Cálculo de una primitiva mediante fracciones parciales.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Cálculo integral
Obtener una primitiva de
S
1
e2x + 4ex + 9dx
Solución:
Aplicando la propiedad de potencias que enuncia anm = ‰anŽm, se transforma la integral en:
S
1
‰exŽ2 + 4ex + 9
dx
Multiplicamos por ex en numerador y denominador (en el siguiente paso se verá el por qué):
S
ex
ex Š‰exŽ2 + 4ex + 9
dx
Haciendo una sustitución de ex por u, du = exdx
S
1
u(u2 + 4u + 9)du
Aplicando fracciones parciales, donde un factor lineal es u y el otro factor cuadrático irreductible es
u2 + 4u + 9, se tienen que encontrar las constantes A, B y C, tales que:
S
1
u(u2 + 4u + 9)du = S ŒA
u
+ Bu + C
(u2 + 4u + 9)
‘ du
Para ello, vamos a sumar las fracciones del lado derecho y obtenemos:
S
1
u(u2 + 4u + 9)du = S
(A + B)u2 + (4A + C)u + 9A
u(u2 + 4u + 9) du
De donde obtenemos que A + B = 0, 4A + C = 0 y A =
1
9, entonces B =
−1
9 y C =
−4
9 , entonces la integral
queda:
S Œ
1
9u
+
−u − 4
9(u2 + 4u + 9)
‘ du
Separando las integrales se obtiene:
S
1
9u
du − S
u + 4
9(u2 + 4u + 9)du
Arreglando un poco para facilitar la integración:
19
S
1
u
du −
1
18 S
2u + 8
u2 + 4u + 9du