;1,5] o ACTIVIDADES PROPUESTAS o Resuelve las siguientes inecuaciones. traza las gráficas de las funcionesespondientes en cada caso: a) 2x + 6 < 0 b) 3x – 2 ≥ 0 c) 5x + 8 ≤ 0 d) 7x < 0 e) –x + 4 < 0 f) –2x – 5 ≥ 0 g) –4x ≥ 0 h) 15x – 25 ≤ 0 49
  50. 50. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORESAl igual que en lasecuaciones, también puedenpresentársenos inecuacionescon paréntesis ydenominadores. Pararesolverlas obtendremosinecuaciones equivalentes ala dada pero con expresióncada vez más sencilla, hastallegar a una de las formasconocidas. Ejemplo: Resolvamos la inecuación:El proceso a seguir es elmismo que para lasecuaciones:1º.- Quitar paréntesis. 1º.- Quitamos paréntesis2º.- Quitar denominadores. 2º.- Quitamos denominadores3º.- Reducir términos 3º.- Reducimos términos semejantes semejantes (hasta obtener una inecuación de una de las formas básicas).4º.- Resolver la inecuación. 4º.- Resolvemos la inecuación 50
  51. 51. ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve las siguientes inecuaciones de 1 er grado con denominadores:a) 6x –3 > 5x – 7 b) – (x - 9) ≤–2 (x–3) + 5c) 6 (2x – 1) – 7 ≤ –2 (5x – 2) + 5x d) 10x – 9 (2x + 1) – 3x > 5 (x – 5)e) f) g)h) i)j) –2 (x–2) + 5 ≤ 4 (2x – 7) –3k) (x – 2) (x + 3) ≤ x (x – 1) – 8l) INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas: Ax2+Bx+C < 0 Ax2+Bx+C > 0 Ax2+Bx+C ≤ 0 Ax2+Bx+C ≥ 0 51
  52. 52. Resolución: Se hace la gráfica de la función cuadrática y = Ax 2+Bx+C, y seobserva donde y = Ax 2+Bx+C tiene el signo que se pide en cada caso.Ejemplo: Resolvamos la inecuación: 2x2–3x+1 ≤ 0 Representamos la función Contesta en tuy = 2x2–3x+1 cuaderno: Dibújala también en tu 1. ¿Para qué valor de “x”cuaderno. resulta 2x2–3x+1 = 0? 2. ¿Para qué valores de “x” resulta 2x2–3x+1 < 0? Recuerda que para observar más de cerca la gráfica puedes variar el zoom de la escena pulsando sobre el botón derecho del ratón y arrastrando hacia arriba para acercarte y hacia abajo para alejarte. Si respondemos correctamente a las cuestiones planteadas obtenemos las soluciones de la inecuación: x ∈ [0,5 ; 1]ACTIVIDADES PROPUESTAS 52
  53. 53. Resuelve las siguientes inecuaciones. Utiliza la escena anteriorpara ver las gráficas de las funciones correspondientes en cada caso: a) x2 – 5x + 6 < 0 b) 2x2 – x + 3 ≥ 0 c) 4x2 + 4x + 1 ≤0 d) x2 + 7x < 0 e)2x2 +3x – 5 < 0 f) x2 – 2x + 1 ≥ 0 g) –x2 –8x +9 > 0 h) –3x2 +5x – 2 ≤ 0 INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCÓGNITAS Recuerda que una ecuación con dos incógnitas de la formaax+by+c = 0 tiene infinitas soluciones, que son todos los pares devalores (x,y) que la cumplen. Gráficamente si representamos en el plano de coordenadasesos infinitos puntos, resulta una recta. Ejemplo: En la siguiente escena vemos en color rojo lasolución gráfica de la ecuación 3x–2y–3 = 0. Utilizando el ratón, mueve el punto P. Observa que debajo de la ecuación de la recta aparece el valor que toma la expresión ax+by+c si substituimos x e y por las coordenadas del punto P. Contesta en tu cuaderno: 1. ¿Qué signo tiene el valor de la expresión cuando el punto P pertenece a la recta? 2. ¿Qué signo tiene el valor de la 53
  54. 54. expresión cuando el punto P está en la zona superior de la recta?¿ y en la inferior? 3. Modifica los valores de “a”, “b” y “c” para tener la recta: 3x+5y-1 = 0 y vuelve a mover el punto P. 4. Repite con esta recta las cuestiones 1 y 2. Observamos que toda recta divide al plano en dos zonas (semiplanos). Cualquier punto que se substituya en la expresión dará siempre un resultado que será: Positivo, para todos los puntos de uno de los lados Negativo, para los del otro lado 0, para los puntos de la recta. RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCÓGNITASLas inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas son las de alguna de lassiguientes formas básicas:ax + by + c < 0 ax + by + c > 0 ax + by + c ≤ 0 ax + by + c≥0Resolución: Se hace la gráfica de la recta ax + by + c = 0, y se busca cuál esla zona donde ax+by + c tiene el signo que se pide en cada caso.Ejemplo: Resolvamos la inecuación: x –2y + 3 ≤ 0 Hacemos la gráfica de la recta x – 2y + 3 = 0. Dibújala también en tu cuaderno. Buscamos la zona correspondiente probando con un punto. El más fácil es el (0,0), resultando: Valor = 0 – 2 · 0 + 3 = 3 > 0 54
  55. 55. Por tanto la zona es "la que contiene al (0,0)". En la escena, para elegir la zona correspondiente, pulsa en el botón “zona” y elige “1” o “2” para cambiar de una a otra. Observa que en este caso también se incluye la propia recta y por eso se dibuja con una línea continua. Cuando la desigualdad sea estricta, es decir, "<" o ">", la recta la dibujaremos con trazo más fino o discontinuo.. En la escena, para indicar que la recta está incluida elige "SI" en el pulsador "recta". Si no está incluida elige la opción "NO" ACTIVIDADES PROPUESTAS Resuelve las siguientes inecuaciones. (Utiliza la escena anteriorpara ver las gráficas de las rectas correspondientes en cada caso, Haztambién las gráficas en tu cuaderno): a) x – 2y – 3 > 0 b) 2x – y ≤ 6 c) 2x + y > 5 d) 3x – y ≥ 0 e) –x + 4y < 3 f) 2x – 3y ≤ –1 g) 3x – 2y ≤ 13 h) x – 5y ≥ 0 SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOSINCÓGNITAS 55
  56. 56. Resolver un sistema de dos o más inecuaciones de 1er gradocon dos incógnitas consiste simplemente en resolver cada una deellas y hacer la correspondiente gráfica en un mismos sistema dereferencia, así observaremos más fácilmente la solución dosistema. Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones: 1º. Hacemos, en un mismo sistema de referencia, las gráficas de las rectas: x –2y + 3 = 0 2x + 3y – 1 = 0. 2º. Rayamos las zonas correspondientes a los puntos solución de cada una de las inecuaciones. La solución del sistema será el conjunto de puntos que son al mismo tiempo solución de ambas inecuaciones (en el gráfico corresponde a la zona doblemente rayada). ACTIVIDADES PROPUESTAS Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. (Utiliza laescena para ver las gráficas de las funciones correspondientes ydibújalas en tu cuaderno). b) c) d) a) 56
  57. 57. Autor: Xosé Eixo B. ACTIVIDADES PROPUESTAS Pl a n t e ar u n mo d e l o g e n e r al p ar a so l u ci on a r si st e ma s n xn ; e s d e cir , n e cu a ci o n e s li ne al e s co n n i n có gn it a s.Evaluación Socializar los contenidos de la presente guía, sustente y discuta en pequeños grupos los ejercicios y problemas planteados. Resuelva y sustente por CIPAS, los ejercicios de estos capítulos, de acuerdo a la orientación del tutor del texto: Matemáticas Universitarias de Allendoerfer y los ejercicios integrales del material de apoyo aportado por el tutor. dentro de la guía se encontraran ejercicios y problemas resueltos que el estudiante resolverá y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor, se hará una socialización y corrección de algunos problemas propuestos al azar, se tendrá en cuenta una autoevaluación que cada estudiante hará, una cooevaluación que le harán los estudiantes del grupo y una hetero-evaluación que será realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos, actitudinales y comporta-mentales del estudiante, al igual que las competencias interpretativa, argumentativa y proposicional.Acreditación del Núcleo ProblemicoLa acreditación de la unidad amerita un trabajo secuencial, individual y porCIPAS que le permitan al estudiante un desarrollo adecuado de los procesosde factorización y la solución de ejercicios de aplicación a las ecuacioneslineales y cuadráticas mediante la interpretación analítica y gráfica de sussoluciones. 57
  58. 58. Quien acredite un nivel mínimo en el manejo conceptual, operativo y gráfico deestos componentes, avanzará positivamente en el proceso evaluativo tutorial.CALENDARIO DEL MODULO(Se debe definir en semanas, de forma que ajuste con el modelopedagógico uniminuto – en l modalidad de distancia) UNIDAD DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA APRENDIZAJEAcuerdo Presentación del modulo, firma de acuerdos, 1Pedagógico entrega del PIC y asignación de actividades y 24 de consultas para ser discutidas el 20 de Abril febreroLógica y Trabajo en pequeños grupos para la 2Conjuntos preparación de la socialización de la 8 de temática, y resolución de la guía del modulo mayo 1, Evaluación y control de actividades. de 2010Pensamiento y De manera individual en la distancia el 3Sistema estudiante realizará una síntesis de los 15 deNumérico contenidos consultados en la bibliografía mayo deAlgebra Básica sugerida, resolverá los ejercicios y 2010 problemas propuestos y en el encuentro presencial se aclararan las dudas, se corregirán algunos ejercicios y problemas y se evaluará el portafolioPensamiento De manera individual en la distancia el 4Variacional y estudiante realizará una síntesis de los 22 desistemas contenidos consultados en la bibliografía mayo dealgebraicos sugerida, resolverá los ejercicios y 2010 problemas propuestos y en el encuentro presencial se aclararan las dudas, se corregirán algunos ejercicios y problemas y se evaluará el portafolio 5 6 7 8METODOLOGIAEn la educación a distancia es importante que el estudiante asuma una estrictaresponsabilidad con sus procesos, condición que lo lleva a adquirir autoexigencia con su aprendizaje. Debido a que ese proceso es básicamenteindividual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor, el 58
  59. 59. estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudiopor si mismo (autodisciplina), teniendo en cuenta que esta modalidad presentaflexibilidad en los horarios.La palabra método significa camino (odos), para llegar a un fin (meta), en estesentido el concepto de metodología integra los métodos y las técnicas paradesarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia.Usted cuenta con Varios recursos a su disposición los cuales le ayudaran aalcanzar la competencia al final de este modulo. Ellos son:Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptualy referente a aplicaciones, los siguientes:- Se recomienda leer los capítulos 6 y 8 sobre ecuaciones e inecuaciones lineales del texto, Matemáticas Universitarias de Allendoerfer.- Lectura analítica de los capítulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemáticas Aplicadas a la Economía y a la Administración, de Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner. Editorial Prentice Hall. 1996.- Se recomienda leer los capítulos 5 y 6 del texto, Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía Jagdish C. Arya/ Robin W. Lardner. Editorial Prentice – Hall. Tercera edición. México 1989. Se recomienda visitar y consultar las direcciones abajo citadashttp://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadescuarto.htmhttp://www.vitutor.net/1/38.html L o s co n te n i do s y ti t ul ari d a d d eld o mi n i o co rr e sp on d e n a Ju an Ca rl os F e r n án d e z G o rdi llo , p a r amá s i n f o r ma ci ó n so b r e vi t ut o r. ne t p u e d e s co n sul t a r l a p á gi n a:h t t p : / / www. wh o i s. n e t / wh o i s_ n e w. cgi ?d =vi t u to r . n e t &tl d =co m .http://www.eduteka.org/SoftMath5.php Ministerio de Educación Nacional deColombia (MEN),Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003POLITICASEl estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas,sintetizar los conceptos en un portafolio, resolver los ejercicios y problemaspropuestos en la guía, asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a loscipas programados en los acuerdos del 13 de febrero, participar activamente delas actividades de socialización y trabajo colaborativo. 59
  60. 60. Rol del Tutor:El propósito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes,facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias. Lasupervisión que hagan los tutores se enfocará tanto a los procesos, como a losproductos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades queconlleven a alcanzar la competencia, para ello el tutor asume entre otros loscompromisos de: Atender directamente a los estudiantes a él asignados utilizando diversos medios: encuentro tutorial, teléfono, celular, fax, e-mail, sistemas de mensajería y/o cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante , de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didácticas. Asistir al lugar de tutoría asignado, en la hora y el dia indicados previamente para tal fin: Respetar el calendario académico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizaje Suscitar la reflexión e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizaje Evaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluación socializados al estudiante al plantearse la actividad. Retroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutor. Las dudas académicas serán atendidas por teléfono, fax, e-mail y medios como foros en aulas virtuales.Rol del estudianteAsumamos que los estudiantes son participantes, honestos y comprometidosque. Como tales, son los principales responsables de iniciar, dirigir y sostenersus propios procesos de aprendizaje. Cada estudiante se compromete apropiciar las condiciones que estén a su alcance para maximizar lasoportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades. Deigual forma se asume que nuestros estudiantes no incurrirán en actosdeshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas deinteracción, actividades terminales e intermedias. Se espera que losestudiantes participen activamente en cada una de las actividades descritas enla guía de estudio, para ello es necesario tener en cuenta que: 60
  61. 61. El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje, que lo lleva a ser mas activo y propositivo, por consiguiente a desarrollar el auto – estudio Debe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje, habiendo leído los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guía de estudio. Debe realizar las actividades planteadas en la guía de estudio, entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluación, dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividad. En las evidencias escritas, deberá saber citar las fuentes, es decir usar debidamente la bibliografía a fin de evitar el plagio.Bibliografíahttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Inecuaciones/inec2_1inc.htmlhttp://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadescuarto.htmhttp://www.vitutor.net/1/38.html L o s co n te n i do s y ti t ul ari d a d d eld o mi n i o co rr e sp on d e n a Ju an Ca rl os F e r n án d e z G o rdi llo , p a r amá s i n f o r ma ci ó n so b r e vi t ut o r. ne t p u e d e s co n sul t a r l a p á gi n a:h t t p : / / www. wh o i s. n e t / wh o i s_ n e w. cgi ?d =vi t u to r . n e t &tl d =co m .http://www.eduteka.org/SoftMath5.php Ministerio de Educación Nacional deColombia (MEN),Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta ediciónrevisada. Editorial Mc Graww- Hill. Santafé de Bogotá D.C. 1994 Cáp. 4, 5, 6,7, 8, 10 y 11.Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a laeconomía. Tercera edición. Editorial Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuacionesy sus aplicaciones. 61
  62. 62. Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisiseconómico; Prentice – Hall, 1996. 62

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